ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
2. FEJEZET<br />
2.2. ábra<br />
Helyettesítõ<br />
töltéselrendezés<br />
számítása<br />
14<br />
<strong>ELEKTRO</strong><strong>MÁGNESES</strong> TÉR ÉS KÖZEG KÖLCSÖNHATÁSA<br />
A számítások során általában a P pont koordinátái szerinti deriváltakkal számolunk.<br />
(Gondoljunk csak a tér kiszámításra a potenciálból.) Ezért (2.5)-ben is áttérünk<br />
a P pont koordinátái szerinti deriválásra. Miután<br />
( ) + ( − ) + ( − )<br />
2 2 2<br />
,<br />
D P D P D P<br />
r= x −x<br />
y y z z<br />
nyilvánvaló, hogy a P és D szerinti deriváltak csak elõjelben különböznek. Ezért:<br />
ϕ(<br />
P)<br />
=− P<br />
πε r<br />
p 1<br />
grad . (2.6)<br />
4 0<br />
Megállapodás szerint a p dipólnyomaték a negatív töltéstõl a pozitív töltés irányába<br />
mutat. A potenciál másik kifejezése:<br />
1 pr0 1<br />
ϕ(<br />
P)=<br />
= 2<br />
4πε0<br />
r 4πε0<br />
ahol<br />
pcosϑ<br />
, 2<br />
r<br />
(2.7)<br />
r az r irányba mutató egységvektor,<br />
0<br />
ϑ pedig a p és r által bezárt szög.<br />
Némi számolással igazolható, hogy a térerõsség kifejezése:<br />
1 ⎡3(<br />
pr ) ⎤<br />
E( P)=<br />
⎢ 0 p<br />
r − ⎥<br />
4 ⎢ 3 0 . (2.8)<br />
3<br />
πε<br />
⎥<br />
0 ⎣ r r ⎦<br />
A pontszerû töltés 1/r2 távolságfüggésénél a dipólus tere a végtelenben gyorsabban,<br />
1/r3-mal arányosan tûnik el.<br />
A dipólus alkalmazására két példát mutatunk be:<br />
Adott töltéseloszlás terét csak viszonylag pontosan akarjuk számítani. Határozzuk<br />
meg azt az egyszerû eloszlást, amelynek potenciálja jól közelíti a töltéseloszlását!<br />
Ha a távolság elegendõen nagy, és a tér finomabb részletére nem vagyunk kíváncsiak,<br />
a töltéseloszlás helyettesíthetõ egyetlen ponttöltéssel (2.2. ábra).<br />
_<br />
d<br />
_<br />
ρ(d )<br />
_<br />
r<br />
R<br />
ρ<br />
ϕ P<br />
ρ<br />
πε r πε<br />
πε<br />
V<br />
1<br />
1 1 1 Q<br />
( )= ∫ d = V =<br />
4<br />
4 R ∫ d , (2.9)<br />
0 4 R<br />
V 0 V<br />
0<br />
ahol az r ≈R az egész töltéselrendezésre közelítéssel éltünk. A közelítés azonban<br />
semleges (Q = 0) töltéselrendezésnél nem ad értékelhetõ eredményt.<br />
P