szerkezetek szeizmikus terhelése - Műszaki Mechanikai Tanszék ...
szerkezetek szeizmikus terhelése - Műszaki Mechanikai Tanszék ...
szerkezetek szeizmikus terhelése - Műszaki Mechanikai Tanszék ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM<br />
<strong>Műszaki</strong> <strong>Mechanikai</strong> <strong>Tanszék</strong><br />
_____________________________________________________________________<br />
SZERKEZETEK SZEIZMIKUS TERHELÉSE<br />
Modálanalízis alkalmazása<br />
OKTATÁSI SEGÉDLET
Összeállította:<br />
2<br />
dr. Vörös Gábor, egyetemi docens<br />
2004. november
3<br />
TARTALOM<br />
1.Bevezetés: ...................................................................................................................... 4<br />
1.1. Földrengések mértéke ............................................................................................ 4<br />
2. Gyorsulás válaszspektrum ............................................................................................ 7<br />
2.1. Tervezési gyorsulás spektrum.............................................................................. 11<br />
3. Rugalmas rendszerek <strong>szeizmikus</strong> <strong>terhelése</strong> ................................................................ 14<br />
3.1. A rendszer mozgása ............................................................................................. 14<br />
3.2. Összegzési szabályok........................................................................................... 18<br />
3.3. Belső erők számítása............................................................................................ 19<br />
3.4. Hatásos tömeg...................................................................................................... 20<br />
3.5. Hiányzó tömeg korrekció..................................................................................... 21<br />
4. Kidolgozott mintafeladatok ........................................................................................ 23<br />
4.1. Két szabadságfokú keret ...................................................................................... 23<br />
4.2. Oszlop, hiányzó tömeg korrekcióval ................................................................... 26<br />
5. Ajánlott irodalom........................................................................................................ 30
1.Bevezetés:<br />
4<br />
Évente átlag öt-hatezer olyan földrengést regisztrálnak, amelyek az épített<br />
objektumokban okozhatnak számottevő károkat. A <strong>szerkezetek</strong>ben a <strong>szeizmikus</strong> terhelés<br />
következtében kialakuló mechanikai hatások – alakváltozások, igénybevételek – elemzésére<br />
alkalmas eljárásokat a magasabb műszaki kultúrával rendelkező és a földrengésekkel<br />
gyakrabban sújtott országokban – USA, Japán – fejlesztették ki, és a ma általánosan használt,<br />
különböző nemzeti biztonsági és tervezési előírások is ezekre az eredményekre alapulnak.<br />
Bár Magyarország nem tartozik a magas szeizmicitású területek közé, egyes vidékeken<br />
és károsodásuk esetén súlyos katasztrófát okozó rendszerek – például atomerőművek –<br />
tervezésénél és ellenőrzésénél ezeket a vizsgálati módszereket alkalmazni kell.<br />
A földrengések kialakulását leíró elméletek közül a legáltalánosabban elfogadott a<br />
rugalmas átrendeződési mechanizmus elmélete (Ried, 1906). Az elmélet szerint a föld felső,<br />
szilárd kérgét alkotó tektonikus lemezek lassú, de eltérő mozgást végeznek. A táblák mozgása<br />
során, a lemezek széleinek környezetében, a repedések, törésvonalak mentén helyi rugalmas<br />
alakváltozások alakulnak ki. Amikor ezek a deformációk elérnek egy kritikus mértéket, az<br />
alakváltozások hirtelen átrendeződnek és ezzel nagy alakváltozási energia szabadul fel. Ez a<br />
hatás a tektonikus táblákban longitudinális (dilatációs) és tranzverzális (nyíró) hullámmozgás<br />
formájában terjed. A földrengés középpontja – a hipocentrum – általában a törésvonalak<br />
mentén van, ennek helyét a föld felszínén az epicentrum jelöli ki. Mivel a longitudinális és a<br />
tranzverzális hullámok terjedési sebessége különböző, de meghatározható, egy mérési helytől<br />
a hullámok érkezési idő különbségéből az epicentrum helyét meg lehet határozni. A<br />
törésvonallal határos részek az elsődleges mozgás során túllendülhetnek az új egyensúlyi<br />
helyzeten, ami ismételt elcsúszásokat okozhat. Ezek okozzák a főrengést követő, kisebb<br />
utórengéseket. Ez az elmélet az alapja annak az eljárásnak, hogy a jövőben várható rengések<br />
számát és mértékét a múltbeli események statisztikai elemzésével lehet becsülni.<br />
1.1. Földrengések mértéke<br />
Mérnöki szempontból fontos szerkezeti vizsgálatokhoz használható, a talajmozgást<br />
jellemző mérőszámok maghatározása. A régebben használt, ismertebb intenzitás skálák a<br />
tízfokozatú ”Mercalli” (1902), a tizenkét fokozatú ”Módosított Mercalli” vagy ”Mercalli –<br />
Cancini - Sieberg” (1931) és a hét fokozatú ”Japán” intenzitás skálák, amelyek az okozott
5<br />
károk szöveges leírása (az épületeken keletkezett repedések mértéke, stb.) alapján jellemzik a<br />
földrengéseket [1].<br />
A szubjektív észlelésen alapuló intenzitás skáláknál pontosabb, a felszabaduló<br />
energiával arányos mérőszám a ”Richter” (1935) skála szerinti erősség, jele M. Az M erősség<br />
mérőszáma az epicentrumtól 100 km távolságra lévő Wood-Anderson szeizmográf mikronban<br />
mért (10 -6 m) legnagyobb kitérésének tízes alapú logaritmusa. A Wood-Anderson<br />
szeizmográf egy egy-szabadságfokú csillapított lengő rendszer, aminek a lengésideje T = 0,8<br />
sec, a relatív csillapítása ξ = 0,8. Mérési eredmények szerint a földrengés során felszabaduló<br />
E energia és a Richter skála szerinti M erősség kapcsolata:<br />
( )<br />
lg E / E = 11. 8 + 1, 5M .<br />
0<br />
Tehát a felszabaduló energia 32-szeres növekedése a Richter skála szerint egy fokozat<br />
növekedést okoz (10 1,5 ≈ 32). Az eddig észlelt legerősebb rezgés erőssége nem haladta meg<br />
az M = 9 értéket. Az M = 5 alatti rezgések általában már nem okoznak komolyabb szerkezeti<br />
károsodást. A Richter skála mellett még további mérőszámokat is használnak, amelyek<br />
pontosabban jellemzik a felszabaduló energia nagyságát, illetve a földfelszín<br />
hullámmozgásának mértékét, jellegét.<br />
Az intenzitás és erősség mérőszámok a rengés egészét jellemző adatok, ezért a helyi<br />
hatások, az épített <strong>szerkezetek</strong>ben kialakuló alakváltozások, belső erők meghatározására<br />
közvetlenül nem használhatóak. Mivel a földrengés hatására a <strong>szerkezetek</strong> alapjai a talajjal<br />
együtt mozognak, mérnöki szempontból egy földrengés legfontosabb jellemző paraméterei<br />
közé sorolható a felszíni mozgásokat leíró vízszintes és függőleges irányú talajmozgás-idő,<br />
illetve talajgyorsulás-idő függvény (accelerogram). Ebből, többek között, meghatározható az<br />
amax maximális talajgyorsulás, a rengés időtartama és a domináns frekvencia tartomány.<br />
Új <strong>szerkezetek</strong> tervezésénél a múltbeli események mérési eredményeit közvetlenül nem<br />
lehet felhasználni, mivel – a tapasztalatok szerint – egy adott helyen még a hasonló erősségű<br />
földrengések során felvett gyorsulás idő függvények is eltérnek egymástól.<br />
Az idő függvényében változó terhelés – támaszmozgás – hatására kialakuló szerkezeti<br />
válaszok, a mozgások, feszültségek szintén változnak az idő függvényében, ezek részletes<br />
számítása, különösen nagyméretű modellek esetén, igen hosszadalmas művelet. Mérnöki<br />
szempontból, a megoldás legfontosabb eredménye általában nem az időbeli változás, hanem a<br />
vizsgált időszakaszban kialakuló maximális értékek, a legnagyobb elmozdulás, reakcióerők,<br />
nyomatékok, vagy a legnagyobb igénybevétel számértéke, illetve ezeknek egy felső becslése.
