Irányítási rendszerek elmélete és tervezése I. - Index of

6. FOLYTONOSIDEJU LINEARIS
SZ AB ALY OZ ASOK ANALiZI SE
Ebben a feiezetben el6sztjr dsszefoglaljuk a folytonosidejii egyv6ltoz6s (SISO) linedris
tagok 6s rendszerek frekvenciatanomenybeli is id6tartomdnybeli leir6si modszereit
6s a kdzdttiik val6 6ti6res szabalyait Rdszletesebber vizsg6ljuk az eg,'valtoz6s
(SISO) rendszer :illapotegyenletdnek szab6lyoz6 6s negfigyel6 alakjAr Megadjuk
a szabalyozistechnikeban haszn6lt lontosabb alaptagokat 6s alapkapcsol6sokat
Jelent6s6ge miatt r6szlelesebben foglakozunk a k6ttdrol6s leng6 taggal, amely a zert
szabalyozrisi kiir dominAns p6luspaianak jellemz6s€re is szolg6l. 526lunk a szabdlyozestechnikai
tervezrj programok fontosabb szolgAlhdsair6l, amelyek temogatjAk
a leirdsi m6dok kijzdtti Attdr6seket 6s a fendszeiellenz6k szamidsar Bemutatjuk a
kapcsolatot a ?,6fi szabltlyozbi kdr dinamikus mir6s€gi jellemzdi 6s a domin6ns
polusper kiJzd$. Megvizsgdljuk a felnyitott kdr kdrerosit€s6nek 6s lipusszAm6nak
iatesdt a zirt rendszer alapjelkiivetdsi is zavar6.jel kompenzalasi kdpess€g6re 6lland6sult
6llapotban. Megadjuk a folytonosidejLl Iinedris szabalyozisi rendszerek stabilitesAnak
vizsgAlat6ra haszn6lhat6 Hurw;tz-, Nyquisr 6s Bode-f€le stabilil6si krit6riumokat.
Ennek sor6n bevezetiiik a lelnyitott kdr v6g6si frekvenciajAnak 6s fiizistijbbiet6nek
a fogalmAi €s bemutajuk hat6sat a zift szabalyozasi kdr stabilit,s6ra.
6.1 Line6ris tagok 6s rendszerek leir6si m6dszerei
A line6ris tagokal differenci6legveniefikkel (DE), allapotegyenlettikkel (SE. state
equation), r(r) dlviteli ftiggv6nyukkel, lr(r) srilyftiggv6nviikkel €s v(r) atmeneli
fliggv6nyiikkel jellemezhedilk. Ezek kdzdtt 6ttdrdsek lehetsEgesek, melyekel szimbolikUfat1
a 6. L dbftin foglaltunk dssze-
t
I
DE+ s--\ ,___-- "-
w(s)
I v(r)
6.1 rbla A rendszerleirasok kdzdtli,itlerdsek

86 6. FolyroNosrpEj0 LTNEARTS szABALyozAsoK ANALizrsE
L A differen€iSlegyenfetrdl az 6tvit€li fiiggv6nyreva'16 att'r'st nula kezdeti feltt'
tel eseftn nzF3. Fn9gelekben mdr bemutattuk, a visszat6rds szabAlya nyilvdnval6:
a, y(') +... + a, ylt) + aoy = b,,,ul'') t... * brol), uou,
,v(0)=0, .., /(''r(0)=0

6.1 Linearis taeok 6s rendszerek leirdsi m6dszerei 87
/{d(/rl=,4 r') ,-.rrt .t t1wr"1 !.
| ,l | "
I lt\t)\=W\:): e t\t)- ./ '1W(s) | lv(tdr.
A. kimenl jet nutta kezde,, t)", ^r^ ro":)noo
meneti Iirggv6nnyel:
v(l\ = | ult r\\\(rldr.
vtt\= ld! rtdvlr\.
""',tj***'*"r"
A deriveltak 6s integralok disztribici6 drtelemben drtend6k.
,,.. A(r)... . b" s'-r +. +b,s+b".,
I (jl:. _ u{sl -i---;-- ( t()
,ltJ' /1,J + +ArS+d0
(6\
**, - u,-
(6.4)
lll. Az ,illapot€gyenletr6l 6tviteli Iiiggv6nyre val6 rtt6r6s szab6lyat mar ismeiuk:
*= Ax + Bu, x(0\=0' Y=Ct+Du
w(s)=c(sl-A)rB+D
(o5l
SISO rendszer eset6n C sorvektor, ,B oszlopveklor 6s , skalar. Ha a bemenet nem
hat azonnal a kimenetre ( ttl(r) sz6mlAl6j enak fokszima kisebb a nevez6€r€l), akkor
D = 0. A legtcibb fizikai rendszer az energiatdrol6k (iditelland6k) miatt ilyen tulajdonsagi.
IV. Az 6fviteli liiggv6nyr6l Sllapotegyenletre val6 Att6r6sr€ k6t m6dszert mutatunk
be. Az els6 a szabalyoz6 alak, a mdsodik a megfig/elo alak. Ezek fontos szerepel
jAtszanak majd az 6llapot-visszacsatollssal 6s 6llapomegfigyel6vel tiirt6n6 sza_
balyozrisok tervezesdnil.
A, szabauaz' alak dtlete a katvetkez6: irjuk fel a kimen6 jel 6s a bemenfi.,el k6zdtti
kapcsolatot
(6.6)
alakban (ha gr jel6li a fokszimot, akkor €aB

88 6. FoLyroNosrpEJU LnrEARls szABALyozAsoK ANALizrsE 6.2 Ala
| _.
4(r)=-U(r) .:r a.Ea) .... t a,{'t) +ao(=u,
r(r)=B(r)6(s)

Innen egyszerii dtalakitiisokkal az 6llapotegyent€t rin. megfigyetij alakj6t kapjuk:
an2
?,
,al
I O
0 l
b,_l
0 0 (6.r 1)
bo
0 0 ... 0
'-t . . ( l ,r..r'.
6.2 Alaptagot

Ha az alrendszer€k 6llapot€gyenletei rcndre
i1= Afi + Biu, l; =Cixt + Diuo i=1,2,
akkor az ereal6 rcndszer allapote$/€nlete ll = zt = 1r2 fig/€lembevdtelCvel
[;, )- f;' o lf '' )* fa' 1,.
-l
[;,J o,a,][',J-la,]''
v =1c, c ,1('')- p, .,t,,, * o,1,.
A soros kapcsol{st a 6.4. abra mutatja be. A rendszer
Y =ry(w2u)=w*u, ez6lt az ered6 6tviteli ftggveny
W.t(s) = Wt(s)W,(s).
d.4 drra Soros kapcsolA
Az ered6 rendszer dflapotegyenfete il2 =a es \=y2=Czx2+D2u
f;, ) f,{L src,lf.rr) fB,D,l
l'*,J=Lo u, )1,,)-l ', )''
. Jx,\
y = lC, D,C, ll ' l+ DtD2u.
\"2 )
miatt
- (
A vi$zacartol{sos kspcsolist a 6.5. Abra mfiatja be. A rendszer kimenet€
Y =ll\(U -Wzr)=ryU -W\W2Y + (I +UW)y =Wp +
Y -g +VtW)-\Wp =Wqu,
ezdrt az ercd6 twileli ffiggv€ny SISO rendszer eset6n
w-,k\=
w{t)
""-'t+Wt(s)w2ki
(6.1
Az tisszefiiggCs iS' is megfogalmazhat6, ho$/ 62 ered6 atviteli iiggviny e$/enl6
,,el6re vezetd eg / (l plusz a hurok)".
{

