ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
3. FEJEZET<br />
30<br />
A MAXWELL-EGYENLETEK<br />
végez munkát a közegen, tehát a tér energiasûrûsége csökken. Ezt is figyelembe<br />
véve az alábbi alakú egyenletet keressük:<br />
− ∂w<br />
= div S+ EJ. (3.19)<br />
∂ t<br />
Azt felesleges hangsúlyozni, hogy az egyenletnek a Maxwell-egyenletekkel teljes<br />
összhangban kell állnia. Ez biztosan fennáll, ha a (3.19) egyenletet azokból<br />
származtatjuk.<br />
Ezt Poynting 1884-ben végezte el.<br />
EJ-re szükségünk van, ezért (I)-et megszorozzuk E-vel. Már csak a szimmetria<br />
miatt is szorozzuk meg (II)-t H-val. A jobb oldalon azonos elõjeleket kapunk, ha<br />
ezek után a második egyenletbõl kivonjuk az elsõt:<br />
H E E H H B E D rot − rot =− EJ<br />
∂ ∂<br />
−<br />
∂ ∂ − . (3.20)<br />
t t<br />
Használjuk fel a div (E×H) = H rot E – E rot H azonosságot. Némi rendezés után<br />
kapjuk:<br />
− ∂ ⎛ ∂ ⎞<br />
⎜ +<br />
⎝⎜<br />
∂ ∂ ⎠⎟<br />
= × +<br />
E D H B<br />
div ( E H) EJ.<br />
(3.21)<br />
t t<br />
Ezt az összefüggést nevezzük Poynting-tételnek.<br />
(3.21) akkor felel meg egyértelmûen (3.19)-nek, ha<br />
dw = EdD + H dB (3.22)<br />
teljes differenciál. Lineáris összefüggéseket feltételezve ekkor a w energiasûrûség<br />
alakja:<br />
1 1 1 2 1 2<br />
w= ED+ HB = εE + μ H . (3.23)<br />
2 2 2 2<br />
Ezt az energiasûrûséget tekintjük a VI. egyenletnek a Maxwell-egyenletek teljes<br />
rendszerében. Ezzel azt erõsítjük meg, hogy lineáris közegek esetén az energiasûrûség<br />
kifejezése idõfüggõ esetben is megegyezik az idõtõl független esetével.<br />
A különbözõ körülmények között az esetek egy részében dw nem teljes differenciál.<br />
Ilyenkor w nem adható meg zárt alakban a teret jellemzõ mennyiségek függvényeként.<br />
Ez a helyzet például hiszterézises karakterisztikák vagy erõsen veszteséges közegek<br />
esetén.<br />
Vizsgáljuk meg (3.21) jobb oldalán álló tagokat. Használjuk fel az áram (V)<br />
kifejezését: J = σ(E + E b ), ahonnan:<br />
JE J<br />
2<br />
= −EJ<br />
b . (3.24)<br />
σ<br />
Az elsõ tagot nem nehéz azonosítani: ez az egységnyi térfogatban az áram által<br />
keltett Joule-hõ. Mivel ez mindig pozitív, az elõjeleket figyelembe véve mindig