6<br />
A földrengés során a vizsgált mechanikai modellben kialakuló maximális értékek<br />
közvetlen számítására alkalmas eljárást, a gyorsulás spektrumok módszerét, Biot és Housner<br />
(1941) dolgozták ki.<br />
1. ábra. Az 1989. október 17. (Loma Prieta) földrengés talajmozgásai [6].
2. Gyorsulás válaszspektrum<br />
7<br />
2. ábra. Egy szabadságfokú oszcillátor<br />
Először vizsgáljuk a 2. ábrán látható egy szabadságfokú csillapított lengő rendszert,<br />
aminek a mozgásegyenlete<br />
illetve<br />
( g )<br />
m && u+ && u + d u& + k u = 0<br />
,<br />
&& &<br />
2<br />
u+ 2 ωξ u+ω u =−ag<br />
(2.1)<br />
alakban írható fel, ahol a támasz ismertnek tekintett mozgását az ag =u&& g t gyorsulás<br />
függvény (accelerogram) írja le és u(t) az alaphoz viszonyított relatív elmozdulás. A<br />
csillapítás nélküli rendszer sajátfrekvenciája, a lengésidő és a relatív (Lehr féle) csillapítás<br />
2πd<br />
ω= k / m , T= , ξ=<br />
ω 2ω m<br />
A (2.1) egyenlet megoldása, a nyugalmi, u( t = 0) = 0 és ( )<br />
tömegpont relatív mozgása, a Duhamel integrál alakjában írható fel:<br />
t<br />
1<br />
u t =− a τ exp⋅ −ξ⋅ω⋅t−τsinω t−τd τ .<br />
( ) ( )<br />
() ( ) ( )<br />
A csillapított rendszer frekvenciája<br />
g<br />
ωd τ= 0<br />
∫ d<br />
()<br />
. (2.2)<br />
u& t = 0 = 0 állapotból induló<br />
2<br />
ω d =ω 1−ξ<br />
. Ha ξ > 1, akkor a rendszer túlcsillapított<br />
és a mozgása aperiodikus. A továbbiakban - mivel a valóságos <strong>szerkezetek</strong> többségénél,<br />
amelyekben nincs koncentrált lengéscsillapító elem, a relatív csillapítás kicsi, ξ ≤ 0,3 -<br />
elhanyagolhatjuk a csillapított és a csillapítatlan rendszer frekvenciája közti különbséget, azaz
8<br />
ωd ≈ ω. Ezzel a közelítéssel élve az elkövetett hiba kisebb, mint 5 %. A nyugalmi helyzetből<br />
induló tömegpont relatív mozgása<br />
t<br />
1 1<br />
u() t =− a g ( τ) exp⋅ −ξ⋅ω⋅( t −τ) sin ω t−τdτ=− V t<br />
ω ∫<br />
ω<br />
τ= 0<br />
( ) ( ) ()<br />
alakban írható fel, ahol V(t) a rendszer pszeudó sebessége. A tömegpont relatív sebességét az<br />
(2.3)<br />
t<br />
u& () t =ξV() t − ∫ a g ( τ ) exp⋅( −ξ⋅ω⋅( t −τ) ) cos ω( t−τ) dτ,<br />
(2.4a)<br />
τ= 0<br />
az abszolút gyorsulását pedig a következő összefüggésből számíthatjuk ki:<br />
t<br />
( ) ( )<br />
() () () ( ) ( )<br />
&& u t + a t =ω V t + 2ξω a τ exp⋅ −ξ⋅ω⋅ t −τ cos ω t−τ dτ<br />
. (2.4b)<br />
g g<br />
τ= 0<br />
∫<br />
Amint az a relatív elmozdulás (2.3) szerinti alakjából kitűnik, egy adott ag(t) talajmozgás<br />
esetén a nyugalmi állapotból induló, egy szabadságfokú rugalmas rendszer mozgása, válasza<br />
csak az ω sajátfrekvenciától és a ξ relatív csillapítás értékétől függ.<br />
Egy szerkezet tervezése illetve ellenőrzése szempontjából fontos eredmény a maximális<br />
relatív elmozdulás. A terhelés teljes időtartama alatt a szerkezet (2.3) szerinti relatív<br />
elmozdulásának maximuma<br />
( () ) ()<br />
( ) v( ) d (<br />
1 1<br />
max u t = max V t = S ω, ξ = S ω, ξ ) , (2.5)<br />
ω ω<br />
ahol Sd az elmozdulás válasz spektrum és Sv a pszeudó sebesség válasz spektrum.<br />
A 2. ábrán látható egyszerű rendszerben a rugóerő, a rugalmas elem igénybevétele a<br />
(2.3) relatív elmozdulás ismeretében a (2.2) felhasználásával számítható:<br />
aminek a maximuma az (2.5) definíció szerint<br />
ahol<br />
1<br />
F t k u t k V t m V t<br />
ω<br />
() = () = − () = − ω ()<br />
( () ) ()<br />
( ) v ( ) a (<br />
max F t = m ω max V t = mωS ω, ξ = mS ω, ξ), (2.6)<br />
t ⎛ ⎞<br />
( ) ( )<br />
2<br />
( ) ( ) ( )<br />
Sa ωξ , =ω Sv =ω S d =ω max⎜ a g τ exp⋅−ξ⋅ω⋅t −τ sinωt−ττ<br />
⎜ ∫ d ⎟ , (2.7)<br />
⎟<br />
⎝ τ= 0<br />
⎠<br />
,
9<br />
a pszeudó gyorsulás válasz spektrum, vagy röviden a gyorsulás spektrum. A „pszeudó” jelző<br />
itt azt jelenti, hogy az Sa nem pontosan a (2.4b) szerinti abszolút gyorsulás maximuma. A<br />
(2.1) mozgásegyenlet szerint, ha eltekintünk a csillapító erőtől, a tömegpont abszolút<br />
gyorsulásának közelítő értéke:<br />
2<br />
( && u+ ag ) ≅ ω ( x ) =ω Sv = Sa<br />
( ω ξ)<br />
max max ,<br />
Az eddigiekben a (2.5) és (2.7) szerint definiált három válasz spektrum kapcsolata:<br />
2<br />
S= a ω S= v ω S d . (2.8)<br />
Tehát az Sd elmozdulás spektrum a relatív elmozdulás maximumát, az Sa gyorsulás<br />
spektrum az abszolút gyorsulás maximumának közelítő értékét, a gyorsulás spektrum és a<br />
tömeg szorzata pedig a rugalmas elem maximális igénybevételét adja a mozgó talajon álló<br />
rugalmas rendszer frekvenciájának és csillapításának függvényében. A spektrumokat<br />
különböző források vagy az ω sajátfrekvencia, vagy a T = 2π/ω lengésidő függvényében adják<br />
meg.<br />
A gyorsulás spektrum számítását szemlélteti a 3. ábra, ahol a gyakran idézett, M = 7,1<br />
erősségű El Centro (California, 1940. május 18.) földrengés alkalmával mért egyik ag(t)<br />
talajgyorsulás komponensből a (2.7) numerikus integrálásával számolt Sa (T, ξ) spektrumok<br />
láthatóak. Itt az alsó ábra a több mérési eredmény feldolgozása alapján átlagolt simított<br />
spektrumokat mutatja.<br />
A gyorsulás spektrum egy fontos tulajdonságát lehet megmutatni a következő példán.<br />
Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a támaszgyorsulást az<br />
ag = amax sinαt<br />
egyszerű harmonikus függvény írja le. A (2.1) mozgásegyenlet megoldása:<br />
{ exp sin cos sin cos ⎤}<br />
a max<br />
u() t = D 2<br />
ω<br />
2 2 ( −ξωt) ⎡<br />
⎣<br />
β( β + 2ξ −1) ω t+ 2ξβ 2<br />
ω t⎤ ⎡<br />
⎦<br />
+<br />
⎣(<br />
1−β ) αt−2ξβ αt<br />
⎦<br />
D<br />
1<br />
α<br />
, = .<br />
= β 2 2<br />
ω<br />
2 ( 1−β ) + ( 2ξβ)<br />
.