6-2 Alaptaqok. alapkapcsoldsok
6.J. t /a. Visszacsaloldsos
kapcsotas
Azered6 ellapotegyenlet szimit6s6n6l fiS/elembe kelt venni, hogy
ur=u- y2 =u -(C2x2 + Dzrt)=u Czxz - D2(Cfit + Dl) =,
q = (I + Dzq)-t(u -C2x, - D1C,x,),
! = ! t = C txt + Dpt = C &t + Dt (I + D2 Dt) 1
(u _ C 2x 2 - D2q xt ),
alol SISO esetben (I + qDr, t =1/(l+qD). Ezert az ered6 {llapores/enlet
(:,)--ll,:,!,:l(:,).1;:).
,=[c, i,,(:]j.r"
Ar = At _ Bt(l + D2Dt)-t
DzCb
At2 =-4e + D2D)-1C2,
)r, = Br{cr - Dte + D2D)-t D2c),
422=42-44e+Dzq)-tC2,
E,=8,1t+Dro,y-t,
82-82D)\t+D)Dt)).
t, =c, - D,1t + Drn; 1 orc,,
( ; ^_- - _-
2 =_D tt + D)Dt\ rc z.
b=Dte+Dz4)n
9l
(6.r 8)
E$/ €gyszed sz.bSlyozisi k6r hat6sv6zlat4t mufatj a a 6.6. Abra. Alkalmar.ya az
eldrevezet6 aggal es a hurokkal megfogalmazott szabalyt 6s a linefuis rendszerekndl

ewdnyes szuperpozlci6 elv6t, egy-e$/ 6tviteli fflggv6nyt kapunk alapjel
ds zavad jellemz6 bem€nehe:
14t,".," (s) = ry(s)w2G) alapjel bemenetre,
| + fit (s)Wr(s)W,(s)
W,,(sl= "''' '
tT,(s)W,(s) " -
zavatd rellemzo bemenetre.
| +A(s)w,(s\W,(s)
6.6. abru. EgttszEti szab{lyozisi kor hatdsvazlala
A felnyitott k8r (hurok) WoG) = \G)WzQ)W"(r) 6,tviteli fiigevenyenek
ldLnos alakja az dtviteli ffIggvdny p6lus/z6rus eloszlasdnak megfel€l6en (holtidd
kiil)l
,r flo + r 'i [I0 + 2t ,t,s + t! s21
wo$)=
s' fI0 + rr,)fI(t + 2f,r," + z,'"') =7*,@, wole)=1. (6.2r
Az alacsonyfrekvencids viselkedCst ftlo (s) E f / .rr ida le, amely az (F3.1 5)
t6k t6tel szerint alapvelden befoly6solni fogja a z&t rendszer viselk€dds€t
suh ellapotban. Itt K a felnyitott kdr kdrer6sltese 6s i a tlpusszdm (az
sz6ma). A ( kdrcr6sites dimenzi6ja [sec-'].
6.2.2 Alaptagok
A felnyitott kdr atviteli fflggv€ny€ber fell€p6 tagoknak megfeleloen
celszeiJ bevezetni, 16-sd 6. 1. tub ldzat.

6.2 Alaplaaol,. alzpkdocsolAsok 93
6. I tdbbzat. SzabAlyoziatechnikai alaptagok
ariinyos tag: w(s) = A
integr6l6 tag: w(s)=1ts
differenciA16 tag: Ir/(s) = s
eg/tirol6s tag: ry(r)=l(l+rr)
k€tlirol6s lengti tag: W(i)=ll(1+2ETs +T)s' )
P D tag: W(s)=1+sr
fuu- laga W(s)=l+zpE+12tl
Mivel az alaptagokb6l tetszdleges liteeris tago! fel lehet dpiteni, ezdrt tisztaban
kell lenni fonrosabb frek\encid-laj1om6rlbeli es id6ranoma;ybeti jellernzoikkel,
^melyeket a 6.2 tdbldzatbdn sofohunk fel_
6.2.I.1bla7ot Alaptagol tt"l\encia. ds 'o or arrom;n) bel i je emzoi
6tvitelifiiggvdny: w(s)
Nyquist-g6rbe: IV(jco), -

94 6. FOLYTONOSIDEJT LINEARIS SZABALYOZASOK ANALIZISE
o
E
.E
o
*
0.6
o.4
o.2
-0.4
-0.6
Nyquisl Dloglom
-0.8 -l 0.5
0
ReqlAxis
Bode Dbgrdm
0
-10
-20
to I
0
g -50
to0
lo'
to loo tor
6 z rir.4. Egn&ol6s tag Nyquist-sort€je 6s Bod€-diagramja t = I es€tan
'|t) Plz
v) S'il
vD Ah
Az a
resfrekv
kasszal
litfd6ft!
t6l az a
hely6n .
p€dig !

6.2 Alaptasok. alapkapcsoliisok 95
aszimptotikus adB (rr) =
p(@)=-alctat(bT)
iv) PlZ eloszlis: \ = -1lT
{:,
v) Sulyfijqavenv: wrlr=!e'/l
T
vi) Atmeneti ftiggv6ny: v(t) =t - e
t tl
hu ar,,! T
le @-2019 T,
. t
T
Az aszimptotikus amplitLid6,jelleggdrbe kezdetben 0 dB/dek6d meredeks6gil, 16_
r6sfrekvenciaja van ao=1/T-n61, majd ezutdn -20 dB/dekdd meredeks6gil szakasr"al
folltat6dik. A pontos amplirid6-jelleggdrbe (amplitid6menet, amplitud6ftiggv6ny)
az aszimptotikus atatt halad, legnagyobb eltdrese az aszimptotikust6l
az aa -1/ T t'r'sfrekvencia helydn d 3 dB. A fiizisszitg drt6ke a tdrisfrekvencia
helydn -45', egy dekiddal balra a tdr6sfrekvenciat6l !-5', jobbra egy dekedra
pedig ! -85" . Ezeket az ismereteket a szabelyoz6 tervez6sn6l kamatozatni lehet.
o
0.8
Slep Response
0 r 2 3 4
Ttme
{sec.}
d8. nbtu L$ttuolos ragarmeneri tuggren)e I. I

Az atmeneti ftiggvdny 0-16l indul 6s l-hez tart monoton m6don, Usd 68 dbra,
kezdeti 6rint6 a vegerteket l=I-ben metszi. Az dtrneneti ftlggv€ny a vt
t = 5f -n6l gyakorlatilag mft el6ri.
A kdtfdrol6s lengd ttg jellemz6i:
I
i) Awilefi ftlggveny: W(s)=- _=- 0

-
.E
E
2
t.5
l
0.5
o 0
-40 L
tol
0
o -50
s
g ,100
-200
to'
I\Vquisl Dlogrom
-0.5 0.5
Reo Axis
Bode Diogrom
too
1oo
6.9- dbrd. Kattirot6s lengb tag Nyquist-giJrb€je
ds BodFdiagranja 4 = 0.25 ds r = r esetdn
t.5
to'
t0

98 6. FOLYTONOSIDBJU LINEARIS SZABALYOZASOK ANALiZISE
A kdniof6< lengd ag rezonancidval rendelkezik. ha O

