ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

4. FEJEZET
38
ELEKTROSZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS ÁRAMLÁSI TÉR
Megjegyzések:
1. A potenciál (4.9) alakú kifejezésébe természetesen a felületi, vonalszerû és ponttöltések is
beleértendõk. Ezek közül a felületi töltésnek kitüntetett szerepe van (fémelektródák felületén
és – késõbb – különbözõ közegek határfelületén), ezért a potenciálok kifejezésben gyakran
külön is szerepeltetjük:
1
ϕ()=
r
4πε
ahol R = r− r ′ .
( )
( )
∫ d ∫ d A′
, (4.12)
ρ r′ 1 σ r′
V ′ +
R 4πε
R
0 0
A kifejezésben csak óvatossággal lehet kezelni a vonalszerû és a pontszerû töltés potenciálját,
mivel szinguláris tulajdonságúak, a végtelenhez tartanak, ha megközelítjük a töltést, azaz
R → 0 .
2. Kétdimenziós feladathoz jutunk, ha az elrendezés az egyik koordináta mentén „végtelen”.
Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy az elrendezés hossza – változatlan keresztmetszettel –
olyan nagy, hogy a végek hatásától a vizsgált térközben eltekinthetünk. Ekkor (4.12)-ben a
végtelen hosszú vonaltöltés terének ismeretében. Az 1/R helyébe ln(1/R)-t írhatunk:
1
1 1
1
ϕ()=
r ρ(
r′ )⋅ ′ + σ(
r′
) ′
4πε
∫ ln
2πε
∫ ln
R A
R dl
d . (4.13)
0 0
3. A fenti megfontolásokat szabad térben kialakuló mezõre tettük. Amennyiben a töltések
polarizálható szigetelõk környezetében helyezkednek el, a tér számítási módszerei különbözhetnek
attól függõen, hogy a dielektrikum homogén (az egész tér azonos közeggel van
kitöltve), vagy inhomogén, térrészenként változó permittivitással.
A) Homogén dielektrikum esetén választhatunk: vagy a valódi és polarizációs töltés
összegeként kiadódó szabad töltéssel számolunk:
ρszabad = ρ−div
P, (4.14)
amivel
Δϕ
ρ
ε
=− szabad
0
, (4.15)
vagy a valódi töltésekre írjuk fel a Poisson-egyenletet:
Δϕ
ρ
ε
=− . (4.16)
B) Térrészenként változó permittivitás esetén a valódi töltéssel célszerû számolni. A dielektrikumok
határfelületén a térvektorok folytonossági feltételei érvényesek. A Poisson-egyenlet
megoldásakor az E tangenciális komponensének folytonossága
ϕ1= ϕ2,
(4.17)
az eltolódási vektor normális komponensének folytonossága pedig
ε ϕ
ε ϕ ∂ 1 ∂ 2
1 = (4.18)
2
∂ n ∂n
alakba írható, ahol a ∂
jelölés a gradiens felületre merõleges komponensét jelöli:
∂n
∂ϕ
= grad ϕ ⋅n
∂ n
(4.19)
4. Az elektrosztatika alapegyenlete helyfüggõ permittivitás esetén is felírható. A folytonosan
változó függvénnyel leírható permittivitás azonban fizikailag nem reális. A térrészenként
állandó permittivitást az elõzõekben vizsgáltuk.