10<br />
3. ábra. A gyorsulás spektrum származtatása
11<br />
Ha a rendszer k merevsége, és ezzel az ω frekvenciája is nagy az α értékéhez képest, akkor<br />
β→0 és D→1. A tömegpont relatív mozgása ilyenkor<br />
amax amax<br />
u() t ≈ Dsin α t = sinαt<br />
2 2<br />
ω ω<br />
alakú lesz. A gyorsulás spektrum határértéke a definíció szerint<br />
( , ) ( , )<br />
S ω→∞ ξ = S T →0 ξ =a max . (2.9a)<br />
a a<br />
Ez az eredmény szemlélet alapján is belátható, ugyanis a merev rendszer a támasszal együtt<br />
mozog és a rugóban kialakuló maximális igénybevétel az mamax tehetetlenségi (inercia) erő.<br />
Másrészről, ha rendszer merevsége kicsi és ezért a β→∞, akkor<br />
és a gyorsulás spektrum másik határértéke<br />
2.1. Tervezési gyorsulás spektrum<br />
u( t) ≈ 0<br />
,<br />
( , ) ( )<br />
S ω→0 ξ = S T →∞, ξ = 0.<br />
(2.9b)<br />
a a<br />
A (2.9a) tulajdonsága alapján a különböző gyorsulás spektrumokat normálni lehet,<br />
például az amax = 1 m/sec 2 , vagy az amax = g (g = 9,81m/sec 2 ) értékre. Már meglévő,<br />
különböző erősségű talajmozgásokból készített simított és normált gyorsulás spektrumok<br />
tanulmányozása során megfigyelték, hogy azok alakja hasonló, a mérési helyre jellemző. A<br />
spektrumok felső burkolója a tervezési gyorsulás spektrum, ami felhasználható az adott<br />
helyen lévő <strong>szerkezetek</strong> tervezéséhez vagy utólagos ellenőrzéséhez.<br />
Az esetek többségében – például az alacsony szeizmicitású országokban - nincs<br />
elegendő mérési eredmény a telephelyi tervezési gyorsulás spektrum meghatározásához. A<br />
tárggyal foglalkozó szabványok, biztonsági előírások megbízható mérési adatok hiányában<br />
egy normál spektrum alkalmazását javasolják. Az IAEA (Nemzetközi Atomenergia<br />
Ügynökség) és az ASME (USA) tervezési előírásaiban szereplő normál gyorsulás spektrumok<br />
láthatóak a 4. ábrán. Ezek előállításánál az átlagoláshoz négy amerikai földrengés adatait<br />
használták: El Centro (1934), El Centro (1940), Olympia (1949) és Taft (1952).
Sa/amax<br />
Sa/amax<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
12<br />
(Hz) ξ=0,005 ξ=0,02 ξ=0,05 ξ=0,1<br />
0 0 0 0 0<br />
0.25 0.8 0.63 0.52 0.43<br />
2.5 5.95 4.25 3.13 2.28<br />
9 4.96 3.54 2.61 1.9<br />
33 1 1 1 1<br />
Vízszintes gyorsulás spektrum<br />
0.1 1 10 100<br />
Hz<br />
4a. ábra. Vízszintes irányú gyorsulás spektrum<br />
(Hz) ξ=0,005 ξ=0,02 ξ=0,05 ξ=0,1<br />
0 0 0 0 0<br />
0.35 0.54 0.42 0.34 0.28<br />
2.5 5.67 4.05 2.98 2.17<br />
9 4.96 3.54 2.61 1.9<br />
33 1 1 1 1<br />
Függőleges gyorsulás spektrum<br />
0,005<br />
0,02<br />
0,05<br />
0.1 1 10 100<br />
Hz<br />
4b. ábra. Függőleges irányú gyorsulás spektrum<br />
0,1<br />
0,005<br />
0,02<br />
0,05<br />
0,1
13<br />
A normál tervezési gyorsulás spektrumok alkalmazása Magyarországon is elfogadott.<br />
Használatához azonban még egy fontos adatra van szükség, a várható földrengés maximális<br />
talajgyorsulására. Ezt múltbéli eseményeknek statisztikai módszerekkel, történő elemzésével<br />
lehet meghatározni. A vizsgálat eredményeként megállapítható, hogy mi a „P” valószínűsége<br />
egy adott szintű földrengés egy éven belüli előfordulásának. Példaként, a magyarországi<br />
szeizmológiai viszonyokhoz hasonló adottságú angliai területre érvényes eredményt mutat az<br />
5. ábra. Ebből megállapítható, hogy az ábra érvényességi területén, egy berendezés tervezett<br />
élettartama alatt mekkora a talajmozgás gyorsulásának a várható legnagyobb értéke.<br />
Atomerőművekben a nukleáris folyamatot szabályozó berendezéseket, a nemzetközi<br />
biztonsági előírások szerint, a 10 4 évente egyszer várható legnagyobb szintű földrengéssel<br />
szemben is ellenállóvá kell tervezni. Az 5. ábrából a logP = -4 értékhez amax ≈ 0,25 g<br />
maximális szabad földfelszíni gyorsulás tartozik.<br />
5. ábra Szeizmikus valószínűségi görbe
14<br />
3. Rugalmas rendszerek <strong>szeizmikus</strong> <strong>terhelése</strong><br />
A következőkben megvizsgáljuk, hogy az egy szabadságfokú rendszer kapcsán definiált<br />
gyorsulás spektrum hogyan használható a több szabadságfokú lineáris rendszerek<br />
vizsgálatánál. A lineárisan rugalmas mechanikai rendszerek mozgásegyenlete valamilyen<br />
diszkretizációs eljárást – például az energetikai szélsőérték elvek direkt eljárásait, a véges<br />
elemek módszerét vagy a Ritz módszert – követve az<br />
MU&& + DU& + KU = P(t)<br />
differenciál egyenletrendszer alakjában irható fel, ahol U(t) a rendszer mozgását leíró<br />
paraméterek (szabadságfokok vagy csomóponti elmozdulások, forgások) vektora és P(t) a<br />
külső <strong>terhelése</strong>k vektora. Az M, D és K a rendszer tömeg, csillapítás és merevségi<br />
(szimmetrikus) mátrixai, méretük NxN, ha N a rendszer szabadságfoka.<br />
Legyen a mechanikai rendszer <strong>terhelése</strong> a rögzített pontok ismert Ug mozgása, a<br />
támaszmozgás vagy talajmozgás és U a támaszokhoz viszonyított relatív mozgás. Ezzel a<br />
mozgásegyenlet:<br />
3.1. A rendszer mozgása<br />
( g )<br />
M U&& + U&& + DU& + KU = 0.<br />
(3.1)<br />
A támaszmozgás ismert és irányonként független gyorsulásai a három globális koordináta<br />
irányában aX(t), aY(t) és aZ(t). Jelölje RX , RY és RZ a hatásmátrixokat. Ezek a rendszer<br />
mozgását leíró U vektorok, ha a rögzített támaszpontokban az előírt kényszermozgás az X, Y<br />
és Z irányú egységnyi (dimenziótan) statikus elmozdulás.<br />
Ha a földrengés hullámhossza jóval kisebb, mint a vizsgált szerkezet horizontális mérete,<br />
akkor feltételezhetjük, hogy a támaszok azonos mozgást végeznek. (Talajviszonyoktól<br />
függően a <strong>szeizmikus</strong> hullámok átlagos terjedési sebessége 1000-2000 m/sec, a domináns<br />
frekvencia 2-5 Hz, hullámhosszuk 500-1000 m körüli.)<br />
Azonos támaszmozgás esetén az RX , RY, RZ hatásmátrixok a rendszer koordináta tengelyek<br />
irányú, merevtestszerű mozgásait írják le. Például, ha a támaszok mindegyikének az<br />
elmozdulása az X, Y és Z irányokban ug, vg, wg, akkor az egész rendszer abszolút mozgása<br />
Ug = ugRx + vgRy + wg<br />
z<br />
R . (3.2)
15<br />
A hatásmátrixok felhasználásával a (3.1) mozgásegyenlet:<br />
