ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

4. FEJEZET
41
ELEKTROSZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS ÁRAMLÁSI TÉR
Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy a Poisson- és így a Laplace-egyenlet megoldásában
is a határolófelületen nem adhatjuk meg egyszerre ϕ és ∂ϕ
értékét. Az egyenlet
∂n
megoldása ugyanis bármelyik peremfeltétel megadása esetén egyértelmû. A két
megoldás azonban általában nem feleltethetõ meg egymásnak.
Megjegyzések:
1. Az elõzõ meggondolások az ún. belsõ peremérték-feladattal foglalkoztunk. Itt a határolófelületen
véges térfogatot fognak körül. Más szóval a vizsgált térfogat koordinátái nem
tartanak végtelenhez.
Más a helyzet a végtelent is tartalmazó térben számított potenciál, az ún. külsõ peremértékfeladat
esetén. Ekkor a keresett függvény viselkedésére a „végtelenben” külön-feltételeket
kell elõírnunk. A gyakorlatban mindig véges töltésmennyiséget tételezünk fel az elektródokon.
Ugyanakkor a végtelenben a potenciál legalább 1/r módon kell, hogy a nullához tartson.
2. A homogén térnél általánosabb az az itt nem vizsgált elrendezés, amikor a közeg térrészenként
homogén, azaz a permittivitás térrészenként állandó. Ebben az esetben is bizonyítható, hogy
a megoldás Dirichlet- vagy Neumann-peremfeltételek esetében egyértelmû. A bizonyítás
azonban olyan matematikai apparátust és meggondolásokat igényel, amelyek messze
túlmutatnak jelenlegi célkitûzéseinken.
Tekintsünk egy magában álló elektródát! Ha az elektródát feszültség alá helyezzük,
a felszínén töltés jelenik meg. (A folyamatot úgy kell elképzelnünk, hogy
feszültségforrást kapcsolunk az elektród és a 0 potenciálú pont közé. Utóbbi a teljes
térben elvben a végtelen, a gyakorlatban egy távoli – és lehetõleg nagy kiterjedésû –
elektród.) A Maxwell-egyenletek lineárisak, ha a közeg is lineáris, azaz a permittivitása
nem függ a térerõsségtõl. (A helytõl függhet, a közeg nem kell, hogy homogén legyen.)
A linearitás következtében az elektródán megjelenõ töltés és az elektród potenciálja
arányosak egymással, kétszer akkora töltés kétszer akkora potenciált hoz létre.
A töltés és az elektródapotenciál hányadosát kapacitásnak nevezzük:
C Q
= , (4.31)
U
ahol U az elektród végtelenhez viszonyított potenciálja.
A kapacitás csak a geometria és a közegjellemzõk függvénye, és mint ilyen, az
1 C
elrendezés sajátos jellemzõje. Egysége a farad (F), 1 F = .
1 V
Példaként tekinthetünk egy homogén közegben magában álló r sugarú gömböt.
0
Keressünk olyan helyettesítõ töltéselrendezést, amelynek a terében a gömb ekvipotenciális
felület. Ez a töltéselrendezés a ponttöltés. A ponttöltés potenciálja a Coulomb-potenciál:
ϕ =
πε
Q 1
,
4 0 r
amelynek zérus értéke a végtelenben van.
Ha az r 0 sugarú gömb U potenciálon van, akkor
Q
U =
4πε
1
,
r
0 0