ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

2. FEJEZET
2.2. ábra
Helyettesítõ
töltéselrendezés
számítása
14
ELEKTROMÁGNESES TÉR ÉS KÖZEG KÖLCSÖNHATÁSA
A számítások során általában a P pont koordinátái szerinti deriváltakkal számolunk.
(Gondoljunk csak a tér kiszámításra a potenciálból.) Ezért (2.5)-ben is áttérünk
a P pont koordinátái szerinti deriválásra. Miután
( ) + ( − ) + ( − )
2 2 2
,
D P D P D P
r= x −x
y y z z
nyilvánvaló, hogy a P és D szerinti deriváltak csak elõjelben különböznek. Ezért:
ϕ(
P)
=− P
πε r
p 1
grad . (2.6)
4 0
Megállapodás szerint a p dipólnyomaték a negatív töltéstõl a pozitív töltés irányába
mutat. A potenciál másik kifejezése:
1 pr0 1
ϕ(
P)=
= 2
4πε0
r 4πε0
ahol
pcosϑ
, 2
r
(2.7)
r az r irányba mutató egységvektor,
0
ϑ pedig a p és r által bezárt szög.
Némi számolással igazolható, hogy a térerõsség kifejezése:
1 ⎡3(
pr ) ⎤
E( P)=
⎢ 0 p
r − ⎥
4 ⎢ 3 0 . (2.8)
3
πε
⎥
0 ⎣ r r ⎦
A pontszerû töltés 1/r2 távolságfüggésénél a dipólus tere a végtelenben gyorsabban,
1/r3-mal arányosan tûnik el.
A dipólus alkalmazására két példát mutatunk be:
Adott töltéseloszlás terét csak viszonylag pontosan akarjuk számítani. Határozzuk
meg azt az egyszerû eloszlást, amelynek potenciálja jól közelíti a töltéseloszlását!
Ha a távolság elegendõen nagy, és a tér finomabb részletére nem vagyunk kíváncsiak,
a töltéseloszlás helyettesíthetõ egyetlen ponttöltéssel (2.2. ábra).
_
d
_
ρ(d )
_
r
R
ρ
ϕ P
ρ
πε r πε
πε
V
1
1 1 1 Q
( )= ∫ d = V =
4
4 R ∫ d , (2.9)
0 4 R
V 0 V
0
ahol az r ≈R az egész töltéselrendezésre közelítéssel éltünk. A közelítés azonban
semleges (Q = 0) töltéselrendezésnél nem ad értékelhetõ eredményt.
P