ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

4. FEJEZET
37
ELEKTROSZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS ÁRAMLÁSI TÉR
A (4.7) megoldását az egész térre kiterjesztve a következõ alakban írhatjuk:
1 ρ(
r′
) V ′
ϕ =
4πε ∫ . (4.9)
− ′
0 r r
V
Ez nem más mint a Coulomb-potenciál kiterjesztése folytonos töltéseloszlásra.
Egy dV térfogatban elhelyezkedõ töltést ponttöltésnek tekinthetünk, így hozzájárulása
a potenciálhoz ϕ( ∞)=
0 választással:
1 ρ(
r′
) dV
′
dϕ
=
. (4.10)
4πε − ′
0 r r
Ezen potenciálok szuperpozíciója eredményezi a (4.9) kifejezést.
A fenti megoldás nem matematikai, hanem fizikai alapon született. A szigorú matematikai
levezetés bebizonyítja, hogy a Poisson-egyenlet megoldása eleget tesz a
1 Δϕ
1
ϕ =− +
4π
∫ V
r 4π
d
∫�
A
ϕ
π ϕ
∂ 1 ∂ 1
−
∂n
4 ∫ ∂
A
r A
1
d
r
n d �
A
(4.11)
egyenletnek, ahol r a dV térfogatelem távolsága a vizsgált ponttól. A fenti kifejezés a zárt A
felülettel határolt V térfogatban érvényes. A jobb oldal elsõ tagja a (4.7) egyenletre tekintettel
a térfogatban elhelyezkedõ töltés hatását írja le. A szigorú matematikai levezetés ennek a tagnak
a megjelenésével a Maxwell-egyenletekbõl származtatva eljut a Coulomb-potenciálig. Így a
Coulomb-törvény a Maxwell-egyenletek következményeként adódik.
A jobb oldal második és harmadik tagja a vizsgált térfogaton kívül elhelyezkedõ töltések
hatását jeleníti meg a vizsgált térfogatban. Látjuk: ehhez meg kell adni (és elegendõ is megadni)
a határoló felületen a potenciál és normális irányú gradiense értékét. A két kifejezés azonban
nem független, ezért egymástól függetlenül nem adható meg. A késõbbiekben bebizonyítjuk,
hogy a határolófelületen elegendõ vagy a potenciál, vagy a deriváltja normális komponense
megadása a feladat egyértelmû megadásához.
Ezért a fenti kifejezés inkább azonosság, mintsem számítási utasítás. Fizikai tartalma azonban
rendkívül érdekes.
A jobb oldal második tagja felületi töltésréteg potenciálja, míg a harmadik tag kettõsréteg.
Így a fizikai tartalom nyilvánvaló: a vizsgálat térfogaton kívül elhelyezkedõ töltések hatása
úgy is figyelembe vehetõ, mintha a felületen felületi töltés és kettõs réteg helyezkedne el.
Ezeken a felületeken a térerõsség, illetve a potenciál ugrik. Ez az ugrás éppen akkora, mint az
elõírt határfeltétel, tehát ha töltés és kettõsréteg fizikailag jelen volna a felületen, ez azt jelentené,
hogy a felületen kívül a potenciál és a térerõsség is zérus.
A zárt felületen belül elhelyezkedõ töltés is helyettesíthetõ a felületre helyezett töltéssel és
kettõsréteggel, miközben belül zérus teret és potenciált feltételezünk. Speciális esetben, ha a
felület ekvipotenciális, elegendõ a felületi töltésréteg helyettesítõ töltésként. Ezt a tényt késõbb,
az integrálegyenleteket alkalmazó megoldási módszernél felhasználjuk.
Az egész térben történõ potenciáleloszlás meghatározása esetén (4.11) jobb oldalának második
és harmadik tagja eltûnik. Ennek feltétele, hogy töltés csak a véges térrészben legyen. Ekkor a
potenciál 1
R , a potenciál deriváltja 1 2 arányban tûnik el a végtelenben. Mindkét integrandusz
R
tehát 1 3
R nagyságrendû, miközben az integrálási felület R 2 -tel arányos. R →∞esetén tehát
1 2 1
az 3
R R ~ rendben tûnik el az integrál. Ezért az egész térben a megoldás (4.9) alakjában
R
írható le.