ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

5. FEJEZET
56
STACIONÁRIUS ÁRAM MÁGNESES TERE
A megmaradt kifejezést némileg átalakítva:
1
1
Wm= ∫ A rot H d V = ∫ AJ d V.
(5.37)
2
2
V
V
1
A kifejezés teljesen analóg a We = ∫ ρU dV
kifejezéssel, csak kevésbé szem-
2
léletes. Tartalma is hasonló: az egész térben integrálandó térmennyiségek helyett az
integrálást csak azokra a térfogatokra kell kiterjeszteni, ahol áram folyik. Ez azonban
csak matematikai mutatvány és nem érinti azt a tényt, hogy a mai felfogás szerint
energia az egész térben elosztott, ahol mágneses mezõ létezik.
KÖLCSÖNÖS INDUKCIÓ; ÖNINDUKCIÓ
A kapacitás-együtthatók (és a részkapacitások) felhasználásához hasonló módon a
mágneses tér energiája is kifejezhetõ ön- és kölcsönös indukcióegyütthatók segítségével.
Tételezzük fel, hogy n db önálló körvezetõnk van, amelyben áramok folynak.
A vezetõk nem feltétlenül vékony vezetékek. Kezdetben tételezzük fel, hogy az
elrendezés vákuumban helyezkedik el.
Állítjuk, hogy a (5.37) képlettel adott energia kifejezhetõ
W
1
n
L I I
∑
m = ik i k
2 i=
1
(5.38)
alakban, ahol I az i-edik vezetõ árama és L i k
i ik ( ≠ ) a kölcsönös indukció-együttható.
L az ún. önindukciós együttható.
ii
Felhasználva az energia (5.37) kifejezést és a vektorpotenciál (5.11) alakját:
μ0
JJ i k
Wm
= ∫ ∫ d Vk d Vi,
8π
r
(5.39)
Vi Vk
ik
ahol rik = ri−r k a két aktuális térfogatelem távolsága. Figyeljük meg a kifejezés
szimmetriáját: invariáns i és k cseréjére!
Miután az áramok különálló zárt vezetõkben folynak, az (5.39) integrál az egyes
vezetõ hurkok térfogatára vett integrálok összegére esik szét:
W
m
μ
JJ i k
= ∫ d Vk d Vi.
(5.40)
8π
r
n n
0
∑ ∑∫
i=
1 k=
1 Vi
Vk
ik
Az i-edik vezetékben folyó áramot I i -vel jelölve az (5.40) és az (5.38) összehasonlításából
kapjuk, hogy:
L
ik
μ0
JJ i k
= Vi Vk
4πII
∫ ∫ d d ,
r
(5.41)
i k
Vi Vk
ik
ahol az integrálást az i-edik és k-adik vezetõ térfogatára (önindukciós együtthatók
esetén ugyanarra a térfogatra) kell integrálni.