ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

8. FEJEZET
126
TÁVVEELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KELTÉSE
A mértékinvariancia feltétele most (8.9) felhasználásával
div A*= div A+
Δψ = 0 alapján:
Δψ = 0, (8.16)
azaz a mértékfüggvény a Laplace-egyenletnek kell, hogy eleget tegyen. A feltétel
(8.10) alapján a ϕ skalárpotenciál invarianciáját is biztosítja.
Térjünk vissza a Lorentz-feltételnek eleget tevõ hullámegyenletekre! A hullám
terjedési sebességére (ahogyan ezt a 7. fejezetben már láttuk) a közegben mérhetõ
fénysebesség adódik:
1 c c
v = = = .
εμ ε μ n
(8.17)
r r
A két egyenletbõl jól látszik, hogy a sztatikus-stacionárius alapegyenleteket akkor
kapjuk vissza, ha
εμ → 0, azaz v →∞ (8.18)
a terjedési sebessége végtelen. A sztatikus-stacionárius leírás a valódi folyamatoknak
mindig csak a közelítése. Ez a közelítés a fénysebesség igen nagy értéke miatt véges,
de viszonylag nagy kiterjedésû térrészben igen jó lehet. Ez a tény teszi lehetõvé
például a koncentrált paraméterû hálózatokkal történõ, azonnali kölcsönhatást
feltételezõ leírást.
Határozzuk meg a (8.7) és (8.8) egyenletek megoldását. Kezdjük a legegyszerûbbel,
egy idõben változó pontszerû töltés potenciáljának a meghatározásával.
A megoldás nyilván gömbszimmetrikus lesz. Ezért a (8.8) egyenletet gömbi
koordinátákban kell felírni. A Laplace-operátor az r, ϑ , ϕ gömbi koordinátákkal
felírva:
ϕ
Δϕ
ϑ
ϑ ϑ
ϕ
∂ ⎛ ∂ ⎞
= ⎜
∂ ⎝⎜
∂ ⎠⎟
ϑ
+
∂ ⎛ ∂ ⎞
⎜
∂ ⎝⎜
∂ ⎠⎟
+
1 2 1 1
2
2 2
r r r
sin
r r sin
r sin 2
2
∂ ϕ
2
ϑ ∂ φ
.
A gömbszimmetrikus megoldás csak r-tõl függ, így az egyenlet alakja az origó
kivételével (ahol pontszerû töltés helyezkedik el):
2
1 2
0
2
2
r r r
∂ ⎛ ∂ ⎞
⎜
∂
∂ ⎝⎜
∂r⎠⎟
−
∂ t
=
ϕ
εμ ϕ
.
Tételezzük fel, hogy a megoldás alakja – ismerve a sztatikus határértéket:
( )
f r, t
ϕ( r, t)=
.
r
Ezt a hullámegyenletbe helyettesítve:
∂ ∂
=
∂ ∂ −
ϕ 1 f f
r r r r
r
2 ;
∂f
= r f
∂ r ∂r −
ϕ
;
2 ∂
∂ ⎛ ∂ ⎞
⎜
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ⎝⎜
∂ ⎠⎟
= + − =
r ∂ ∂ ∂ ∂
r
2
2
2 f f f f f
r
r
2
r r r r r
2 .