[ a (t) a (t) a (t) ]<br />
MU&& + DU& + KU = − M R + R + R . (3.3)<br />
X X Y Y Z Z<br />
Ezt az N egyenletből álló kapcsolt differenciálegyenlet rendszert bizonyos feltételek<br />
teljesülése esetén, célszerű transzformációval, a modálanalízis ismert módszerével N<br />
független egyenletté lehet alakítani. Ehhez először meg kell határozni az<br />
M U&<br />
& + KU<br />
= 0 csillapítás nélküli szabad (homogén) rendszer mozgásegyenletének<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
U (t) = Φ<br />
i<br />
sin( ω<br />
alakú periodikus megoldását. Az itt megjelenő Φi sajátvektorokat (lengésképeket) és ωi<br />
frekvenciákat alábbi sajátérték feladat megoldása adja:<br />
2 [ K M ω ] Φ = 0<br />
− i i<br />
i<br />
t)<br />
, i = 1, 2, .., N , ω1 ≤ ω2 ≤ ... ≤ ωN. (3.4)<br />
Ismeretes, hogy a sajátvektorok a merevségi és tömegmátrixokra ortogonálisak,<br />
T<br />
Φ M Φ = δ M , Mi a modális tömeg , (3.5a)<br />
i<br />
j<br />
ij<br />
i<br />
T<br />
Φ K Φ = δ K , Ki a modális merevség , (3.5b)<br />
i<br />
j<br />
ij<br />
i<br />
ahol δij = 1 ha i = j és δij = 0 ha i≠j. Tételezzük fel, hogy ez az ortogonalitás a csillapítási<br />
mátrixra is teljesül:<br />
δ D = Φ D Φ i , Di a modális csillapítás. (3.5c)<br />
T<br />
i j ij<br />
Ez utóbbi feltételezés biztosan teljesül, ha a csillapítás Rayleigh típusú, azaz D = a K + b M.<br />
A most meghatározott Mi, Ki, és Di modális mennyiségek számértéke függ a Φi<br />
sajátvektorok kiszámítási módjától, illetve normálásától is. A sajátvektorok lehetnek<br />
egységvektorok, de előírhatjuk azt is, hogy a sajátvektor legnagyobb abszolút értékű<br />
koordinátája legyen egységnyi, vagy például azt, hogy a sajátvektorok legyenek a<br />
tömegmátrixra normáltak. Ez utóbbi esetben a (3.5a) szerinti modális tömegek értéke Mi = 1.<br />
A normálás módjától függetlenül, mindig érvényesek az alábbi összefüggések:<br />
2<br />
Ki = ω i M i , Di = 2 ξ i M i ωi<br />
, (3.6)<br />
ahol a dimenziótan ξi a relatív modális csillapítás (vagy a Lehr féle csillapítás), aminek értéke<br />
0 ≤ ξi ≤ 1 ha a mozgás periodikus.
16<br />
Visszatérve az általános (3.1) mozgásegyenlethez, annak megoldását most már az alábbi<br />
formában keressük,<br />
N<br />
U(t) = ∑Φ<br />
jY j(t)<br />
. (3.7)<br />
j1 =<br />
Ha ezt a feltételezett megoldást a (3.1) egyenletbe helyettesítjük, majd azt megszorozzuk<br />
ballról valamelyik Φi T sajátvektorral (itt T a transzponálás jele), akkor a (3.5) ortogonalitási<br />
tulajdonságok miatt az eredeti kapcsolt egyenletrendszer szétesik a következő független<br />
egyenletekre:<br />
MY&& + DY& + KY = P,<br />
i = 1, 2,....,N , (3.8)<br />
i i i i i i i<br />
ahol a Pi(t) modális erő a (3.3) mozgásegyenlet jobb oldalából származik:<br />
P(t) = Φ P(t)<br />
=<br />
T<br />
i i<br />
[ ]<br />
=− Φ M R a (t) + R a (t) + R a (t) =−L a (t) −L a (t) −L<br />
a (t) .<br />
T<br />
i X X Y Y Z Z iX X iY Y iZ Z<br />
Az X, Y és Z irányú modális gerjesztési faktorok:<br />
iX<br />
T<br />
i<br />
X<br />
iY<br />
T<br />
i<br />
Y<br />
iZ<br />
T<br />
i<br />
Z<br />
(3.9)<br />
L = Φ M R , L = Φ M R , L = Φ M R . (3.10)<br />
A (3.8) egyenletben, mivel az lineáris és a szuperpozíció elve alkalmazható, a továbbiakban<br />
csak egy irányú (például X) talajmozgás hatásának számítását részletezzük:<br />
ami a (3.6) összefüggések felhasználásával az<br />
MY&& + DY& + KY = −La<br />
(t) ,<br />
i iX i iX i iX iX X<br />
L<br />
Y&& + Y& 2ξω + Y ω = − a (t) , i = 1, 2, ...., N , (3.11)<br />
2 iX<br />
iX iX i i iX i<br />
Mi<br />
X<br />
alakban is felírható. A homogén kezdeti (indításkor a rendszer nyugalomban van,<br />
elmozdulása és a sebessége is zérus) feltételekhez tartozó partikuláris megoldás a (2.3)<br />
alapján a<br />
L L<br />
Y (t) ∫ a (t) exp(-ξ ω(t τ)) sin(ω (t τ)) dτ V (t) (3.12)<br />
iX<br />
iX<br />
=−<br />
Miωi t<br />
τ= 0<br />
X i i − i − =<br />
iX<br />
−<br />
Miωi iX<br />
Duhamel integrálból számítható, ahol ViX(t) jelöli a modális pszeudó sebességet.
17<br />
A pszeudó sebességnek a terhelés teljes időtartamán vett maximális értéke a (2.5) és (2.7)<br />
definíciók alapján:<br />
1<br />
max V (t) = S ω ,ξ ) , (3.13)<br />
[ ] (<br />
iX aX i i<br />
ωi<br />
ahol SaX(ωi ,ξi) jelöli az X irányú <strong>szeizmikus</strong> terhelést jellemző gyorsulás spektrumot.<br />
Fontos megemlíteni, hogy az (3.3) kapcsolt differenciálegyenlet rendszer csak akkor<br />
transzformálható az (3.8) független egyenletekbe, ha a csillapítási mátrixra vonatkozó (3.5c)<br />
ortogonalitási feltétel is teljesül. Lényeges továbbá, hogy a (3.4) sajátérték feladat növekvő<br />
sorrendbe rendezett ωi sajátértékeihez – bizonyos esetekben, a Pi(t) gerjesztés tulajdonságaitól<br />
is függően – a (3.12) szerint csökkenő Yi(t) függvények tartoznak, ezért az eredő megoldás<br />
számításánál – nagyságrendi megfontolások alapján – rendszerint elegendő a rendszer N<br />
szabadságfokánál jóval kevesebb, csak n < N modális komponenssel számolni. Például, ha a<br />
4. ábra szerinti tervezési gyorsulás spektrumokat használjuk, akkor csak a 0 – 33 Hz<br />
tartományba eső frekvenciákat és lengésképeket használjuk a további <strong>szeizmikus</strong><br />
számításoknál. Magas, toronyszerű <strong>szerkezetek</strong>nél gyakran még az n = 1 is elfogadható<br />
eredményt ad.<br />
Az X irányú talajmozgás következtében a rendszer (3.7) szerinti eredő – a támaszokhoz<br />
képest relatív – mozgása<br />
L<br />
U U Φ Φ iX , (3.14a)<br />
n n n<br />
iX<br />
X(t) = ∑ iX(t) = ∑ iY iX(t) = −∑<br />
i V (t)<br />
i= 1 i= 1 i= 1 Miωi ahol a modális mozgás komponensek<br />
L<br />
U (t) = Φ Y (t) = −Φ<br />
V (t) . (3.14b)<br />
iX i iX i<br />
iX<br />
Miωi iX<br />
A terhelés teljes időtartama alatt a modális komponensek maximuma a (3.13) felhasználásával<br />
⎡ L ⎤<br />
iX LiX<br />
UiX = max[ UiX (t) ] = max ⎢ΦiV iX (t) ⎥ = ΦiS 2 aX ( ωi, ξ i ) = A iX Φ i , (3.15)<br />
⎣ Miωi ⎦ Miωi ahol AiX jelöli a modális amplitúdót:<br />
L<br />
A = S (ω ,ξ ) . (3.16)<br />
iX<br />
iX<br />
2<br />
Miωi aX i i<br />
A (3.14b) szerinti Nx1 méretű UiX vektor elemei a rendszer szabadságfokainak legnagyobb<br />
értékei, a modális amplitúdók.
