ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4. FEJEZET<br />
37<br />
<strong>ELEKTRO</strong>SZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS ÁRAMLÁSI TÉR<br />
A (4.7) megoldását az egész térre kiterjesztve a következõ alakban írhatjuk:<br />
1 ρ(<br />
r′<br />
) V ′<br />
ϕ =<br />
4πε ∫ . (4.9)<br />
− ′<br />
0 r r<br />
V<br />
Ez nem más mint a Coulomb-potenciál kiterjesztése folytonos töltéseloszlásra.<br />
Egy dV térfogatban elhelyezkedõ töltést ponttöltésnek tekinthetünk, így hozzájárulása<br />
a potenciálhoz ϕ( ∞)=<br />
0 választással:<br />
1 ρ(<br />
r′<br />
) dV<br />
′<br />
dϕ<br />
=<br />
. (4.10)<br />
4πε − ′<br />
0 r r<br />
Ezen potenciálok szuperpozíciója eredményezi a (4.9) kifejezést.<br />
A fenti megoldás nem matematikai, hanem fizikai alapon született. A szigorú matematikai<br />
levezetés bebizonyítja, hogy a Poisson-egyenlet megoldása eleget tesz a<br />
1 Δϕ<br />
1<br />
ϕ =− +<br />
4π<br />
∫ V<br />
r 4π<br />
d<br />
∫�<br />
A<br />
ϕ<br />
π ϕ<br />
∂ 1 ∂ 1<br />
−<br />
∂n<br />
4 ∫ ∂<br />
A<br />
r A<br />
1<br />
d<br />
r<br />
n d �<br />
A<br />
(4.11)<br />
egyenletnek, ahol r a dV térfogatelem távolsága a vizsgált ponttól. A fenti kifejezés a zárt A<br />
felülettel határolt V térfogatban érvényes. A jobb oldal elsõ tagja a (4.7) egyenletre tekintettel<br />
a térfogatban elhelyezkedõ töltés hatását írja le. A szigorú matematikai levezetés ennek a tagnak<br />
a megjelenésével a Maxwell-egyenletekbõl származtatva eljut a Coulomb-potenciálig. Így a<br />
Coulomb-törvény a Maxwell-egyenletek következményeként adódik.<br />
A jobb oldal második és harmadik tagja a vizsgált térfogaton kívül elhelyezkedõ töltések<br />
hatását jeleníti meg a vizsgált térfogatban. Látjuk: ehhez meg kell adni (és elegendõ is megadni)<br />
a határoló felületen a potenciál és normális irányú gradiense értékét. A két kifejezés azonban<br />
nem független, ezért egymástól függetlenül nem adható meg. A késõbbiekben bebizonyítjuk,<br />
hogy a határolófelületen elegendõ vagy a potenciál, vagy a deriváltja normális komponense<br />
megadása a feladat egyértelmû megadásához.<br />
Ezért a fenti kifejezés inkább azonosság, mintsem számítási utasítás. Fizikai tartalma azonban<br />
rendkívül érdekes.<br />
A jobb oldal második tagja felületi töltésréteg potenciálja, míg a harmadik tag kettõsréteg.<br />
Így a fizikai tartalom nyilvánvaló: a vizsgálat térfogaton kívül elhelyezkedõ töltések hatása<br />
úgy is figyelembe vehetõ, mintha a felületen felületi töltés és kettõs réteg helyezkedne el.<br />
Ezeken a felületeken a térerõsség, illetve a potenciál ugrik. Ez az ugrás éppen akkora, mint az<br />
elõírt határfeltétel, tehát ha töltés és kettõsréteg fizikailag jelen volna a felületen, ez azt jelentené,<br />
hogy a felületen kívül a potenciál és a térerõsség is zérus.<br />
A zárt felületen belül elhelyezkedõ töltés is helyettesíthetõ a felületre helyezett töltéssel és<br />
kettõsréteggel, miközben belül zérus teret és potenciált feltételezünk. Speciális esetben, ha a<br />
felület ekvipotenciális, elegendõ a felületi töltésréteg helyettesítõ töltésként. Ezt a tényt késõbb,<br />
az integrálegyenleteket alkalmazó megoldási módszernél felhasználjuk.<br />
Az egész térben történõ potenciáleloszlás meghatározása esetén (4.11) jobb oldalának második<br />
és harmadik tagja eltûnik. Ennek feltétele, hogy töltés csak a véges térrészben legyen. Ekkor a<br />
potenciál 1<br />
R , a potenciál deriváltja 1 2 arányban tûnik el a végtelenben. Mindkét integrandusz<br />
R<br />
tehát 1 3<br />
R nagyságrendû, miközben az integrálási felület R 2 -tel arányos. R →∞esetén tehát<br />
1 2 1<br />
az 3<br />
R R ~ rendben tûnik el az integrál. Ezért az egész térben a megoldás (4.9) alakjában<br />
R<br />
írható le.