ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4. FEJEZET<br />
11 Laplace az egyenletet az<br />
„üres” térben kialakuló gravitációs<br />
potenciálra írta fel 1799ben.<br />
Ezt általánosította Poisson<br />
az elektrosztatikus jelenségekre<br />
1811-ben megjelent cikkében.<br />
36<br />
<strong>ELEKTRO</strong>SZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS<br />
ÁRAMLÁSI TÉR<br />
ADOTT TÖLTÉSELRENDEZÉS TERE<br />
Az elektrosztatika alapegyenletei vákuumban:<br />
rot E = 0, div D = σ , D = ε 0 E . (4.1)<br />
A 1. fejezetben láttuk, hogy a (4.1a) egyenlet következtében az elektromos<br />
térerõsségek a skalárpotenciál gradiensével fejezhetjük ki, azaz<br />
E =−gradϕ, (4.2)<br />
és (4.1b)-bõl<br />
div E = ρ<br />
ε0 felhasználásával adódik:<br />
(4.3)<br />
ρ<br />
div grad ϕ = − . (4.4)<br />
ε0<br />
A div grad kettõs derivált olyan gyakran fordul elõ a vektoranalízisben, hogy<br />
külön szimbólumot és elnevezést kapott. A<br />
div grad = Δ (4.5)<br />
a Laplace-operátor. Descartes-koordinátákban:<br />
Δ = ∂<br />
2 2 2<br />
∂ ∂<br />
+ + . (4.6)<br />
2 2 2<br />
∂ x ∂ y ∂z<br />
(4.4)–(4.6) felhasználásával az ismert töltéselrendezés potenciáljának egyenlete a<br />
Poisson-egyenlet:<br />
ρ<br />
Δϕ =− . (4.7)<br />
ε0<br />
A tér azon helyén, ahol nincs töltés, az egyenlet átmegy a homogén Laplaceegyenletbe11<br />
:<br />
Δϕ = 0. (4.8)