6.2 Alaotasok. alapkapcsolasok 99
A v(r) dlrneneti fiiggvenynek exrdmuma van. 1'ru "111=44)=6. "'r'r; uLLol.
kdvetkezik be, ha -d" sin(o" t + (p) + @"cos(@" t+p)=0, teh6t
tut(u, r + tp\=921= nnp = a" t + q = p + ktr > Tn - 4
t (r) =r - (-1)k expeglLO.
Az atneneti ftggv6ny els6 maximumdtrak belye (f.) ds a maximum helydn a
h,illitv6s (/v) €rteke (lisd 6.,11. .i6la):
r",=L=---L:,
t. .o'lt 4'
(6.23)
p_^
30
320
E
0
/y=y(r)1=exp(- ^!L).
^lt
- €'
o.2
0.4
6.11. tibrd. ^v €s r, niSgese a 4 csillapitest6l I = I esedn
xi
0.6
0.8

.r00 6. FoLIioNostpFt.r UNEiRrs sz^BAlyozisoK ANALizts[
Ha az itrneneti liiggvany bLl|kologd lajc a v;gartak k6r i a9," sri\d a 7;,;
idoponlban clari. akkor ezuriin ln6r r11) bizrosan lagtcgcsen ! srlv betscjabcr ma_
fad A 1,,., id6 meghaL:irczesira a kdvclkczri fctralcl szotgl1t:
c)ip( o,7,,,)= a = 1",. =
r,,lqq
A g)'akorlatban a 7.,; ris 7,,; irlckekel u sznb vozlsikoriik
rninosit€ser c szokrrik
hasznelni:
.,. lu50 I _ ln l0 3
es /r'. =-: (6.21)
Az F8. figgel6kbcn iisszcloglalruk a MA'tLAB. Sirnulink ds a Conlrol Systen
Toolbo\ alapvetd szolgilralasait. Ezck kcjzilt itl csak annyil szcrchank kicne]ni.
hogy ezck scgtusigivcl az etdras a kitldnfclc rcndszcfjcllemz6k k6zrjtr clvagczhet6 a
ss2ff/ ss2zp/ Lf2F,st L12zrt, zp2.ft zp2ss liiggvdnyck s€gjlsdgd
vcl. rclrjlfsben a ..2' a konvcrzi6ra Lrlal a t6le balra ri 6 alakrot a rdlc iobbra i]16
alakfa. Az illaponcrct ss (sLarc space). az rilviteti fiiggvJnyt rf (rransj.cr iirncrion).
il I','Z alakot zp jc16li. A r.Nyquist-giirbc, Bodediagram. p,1Z ctosztrs. sirt)filgg!,dny.
alrDcncli liiggven\, lilrajTolrisifa fcndrc a nyquasr, j]o.je, pznap,
amDulse, step fiiggvcnrck hasznrilhal6k.
6.2.3 Szab:ily :r felnyitott l(iir aszimptotilius tmplitfd6jtllcggiirb6i6ncli
lelrajzol6s::ira
r\ szabilyoz6 pamm6tereinck megtcrvczJsckor gyakran van szliks6g a liln).itott krir
!?,|(.r) aszimptotilius amplilirdo jcllcggdfbr,ianek a mcghalirozis:ira es szabrit].ozo
pararn€lcrcinck a rcndszeiellcnrzrtl{re kifcjrell halnsinak lcllneresirc. aJnirty liinrpontot
adhat a kcdvczo szabillozo be6llitis mcgvilaszrisrihoz. Mi\]et cnnek sorin
nLrm.rjkusan mdg nclll isrrc ck a szabart)'oz6 paramiierei. czcn a lcNczo progra
nrok szolg:iltatisaiDak fclhasdilisa l{odrirozoll cbbcn a rer!czasi tdpasbcn. Szitksdg
I'jlret czan eg) ollan rn6dszerrc. alnci) ugla kijzcliLrt. dc a rcrvezdsbcz trillrpontot
adhal. as amelybol kdnnyen kikdvcrkezrcrhei6. Inityen idnyban tcll vihoztainj a
szabilll026 piranitcfeit pl. a slabili16si tarlaltk n6vctdse 6s a rendszcr gvorsirisa irdckfbcn.
Ehhez j6 segirsigcr adhal cgy gyors m6dszer az ddB(.r) aszimptorikus
amplitirdoicllcgg,:jrbe felraizolrs6m. Ennek lapascit fogtaljuk dsszc az atibbiakban.
A rr6dszer Lctszolcgcs itviteli iiiggv€nyrc (szakasz. szab6tyoz6 stb.) all(almazhat6,
dc kiilonais jclent6sagc elsosorban a felnyitott szabllyozisj l(rir.cscr6n vaD.
6.
lL
i
4.
5.

Legycn az atviteli fiiggvdny p/Z eloszliisa zr , z, , . . . (zirlrsok) ds A,p:1,..(p6_
lusok). A ielsoroi6sban a tdbbszdrds multiplicit6sri z€rusokat 6s p6lusokat csak €gy_
szer szercpcltetjuk, de keflci kdpviseti a konjugrlr konplcx prirt (egy pozitiv 6s c-g1,
ncgativ kipzetes rdszt). Jcldtje ,r., 6s mz rcndre a z6rusok 6s p6lusok mulriplici
litit. ds rendeljiink a z6rusokhoz -t, a p6lusoklloz pedig +t ,.indexcl,,. Az
aszimptotikus amplitrid6,ielleggijrben mindegyikhez egy_egy idr6slickvencia rarlo_
zik, amelynek hclye ar, =lz, illetve ra, =]p,l(konjugrih kornptex pAr esc$n akir
ldr6sfickvencia cgybeesik). A szab6ty a kdvetKezo:
L ReDdezztik a tiirdsffckvencAkat fldvekv6 sorozatba.
2. Jeldljiik bc az .r lengelycn a rdr6sfrekvcnciakal Ne fcledjUk el. bogy az r, _
lengely logaritnikus l6pt6kLj (lga,), ezefi a,=0 az lg., tengetyen -
helyre csik. cz6rt nem lithat6 (mindcn ebrrizolhar6 ., jobbra van r6te).
l. Keressilk meg az cls6 (legkisebb) ld16sfrekvenciAr. A idrtsfrekvcnc iir61 j obbfa
adB (.r) aszimptoiikus alakja (-20dB/deknd). (muliipticitdt. (index) drrik
kel rcirik. Ha az els6 riir€sftekvencia Dem nu a. akkor a ldfesfiekvcnciiit6t batra
adB(rr) aszimptotikus atakjinak mcredeksage 0dBldekad.
4. Keressijk meg a kdvelkez6 tdr€sfi.ekvencjril. Ett6t jobbra ddtr (a)) aszimptori
kus alakjrlnak meredeks6ge (-20 dB/dckad) (muhipjicir6s) (iDdex) €rt6kket
megvrltozik. Ugr6s 4-re, ha van m6g tdrdsfrekvencia.
5. Mivel a P/Z eloszl6s az drviteli fiiggvcny 6rt6kat csak egy konstans szorz6
erej6ig hahrozza mcg, ezirl adB(.r) aszimplotikus alakjAnak vdgs6 hetydr jil_
.e c vagy
lef(le ot;s.a, hardro,,zuk
Iner. H" 1w1juj. I ri, - .".,;n..r,_
kor fgy kell fclteld vagy lefei€ elrolni a 4. lipisben kcletkezcft lJd8(rr)_l.
hogy a kezdeli 20 ir' dB/dck6d neredeksdgLj szakasz (szriks6g eserdn anrak
meghosszabbi#sa jobb feld) a = l -ndl vegye fct a 2018rr drr6ker. Speciali_
san, ha N=1, akkor rigy is et lchet jrirni, ho$/ a fetfetd vagy ieldi r6rt6n6
eltolAst lgy vdgezziik cl, hogy a kezdcli _20dB/dekad meredeksigri szakasz
(sziiksdg eselin annak m eghosszabb itiisa j obb fcld) a) =,( _nrl messc a 0dB_
es tengelyt (ekkor ugyanis {= t +a;) = ().
A szabily alkalmaz6sir
l+s
n/(r) = l0 r(1+0.lrXI
+2r +2jr)

