ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

3. FEJEZET
30
A MAXWELL-EGYENLETEK
végez munkát a közegen, tehát a tér energiasûrûsége csökken. Ezt is figyelembe
véve az alábbi alakú egyenletet keressük:
− ∂w
= div S+ EJ. (3.19)
∂ t
Azt felesleges hangsúlyozni, hogy az egyenletnek a Maxwell-egyenletekkel teljes
összhangban kell állnia. Ez biztosan fennáll, ha a (3.19) egyenletet azokból
származtatjuk.
Ezt Poynting 1884-ben végezte el.
EJ-re szükségünk van, ezért (I)-et megszorozzuk E-vel. Már csak a szimmetria
miatt is szorozzuk meg (II)-t H-val. A jobb oldalon azonos elõjeleket kapunk, ha
ezek után a második egyenletbõl kivonjuk az elsõt:
H E E H H B E D rot − rot =− EJ
∂ ∂
−
∂ ∂ − . (3.20)
t t
Használjuk fel a div (E×H) = H rot E – E rot H azonosságot. Némi rendezés után
kapjuk:
− ∂ ⎛ ∂ ⎞
⎜ +
⎝⎜
∂ ∂ ⎠⎟
= × +
E D H B
div ( E H) EJ.
(3.21)
t t
Ezt az összefüggést nevezzük Poynting-tételnek.
(3.21) akkor felel meg egyértelmûen (3.19)-nek, ha
dw = EdD + H dB (3.22)
teljes differenciál. Lineáris összefüggéseket feltételezve ekkor a w energiasûrûség
alakja:
1 1 1 2 1 2
w= ED+ HB = εE + μ H . (3.23)
2 2 2 2
Ezt az energiasûrûséget tekintjük a VI. egyenletnek a Maxwell-egyenletek teljes
rendszerében. Ezzel azt erõsítjük meg, hogy lineáris közegek esetén az energiasûrûség
kifejezése idõfüggõ esetben is megegyezik az idõtõl független esetével.
A különbözõ körülmények között az esetek egy részében dw nem teljes differenciál.
Ilyenkor w nem adható meg zárt alakban a teret jellemzõ mennyiségek függvényeként.
Ez a helyzet például hiszterézises karakterisztikák vagy erõsen veszteséges közegek
esetén.
Vizsgáljuk meg (3.21) jobb oldalán álló tagokat. Használjuk fel az áram (V)
kifejezését: J = σ(E + E b ), ahonnan:
JE J
2
= −EJ
b . (3.24)
σ
Az elsõ tagot nem nehéz azonosítani: ez az egységnyi térfogatban az áram által
keltett Joule-hõ. Mivel ez mindig pozitív, az elõjeleket figyelembe véve mindig