3.2. Összegzési szabályok<br />
A terhelés időtartama alatt a mozgás legnagyobb értéke az eredő mozgás maximuma:<br />
18<br />
X = max[ n ⎡<br />
X (t) ] = max ⎢∑ i= 1<br />
⎤<br />
iX (t) ⎥ = SUM [ AiX<br />
i<br />
U U U Φ ] . (3.17)<br />
⎣ ⎦<br />
Itt a SUM nem algebrai összegzést jelöl, mivel a tagonkénti maximumok összege nem<br />
feltétlenül azonos az összeg maximumával. A probléma abból adódik, hogy a modális<br />
komponensek maximum számításánál, a (3.15) egyenletből az idő változó, és ezzel az egyes<br />
modális komponensek fáziskülönbsége is eltűnt. Mivel az összegzés pontos és általános<br />
definícióját nem lehet megadni, az alább felsorolt közelítő formulákat használják. A<br />
továbbiakban az U = SUM(Ui) definícióban jelölje UK és Ui,K a vektorok k-adik koordinátáit.<br />
Abszolút értékek összegzése:<br />
Az eredő értéke az amplitúdók abszolút értékének az összege:<br />
n<br />
K = ∑ i K<br />
i<br />
(3.18a)<br />
U U ,<br />
Ez a módszer túl konzervatív, mert a maximális értékek, kitérések biztosan nem egy időben<br />
jelentkeznek.<br />
Négyzetes összegzés (SRSS, Square Root Sum of Squares)<br />
K =<br />
n<br />
2<br />
∑ i K<br />
i<br />
(3.18b)<br />
U U ,<br />
Az SRSS módszer a legáltalánosabban elterjedt. Azon a feltevésen alapul, hogy a modális<br />
komponensek egymástól teljesen függetlenek. Azt az esetet leszámítva, mikor a frekvenciák<br />
nagyon közel vannak egymáshoz, jó becslést ad.<br />
Az abszolút és a SRSS összegzés kombinációja<br />
A kétféle összegzési eljárás egyik lehetséges, egyszerű kombinációja<br />
n<br />
2<br />
K = ( − ) i, K +<br />
max ∑ i, K<br />
i<br />
U 1 c U c U<br />
. (3.18c)<br />
ahol a c paraméter értéke 0,0 és 1,0 közötti, egyéb megfontolás vagy előírás alapján<br />
meghatározható.
19<br />
NRL (Naval Research Laboratory) összegzés<br />
Ennél az összegzési eljárásnál kiválasztjuk a legnagyobb ⏐Ui,K⏐max abszolút értékű<br />
koordinátát és ezt kiegészítjük a többi négyzetes (SRSS) összegével:<br />
R<br />
K<br />
n<br />
2<br />
2<br />
= Ri,<br />
K + ∑ Ri,<br />
K − Ri,<br />
K . (3.18.d)<br />
max<br />
Teljes négyzetes összegzés (CQC, Complete Quadratic Combination)<br />
i<br />
Ez az eljárás figyelembe veszi a frekvenciák "távolságát" és a modális csillapításokat is:<br />
ahol<br />
n n<br />
max<br />
U = ∑∑ U ⋅U ⋅ρ , (3.18.e)<br />
ρ =<br />
K i, K j,<br />
K ij<br />
i= 1 j= 1<br />
( )<br />
8⋅ξ ⋅ 1+ r ⋅r<br />
2 3/ 2<br />
2 2<br />
( 1− r ) + 4⋅ξ ⋅r⋅ ( 1+ r)<br />
ij 2 2<br />
ami két frekvencia közti kapcsolatot fejez ki és r = ωj/ωi . Ha a frekvenciák nagyon távol<br />
vannak egymáshoz (ωi >> ωj, r→0) , akkor ez az összegzés az SRSS összegzésbe megy át, ha<br />
pedig a két frekvencia nagyon közel van egymáshoz (azaz, r→1) , akkor az amplitúdók<br />
abszolút értékének összegét adja.<br />
Az előzőekben felsorolt szabályok valamelyike szerint összegezzük egy adott irányú<br />
támaszmozgáshoz tartozó modális komponensek maximumait. Több irányú támaszmozgás<br />
esetén a (3.17) szerinti, irányonkénti maximumokból mindig a négyzetes összegzés (SRSS)<br />
szerint határozzuk meg az eredő maximumot:<br />
3.3. Belső erők számítása<br />
n<br />
2 2 2<br />
( )<br />
U = ∑ U + U + U . (3.19)<br />
i iX iY iZ<br />
i= 1<br />
A belső erők számítását a (3.14) elmozdulás vektor alapján végezhetjük el. Az UX(t)<br />
vektorból megszerkeszthető a vizsgált rendszer egy elemének U e X(t) elmozdulás vektora és<br />
ezzel a belső erők – mivel a szerkezet anyaga lineárisan rugalmas – a következők szerint<br />
számolhatóak:<br />
e e e<br />
e e LiX<br />
P X (t) = k U X (t) = k Φi<br />
ViX<br />
(t) . (3.20)<br />
M ω<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
i<br />
,
20<br />
A k e mátrix a szerkezeti elem elmozdulás – belső erők transzformációs mátrixa. Végeselem<br />
modell esetén, egyes elemtípusoknál ez az elem merevségi mátrixa. A fenti, (3.20)<br />
kifejezésben a (k e Φi e ) vektor azt a belső erőt, igénybevételt vagy feszültség eloszlást jelöli,<br />
amely a Φi vektorral (lengésképpel) leírható statikus elmozdulás során alakul ki az elemben.<br />
Ez a belső erő vagy feszültség a statikai számításhoz hasonló algoritmus szerint számolható.<br />
A terhelés időtartama alatt kialakuló legnagyobb belső erő komponensek értéke a (3.15)<br />
elmozdulás maximumokhoz hasonlóan számítható:<br />
n<br />
e e ⎡ e e L ⎤ iX<br />
e e<br />
PX = max X(t) max i V iX(t) SUM ⎡ iA⎤<br />
⎣<br />
⎡P ⎦<br />
⎤ = ⎢∑k Φ ⎥ =<br />
iX<br />
i= 1 Miω ⎣<br />
k Φ<br />
⎦<br />
, (3.21)<br />
⎣ i ⎦<br />
ahol AiX jelöli a (3.16) szerinti modális amplitúdót. Az igénybevételek, feszültségek modális<br />
maximumainak összegzését a mozgásokhoz hasonlóan a (3.18) szabályok valamelyike, majd<br />
az irányonkénti összegzést a (3.19) formula szerint végezzük el.<br />
3.4. Hatásos tömeg<br />
A rendszerre ható külső (tehetetlenségi) erők eloszlása a (3.1) mozgásegyenlet szerint,<br />
ha a csillapító erőket figyelmen kívül hagyjuk:<br />
( ) ( g )<br />
P t = Μ U&& −U&& ≈KU.<br />
Egyelőre csak az X irányú támaszmozgás hatását vizsgálva, az erők vektora a (3.14)<br />
elmozdulásokkal, mivel a (3.4) szerint K Φi =M Φi ωi 2 , a következő alakba írható:<br />
L L<br />
P (t) K U (t) K Φ V (t) M Φ ω V (t) ∑ PiX(t)<br />
.<br />
n n<br />
n<br />
iX iX<br />
X = X = ∑ i iX = ∑ i i iX =<br />
i= 1 Miωi i= 1 Mi<br />
i= 1<br />
Az X irányú támaszmozgás következtében kialakuló PiX(t) modális erő eloszlás maximuma, a<br />
szabadságfokonkénti amplitúdók vektora (3.13) szerint<br />
⎡ L ⎤ L<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
iX iX<br />
P = max ⎡P (t) ⎤ = max M Φ ω V (t) = M Φ S ( , )<br />
⎣ ⎦<br />
iX iX i i iX i aX i i<br />
Mi Mi<br />
