ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

5. FEJEZET
5.1. ábra
Lineáris vezetõ
térfogateleme
51
STACIONÁRIUS ÁRAM MÁGNESES TERE
Felmerül a kérdés, hogy az (5.6) mértéktranszformációnak milyen feltételeknek kell eleget
tennie, hogy A’ = A legyen, azaz a transzformáció ne változtassa meg a vektorpotenciált. Ezt a
helyzetet mértékinvarianciának nevezzük. (5.6)-ból A’-t (5.12)-be helyettesítve:
div A’= 0 = div A−
div grad ψ=−Δ ψ
(5.13)
azaz a mérték invariáns, ha
Δψ = 0 (5.14)
a ψ skalár kielégíti a Laplace-egyenletet. (Felhasználtuk, hogy A önmagában divergenciamentes.)
Ha a végtelenben nincs forrás, (5.14) megoldása csupán a ψ konstans függvény: ψ = konstans.
VONALSZERÛ VEZETÉKBEN FOLYÓ ÁRAM TERE
A mérnöki gyakorlatban az esetek döntõ többségében a mágneses teret keltõ áram
vékony vezetékben folyik. (A térben eloszló áramok által keltett tereknek leggyakrabban
az asztro- és geofizikában van szerepük.) Ezért indokolt a vékony
vezetékekben folyó és ezért igen jól lokalizálható áramok által keltett mágneses tér
számításának vizsgálata.
A
dl
dV=Adl
A vezetõ dl hosszúságú szakaszának a térfogata adl formába írható, ahol a a
keresztmetszet (5.1. ábra). Az áramsûrûség iránya a vezeték tengelye irányába mutat,
ezért dl-t vektorként kezeljük. (5.11)-be helyettesítve:
μ J μ
μ l
A = ∫ = ∫ l =
4πr4π4π∫ V
JA d
d � d I
r � , (5.15)
r
a
L
ahol felhasználtuk, hogy a divergenciamentes áram a vezeték mentén állandó, továbbá
divergenciamentesség felételezi, hogy a vezeték zárt.
L
A mágneses tér ezek után a vektorpotenciál rotációjából számítható:
H B 1 1 dl I l
= = rot A = rot ∫ =
μ μ 4π 4π∫rot
d
Q
Q
P P I � P
r � .
r
(5.16)
PQ
A rotációképzés annak a pontnak a koordinátái szerint történik, ahol a teret keressük,
az integrálás pedig az ívelem koordinátái szerint.
Felhasználva a
rot( uv)= grad u× v+ u rot v
(5.17)
azonosságot,
PQ