ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

4. FEJEZET
11 Laplace az egyenletet az
„üres” térben kialakuló gravitációs
potenciálra írta fel 1799ben.
Ezt általánosította Poisson
az elektrosztatikus jelenségekre
1811-ben megjelent cikkében.
36
ELEKTROSZTATIKA ÉS STACIONÁRIUS
ÁRAMLÁSI TÉR
ADOTT TÖLTÉSELRENDEZÉS TERE
Az elektrosztatika alapegyenletei vákuumban:
rot E = 0, div D = σ , D = ε 0 E . (4.1)
A 1. fejezetben láttuk, hogy a (4.1a) egyenlet következtében az elektromos
térerõsségek a skalárpotenciál gradiensével fejezhetjük ki, azaz
E =−gradϕ, (4.2)
és (4.1b)-bõl
div E = ρ
ε0 felhasználásával adódik:
(4.3)
ρ
div grad ϕ = − . (4.4)
ε0
A div grad kettõs derivált olyan gyakran fordul elõ a vektoranalízisben, hogy
külön szimbólumot és elnevezést kapott. A
div grad = Δ (4.5)
a Laplace-operátor. Descartes-koordinátákban:
Δ = ∂
2 2 2
∂ ∂
+ + . (4.6)
2 2 2
∂ x ∂ y ∂z
(4.4)–(4.6) felhasználásával az ismert töltéselrendezés potenciáljának egyenlete a
Poisson-egyenlet:
ρ
Δϕ =− . (4.7)
ε0
A tér azon helyén, ahol nincs töltés, az egyenlet átmegy a homogén Laplaceegyenletbe11
:
Δϕ = 0. (4.8)