ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
4. FEJEZET<br />
38<br />
<strong>ELEKTRO</strong>SZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS ÁRAMLÁSI TÉR<br />
Megjegyzések:<br />
1. A potenciál (4.9) alakú kifejezésébe természetesen a felületi, vonalszerû és ponttöltések is<br />
beleértendõk. Ezek közül a felületi töltésnek kitüntetett szerepe van (fémelektródák felületén<br />
és – késõbb – különbözõ közegek határfelületén), ezért a potenciálok kifejezésben gyakran<br />
külön is szerepeltetjük:<br />
1<br />
ϕ()=<br />
r<br />
4πε<br />
ahol R = r− r ′ .<br />
( )<br />
( )<br />
∫ d ∫ d A′<br />
, (4.12)<br />
ρ r′ 1 σ r′<br />
V ′ +<br />
R 4πε<br />
R<br />
0 0<br />
A kifejezésben csak óvatossággal lehet kezelni a vonalszerû és a pontszerû töltés potenciálját,<br />
mivel szinguláris tulajdonságúak, a végtelenhez tartanak, ha megközelítjük a töltést, azaz<br />
R → 0 .<br />
2. Kétdimenziós feladathoz jutunk, ha az elrendezés az egyik koordináta mentén „végtelen”.<br />
Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy az elrendezés hossza – változatlan keresztmetszettel –<br />
olyan nagy, hogy a végek hatásától a vizsgált térközben eltekinthetünk. Ekkor (4.12)-ben a<br />
végtelen hosszú vonaltöltés terének ismeretében. Az 1/R helyébe ln(1/R)-t írhatunk:<br />
1<br />
1 1<br />
1<br />
ϕ()=<br />
r ρ(<br />
r′ )⋅ ′ + σ(<br />
r′<br />
) ′<br />
4πε<br />
∫ ln<br />
2πε<br />
∫ ln<br />
R A<br />
R dl<br />
d . (4.13)<br />
0 0<br />
3. A fenti megfontolásokat szabad térben kialakuló mezõre tettük. Amennyiben a töltések<br />
polarizálható szigetelõk környezetében helyezkednek el, a tér számítási módszerei különbözhetnek<br />
attól függõen, hogy a dielektrikum homogén (az egész tér azonos közeggel van<br />
kitöltve), vagy inhomogén, térrészenként változó permittivitással.<br />
A) Homogén dielektrikum esetén választhatunk: vagy a valódi és polarizációs töltés<br />
összegeként kiadódó szabad töltéssel számolunk:<br />
ρszabad = ρ−div<br />
P, (4.14)<br />
amivel<br />
Δϕ<br />
ρ<br />
ε<br />
=− szabad<br />
0<br />
, (4.15)<br />
vagy a valódi töltésekre írjuk fel a Poisson-egyenletet:<br />
Δϕ<br />
ρ<br />
ε<br />
=− . (4.16)<br />
B) Térrészenként változó permittivitás esetén a valódi töltéssel célszerû számolni. A dielektrikumok<br />
határfelületén a térvektorok folytonossági feltételei érvényesek. A Poisson-egyenlet<br />
megoldásakor az E tangenciális komponensének folytonossága<br />
ϕ1= ϕ2,<br />
(4.17)<br />
az eltolódási vektor normális komponensének folytonossága pedig<br />
ε ϕ<br />
ε ϕ ∂ 1 ∂ 2<br />
1 = (4.18)<br />
2<br />
∂ n ∂n<br />
alakba írható, ahol a ∂<br />
jelölés a gradiens felületre merõleges komponensét jelöli:<br />
∂n<br />
∂ϕ<br />
= grad ϕ ⋅n<br />
∂ n<br />
(4.19)<br />
4. Az elektrosztatika alapegyenlete helyfüggõ permittivitás esetén is felírható. A folytonosan<br />
változó függvénnyel leírható permittivitás azonban fizikailag nem reális. A térrészenként<br />
állandó permittivitást az elõzõekben vizsgáltuk.