eset6n mutatjuk be. Ekkor zr =-1, rr =0,
' '
I .l
2 ' 2
s4 = -10. A tdrds-
I
frekvenciak ndv€kvd sorrendben O, -;.
;f,,,
amplitfd6-jelleggdrbdt a 6. I 2. dbra mnhtja.
l. lo. Az adB (a)) aszimptotikus
ooo(@
rE
:-=----.-
m
6. t 2. tjb.o. Azvszimptotik\ts aDplirfdd-j€lteggdrbe s/ors fetrejzousdnak illusztralisa
6.3 Kapcsolat a dominins p6lus 6s a dinamikus min6s6gi
jellemz6k kOzOtt
ES/ stabilis (r-ben a bal felsikon ldv6) p6lushoz tartoz6 fanziens annil lassabban
cseng_le,-mindl kitzelebb van a pdlus val6s rdsze nrl:rt:toz. A zart szabtilyoz^i kijr
6witeli, ftiggvdnydnek nulldhoz legkdzelebbi pdluset va$/ konjug6l; konpl€x
pdlusparjdt a z6t rendszer domitr6ns p6luspdrjdnek nevezzuk. lai*l " .enao",
gyorsltdsa ds a hilldves csdkkentdse (a stabilittui tartaldk ndveldse) 6ltal6ban ellenldles
kdverefmdnyek (liisd 6.1 t. tibaI ezen a rervez6 a legijbb szabdlyozisnel a
zafi rendszer szinn&a a k6t kttvetetmdny mdrlegelgsdvel valamilyen komprcmisszu_
mol viilasz.
, Oktthzatalykdnl elfogadhal6. hogy ha a l6bbi p6lus a domin6ns konjugrjr
komplex p6luspdrt6l balra 6S/ hetyezkedik el. hoS/ valos reszdnek abszolur irtike
legal6bb h&omszor nagyobb a domin6ns pdluspar val6s r6szenek abszolit drt€kdnel.
akkor
tranzl
hal6rc
meg,I
konjr
jobb,
?otli
fiekv
a20n

6.3 kapcsolat a domin6ns pdlus €s a dinamikos min6sdei j ellemzttk kijzijtt I 03
akkor a zert rendszer etmeneti filggv6nydnek elsd ma.ximuma hely6n a tdbbi p6lus
ranziense mit lecseng, ez€rt a dinamikus min6sdgi jellemz6ket a dominrns p6luspar
hatatozza meg. Mivel a konjug6lt komplex p6luspar k&tarol6s leng6 tagnak felel
meg, ezert a ztut szabllyozasi kajr j6l approximalhat6 kettdrol6s leng6 laggal.
X
.-------------v-
tov6bbi
pdlusok
Jl
domin6ns
p6lusp6r
tr
6. | 3. dbra. A z6rt szab{lyozasi kdr p6lusainak tipikus elhelyezkeddse
A zArt rendszer p6lusainak tipikus elhelyezkedds6t mutatja a 6. ,1-1. tibra. A zArt
szab^lyozAsi kijr dinarnikus min6s6gi jellemz6i a ke&irol6s leng6 tagra levezetetl
itssze{iiggdsekb6l szimithat6k:
s,.,=-6aoxjaoJt-7 = o, r: ja",
zv=exp{---1,
\11 1'
7,,
." @,J11
- ln50 4 ln20 3
12% =-.- eS l5% =-P-.
ot ot
(6.25)
A megengedett /r tulliivdsb6l (tlillendiildsb6l) meghat6rozhatd a domin6ns
konjug6lt komplex p6lusp6r 6 -je. Mivel arra tdreksziink, hogy a z.in rendszer minil
jobban kdzelitse a ,t/,ri (s) - I atviteli fi.iggv€nyt annak 6rdekdben, hogy a szab6lyozottjellemz6
min6l kisebb hibeval kdvesse az alapjelet, ez€rt a zart rendszer hatArfr€kvencidja
(ds a felnyitott kdr azzal j6l megegyezd @. v6gesi frekvenciaja) kb.
^zonos a zert rendszert approxim6l6 kdtt6rol6s leng

IO4 6. FOLYTONOSIDEJU LINEARIS SZABALYOZASOK ANALiZISE
ejeval. A zirt rendszer tranziens€nek gorsaseg6l befolyasol6 at -o" h?ltArftekvenciab6l
ez€rt meghatdrozhat6 a dominrins p6luspdr a'0 -ja. Vil6gos azonban, ho$/
ha pCld6ul a szakasz 6tmeneti filggvenyebdl identifikdltuk a szakasz modelU€t es
hatdrcztuk meg a szakasz I, id66uand6it akkor a szakasz 6tmeneti fliggvdnydnek
rclath' hibdja a kezdeti r(t)Fo iddintervallum kiizel€ben jelent6s, ezert dtkin
fogjuk tgy felgyonltani a rendszert, hogy kitzeldbe keriiljiink ennek a
iddintervallumnalq mert ekkor a szakasz modellje m6r a nagy relatlv hiba miatt nem
lesz hihet6. Ez6rt bevezetve a sz*asz T" =\7, szumma-id66lland6j6t (a szakasz
atviteli fijggvdnydnek nevezdj€t els6rendtl Taylor-sor6val kdzelitve, azaz a szakaszt
f" id66!1and6jn es/t6rol6s tagnak felfogva), dkdlszabdykent elfogadhat6 kiildndsen
aperiodikus (e$/t6rol6s tagok soros kapcsol6sakdnt felirhat6) szakasmk eseten az
ao * 517. v^asil6s.
6.1a. dbta AdominAns p6lt's helle a dinamikus min6sdgr jellemzdk szimulLrn eldlrasa eseten
6-4 Lir
Ee
p6lus
el6ir
D
ii)
iir)
iv)
A ktt
dbra
6.4
Felt
wo
t€n(
Re
hoc
sza
.f (l
f€ls
mi
kLl

6.4 Linedris
szabel),ozAsok
eliand6sull
allapota
,Fgy lrpikus. s,,igorubb ktivetelmenyrendszer lehel
po,lusprirjd
a zdfl rendszer
hebenek dominAns
meg\ a tds./rasara a ainamiku. rnin o..^i" E 4 / T2%^,,*,
." 272".,n, = tr / 7,..u*,
a.

