ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

8. FEJEZET
127
TÁVVEELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KELTÉSE
Az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve:
2
2
1 ∂ f ∂ f
− 0
2
2
r ∂r ∂ t
= εμ .
Az origótól eltekintve az egyenlet tehát
1⎛
2
2
∂ f ∂ f ⎞
⎜ − 0
2
2
r ⎝⎜
∂r ∂t
⎠⎟
= εμ
alakba írható, azaz a zárójeles kifejezés minden r-re zérus. Ennek az egyenletnek a
megoldását a távvezetékek elméletébõl ismerjük:
⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞
f ( r, t)= f ⎜t−
f t .
⎝⎜
v⎠⎟
+ ⎜
1 2 +
⎝⎜
v⎠⎟
Foglalkozzunk a fizikailag jól értelmezhetõ megoldással: a pozitív r irányban
terjedõ hullámmal, tehát legyen:
⎛ r ⎞
f ( r, t)= f ⎜t−
.
⎝⎜
v⎠⎟
r → 0 esetén a sztatikus határértéket kell kapnunk. Az ennek megfelelõ megoldás:
⎛ r ⎞
Qt ⎜ −
1 ⎝⎜
v⎠⎟
ϕ(
r, t)=
.
(8.19)
4πε
r
Megjegyzés: a kifejezés eleget tesz azon feltételünknek is, hogy v →∞ esetén is a sztatikus
határértékbe megy át.
Elosztott töltés esetén:
⎛ r ⎞
d Q= ρξηζ ⎜ , , , t−
d d d
⎝⎜
v⎠⎟ ξ η ζ, (8.20)
és ezzel
r
ρξηζ (, ,, t − )
1
ϕ(
x, y, z, t)=
v d ξ d η dζ.
4πε
∫ r
(8.21)
V
Hasonló módon: ⎛ r ⎞
J⎜ξηζ
, , , t −
μ ⎝⎜
v⎠⎟
A(
x, y, z, t)=
∫
d ξ d η dς.
(8.22)
4π
r
V
Az eddigi konvenciónknak megfelelõen x, y, z azon P pont koordinátái, ahol a
potenciált keressük: ξηζ , , , azon Q pont koordinátái, ahol a töltés/áram van. r a P és
Q pont közötti távolság, ami mind a hat koordináta függvénye.
(8.21) és (8.22) a retardált (késleltetett) potenciálok. Abban különböznek a
sztatikus-stacionárius potenciáloktól, hogy a potenciálértéket nem a vizsgált idõpillanatban
fennálló gerjesztés határozza meg, hanem az az érték, amelyet a gerjesztés
r
t − idõpontban, tehát
v
r
idõvel a vizsgálat elõtt vett fel. Ez azt jelenti, hogy a
v
véges terjedési sebesség miatt a gerjesztés a hatását késleltetve fejti ki.