ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4. FEJEZET<br />
40<br />
<strong>ELEKTRO</strong>SZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS ÁRAMLÁSI TÉR<br />
ψ -t és ϕ -t cseréljük fel (4.24)-ben.<br />
ϕΔψ grad ψ grad ϕ dV � ϕ grad ψdA.<br />
(4.25)<br />
∫ ( )+( ) = ∫<br />
V A<br />
A (4.25)-bõl (4.24)-et kivonva kapjuk a Green-tételt:<br />
ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ<br />
⎛ ∂ ∂ ⎞<br />
Δ − Δ dV ⎜ −<br />
⎝⎜<br />
∂n ∂n⎠⎟<br />
dA<br />
. (4.26)<br />
�<br />
∫ ( ) = ∫<br />
V A<br />
Abban a speciális esetben, ha ϕ= ψ , a tétel alakja (4.24)-bõl:<br />
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ<br />
⎡<br />
2<br />
Δ +( ) ⎤ ∂<br />
grad dV =<br />
⎣⎢<br />
⎦⎥<br />
∂n<br />
dA.<br />
(4.27)<br />
�<br />
∫ ∫<br />
V A<br />
Tételezzük fel, hogy a vizsgált térrész peremen:<br />
– vagy ϕ adott (Dirichlet-peremfeltétel),<br />
– vagy ∂ϕ<br />
adott (Neumann-peremfeltétel).<br />
∂n<br />
Mindkét feltételrendszer fizikailag kézenfekvõ.<br />
A bizonyítás során feltételezzük, hogy a feltételeknek eleget tevõ két különbözõ<br />
megoldása létezik az azonos töltéssûrûséghez tartozó Δϕ =− ρ/ ε Poissonegyenletnek.<br />
(Ugye ismerõs megfontolás?) A két megoldás különbsége<br />
Φ = ϕ1−ϕ (4.28)<br />
2<br />
a peremfeltételek nullák, és mivel a két megoldásra vonatkozó Poisson-egyenletben<br />
a töltéseloszlás azonos, a különbségi megoldásra ΔΦ = 0 . A (4.27)-be Φ -t helyettesítve:<br />
ΦΔΦ Φ Φ Φ ∂<br />
∫ +( grad ) d = ∫ ∂<br />
2<br />
V � , (4.29)<br />
n<br />
V<br />
ahonnan az elõzõkben elmondottak alapján<br />
∫<br />
V<br />
2<br />
( grad Φ)<br />
dV<br />
= 0<br />
A<br />
(4.30)<br />
ami csak grad Φ = 0 esetén teljesül, tehát a vizsgált térfogatban Φ állandó. (Ismét a<br />
négyzetes kifejezés integrálja a bizonyítás kulcsa!)<br />
Dirichlet-peremfeltétel esetén Φ a peremen zérus, tehát zérus kell, hogy legyen a<br />
térfogatban is. Így ϕ1= ϕ2,<br />
a különbözõknek feltételezett megoldások azonosak.<br />
Neumann-peremfeltétel esetén a megoldások egy additív állandó erejéig azonosak.<br />
A potenciálok additív állandója ugyanarra az elektromos téreloszlásra vezet.<br />
A (4.29) egyenlet jobb oldalát tekintve nyilvánvaló, hogy az egyértelmûség vegyes<br />
peremfeltétel esetén is fennáll. Megadhatjuk tehát ϕ-t a perem egy részén és ∂ϕ<br />
-t a<br />
∂n<br />
perem másik részén.