ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

1. FEJEZET
4 Az (1.10) egyenletben az idõ
szerinti deriválást és a helykoordináták
szerinti integrálást felcseréljük.
Ennek feltétele, hogy
az integrálási tartomány, azaz az
adott térfogat koordinátái idõtõl
függetlenek.
4
AZ ELEKTROMÁGNESES TEREK ALAPVETÕ ÖSSZEFÜGGÉSEI
Megjegyzés: az SI-ben számos származtatott egység van, ilyen a Coulomb, a töltés
fenti egysége. Mi a továbbiakban mindent alapegységekkel fejezünk ki.
A fenti kifejezésbõl:
Q
I =−
t
d
,
d
és felhasználva a töltés ρ térfogati sûrûségét:
(1.8)
dQ = ρdV, ρ = ⋅ As
. 3
m
(1.9)
(1.8) a következõ alakba írható:
J d A+
d
�∫ d = 0
dt
∫ ρ V ,
A V
ahol A a V térfogatot határoló zárt felület.
(1.10)
Emlékeztetõ:
A v vektortér divergenciája (forrása):
div = lim 1
v vdA V → V ∫
0 �
A
,
miközben az A felülettel körülzárt V térfogat legnagyobb lineáris mérete is zérushoz tart.
A divergenciára vonatkozik a matematika Gauss-tétele:
∫�
A
∫
v d A= div vdV
V
A Gauss-tétel alkalmazásával 4 :
∫
V
.
div J + d 0
∂ρ
=
∂t
V . (1.11)
Miután az állítás tetszés szerinti térfogatra igaz, maga az integrandus zérus kell,
hogy legyen:
div J + 0
∂
∂ =
ρ
. (1.12)
t
Az (1.10) a folytonossági egyenlet integrálformája, (1.12) a differenciális forma.
Melyik állítás mond többet? Melyik állítás erõsebb?
Az erõsebb állítás mindig a differenciális formula. A differenciálhányadosok definícióját
ismerve a differenciális formula azt jelenti, hogy az állítás a vizsgált térfogatban
valamennyi pont kicsiny környezetére igaz. Ebbõl mindig következik, hogy
az állítás a térfogat egészére is igaz.
A folytonossági egyenlet más szavakkal a töltésmegmaradás elvét fejezi ki matematikai
formában. Az állítás bõvebben: ha egy kicsiny térfogatban töltés halmozódik
fel, ott a folyó áram egy része eltûnik (negatív divergencia, nyelõ).