ami a (3.16) modális amplitúdókkal kifejezve<br />
alakban is felírható.<br />
T<br />
iX i AiX i<br />
2<br />
= ω<br />
ω ξ , (3.22a)<br />
P Φ M (3.22b)
21<br />
Az X irányú támaszmozgás következtében kialakuló PiX modális erőeloszlás X irányú<br />
PiX eredője, a (3.2) egyenletnél is felhasznált merevtestmozgást leíró Rx hatásvektort és a<br />
modális gerjesztési faktorok (3.10) definícióját felhasználva:<br />
ahol<br />
2<br />
L L<br />
P = = S ω ξ = S ω ξ = m S ω , ξ , (3.18)<br />
T T iX iX<br />
R P R M Φ ( , ) ( , ) ( )<br />
iX X iX X i aX i i aX i i iX aX i i<br />
Mi Mi<br />
L<br />
m = (3.23)<br />
2<br />
iX<br />
iX<br />
M i<br />
a hatásos, más szóval az effektív modális tömeg.<br />
Tételezzük fel, hogy a vizsgált rendszer támaszpontjai X irányban állandó gyorsulással<br />
mozognak, azaz a gyorsulás spektrum SaX = aX = állandó. Ilyenkor a tehetetlenségi erők<br />
eredője - ha M a szerkezet összes tömege - MaX. Ennek a pontos értéke n = N esetén:<br />
amiből<br />
N N N 2 ⎛ L ⎞ iX<br />
Ma X = PiX = miXa X =⎜ ⎟ a<br />
i= 1 i= 1 ⎝ i= 1M i ⎠<br />
µ<br />
∑ ∑ ∑ X<br />
1 ⎛<br />
⎜<br />
M ⎝<br />
N<br />
X = ∑<br />
i=<br />
1<br />
m<br />
iX<br />
⎞<br />
⎟ = 1<br />
⎠<br />
(3.24)<br />
következik. Ha a számításokhoz felhasznált sajátfrekvenciák és sajátvektorok száma n < N,<br />
akkor µX < 1. A µX, és a hasonló módon értelmezett µY, és µZ felhasználható az elhagyott<br />
frekvenciák hiánya következtében fellépő hiba becslésére.<br />
3.5. Hiányzó tömeg korrekció<br />
Gyakran előfordul, hogy a <strong>szeizmikus</strong> számításoknál felhasznált lengésképek, frekvenciák n<br />
száma jóval kisebb, mint a (3.2) számítási modell N szabadságfokainak száma. Végeselem<br />
számításoknál az N szabadságfokok, és ezzel a (3.4) szerinti frekvenciák és lengésképek<br />
száma több ezer is lehet. Ha ebből csak az első n számú lengésképet használjuk, akkor a<br />
hiányzó tagok számítási hibát okoznak. A hiba eredete az, hogy egy modális mozgás során a<br />
rendszer teljes tömegének csak egy része aktív. A további számításból kihagyott modális<br />
komponensekkel aktivizálható, mozgatható tömeg részek hatása hiányzik az eredményekből.<br />
A hiányzó tömeg számítása alapján becsülhető a hiba, illetve a szükséges korrekció mértéke.
22<br />
Az X irányú támaszmozgáshoz tartozó PiX modális erő eloszlás (3.22a) szerint<br />
Írjuk fel ezt az erőt a következő alakban:<br />
L<br />
P = M Φ S ω ξ .<br />
( , )<br />
iX i<br />
iX<br />
Mi<br />
aX i i<br />
( )<br />
P = M R S ω , ξ ,<br />
iX i X aX i i<br />
ahol RXSaX a rendszer X irányú, egyenes vonalú, állandó gyorsulású mozgásához tartozó<br />
gyorsulás eloszlás mátrix és Mi a modális tömeg mátrix. A PiX fenti két alakjának azonossága<br />
alapján, felhasználva a modális gerjesztési faktorok (3.10) definícióját, egyszerűen belátható,<br />
hogy a szimmetrikus modális tömeg mátrix a következő módon írható fel:<br />
( )( ) T<br />
1<br />
M = ⎡ MΦ MΦ ⎤ . (3.25)<br />
⎣ ⎦<br />
i i i<br />
Mi A hiányzó tömegek mátrixa a számítások során figyelembe vett, aktív tömegek összege és a<br />
modell teljes tömegének a különbsége:<br />
n<br />
∑<br />
Mm = M− M i . (3.26)<br />
A (3.10) alapján könnyen igazolható, hogy a (3.23) effektív modális tömeg és a (3.25)<br />
modális tömegmátrix kapcsolata<br />
i= 1<br />
m = R Μ R .<br />
iX<br />
T<br />
X i X<br />
Külön kérdés, hogy a hiányzó tömegekhez milyen gyorsulás érték tartozik. Ha a 4. ábra<br />
szerinti gyorsulás spektrumot használjuk, és a részletes számítást a 0-33 Hz tartományba lévő<br />
frekvenciákkal és lengésképekkel végeztük el, akkor hiányzó ωi ≥ 33 Hz frekvenciák<br />
mindegyikhez a spektrum állandósult, amax határértéke tartozik. Ebben az esetben a hiányzó<br />
tömegekből származó tehetetlenségi erők eloszlása a<br />
PmX = MmR Xa X max<br />
(3.27)<br />
szerint számolható. Hasonló összefüggés írható fel az itt nem részletezett Y és Z irányú<br />
támaszmozgásokra is.
4. Kidolgozott mintafeladatok<br />
4.1. Két szabadságfokú keret<br />
L<br />
Z<br />
L<br />
X<br />
m<br />
q2<br />
q1<br />
23<br />
Adatok:<br />
L = 1000 mm<br />
E = 10 5 MPa<br />
Iy = 10 4 mm 4<br />
ρ = 0<br />
m = 10 kg = 10 -2 Nsec 2 /mm<br />
ζ = 0.05<br />
aXmax = 2 m/sec 2<br />
aZmax = 1 m/sec 2<br />
Az ábra szerinti keretszerkezet azonos L hosszúságú rúdjainak tömege zérus, hajlító<br />
merevsége IyE/L 3 = 1 N/mm. A síkbeli szerkezetet olyan vízszintes és függőleges irányú<br />
<strong>szeizmikus</strong> mozgás terheli, melynek gyorsulás spektrumai legyenek a 4a és 4b ábra szerintiek.<br />
A két szabadságfokú rendszernek a mozgás, a merevségi és a tömegmátrixai a következők:<br />
⎡q⎤ 6 ⎡8 3⎤ ⎡1 0⎤<br />
1 −2<br />
2<br />
U = ⎢ (mm) , (N/mm) , 10 (Nsec mm)<br />
q<br />
⎥ K = =<br />
/<br />
2<br />
7<br />
⎢<br />
3 2<br />
⎥ M ⎢<br />
0 1<br />
⎥<br />
.<br />
⎣ ⎦<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
⎡1⎤ ⎡0⎤<br />
A vízszintes és a függőleges hatásmátrixok (3.2): RX = ⎢ , Z =<br />
0<br />
⎥ R ⎢<br />
1<br />
⎥ .<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
A (3.4) sajátérték feladat megoldásával a frekvenciák és a lengésképek (sajátértékek és<br />
sajátvektorok) a következők lesznek:<br />
ω1 = 8,057 rad/s = 1,28 Hz , ω2 = 28,14 rad/s = 4,48 Hz ,<br />
⎡−0, 414⎤ ⎡ 1 ⎤<br />
Φ1 = ⎢ ,<br />
2 =<br />
1<br />
⎥ Φ ⎢<br />
⎣ ⎦ ⎣0,<br />
414<br />
⎥<br />
⎦<br />
A vízszintes (X) és függőleges (Z) gyorsulás spektrumok értéke a 4.a és 4b ábrák<br />
táblázataiban a ζ = 0.05 relatív csillapítás számoszlopaiból lineárisan interpolálva:<br />
SaX(ω1,ζ) = 3,157 aXmax = 6317 mm/sec 2 , SaX(ω2,ζ) = 5,678 aXmax = 11296 mm/sec 2 ,<br />
SaZ(ω1,ζ) = 2,759 aZmax = 2759 mm/sec 2 , SaZ(ω2,ζ) = 5,678 aZmax = 5453 mm/sec 2 .
