ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

5. FEJEZET
50
STACIONÁRIUS ÁRAM MÁGNESES TERE
vektorfüggvényt adunk, amelynek rotációja 0. Ilyen vektorfüggvényt könnyen tudunk
elõállítani: bármely kellõképpen deriválható skalárfüggvény gradiense rotációmentes.
Ha tehát A megfelelõ vektorpotenciál, akkor
A’ = A−grad
ψ (5.6)
is az. Az ilyen típusú transzformációt mértéktranszformációnak nevezzük.
Miért éppen mértéktranszformáció? Nos azért, mert az átalakításra az ad
lehetõséget, hogy (5.5) csupán A rotációját írja elõ. div A megválasztásában nagy
szabadságunk van. A vektorpotenciál divergenciájának megválasztását nevezik a
fizikában mértékválasztásnak. Innen a transzformáció neve is. A mértékválasztás,
ill. a mértéktranszformáció lehetõvé teszik, hogy a számításokat A legkényelmesebb
alakjával végezzük el. Nézzük, milyen „mérték” tûnik kényelmesnek (optimálisnak)
esetünkben?
Helyettesítsük (5.5)-öt az (5.4) egyenletbe:
rot rot A= μ J,
(5.7)
és felhasználva a rot rot A = grad div A−Δ A azonosságot, az egyenlet alakja:
grad div A− ΔA= μ J.
(5.8)
Most éljünk a mértékválasztás lehetõségével és legyen div A = 0 (Ezt a választást
Coulomb-mértéknek nevezzük.)
Ezzel az alábbi egyenlet:
ΔA=−μ J
(5.9)
vektorális Poisson-egyenlet. Az egyenlet derékszögû (Descartes-) koordinátákban
mindhárom komponensre vonatkozó skalár egyenletet jelent, azaz
ΔAx =−μ Jx,
ΔAy =−μ Jy,
(5.10)
ΔAz =−μ Jz.
A megoldást a skaláris egyenletre elektrosztatikából ismerjük (4.11). Ezt az (5.10)
komponens-egyenletekre alkalmazva és egyetlen vektorba összefogva (5.9) megoldása
az egész térben:
μ J
=
4π ∫ r V
A
d . (5.11)
V
Az így meghatározott vektorpotenciálva, a div J = 0 következtében:
div A = 0. (5.12)