ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
4. FEJEZET<br />
41<br />
<strong>ELEKTRO</strong>SZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS ÁRAMLÁSI TÉR<br />
Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy a Poisson- és így a Laplace-egyenlet megoldásában<br />
is a határolófelületen nem adhatjuk meg egyszerre ϕ és ∂ϕ<br />
értékét. Az egyenlet<br />
∂n<br />
megoldása ugyanis bármelyik peremfeltétel megadása esetén egyértelmû. A két<br />
megoldás azonban általában nem feleltethetõ meg egymásnak.<br />
Megjegyzések:<br />
1. Az elõzõ meggondolások az ún. belsõ peremérték-feladattal foglalkoztunk. Itt a határolófelületen<br />
véges térfogatot fognak körül. Más szóval a vizsgált térfogat koordinátái nem<br />
tartanak végtelenhez.<br />
Más a helyzet a végtelent is tartalmazó térben számított potenciál, az ún. külsõ peremértékfeladat<br />
esetén. Ekkor a keresett függvény viselkedésére a „végtelenben” külön-feltételeket<br />
kell elõírnunk. A gyakorlatban mindig véges töltésmennyiséget tételezünk fel az elektródokon.<br />
Ugyanakkor a végtelenben a potenciál legalább 1/r módon kell, hogy a nullához tartson.<br />
2. A homogén térnél általánosabb az az itt nem vizsgált elrendezés, amikor a közeg térrészenként<br />
homogén, azaz a permittivitás térrészenként állandó. Ebben az esetben is bizonyítható, hogy<br />
a megoldás Dirichlet- vagy Neumann-peremfeltételek esetében egyértelmû. A bizonyítás<br />
azonban olyan matematikai apparátust és meggondolásokat igényel, amelyek messze<br />
túlmutatnak jelenlegi célkitûzéseinken.<br />
Tekintsünk egy magában álló elektródát! Ha az elektródát feszültség alá helyezzük,<br />
a felszínén töltés jelenik meg. (A folyamatot úgy kell elképzelnünk, hogy<br />
feszültségforrást kapcsolunk az elektród és a 0 potenciálú pont közé. Utóbbi a teljes<br />
térben elvben a végtelen, a gyakorlatban egy távoli – és lehetõleg nagy kiterjedésû –<br />
elektród.) A Maxwell-egyenletek lineárisak, ha a közeg is lineáris, azaz a permittivitása<br />
nem függ a térerõsségtõl. (A helytõl függhet, a közeg nem kell, hogy homogén legyen.)<br />
A linearitás következtében az elektródán megjelenõ töltés és az elektród potenciálja<br />
arányosak egymással, kétszer akkora töltés kétszer akkora potenciált hoz létre.<br />
A töltés és az elektródapotenciál hányadosát kapacitásnak nevezzük:<br />
C Q<br />
= , (4.31)<br />
U<br />
ahol U az elektród végtelenhez viszonyított potenciálja.<br />
A kapacitás csak a geometria és a közegjellemzõk függvénye, és mint ilyen, az<br />
1 C<br />
elrendezés sajátos jellemzõje. Egysége a farad (F), 1 F = .<br />
1 V<br />
Példaként tekinthetünk egy homogén közegben magában álló r sugarú gömböt.<br />
0<br />
Keressünk olyan helyettesítõ töltéselrendezést, amelynek a terében a gömb ekvipotenciális<br />
felület. Ez a töltéselrendezés a ponttöltés. A ponttöltés potenciálja a Coulomb-potenciál:<br />
ϕ =<br />
πε<br />
Q 1<br />
,<br />
4 0 r<br />
amelynek zérus értéke a végtelenben van.<br />
Ha az r 0 sugarú gömb U potenciálon van, akkor<br />
Q<br />
U =<br />
4πε<br />
1<br />
,<br />
r<br />
0 0