ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

3. FEJEZET
26
A MAXWELL-EGYENLETEK
Mindkét oldal divergenciáját véve a
div rot H = 0 = div J (3.8)
egyenlõséglánchoz jutunk, ahol az elsõ egyenlõség a kétszeres vektorderiváltak egyik
azonossága. Az ebbõl következõ második egyenlõség azonban triviálisan nem igaz.
Az (1.12) folytonossági egyenlet értelmében az áram csak idõben változatlan töltés
esetében divergenciamentes. Ez a helyzet zárt köráramok esetén. Ha azonban az
áram bárhol megszakad, ott töltés halmozódik fel, vagy csökken.
Ezért a gerjesztési törvényt (differenciális formában is) ki kell egészíteni oly
módon, hogy a folytonossági egyenlet ne sérüljön. Más szóval a (3.7) egyenlet jobb
oldalán az áram sûrûségét olyan taggal kell kiegészíteni, amellyel együtt
divergenciamentes. Ezt elõállítani használjuk fel a matematika Gauss-tételét. Ennek
segítségével (3.4)-et átalakítva kapjuk az alábbi egyenlõségláncot:
∫� D dA= ∫ div D d V =∫ρdV,
(3.9)
A
V
ahol a második egyenlõségbõl a
V
div D = ρ (3.10)
parciális differenciálegyenlet következik. Jobbról balra olvasva ez a töltéssûrûség
definíciója, amely felhasználható az (1.12) folytonossági egyenletben. Behelyettesítve
kapjuk:
div J+ div D
∂
= 0. (3.11)
∂t
Felcserélve a második tagban a hely és idõ szerinti deriválást:
∂D
⎛ D⎞
div J + div = div ⎜J
+∂
∂ ⎝⎜
∂ ⎠⎟
= 0. (3.12)
t t
Megkaptuk tehát az áramsûrûségnek azt a kiterjesztését, amelyik mindig
divergenciamentes, ezért ez a tag szerepelhet a differenciális gerjesztési törvényben:
D
rot H= J+
∂
. (3.13)
∂t
A ∂D
As
áramsûrûség
∂t
m 2
⋅
mértékegységû mennyiség, elnevezése: eltolási áramsûrûség.
Az eltolási áramsûrûséget önálló fizikai mennyiségként James Clark Maxwell
skót fizikus vezette be az elektromágneses jelenségek leírásába. Jelentõségét az
alábbi két pontban foglaljuk össze:
1. A vezetési és az eltolási áram együtt divergenciamentes. Ezzel (3.13) megoldja a
(3.7) egyenlet ellentmondását. Ugyanakkor a töltés folytonossági egyenlete (3.13)
következménye lesz. Így tehát beépül az elektrodinamika egyenleteibe, és nem
kell külön alaptörvényként kezelnünk.
2. A gerjesztési törvény általános formájában nemcsak vezetési áram gerjeszt
mágneses teret, hanem eltolási áram is. Sõt, az eltolási áram, tehát a villamos tér
idõbeli változása önmagában is létrehoz mágneses teret (3.1. ábra).