106 6. FOLYTONOSIDEJIJ
LINEANS SZAB,{LYOZASOK ANALiZISB
7{t1- c', J!)- +. .+.-rr + c-,.
Ezbizrositia (6.2D eryenyessegdt akkor is, ha sr = 0 p6lusa F(r) -nek.
A szuperpozici6 elvit alkalmazva a kdvetdsi hrlajdons{gok vizsgalatrt kiilttn vdgezhetjtlk
alapjelkdvetdsre (ekkor a zavar6 jel nulla) 6s zavard jel kompenzdldsm
(ekkor az alapjel nulla).
6.4.1 Alapjelkdvet6s
(6.29)
A szabAlyozdstechnikai alkalrnaz6sokban az ellen6rz6 szew f6rzekel6) az alacsonvfrekvenci6s
viselkedes szempontjdbdl rendszerinl j6l approximdlhat6 ide6lis a:rinyos,
vagy e$rtArol6s aiinyos taggal:
la
w"@=l "A"
tt - "r"
6.I 5. Abrc. Szab{lyozAsi k6t tip'kus ellen6rz6 szeMel
(6.30)
Ha .x,0 (t) jeliili a szabalyozott je emz6 eldirt 6rteket, akkor az r,(.) alapjel sztmara
az
x otq W,(O)x.o\t\ = A,x"op1

e(t) = x.a(t) - x"(, =l!!! - x,(t).>
r,,,=].]_ ----J11')r,1') fv,,,,=
lw,(o\ | + wt( s\W, ( s)W, ( s)
"
I
= =+ 1 * w !(r.Y.,q!!r, 9!- w, @l x, (")
W,(0) 1 + Wt(s)Wr(s)W" (s)
Arinyo! jellegii f€lnyitott kiir es€t6n ro(r)-f, ahol ( a kdrer6sit6s.
H^M slapjel uenis alaki, azaz xa0)= xaol(t), akkor a hatardrtdk t6tel szerint
",-, ' ' = 11*" -L|+/'r"r/r("tP"t"r-ti"t0t] 2
"-o W,(0) 1+ Wt(s)W2g)W"(s) s
1 x,o
1+ K W"(0)
Haz^lapjel sebessdgugnis alahi, az z x"(t)=ct l(t), aulol
| | + wJiWts)W,ts| -w
P(o)-limr'----:
r'-_ -'L ' _' Jotf
' .
.,0 ,t/" (0) 1 + Wtg)% (s)W,(s)
=
r"(s) -'l"(o)
1h-!.
- 0.
"-9rl" (0) w"(s)
Ha az alapjel sebessigugftis alaki, azaz r, (t) = ct 1(0, akkor
(6.32)
(6.33)
t
Et .t
I Wls)W)lstW,!st-w,n\|.:=._l.c{").
' ! .
W"(ot l-wt\slw)\!)w lsl 12 -r{/,t0) - _ r2' . ^,
"(/r. --Ll-1, I c{or,..@.
r"(0) Ll+x )
Meg6llapithat6 teh6t, hogy adnyos jellegri felnyitott kdr eset€n a kiirerdsitds ndvelesdvel
(a stabilitAs hateran belul) csdkken a hiba, de sebessdgugras alapjel esetdn
a hiba vdgtelenhez tart.
Integr6f6 j€llegii felnyitott kdr €set5n WoG)- K / s, ahol .( akdrerdsitds 6s
i=1 a tipusszim.
Ha az alapjel ugrds dlakl, az z x,(t\ = x,ol(t), akkor a hatarirtdk titel szerint
(6.1s)

IO8 6, FOLYTONOSIDEJIi LINEARIS SZABALYOZASOK ANAL1ZISE a
e,.\_t o.s. 1 -w,Q)l
.1+w1\)w'6)w,$) . c.
'";;o
_
w,(o\ r + wt(s)b (s)w"(s) s'
. K .. w,(s)-w,(o)
I/" (0) Ho r _
K
w"(0)
" lt I .. w"(s) w"(0)
r"(0) l( z"(0),-o ;
Ha ^z erz€kel6 e5,'tdrol6s aninyos tag, akkor
Specielisan I" =0 eset€n

6.4 Linedris szabelvozasok alhnd6sult ,llapota 109
Ha a zsvanis az integtdtor utdtt ldp a rchdtzefie, teh6t ftl, (r) az integr6l6
iellegit, ^z z ltl, (0) = @, akkor
Wt(s)W,(s)
"(-)=ls" (6.40)
1 + ry G)rt/r(s)w, (s)
Ha a zavards az integrdlor eldtt ldp a rc dszefie, teh6t 4(s) az integnil6
jellegt, azaz It1(0) = o, akkor
e(co) = Ims ryG)w,(s\ .
1 + W| (s)wzG\Lr" (s) x,a /,(o)x"o
_
_
s Wr(0)W"(0)
=4$41'11{.,or"'l
(6.41)
Ossz€foglalva meg6llapithat6, hogy a maradd hiba csdkkentdse irdekeben mind
alapjelkbvetes, mind pedig zavar6jel kompenzaltu eset6n na$/ kdrerdsitdst (f) is
magas tipussz6mot (i) kell biztosltani a felnyitott kitr sz6miira, de kijzben biztositani
kell a z6rt rendszer stabiliLisanak meg6rz6s€t. A szab6lyozrisok teflez6sekor meg
fogiuk mutatni, hogy minden integrdtor (az , tipussz6m a felnyitott k6rben szerepl6
integratorok szima) - 90' fiisszdgel okoz a felnyitott kdrben, ami kedveziitlen befolyiist
gyakorol a zert rendszer stabilitds6ra (a p,, fdzist6bbletrc), ez6rt 6kal bzn
e$/-k6t integratomal rdbbel nem alkalmazunk.
A 6.15. dbra szgrinti tipikus ellen6rz6 szerwel elletott szabalyozisi kiirt felt6telezve
a vizsgalabk eredm€nyeit a 6.3. As 6.1. tdbldzatokbar foglaltuk dssze.
Felnyitott kiir
6.3. lAbh2dt. A, mran6 sz bdlyoz6sihiba alapjelkdvetes eseten
Alapjel Marad6 szabdlvozdsi hiba
0 .r,ol(r) t,o I
.
A, l+ K
0 ct 1(T\
x "ol(t)
0
ct l(T\ c I | -l
..4" \x
' )

i ,rtF'
6.4. ,,bldzat. i mtad6 szab6lyoz6i hila zavarcjet kompenzeus eseter
Felnyitott k6r
tiDusszAmr
0 x"ol()
Zrvar6 jellemzd Mrrad6 sz€bilyozdsi hiba
x,o l(t)
intesdtor utdn
x,ol(t)
inteArdtor el6tt
6,5 Stabilitf si krit6riumok
marad6 hiba szabdlyo?A nilk0l
\+K
0
%.$ag{,",r"r}
Tekintsuk a 6.6. libra szeilnti szab6lyoz6si k6rt. Tetszoleges ,Z(s) feltrhatd
W(s)= N(s)/ D(s) alakban, ahol N(s)jetttli a sz6mtdl6, D(r) pedig a nev€26 poti_
nomoi E t6rl a zArt rcndszer alapjel bemenetre 6s zava6 jel bemenetre vonatkoz6
awiteli fflggvdnyei (6.19) 6s (6.20) szednt a k6vetkez6 alaka hozhat6k:
dr (r)r'(r)D, (r)D,
t/, , (s)=
(r)
-' -' ,
Dr (s)[Dr rr)D, (r.,D" (r) + jvr (r),V, (r)tr'" (r t
(6.42)
i64rt
Tegy0k fel, hogli ltl, (r) stabilis, ds jeldlje ,/o(r) a felnyitott kdr erviteli liiggv€nyet.
Akkor a z^rt rendszet (aszimptotikusan) stabilis, ha az
I +Iro(s)=0€,4(r)D,(r)D,(s) + rr (s)?r', (r),V" (r) =O (6.44)
zf,rt rendszer
karakedsztikus egyenl€t minden s, ryitkdre tetesul Re r, < 0.
6.5.1 Hurwitz-f6le stabilitisi krit6rium
Teg,tlk fel, hory a ztt rcndszer kamkteriszikus e$/enlete
aosn +an_rs'-t +...+alr+ao =0. (6.45)
A Hurwitz-f6le stabilitdsi kit6rium vetaszt tud adni a zert rendszer stabilitdsdra
an61kiil, ho$/ a polinom gydkeit meg kellene hatdrozni. A stabilit6shoz k6t felt6telcsoportnak
kell szimult6n teljesiilnie [12]:

