ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
6. FEJEZET<br />
19 A módszert Fourier a hõvezetés<br />
egyenletének megoldására<br />
alkalmazta és 1822-ben<br />
publikálta. Ezért a módszert<br />
gyakran Fourier-módszernek<br />
nevezik.<br />
69<br />
SZTATIKUS, STACIONÁRIUS FELADATOK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI<br />
κ(<br />
PQ , )= ln<br />
πε rPQ 1 1<br />
(6.6)<br />
2 0<br />
logaritmikus magfüggvényt használjuk. Ezzel pl. a (6.4) alakja:<br />
N<br />
1<br />
1<br />
ϕ( P)− ϕ0=<br />
∑ σ Q lQ<br />
πε ∫ ( ) ln d .<br />
(6.7)<br />
2 0 i= l r<br />
Ln<br />
PQ<br />
Az integrálást itt síkbeli görbén, a végtelen, henger alakú elektródák vezérgörbéjén<br />
kell elvégeznünk.<br />
Megjegyzések:<br />
1. Ha a vizsgált elrendezés zárt, egy kontúr valamennyi többit körülveszi, ϕ0 értéke tetszõleges<br />
lehet, ez a zárt kontúr potenciálja. E kontúron kívül a potenciál értéke konstans ϕ0. 2. Ha az elrendezés nyitott és a végtelenben korlátos potenciált követelünk meg, az elrendezés<br />
semleges kell, hogy legyen. Ezt a<br />
N<br />
∑ ∫<br />
i=<br />
1 Li<br />
σ( Q) dlQ= 0<br />
további feltétel biztosítja, és ϕ 0 értéke ismeretlen. Az egyenletrendszer megoldása során<br />
kiadódó ϕ 0 a potenciál határértéke a végtelenben.<br />
Látható, hogy míg három dimenzióban az integrálegyenletek a nyitott feladatok<br />
legkényelmesebb megoldását kínálják, mert automatikusan produkálják a potenciál<br />
zérus határértékét a végtelenben, ez nem áll a kétdimenziós feladatokra. Ennek<br />
érdekes fizikai oka van. A végtelen hosszú egyenletes töltéssûrûséggel ellátott<br />
hengerek össztöltése végtelen, ráadásul a „végtelen távoli” pontba is elhelyezünk<br />
vele töltést. Ez persze fizikai abszurdum és formálisan ezt oldja fel, ha az össztöltés<br />
zérus. A zérus össztöltés a zárt elrendezés esetében automatikusan teljesül.<br />
Figyeljük meg: három- és kétdimenziós esetben egyaránt az integrálegyenlet<br />
tartományának dimenziója eggyel alacsonyabb a vizsgált tér dimenziójánál. Ez<br />
homogén dielektrikum esetén a további kiterjesztett egyenletek esetén is így van.<br />
Inhomogén dielektrikumban azonban az ismeretlen polarizációs töltések eloszlása<br />
azonos dimenziójú a térrel. Ilyenkor az integrálegyenletek nem jelentenek nyereséget.<br />
Parciális differenciálegyenletek<br />
Az elektrosztatika alapegyenlete a Poisson-egyenlet, illetve töltésmentes térrészben<br />
a Laplace-egyenlet. Zárt térrészben a peremen a potenciált vagy normális irányú<br />
deriváltját (Dirichlet- és Neumann-peremfeltételek) kell megadnunk az egyértelmû<br />
megoldhatósághoz.<br />
Megoldás a változók szétválasztásával<br />
A Laplace-egyenlet megoldásának legkényelmesebb módszere a változók szétválasztásának<br />
módszere – amennyiben alkalmazható. 19<br />
A háromdimenziós Laplace-operátort tartalmazó egyenletek tizenegy koordinátarendszerben<br />
szeparálhatók. A kétdimenziósok között a választék sokkal nagyobb.<br />
Mi csak egyetlen koordináta-rendszerben mutatjuk be a módszert: a derékszögû<br />
(Descartes) rendszerben. Itt a Laplace-egyenlet alakja:<br />
ϕ ϕ ϕ<br />
Δϕ = ∂ ∂ ∂<br />
+ +<br />
∂ ∂ ∂ =<br />
2 2 2<br />
0.<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
(6.9)
Change language