ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

4. FEJEZET
43
ELEKTROSZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS ÁRAMLÁSI TÉR
Az elemi hálózatelméletbõl ismert, hogy a töltött kondenzátorban tárolt energia:
W = CU
1 2
. (4.34)
2
Vajon mi a kapcsolat az elektromágneses térben tárolt energia és a fenti
energiakifejezés között?
Az elektrosztatikai tér energiasûrûsége:
We = 1 2
εE , (4.35)
2
így az egész térben tárolt energia:
1 2 1
We= ∫ εE dV = ∫ ED dV.
(4.36)
2
2
V
V
Helyettesítsük E helyébe –grad ϕ-t:
1
1
1
1
We= ∫ ED dV =− ∫ ( grad ϕ) D dV = ∫ ϕdiv D dV− ∫ div( ϕ D)
dV.
(4.37)
2
2
2
2
V
V
V
V
ahol felhasználtuk a
div ( ϕD) = ϕ div D+ D grad ϕ
(4.38)
azonosságot, és a Gauss-tétel felhasználásával:
1
1
We = ∫ ϕ div D dV− ∫ d
2
2 � ϕD
A
(4.39)
V A
A felületi integrál a végtelenben eltûnik, hiszen ϕ a végtelenben 1/r-rel, D pedig
1/r2-tel arányos. Így az integrál határértéke lim
r→∞ 2
rr
11 2
4π r = 0.
A felületi integrált a véges távolságban azokra a felületekre is ki kell terjesztenünk,
amelyek ϕ vagy D szakadásait körülfogják és így kizárják a vizsgált térfogatból.
Esetünkben D-nek az elektróda felületén lévõ töltésen van szakadása. A zárt
elektróda felületén D n = σ, és így (4.39) az alábbi alakba írható:
1
1
We = ∫ ϕρ d V + ∫ dA
2
2 � ϕσ ,
V
A
ahol a második integrál a felületi normális választása miatt vált elõjelet.
A (4.30) kifejezés a térben elosztott energia helyett az energiát a lokalizált töltések
potenciális energiájaként fejezi ki. Ez tipikusan a távolhatási szemléletmód. Ha
általánosan az energiát a (geometriai) térben elosztva képzeljük el. Mindenütt tárol
energiát, ahol térerõsség van, nemcsak ott, ahol töltések vannak. Abban a speciális
esetben, amikor a töltés nyitott felületen helyezkedik el, az eltolási vektor normális
komponensének ugrása a folytonossági feltételek következtében éppen σ.