6.5 Stabilittui kritdriumok
i) Minden a, egyiltthat6 pozitiv el6jeli 6s neln nulla (negativ eryutihat6k esetdD
(.-lr -gyel megszorozya
az egyenletet, mindig eldfhet6, hory az egliitthatdk pozitivak
le$/enek).
2\ K'oezve az ^l bbi }, x r -es elrendez6st:
o o,r
o ",,
0 0
teljesill, ho$/ a sdma f66tl6jara tiimaszkod6
t^ ^ | gn- 4,,r an_tl
/, =)a,-|'. A, l-" ^"1 ^, F" ', , ," ,1. . .. ""
z, t6.46,
2t
lo ""_, ",_,1
aldetermindnsok mind pozitiv eldjeluek 6s nem nutl6k. (Ha a, / indexe negativ-
ve vAlik, akkor d,,r := 0 veend6).
Specidlisan, ha n = 2, akkor elegend6 teszt€ni az t) eryUtthat6 felrdtelt, mer
. lo, ol
a. a,. ^,=1,, ""1 *,
pozitiv ds nem nulla, ha az egyiitthat6k pozitivak 6s nem nulliik.
6,1, P6lda (r Hurwitz-krit6rium hasznrlat{nak illusztrdcidja): Legyen a felnyitott
kijr dtviteli fllggvenye Wo$\ = K l(l + tT)3 , ds keressiik a .( kdrerdsit6s azon
tartomdnyat, amely mefleft a Aft sz beryoz^ik6r stabilis lesz.
A zfut rendszer kankteriszikus e$/enlete
I + ltlo (r) =0

l) T', 37', 3T, 1+K>0=r>0. X>-
2) 37' , T! (8 - K), (t + K)a2 > o:> K 0 6s -10
2) 4 > 0)VK | 2> KT(1-2a\>l-2a 112
A k6t feltet€l alapjdn tehSt a shuktur6lis stabilittuhoz a>l/2 sziiks€ges. Very0k
6szre, hogy a felnyitott k6mek sl =0, sr.r =-llI ap6lusai,6s a strukturelis stabilit6shoz
a felnyitott kttr zt=-1/(aT) zdrus helydnek a -2l? 6rt€kndl jobbra k€tl
elhelyezkednie az s komplex sikon. Ez Bode-diagramban azt jelenti, hory a
zerushelyhez tartoz6 tdr€sftekvencianak jobbra kell lennie a 2 | T drtdkndl, mik6zben
a kett6s p6lushoz l/I tiir6sfrekvencia tartozik.
I
z
l
a
b
1
2.
s
ru
at
ly,
si
Fi
gu

6.5 Srabilitasi kril6riumok 113
6.5.2 Nyquist-f6le stabilitisi krit6rium
Az F2. fiiggel6kben bebizonyitottuk az (F2.i0)-(F2.1l) szerinti argumentum elvet.
Eszerint, ha /(z) letsz6leges komplex liiggvdny 6s C dnrnagAt nem metsz6 zArt
gdrbe a z -sikon, amelyre nem esik /(z)-nek p6lusa vagy z€rus helye, tovabb6
Z( aryfe) jelent; az arg/(z) fAzisszdg teljes megvdltozis6t a C gitrbe teljes kij-
rilljarasAnAl, 6s Z -tk, jeldli f(z)
-nek a C belsej6be es6 zdrus helyeinek szii-
rat, p = I.,
pedig /(z)
-nek a C belsejdbe es6 p6lusainak szimiit, mindegyiket
multiplicitdssal szemolva, akkor
At: xefG) _r_r.
2E
A bal oldal azt mutatja meg, hogy a pozitiv ir6nyitasi C gijrbe k6pe az
/(z) lekdpezds esetdn hdnyszor veszi kijriil a : = 0 pontot eldjelesen szinitva (pozitivnak
szemit az 6ramutat6 jArdsAval ellentdtes ireny). Jeldlje ez
EKVSZ(/(C),0), ahol az EKVSZ rdviditds az el6jeles kdrnlv6telek szimAra utal,
akkor
EKVSZ(| (C),0) = Z -P.
Alkalmazzuk az argumentun elvet a zafi rendszer stabililasdnak vizsgelatiira. A stabilit6s
felt6tele, hory l+f0(r) z6rus helyei a bal fdlsikra essenek. Legyen
/(s) r- i + ro(s), akkor
l. /(r) z6rus helyei ds 1+t/0(.r) z6rus helyei azonosak,
2. /(r) p6lusai 6s fo(s) p6lusai azonosak (egyszerre vdnak vdgtelenn6).
Tegyiik fel, hogy ltlo(s) -nek a komplex tengelyen Eincsenek p6lusai. Jeidlje
P a fe)nyitott k6r ,/0 (r) 6tviteli fiiggv6nye p6lusainak szimet ajobb fdlsikon, va-
$/is fo(s) labilis p6iusainak sz6rn6t. Te$/nk fel, hogy 1+ Itlo (r) -nek Z daftb zErus
helye van ajobb fdlsikon, tehet a zart rendszer labilis 6s Z labilis p6iusa van.
Valasszuk C gitrbdnek azt az R -+ @ sugarLi 6s r = 0 kijzepponti ktirt, amelynek
atm6rEe a komplex tengely is amely ajobb fdlsikot logja kdriil. A komplex tengelyen
haladjunk -j.o-+0++j6 ir6nyban, akkor C negativ (az 6ramutat6 halada'
sAval megegyez6) iranyitdsl. Hatarozzuk meg a C gatrbe /(C) = 1 + ]/o (C) kdpdt.
Fi$/elembe vdve a C gtjrbe negativ iranyiusa miatt szuks€ges eldjelveltest, ^z argumentum
elv szerint kapjuk, hogy
EKVSZ(/(C),0)= (z P)= P z. (6.47)

Az dsszEftrggdst ^ 6.16. dbrlin P - Z = -2 esetdn illuszfdltuk.
6.16. dba. Azat'vme rm elv illusznfliisa p-Z =-2 €set6!
Ha r z6rt rendsz€r strbilis, akkor Z=0. M sftszl /(r) = 0

6.5 Stabiliuisi kit6riumok 5
6.1 7. dbra. A C gdrbe, ha a felnyirott kdr tafalmaz inregr6torr ( r =0 p6hs)
A kiegdszildskor ve$/tik fi$,elembe. hogy t/o(r)=r(r)/r'. ahol ,(O) vdBes es I
az r = 0 p6lus muitiplicit.isa. Ekkor
wolp "t, y *
h(o)
, ,, =
h(o)
" ir,
v",, I p.
es q -re a -
!
--> 0 -->
! tartom6nyban kell Ddhany jellegzeres ertdket felvenni, mi-
2 2
tr6r6"n lQ-..
p
p616{ul ha i = 2 ds pe{-r12, r I 4, 0, r I 4, tt l2l , akkor a
kdpe rendre - pi e {2, r / 2, O, - /, 12, - z} lesz (eg/ v€gtelenhez tart6 k6rdn).
6.3. P6lda (a Nyquist-krit€rium illusztr:il6sa Iabilis feltryitott kdr eset6n):
Tektnbnk^ 6.18. dbra szqrinti szabalyozisi kitrt.
6../& d6la. Labilh feldyitott kon tanalmaz6 szabdlyozds
A feladat a kiivetkezd:
l. 1{=0.3 esetdn ddntsiik el a Nyquist-file stabilirdsi kit6rium segitsdgdvel, srabilis-e
a z6rt rendszer.

