ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

1. FEJEZET
8
AZ ELEKTROMÁGNESES TEREK ALAPVETÕ ÖSSZEFÜGGÉSEI
Sajnos a feszültség értéke általában nemcsak a vonal végpontjaitól, hanem a vonal
alakjától is függ. Vajon mi a feltétele, hogy a feszültség csak az út végpontjaitól
függjön, az alakjától ne? Belátható, hogy ennek szükséges és elégséges feltétele,
hogy tetszés szerinti zárt L görbére a térerõsség vonalintegrálja zérus legyen:
� E d l=
0.
(1.24)
∫
L
A feltétel mindig fennáll, ha az elektromos és mágneses tér idõben nem változik.
Ekkor rögzített végpont esetén a feszültség értéke csak az (1.22) integrál kezdõpontjának
függvénye.
Ezt a függvényt skalárpotenciálnak nevezzük. A ϕ(r) skalárpotenciál definíciója
tehát:
r 0
ϕ r E d l.
(1.25)
()= ∫
r
A skalárpotenciál egy konstans erejéig határozatlan. Ha ugyanis megváltoztatjuk
az integrálás végpontját r alt -ra, akkor a potenciál kifejezése:
ralt
r0
ralt
∫ ∫ ∫
ϕalt r E d l E d l E dl ϕ r konst.
()= = + = ()+
r
r
r0
(1.26)
Ez az állítás egyenértékû azzal, hogy a potenciál nullahelyét tetszés szerint választhatjuk
meg. Ez a választás nem befolyásolja azt a tényt, hogy a feszültség az út
kezdõ- és végpontja potenciáljának különbsége:
r2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
U12 = E d l= E d l+ E d l= E d l− E dl=
ϕ ( r )− ϕ( r2 ) . (1.27)
r1
r0
r1
r2
r0
r0
r1
Még egy megjegyzés: Az (1.25) és (1.26)-ból látszik, hogy az E(r) vektorfüggvény
és a ϕ(r) skalárfüggvény kölcsönösen meghatározzák egymást. A vektorteret
konzervatívnak nevezzük, ha zárt görbére vett integrálja (1.24)-hez hasonlóan zérus.
Ha ez a vektortér erõtér, a rögzített munka és így az energiaváltozás a zárt görbe
körüljárása során zérus, ez az elnevezés magyarázata.
(1.25)-bõl következik, hogy a potenciál változása elemi kicsi szakaszon:
d ϕ =−E dl.
(1.28)
A matematikában a ϕ skalárfüggvény változását elemi kicsi dl szakaszon a gradiens
vektorfüggvény írja le:
d ϕ= grad ϕ⋅dl.
Derékszögû koordináta-rendszerben:
ϕ ϕ ϕ
grad ϕ = ∂ ∂ ∂
+ +
∂ x ∂ y ∂z
r0
r
2
i j k, (1.29)
ahol i, j és k az egymásra merõleges egységvektorok.
1