A modális tömegek (3.5a) értékei:<br />
24<br />
2<br />
M = Φ MΦ = 0, 01171 Nsec / mm , M = Φ MΦ = 0, 01171 Nsec / mm<br />
T 2 T<br />
1 1 1 2 2 2<br />
Az X és Z irányú (3.10) modális gerjesztési faktorok:<br />
2<br />
L = Φ MR = -0,00414 Nsec /mm , L = Φ MR = 0,001 Nsec /mm ,<br />
T 2 T<br />
1X 1 X 2X 2 X<br />
2<br />
L = Φ MR = 0,001 Nsec /mm , L = Φ MR = 0,00414 Nsec /mm .<br />
T 2 T<br />
1Z 1 Z 2Z 2 Z<br />
A (3.16) modális amplitúdók:<br />
L<br />
A = S (ω ,ξ )= -34,393 mm , A = 12, 182 mm,<br />
1X<br />
1X<br />
2<br />
M1ω1 aX 1 1 2X<br />
L<br />
A = S (ω ,ξ )= 36,295 mm , A = 2, 434 mm,<br />
1Z<br />
1Z<br />
2<br />
M1ω1 aZ 1 1 2Z<br />
A terhelés teljes időtartama alatt a modális mozgáskomponensek maximumai (3.15):<br />
⎡ 14, 25 ⎤ ⎡12, 17⎤<br />
U1X = A 1X Φ1 = ⎢ (mm) , 2X A 2X 2 (mm) ,<br />
34, 39<br />
⎥ U = Φ = ⎢<br />
5, 04<br />
⎥<br />
⎣−⎦ ⎣ ⎦<br />
⎡−15, 03⎤ ⎡2, 43⎤<br />
U1Z = A 1Z Φ1 = ⎢ (mm) , 2Z = A 2Z 2 = (mm) .<br />
36, 28<br />
⎥ U Φ ⎢<br />
1, 01<br />
⎥<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
A modális komponensekből az irányonkénti összegek a (3.18b) négyzetes összegzés szerint:<br />
⎡ 2 2<br />
14, 25 + 12, 17 ⎤ ⎡18,74⎤ ⎡15, 22⎤<br />
UX = ⎢ ⎥ = ⎢ (mm) , Z (mm) ,<br />
2 2<br />
34, 39 5, 04 34,76<br />
⎥ U = ⎢<br />
36, 29<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣ + ⎥<br />
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
majd a kétirányú támaszmozgás eredője (3.19) összegzési szabály szerint:<br />
U<br />
⎡ ⎤<br />
=<br />
⎣ 34, 76 + 36, 29<br />
= ⎢<br />
⎦<br />
⎥<br />
2 2<br />
18, 74 + 15, 22 ⎡24, 14 ⎤<br />
⎢ ⎥ (mm) .<br />
⎢ 2 2 ⎥ ⎣50, 25⎦<br />
Az U koordinátái nem azonos időpillanathoz tartozó értékek, hanem a q1, q2 mozgások<br />
abszolút értékének a <strong>szeizmikus</strong> terhelés teljes időtartama alatti maximumai.<br />
A (3.23) hatásos (effektív) modális tömegek és ezek irányonkénti (3.24) összege:<br />
L L<br />
2 2<br />
m1X 1X 2X<br />
= = 0, 00146 , m2X =<br />
M1 M2<br />
= 0, 00854 , m1X + m2X 2<br />
= 0, 01 Nsec mm<br />
L L<br />
/ ,<br />
2 2<br />
m1Z 1Z 2Z<br />
= = 0, 00854 , m 2Z =<br />
M1 M2<br />
= 0, 00146 , m1X + m2X 2<br />
= 0, 01 Nsec mm<br />
/ .
25<br />
A modális tömegek összege azonos az eredeti tömeggel, mert most az összes lengésképet és<br />
frekvenciát felhasználtuk a <strong>szeizmikus</strong> számításnál, azaz N = n = 2, és nincs hiányzó tömeg.<br />
A vízszintes (X) támaszmozgás során a szerkezetre ható modális erő eloszlás (3.22b) – ami<br />
most az m tömegpontra ható erőket jelenti – és az ábra szerint a befogásnál a reakció<br />
nyomatékok:<br />
T 2 ⎡ 925 , ⎤<br />
P1X = Φ1 M A 1Xω 1 = ⎢ (N) , M 1X ( 9, 25 22, 33) L 31580 Nmm ,<br />
22, 33<br />
⎥<br />
= + =<br />
⎣−⎦ T 2 ⎡96, 42⎤<br />
P2X = Φ2 M A 2Xω 2 = ⎢ (N) , M2X = ( 96, 42 − 39, 94) L = 56480 Nmm .<br />
39, 94<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
Ezekkel az X irányú gerjesztéshez tartozó komponensek (3.18b) négyzetes összege:<br />
P<br />
⎡ ⎤<br />
2 2<br />
9, 25 + 96, 42 ⎡96,86⎤ 2 2<br />
X = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥(N)<br />
, MX = 31580 + 56480 = 64710 (Nmm) .<br />
2 2<br />
⎢ 22, 33 39, 94 ⎥ ⎣45,75 ⎣ + ⎦ ⎦<br />
Fontos itt is megemlíteni, hogy míg az egyes modális komponensekre vonatkozó eredmények<br />
önmagukban egyensúlyi rendszert alkotnak, az összegzett eredményekre ez már nem igaz. Az<br />
összegzett erőrendszer azért nem egyensúlyi, mert az erő/nyomaték komponensek nem<br />
egyidejű mennyiségek, hanem a mozgás teljes időtartama alatti maximumok abszolút értékei.<br />
M1X<br />
P1X<br />
9,25 N<br />
22,33 N<br />
M2X<br />
P2X<br />
96,42 N<br />
39,94 N<br />
PX<br />
± 64710 Nmm<br />
± 96,86 N<br />
± 39,94 N<br />
Hasonló módon, a függőleges (Z) támaszmozgáshoz tartozó erők és a reakció nyomatékok:<br />
T 2 ⎡−976 , ⎤<br />
P1Z = Φ1 M A 1Zω 1 = ⎢ (N) , M1Z 33300 Nmm ,<br />
23, 55<br />
⎥<br />
=<br />
⎣ ⎦<br />
T 2 ⎡19, 28⎤<br />
P2Z = Φ2 M A 2Zω 2 = ⎢ (N) , M2Z = 11290 Nmm ,<br />
798 ,<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
valamint a komponensek négyzetes összege:
P<br />
26<br />
⎡21,61⎤ = ⎢ (N) , M = 35170 (Nmm) .<br />
24,87<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
Z Z<br />
Végül az X és Z irányú támaszmozgásokból számítható (3.19) eredő erő és reakció nyomaték<br />
P<br />
⎡ ⎤<br />
2 2<br />
96,86 + 21, 61 ⎡99,24⎤ 2 2<br />
= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥(N)<br />
, M Z = 64710 + 35170 = 73650 (Nmm) .<br />
2 2<br />
⎢ 45,75 24, 87 ⎥ ⎣52,08 ⎣ + ⎦ ⎦<br />
4.2. Oszlop, hiányzó tömeg korrekcióval<br />
A 2L magasságú, állandó A keresztmetszetű oszlop <strong>terhelése</strong> csak vízszintes, X irányú<br />
<strong>szeizmikus</strong> mozgás, melynek gyorsulás spektruma az ábrán adott.<br />
Adatok:<br />
L<br />
L<br />
u2, φ2<br />
u1, φ1<br />
Z<br />
X<br />
2<br />
1<br />
SaX/amax<br />
1 5 6 Hz<br />
L = 1000 mm, A = 1200 mm 2 , Iy = 10 4 mm 4 ,<br />
