ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

2. FEJEZET
15
ELEKTROMÁGNESES TÉR ÉS KÖZEG KÖLCSÖNHATÁSA
Ez a helyzet nem olyan ritka, mint gondolnánk, hiszen mint említettük, az atomok
és az azokból felépülõ struktúrák pozitív és negatív össztöltése alaphelyzetben azonos.
De a közelítés mindenképpen romlik, ha az R távolság annyira lecsökken, hogy
a tér nem tekinthetõ gömbszimmetrikusnak.
Éljünk ekkor az alábbi közelítéssel: a d helyvektorral rendelkezõ dV térfogat r
távolságát a P ponttól határozzuk meg úgy, hogy a d vektor R helyvektorra vett
vetületét kivonjuk a helyvektorból, azaz
r ≈ R -d r (2.10)
0
ahol r az R irányú egységvektor. Ha a P pont távolsága elegendõen nagy, a két
0
vektor közel párhuzamos, a (2.10) közelítés hibája igen kicsi.
A potenciál kifejezésébe helyettesítendõ 1
közelítése ezek után:
r
1 1 1 1 1 ⎛
= = ≈ ⎜
rd⎞
0 1+
r R−rd R⎛
⎞
⎜
rd R⎝⎜R ⎠⎟
0
0 1−
(2.11)
⎝⎜
R ⎠⎟
ahol a (2.11) sor 1/R-ben magasabb rendû tagjait elhanyagoltuk.
A potenciálfüggvény ezek után:
ρ
ρ
ϕ P
πε r πε
ρ
πε
V
⎛ ⎞
( )= = ⎜ + V
R⎝⎜ R ⎠⎟
V V
V
R
=
1
1 dr0 4 ∫ d
4 ∫ 1 d
0 0
1 1 1 r0
=
4 ∫ d +
πε ∫ ρ d dV
2
R
A fenti kifejezés
0
V
4 0
V
(2.12)
∫ ρdV = Q és ∫ ρd dV = p
(2.13)
V
jelöléssel:
1
ϕ(
P)=
4πε
Q 1
+
R 4πε
R
V
pr0 2 (2.14)
0 0
alakba írható. Látható, hogy a térbeli töltéseloszlás egy ponttöltéssel és egy p dipólnyomatékú
dipólussal helyettesíthetõ, ahol Q és p az eloszlásból (2.13) alapján számítható.
1. A potenciál (2.14) formulája egyértelmûen a függvény 1
Megjegyzések:
hatványai sorának elsõ két tagja.
R
A sor természetesen folytatható. A magasabb rendû tagok ún. multipólusok potenciáljai, a sor a
potenciál sorfejtése multipólus-potenciálok szerint. A magasabb rendû tagok együtthatóinak
számítása azonban egyre bonyolultabb.
Mikor van rá szükség? Olyan esetben, ha a szimmetria miatt a dipólusmomentum zérus. Ilyen
tulajdonsága van pl. a CO -molekulának.
2
2. Ha az össztöltés nem zérus, definiálható a „töltésközéppont” a tömegközépponthoz hasonlóan.
A töltés középpontjának definíciója:
∫ ∫
ρd d V− rtk ρ dV
=0, (2.15)
V V