ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

8. FEJEZET
23 Történelmi érdekesség, hogy
Maxwell munkáiban az alapegyenletek
az (I), (IV), (8.1) és
(8.3) voltak. Ennek oka az a bonyolult
hidrodinamikai modell
volt, amellyel Maxwell az elektromágneses
teret modellezte,
és amelyben az A vektorpotenciál
kitüntetett szerepet játszott.
Az egyenletek mai alakját
O. Heaviside formulázta meg
1884-ben, már Maxwell halála
után. Lényegében azonos
egyenletekre jutott H. Hertz, aki
kísérleti úton elõször keltett
rádióhullámokat. Érdekesség,
hogy az (I)–(II) egyenleteket
Einstein mindig mint Maxwell–
Hertz-egyenleteket idézte.
124
TÁVVEELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KELTÉSE
Mivel a zárójelben álló vektor rotációmentes, elõállítható egy skalárpotenciál
gradienseként:
A
E + ∂
∂ =−gradϕ,
t
ahonnan
A
E =− − ∂
grad ϕ
∂t
. (8.3)
A sztatikus ( ∂∂ t = 0 ) esettel ellentétben az elektromos tér nem állítható elõ csak
skalárpotenciállal, hanem a mágneses teret meghatározó vektorpotenciál is megjelenik
az értékében. 23
Az eddigiek értelmében, ha adva van A és ϕ , a vektor- és skalárpotenciál mint a
hely és idõ függvénye, akkor E és B a (8.3) és (8.1) egyenletekbõl meghatározható.
Magukat a potenciálokat az eddig fel nem használt (I) és (IV) egyenletek
segítségével tudjuk meghatározni. Vegyük észre: csak ezek az egyenletek tartalmazzák
a gerjesztõ-mennyiségeket, a másik két egyenlet homogén!
Miután az A vektorpotenciálnak csak a rotációja kötött, a divergenciáját szabadon
választhatjuk. Ez az ún. mértékválasztás. A divergenciát célszerûen úgy választjuk,
hogy az egyenletek a lehetõ legkényelmesebb alakúak legyenek:
H 1 μ rot A-t
(I)-be helyettesítve a
= ( )
2
∂ϕ
∂ A
rot rot A= grad div A− ΔA= μJ−εμ grad −εμ 2
∂t ∂t
összefüggéshez jutunk, amelybõl rendezés után kapjuk:
A
ΔA−
J A
∂
=− +
∂
⎛
⎜
⎝⎜
∂ ⎞
+
∂ ⎠⎟
=
2
εμ μ
t
ϕ
εμ 0
t
A (IV) egyenletbe (8.3) ε -szorosát helyettesítve D helyére azt nyerjük, hogy
2 grad div . (8.4)
div D=− div grad − divA
∂
ε ϕ ε = ρ,
∂t
ahonnan rendezés után a
ρ
Δϕ =− −
ε
∂
div A (8.5)
∂t
összefüggéshez jutunk.
A mértéket a (8.4) egyenletet egyszerûsítve megválaszthatjuk úgy, hogy
div A + ∂
∂ =
ϕ
εμ 0 (8.6)
t
legyen. Ez az összefüggés a Lorentz-feltétel, és az így választott mértéket Lorentzmértéknek
nevezzük. (8.6) alkalmazásával (8.4) az alábbi egyenletre egyszerûsödik:
2
A
ΔA−
J
∂
∂ =− εμ μ
t 2 , (8.7)