E = 10 5 MPa , ρ = 8000 kg/m 3 = 8. 10 -9 Nsec 2 /mm 4 ,<br />
aXmax = 1 m/sec 2<br />
Az oszlop végeselem modellje két rúdelemből áll. A síkbeli hajlított rúdelem ismert<br />
merevségi és tömegmátrixaival a négy szabadságfokú számítási modell szimmetrikus<br />
merevségi és a tömegmátrixai a következők lesznek:<br />
3<br />
u1 ⎡ 48 0 24 12 . 10 ⎤<br />
96 , 0 0 0<br />
⎡ ⎤ − ⎡ ⎤<br />
⎢ ⎢ 6 3 6 ⎥<br />
ϕ<br />
⎥ ⎢<br />
1 0 16.10 -12. 10 4. 10<br />
3 0 0 0 0<br />
⎥<br />
−<br />
U = ⎢ ⎥ , K = ⎢ ⎥ , M = 10 ⎢ ⎥.<br />
3 3<br />
⎢u⎥ ⎢ 2<br />
-24 −12<br />
. 10 24 -12. 10 ⎥<br />
⎢ 0 0 4, 8 0⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
ϕ ⎢12 . 10 4. 10 −12<br />
. 10 4. 10 ⎥ ⎣ 0 0 0 0⎦<br />
3 6 3 6<br />
⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦<br />
⎡1⎤ ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
A vízszintes hatásmátrix (3.2): R X = ⎢ ⎥ .<br />
⎢1⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣0⎦
27<br />
A további számításokhoz a négy szabadságfokú rendszernek csak az első lengésképét és<br />
frekvenciáját használjuk fel, azaz N = 4, n = 1:<br />
Φ 1 = 4, 288 0, 00745 13, 098 0, 00949 .<br />
ω1 = 11,389 rad/s = 1,81 Hz , [ ] T<br />
Ez a sajátvektor a tömegmátrixra normált, ezért most a (3.5a) szerinti modális tömeg:<br />
M = Φ MΦ = 1.<br />
1<br />
T<br />
1 1<br />
A vízszintes (X) gyorsulás spektrumok értéke az ábra szerint:<br />
SaX(ω1) = 2 aXmax = 2000 mm/sec2 .<br />
Az X irányú (3.10) modális gerjesztési faktor, a (3.16) modális amplitúdó és a modális<br />
mozgáskomponensek (3.15) maximumai rendre a következők:<br />
2<br />
L = Φ MR = 104,035 10 Nsec / mm<br />
1X 1X 1<br />
T -3<br />
1X 1 X<br />
L<br />
A = S (ω )= 1,604 mm ,<br />
1X<br />
1X<br />
2<br />
M1ω1 aX 1<br />
[ ] T<br />
, , , ,<br />
U = A Φ = 6 878 0 01195 21 011 0 01522 .<br />
Az oszlop felső pontjának a talajhoz viszonyított legnagyobb, relatív elmozdulása 21,011 mm.<br />
A vízszintes (X) támaszmozgás során a szerkezetre ható (3.22b) terhelés eloszlás és a<br />
befogásnál a reakció erő és nyomaték értéke:<br />
T 2<br />
1X 1 1X 1<br />
1X 1X<br />
A (3.23) hatásos modális tömeg:<br />
[ ] T<br />
, ,<br />
P = Φ M A ω = 8 57 0 13 08 0 ,<br />
F =21,65 N , M =2 L 13,08 + L 8,57 = 34730 Nmm .<br />
L<br />
= = ,<br />
m1X 2<br />
1X<br />
M1<br />
2<br />
0, 0108 Nsec / mm<br />
ami kisebb, mint a szerkezet összes M = 0,0192 Nsec 2 /mm tömege, azaz µX = m1X/M = 0,56.<br />
A hiányzó tömeg hatását a 3.5. fejezetben leírtak szerint korrigáljuk. A (3.25) szimmetrikus<br />
modális tömegmátrix:<br />
.
és a hiányzó tömegek (3.26) mátrixa:<br />
28<br />
( )( ) T ⎡1, 695 0 2, 588 0⎤<br />
⎢<br />
1<br />
3 0 0 0 0<br />
⎥<br />
−<br />
M1= ⎡ MΦ1 MΦ ⎤<br />
1 = 10 ⎢ ⎥ ,<br />
M ⎣ ⎦ ⎢ 1<br />
2, 588 0 3, 593 0⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ 0 0 0 0⎦<br />
⎡ 7, 905 0 −2,<br />
588 0⎤<br />
⎢<br />
0 0 0 0<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢−2, 588 0 1, 207 0⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ 0 0 0 0⎦<br />
−3<br />
Mm = M− M 1 = 10<br />
.<br />
A hiányzó tömeggel arányos (3.27) tehetetlenségi erő eloszlás és a befogásnál a reakció erő és<br />
nyomaték értéke, mivel aXmax = 1000 mm/sec 2 :<br />
mX mX<br />
[ ] T<br />
PmX = MmRXaXmax = 5, 32 0 −1,<br />
38 0<br />
F = 3, 94 N , M = 2 L (-1,38)+ L 5,32 = 2560 Nmm<br />
Végül a P1X és PmX komponensek (3.18b) összege:<br />
P1X<br />
13,08 N<br />
8,57 N<br />
21,65 N<br />
34730 Nmm<br />
X<br />
[ ] T<br />
10, 08 0 13, 15 0<br />
P =<br />
,<br />
F = 22, 00 N , M = 34820 Nmm .<br />
X X<br />
PmX<br />
1,38 N<br />
5,32 N<br />
3,94 N<br />
2560 Nmm<br />
.<br />
PX=P<br />
± 13,15 N<br />
± 10,08 N<br />
± 22,00 N<br />
± 34820 Nmm<br />
Itt most nem részletezzük, de az eddigiek alapján könnyen elvégezhető a rendszer 2.<br />
lengésképével és frekvenciájával is a modális erő komponens számítása. A számítás<br />
eredménye:<br />
Φ<br />
2 = 9,262 0, 00137 −6, 064 −0,<br />
0237 .<br />
ω2 = 58,666 rad/s = 9,34 Hz , [ ] T
T 2<br />
2X 2 2X 2<br />
2X 1X<br />
29<br />
[ ] T<br />
, ,<br />
P = Φ M A ω = −174<br />
0 5 32 0 ,<br />
F =3,58 N , M =2 L (-1,74) + L 5,32 = 1840 Nmm .<br />
Ezzel a P1X és P2X komponensek (3.18b) összege:<br />
X<br />
[ ] T<br />
10, 08 0 13, 20 0<br />
P =<br />
,<br />
F = 21, 94 N , M = 34780 Nmm .<br />
X X<br />
A kétféle módon meghatározott eredmény között csak kis eltérés van.<br />
.
5. Ajánlott irodalom<br />
1. Bisztricsányi Ede, ”Mérnökszeizmológia” Akadémiai Kiadó, 1974.<br />
2. Csák B., Hunyadi F., Vértes Gy.: Földrengések hatása az építményekre,<br />
<strong>Műszaki</strong> Könyvkiadó, Budapest, 1981.<br />
3. Ludvig Gy.: Gépek dinamikája, <strong>Műszaki</strong> Könyvkiadó, Budapest, 1973.<br />
30<br />
4. Wiegel, R.L.: Earthquake Engineering, Prentice Hall, 1970.<br />
5. Clough, R. W., Penzien, J.: Dynamics of Structures, McGrawHill, Inc.1975.<br />
6. Farzad Naeim: The Seismic Design Handbook, Van Nostrand Reinhold, 1989.