ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

4. FEJEZET
12 A tételt Green angol matematikus
és fizikus 1824-ben
fogalmazta meg.
39
ELEKTROSZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS ÁRAMLÁSI TÉR
A GYAKORLATI ELEKTROSZTATIKA KÉRDÉSEI
Az eddigiekben elõre megadott térbeli (felületi stb.) töltéseloszlás terét kerestük.
Ennek a feladatnak kicsi a gyakorlati jelentõsége. A gyakorlatban ugyanis a legritkább
esetben ismerjük a töltések eloszlását.
Melyek tehát a gyakorlati elektrosztatika alapfeladatai?
1. Ismerjük az elektródok geometriáját. Mindegyik elektróda potenciálja adott (és
természetesen állandó). Keressük a tér minden egyes pontjában a potenciált (és
térerõsséget), miközben mindenütt érvényes a Δϕ = 0 egyenlet, azaz az
elektródok közötti térben nincsen töltés!
2. Ismerjük az elektródok geometriáját, valamint minden egyes elektróda össztöltését.
Keresendõ a tér minden pontjában a potenciál (és térerõsség), miközben ismét a
Δϕ = 0 egyenlet mindenütt érvényes, az elektródokon kívüli térben nincs töltés.
AZ ELEKTROSZTATIKA EGYENLETEINEK
EGYÉRTELMÛ MEGOLDÁSA
A 3. fejezetben igazoltuk, hogy a Maxwell-egyenletek megoldása igen általános
feltételek mellett egyértelmû. Már ott megjegyeztük azonban, hogy az idõben nem
változó terek esetén a levezetés nem alkalmazható.
A továbbiakban bemutatjuk, hogy zárt térfogatban a megoldás egyértelmû, ha a
térfogat határolófelületén a potenciál vagy a térerõsség normális komponense (ez a
felületi töltéssûrûségnek felel meg) adott. A bizonyítás homogén közeget feltételez.
A bizonyítás elvégzéséhez szükségünk van az ún. Green-tételre. 12 Ez a tétel a
matematika Gauss-tételének közvetlen folyománya.
Alkalmazzuk a Gauss-tételt az
u = ψ grad ϕ
(4.20)
vektorfüggvényre, ahol ψ és ϕ folytonosan differenciálható skalárfüggvények. Az
u-t a Gauss-tételbe helyettesítve kapjuk, hogy
∫ ( ) = ∫
div ψ grad ϕ d V � ψ grad ϕ dA.
(4.21)
v A
A vektoranalízisbõl ismert, hogy
azaz
div ( ϕv)= ϕ div v+ v grad ϕ,
(4.22)
div ( ψ grad ϕ)= ψ div grad ϕ+ grad ψ grad ϕ− ψΔϕ+ grad ϕ grad ψ, (4.23)
amit (4.21)-be helyettesítve kapjuk, hogy
∫ ( ψΔ ϕ+ grad ϕ grad ψ) dV = ∫�
ψ grad ϕdA.
(4.24)
V
A