2. Hatarozztk meg a 1< param€ter azon tartomlinydt, amelyben a szab6lyozdsi kdr
stabilis.
Megoldes:
1. A felnyirott kitr 6tviteli ftiggvdnye:
5
,t/^(s)=-]-. l+5r
-'
-
t+2s
1 LL
l+5s
5
0+2rX1+l-s)
Mivel tr=0.3, eztu 5l(l-5K)=-10
(l + 2s)(l -5r + sr)
%(s) =_t0. (1+ 2sX1-10r)
A felrryitott kdr p6lusai rr =0.1 es 12 = -0.5, a felnyitof kdmek ez€rt p=t la"
bilis p6lusa van. A felnyitott kitr 6tviteli fiiggvdny€nek abszolut &t6ke 6s fiizisszlee
10
lw"(ia)l=
^l1.. 4.' .lt ,1oor'
'
P(aa)) = -l 80' + arctan 10.d - arctan2@.
A felnyitott k6r teljes Nyquist-gttrbdjdt a 6.19. dbra mutatja. A felnyitott
Nyquist-gijrbdjeaz
6mmutat6 jdrds6val €llentdtes, pozitiv iranyban
veszi kiiriil a -1
p = t -szer
pontot, ez€rt a zart rcndszer ( = 0.3 esetdn stabilis.
2. A mAsodik kdrddsre a Hurwitz-krit6riurnrnal hatirczzuk meg a v6laszt. A
rendszerkarakteriszikus egyenlete
l-tl^(s)=t+ '(t+2strt
5 - lorr +(? loK)s+6-5]l( -^- =u?
5i-5s1 (L rrrtt-5[, F5s)
,
1os' +(7-1or),r+6-5(=0.
Mivel a rcndszer mlisodrendrii, ezdft a Hurwitz-determin6nsokat nem kell
g6lni. Az eS/titthat6 feltetel szerinr hinden egyiitthat6nak poziti\,nak kell let
vaS/is 7-10(1(>0+f 0=tf

6.5 Stabilitrisi kdtdriumok 11'7
6J
.2
-3
-4
l 0
-8
Nyqulsl Dlqgrom
-6 4
ReolAi{is
6. I 9. tibta. L^bilis felnyitalt kdn tartalmaz6 szabetyozds relj es Nyquist-eOfbdj€
6.4. P6lda (e Nyquist-krit6rium illusztr6lSsa labilis 6s int€grAXort is tartalmaz6
felnyitott kiir €set5n): A szab6lyoztui kijr hatAsvAzlarar a 6.20. dbru mtt^tia. Milyen
hibaval kdveli ^z jr,(l) = t.1(t) sebess6gugras jelet a szab6lyozAsi kijr?
Megoldiis:
Vegyiik 6szre, hogy ha
0.2(1+ 7.5r)
Irn$):=
r(1-2rx0.5rz+r+l)'
akkor (-X. +.Y.)t/o =X" r.'iatt X"=-Wal(7-Wa), ezeft a zatt retdszer karakteriszlikus
egyenlete l-rl/o3)=o. Ahhoz, hogy egyfltalen beszilni lehessen kijvetdsihibar6l,
a zart rendszernek stabilisnak kell lennie.
A stabilitds eldirnt6s6re alkalmazzuk a Nyquist-kritdriunot azzal a konekcidval,
bogy a z6rt rendszer karakterisztikus egyenlet€nek alakja miatt a tesztpont +l lesz.
A felnyitott ktir p6lusai rr=0, sr=0.5 €s sr.n=-11;, tehiit a fe'nyitoft kitrnek
P=l labiiis p6lusa van. A pontos Nyquist-gdrb6t pozitiy @ jaa6.2 j. dbru, a:f,ljes
-2

Nyqubt-gitrbe vazfatos alakjet pedig az integrdrot lil,iaffl kiegeszijtr,sset ^ 6.22. dbra
murarJa.
6.20. dbru. L^bilis as int gtfiort is tartalm@6 fetnyirot! kdft sabAtyozr,s
o.4
0,3
o.2
-
o ^
B .
-o.2
-0,3
Nyquist Diogram
'0.4
0 0.5 I
ReolA's
1.5
6.21.l6ra Labilis€s i egratort is tartalmaz6 felnyitott kor Nyquist-gdrb6je pozitlv a, -ra
Mivel a teljes Nyquist€drbe az 6ramutat6 jer6s6val ellent€tes, pozitiv
P = I -szer veszi kiidil a +l tesztporrtot, ezeft a zdrt rcndszer stabilis. es ^lkal
hat6 a hater6rtdk tdtel a mamd6 szab6lyozjsi et€ds meghatdrozis6ra:
6.5 s1
i
E

o
.g
o
E
0.4
0.3
o.2
0.1
0
-0.1
-4.2
-0.3
Nyquist Diogcm
-0.4 0 0.5 I 1.5 2
Reolpi{s
6 ?2. zirld Labilis €s integr6torr is radalnaa fetnyilolt kOrletjes Nl,quisr-gijrbdje vrrzlatosan
6.5.3 Bode-f6le stabilitisi krit6rium
Feltesszilk, bogy teljesiilnek a kdvetkezd felt6tetek:
L A felnyitott kdr I4l0 (r) awireli ftggvdnyEnek csak a nyitt bal f€lsikoD 6s esetteg
r = 0 -ban van p6lusa.
2. Csak egyetlen olyan .r, rin. vdgdsi frekvencia van, amelyre adB (a. ) = OdB _
, Ezek az esetek- kitlijndsen fontosak a &vakorlat szimAra. (Az itt vizsgaltnAl Alta_
lanosabb esetre a Nyquist-kir6rium alkalmaz dsa javasolhat6). A fenti fe'it6telek tet_
jeslildse esetdn a ztt szab6lyozisi ktjr stabiliriisdnak az a fetidtele, ho$/ a felntir;tr
kdr teljes Ny_quist-gtrbdje ne vegye kairiil a -1 teszrpontot. lffa nir[s *OrUlvetel,
nem kell beszdlni a kdriilvdtel irAny6r6l).

