ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

8. FEJEZET
125
TÁVVEELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KELTÉSE
míg (8.5)
ϕ ρ
Δϕ −εμ ε
∂
∂ =−
2
t 2
alakú lesz.
(8.8)
Az A vektorpotenciálra és a ϕ skalárpotenciálra azonos alakú egyenletet kapunk
a Lorentz-feltétel alkalmazásával.
Az egyenletek térbeli hullámegyenletek. Diszkussziójukra még visszatérünk. Már
most megjegyezzük azonban, hogy nem függetlenek, hanem a jobb oldalon álló
mennyiségek között a folytonossági egyenlet erõs kötést jelent. Belátható, hogy a
(8.6) Lorentz-feltétel a (8.7) és (8.8) egyenletekben a folytonossági egyenlet
teljesülését biztosítja.
Tetszés szerinti ψ függvény segítségével olyan potenciálok állíthatók elõ, amelyen
azonos térmennyiségekre vezetnek. Ezek a potenciálok:
A* = A+gradψ
;
(8.9)
ψ
ϕ* = ϕ−
.
∂
(8.10)
∂t
A ψ elnevezése: mértékfüggvény. Ha úgy választjuk, hogy A* és ϕ * is eleget
tegyen a Lorentz-mértéknek, mértékinvarianciáról beszélünk. Könnyen belátható,
hogy a mértékvariancia esetén a ψ eleget tesz a homogén hullámegyenletnek:
Δψ εμ ψ
− ∂
∂ =
2
0.
(8.11)
t
A másik gyakran választott mérték a stacionárius esetbõl jól ismert Coulombmérték:
div A = 0. (8.12)
Ezzel a (8.5) a Poisson-egyenletre egyszerûsödik (de a benne szereplõ mennyiségek
az idõben változnak):
ρ
Δϕ =− . (8.13)
ε
A vektrorpotenciálra vonatkozó (8.4) egyenlet azonban bonyolultabb lesz.
A
ΔA−
J
∂
2
∂ϕ
εμ =− μ + εμ grad . (8.14)
2
∂ t ∂t
(8.13)-ból ϕ meghatározása a sztatikából ismert módon történhet. Az így kapott
potenciált (8.14)-be helyettesítve kell megoldanunk a hullámegyenletet.
A folytonossági egyenlet most is teljesül. (8.14) mindkét oldalának divergenciáját
véve a bal oldalon (8.12) következtében zérust kapunk, még a jobb oldalt kiszámítva
a
∂
∂
− +
=− + =− −
∂ ∂
∂
∂ =
div J div grad div J div J
ε
ϕ
ρ
ε Δϕ 0 (8.15)
t t t
folytonossági egyenletre jutunk.