ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
6. FEJEZET<br />
68<br />
SZTATIKUS, STACIONÁRIUS FELADATOK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI<br />
egyenletet kapjuk, ahol az ismeretlen a σ( Q ) felületi töltés. Ha ezt ismerjük, a<br />
potenciál bármely pontban (6.1)-ból számítható. Ez a megoldás – ahogyan a 4.<br />
fejezetben bizonyítottuk, egyértelmû.<br />
Az ismeretlen függvény integrálban szerepel, de ugyanebben az integrálban<br />
szerepel egy kétváltozós függvény is, amelynek mindkét változója az integrálás<br />
tartományába esik. Az ilyen egyenletek általános alakja:<br />
∫ κ( PQ , ) f( Q) d AQ = g( P).<br />
(6.3)<br />
A<br />
A (6.3) összefüggést elsõfajú lineáris integrálegyenletnek nevezzük. f(Q) a keresett<br />
függvény, g(P) ismert ún. zavarófüggvény, κ( PQ , ) az integrálegyenlet magja. A a<br />
P és Q közös tartománya, dAQ ennek differenciális eleme.<br />
Bizonyítható, hogy (6.3)-nak a benne szereplõ függvényekre tett igen általános<br />
feltételek mellett van megoldása.<br />
Nézzük a következõ kifejezést:<br />
+∞<br />
− jωt ∫ f () t e dt=<br />
F(<br />
ω).<br />
−∞<br />
Ha elvben az egyenlõségben F( ω ) ismert, f(t) ismeretlen, akkor f(t) meghatározása (tulajdonképpen<br />
a Fourier-transzformázáshoz tartozó idõfüggvény keresése) a fenti j t<br />
e − ω mégis<br />
integrálegyenlet megoldását jelenti.<br />
Ezt a megoldást zárt alakban is elõ tudjuk állítani az inverz Fourier-transzformáció képletével:<br />
+∞<br />
1<br />
jωt f() t = F(<br />
)e d .<br />
2π<br />
∫ ω ω<br />
−∞<br />
Azonban tény, hogy integrálegyenlet megoldását zárt alakban a legritkább esetben tudjuk<br />
megkapni. Különösen áll ez magasabb dimenziójú tartományuk esetén.<br />
A (6.2) könnyen általánosítható N elektróda esetére. Ekkor az egyes elektródákat<br />
i indexszel megkülönböztetve az<br />
N<br />
1 σi(<br />
Q)<br />
∑ Q ϕi<br />
i 1 4πε ∫ d A = ,<br />
= 0 r Ai PQ<br />
P ∈ Ai<br />
i = 1, 2,…, N. (6.4)<br />
integrálegyenlet-rendszerhez jutunk.<br />
Az adott töltésû elektródákat oly módon kezeljük, hogy az elektróda potenciálját<br />
(6.4)-ben ismeretlennek tekintjük, az egyenletrendszert pedig kiegészítjük a<br />
∫ σ( P) d AP = Qi<br />
(6.5)<br />
Ai<br />
egyenlettel. Természetesen a különbözõ feladatok megoldása során az egyenleteket<br />
másképp is meg lehet fogalmazni, illetve további feltételek érvényesítése is szükséges<br />
lehet. Ezek tárgyalása azonban messze túlmutat jelen célkitûzésünkön.<br />
Kétdimenziós feladatok esetén (síkproblémák) a (6.2) egyenlet<br />
κ(<br />
PQ , )=<br />
πε<br />
1 1<br />
magja helyett, ami a Coulomb-potenciálból származik, a<br />
4<br />
0 rPQ ,<br />
vonaltöltés potenciáljából származó
Change language