62J. drla. Stabilis zdrt rendszn eredmenyez6 felnyitott kd. fdzisszdge a vagdsi fiekvencidn
Tekintsiik a Nyquist-kdtirium alkalmazdsa alapj 6n a 6.23. dbra szeint st^bilis
rendszert eredmdnyez6 esetet (a -1 pont kdriilvdteleinek sz6ma KVSZ = O = p
) ds
a 6.24. dbra szerinti labilis rendszert eredmdnyez6 eselet (a - 1 pont kdriilvdteleinek
sz6ma KVSZ+0=P). Az 6br6kbabe4zohrk az egysegkdrt, a ,'/o 0rr) Nyquistgitrbdn
bejefitltiik az @. vegasi frekvenci6t, ahol a Nyquist-gijrbe metsd ^z egisd]lkdrt
(itt
lwou(oc)l=l, teMt adB (@. ) = O dB ), es bejeldttiik a vdg{si ftekvenciAn a
Wa(jac)-heztartoz' e@)c) f6zissziiget.Villgos, hogy stabilis ztut rendszer esetdn
ek)")> -180", labilis ztut rendszer esetdn pedig p(a")

6.24. 6bra. Lab b z&t ftndsan eredm{nyezd
felnyjrott k6r f62issz6ge
a vdg&i fi.ekvenciiin
Bode-kria6rium:
HatArozz\k meg a?l az @, v,ig6si frekvencidt, ahol a fetnyitoft kdr amplitud6 me_
nete metszi a 0 dB -es tenge\'t: adB (@c ) = o dB. Hatdrozzuk meg a felnyitott k6r f6zistdbblet6t
a v6g6si fiekvencidn: p! := t 80, + p(@. ). Akkor
j) a zfut rendszrf stabili s, tn 9, >0,
ii) a zdrt rendszer a stabilitAs hat6rdn van, ha p. = 0,
iii) a z{rt rendszer labitis, ha p! < 0.
Kinalkozik e$/ eg/szerltsitCsi jehet6sig. amely k dndsen
-:.rlf,:T".:T::::Tf:r.a-szabdyoz6ledvezd
a szabdlyoz6 rcrve_
pararnetereir reressiit. es ryor_
;,il"*il:f *ffi%:ffi :-'lr::eru*;,xlml*t*li*kil

abb6f meghatArozhatjuk az @" .v6g6si frewencia k6zelit6 Ert6k6t, ds ezen az e$/et_
len helyen kiszAmitva a e(a.) ftzissz'geI, (6.48) felhasmaldsdval meghatarczhat_
juk a pr fiizistdbblet j6 kdzelitisdt. A kijzelit6 .r. meghardrczisakorj6l hasznosit_
hat6, hogy ha ismefl.lnk az aszimptotikus Bode-diagramban kdt dsszetartoz6
(At,bt) es (A2,(D) 'rt'kptuI a k2\dB/deked meredeks€gr:i szal€szon, ahol
A, -lw(ja)l i = 1,2, akkor krizijttuk fennall egy 6sszeftigg6s, amely atapjrin ha
jsmeriink harom adatot kitztiliik, akkor a negyedik m6r meghat6rozhat6 bel6tiik. Ek_
kor uryanis az adatok kj el'girik a 2\lglvl= -k2|lg@ + 20tg B egyentetet, teh6r
20lgA1 = -k2jlE@t + 20leB,
20leA2 = -k20lg@z +20lgB,
20leAz -20lgA1 - k2jlgat - k20lg@2,
ahonnan kdvetkezik a j6l hasmositbat6
A, (_,\r
-. =l-l (6.49)
At \az )
ijsszeftlgg€s. P6lddul ha isrnert (,4t,.r1) is l, = l, akkor meghatdiozhat6 dr2 = o),.
6.6 A stabilitdsi tartal6k jellemz6se
fdzistiibblettel
A fiizistitbblet 6s a stabilit6si tartalCk ktizdtt szoros kapcsolat van. Min6l nagyobb a
felnyitott kdr fiizistdbblere, annd tavohbb van a zirt rendszer a stabilitras hii6r6t6l.
ds ann6l tttbb esellyei 6rzi meg stabilir6sat a follamat paramitereinek va{rozdsa ese.
t6n. A fdzistdbblet 6s a stabilitesi tartal6k k6z6tti memyisdgi dsszefiiggdsl
eg',t6rol6s inregr6l6 jellegti felnyirott ktjr eseten fogiuk megmutatni. Ilyen fehtitott
kttr gyakran kelelkezik, pl. ha az integrdtort is ta(almazd szab6lyoz6 z6rus helyiivel
kiejtjtlk a szakasz dominans id66lland6it. Bonyolultabb felnyirott kiirdk eseten az
ijsszefiigges erv6nyessdge csiikken, de mig mindig j6 tAmpontot ad a szab6lyo6
6.25. Abra. EgylAtol's integrdl6 felnyitod kijrt tartalmu6 szabdtyoz^i rendsar
Tekinlsiik
_
a 6.2J. dbra szErinti egyszert szab{lyozisi k6rt, amelyben a felnyitoll
kdr e$/tdrol6s integr6l6 jellegii. A zirt rendszer ered6 etviteli fiiggv;nye
6.6 t
keft6
g6sel
srab

K
tr|^(s) =
s(l + s)
,. K ,. 1 _, 1 _: t+2€Ts+Tzs2
s(l+s) K K
leng6 tagnak felel meg, amel).re teljeslil
r =l JV,
^^ ^" I 1 , I
(6.50)
(6.s1)
A zftt rendszer stabiliiisi tfltaldka a domin6ns p6lusp6m6l megismert itsszeliiggdsek
szerint jellemezh€td a ttllitv6ssel: mindl kisebb a tulldves, ann6l na$/obb a
stabilitdsi tartalek. A tulliives (6.23) szednt
-
Av = exl\--+:\
-lt - tr
,, 1 n"t4
t -
'erpc-L\-tn
^l4K-t
av= . -=!:-
,14K-l
(6.52\
4 ln' ^v
Mdsrest vil6gos, hory W|(j,J\= K /(-a2 - j1.'\.ezei
lwoqia.ll={-r,+
4a; + a;
1+ 4K2
g(co
") = -90' - ^tcl^i ('),'
h -180' + Qkoc)=g'' - arctb(Dc.
at! +al -K2 =o+
(6.53)
6.5. tdbld.at L 2111 rcndszer tillovdse 6s a felnyirott kor f6zistobblete k0zotti osszellgges
e$n6rcl6s int€giil6 felnyitott kdlt feltetelde
Ar lYol
p, [fokl
I 0.366 0.346 10.9
5 0.525 0.474 64.6
l0 0.715 0.611 58.6
20 t.203 0.896 48.I
30 |.952 1.231 39.1
40 3.189 t.652 31.2
50 5.386 2.216 24.3
60 9.706 3.036 18.2
70 19.645 4.3't6 12.9

I24 6. FOLYTONOSIDEJU LINEARIS SZABALYOZASOK ANALIZISE
Az eredm€nyeket numerikusan kidrtdkeltrik ds dsszefoglaltuk a 6.5. tlibldzatban.
Lethat6 az ercdmdnyekb6l, hogy min6l kisebb a 9, =!80'+tp((D.) sznl (f,,zistdbblet)
€rt6ke, annel nagyobb lengdsek l6pnek fel a tmnziens soren, annAl kisebb a
stabilitasi hrtaldk €s anndl nagyobb a leng6shajlam.
A 6.5. tdbldzat szetinl aperiodikus tranzienshez kb. 72'-os f6zistijbblet kell,5
%-os tflliiv6st kb. 65'-os fdzistdbblettel lehet biztositani. mls 45'-os fiizistiibblet
kb. 25 TFos till6vdst eredm€nyez.
E
s
k
fi
rl
n
lv
p(
fti
sz
bd
ri\
b6
ju
ap
ho
Sn
be
kir
lyc
szt
Str
isn
Kd
bel
hib
letli
26
dig
sza