ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

5. FEJEZET
61
STACIONÁRIUS ÁRAM MÁGNESES TERE
TETSZÕLEGES IDÕFÜGGÉSÛ HÁLÓZATOK
Az egyenáramú, koncentrált paraméterû hálózatokra vonatkozó egyenletek általánosítása
idõben változó esetre nem magától értetõdõ. Az ok: idõbeli változás esetén
a hálózat kiterjedtsége olyan nagy lehet, hogy az elektromágneses hatás terjedési ideje
a hálózat egy részén összemérhetõ a lejátszódó folyamatok jellemzõ idejével. Más
szóval a késleltetés a hálózat egyes elemein fellépõ áramok és feszültségek között
nem elhanyagolható, a kölcsönhatások nem tekinthetõk egyidejûnek. (Késõbb látni
fogjuk, hogy a feszültség és az áram sem definiálható sztatikus, stacionárius módon.)
Ezt elõre bocsátva egyenleteink:
B
rot E =− ∂
, (5.55)
∂t
div J + ∂
∂ =
ρ
0, (5.56)
t
( )
J= σ E+ Eb. (5.57)
Az (I.) Maxwell-egyenlet helyett a belõle származtatható folytonossági egyenletet
vesszük figyelembe.
Az (5.55) mindkét oldalát integráljuk az áramkör által kifeszített felületre, ekkor:
B
rot E dA =− d A B dA
t t t
∂
=−
∂
∂
=−
∂
∂Φ
. (5.58)
∂
∫ ∫ ∫
A A A
A Stokes-tétel szerint ez
dΦ
∫� Edl=− (5.59)
dt
L
alakba írható fel, ahol L az áramkör mentén vett integrálási út. A fluxus teljes deriváltja
az indukció változásából adódik, nem kell a továbbiakban parciális deriválttal
számolni.
A körben szereplõ koncentrált elemek: feszültségforrás, ellenállás [ezek (5.57)bõl
a már látott módon származtathatók], kondenzátor. Mindezen elemek feszültsége
megjelenik a (5.59) egyenlet bal oldalán szereplõ integrálban. Végül tehát az egyenlet
Ub+ UR+ UC
=−
t
dΦ
d
alakba írható. Több hálózati elem esetén az egyenlet általánosságban:
dΦj
+ U jk
=
dt
k
ahol j a hurok sorszáma, k pedig a hurkon elhelyezkedõ ágak sorszáma.
(5.60)
∑ 0, (5.61)
A csomóponti egyenlet alakja megegyezik az (5.54) egyenáramú alakkal, ha a
csomóponthoz nem csatlakozik kondenzátor, mivel ilyenkor a csomópontot tartalmazó
térfogatban az össztöltés mindig zérus. A zárt felülettel körülvett térfogatban
töltés helyezkedik el koncentrált paraméterû hálózatokban abban az esetben, ha a