Milyen eljárást kövessünk, s mily műszereket ... - Erdészeti Lapok

cos. (K Í~{-X S+

•íOTEzeknek segítségével már most az alapvonalra húzottfüggőlegesek és párhuzamosak által képezett derékszögű háromszögökbőlaz egyes rendszálakatés metszékeket is kiszámíthatjuk.A háromszögtan egyik ismeretes szabálya szerint ugyanis:„a befogó egyenlő az átfogónak az ezen befogóval szemköztfekvő szög sinusávali, vagy a mellette fekvőszorzatával" minél fogva :1. Az első rendszál « 21 == a^ sin, « rszög cosinusávali2. A második rendszál « 32 = « 8b-f-b 2 = ai. sin. ^ — a,.sin. (KJ-I-CC-J; mert a második része ti. b 2 = « 21 = ai.sin. « uaz első rész pedig az « 2a 3b háromszögből kiszámittatik: « 3b===a 2. sin, (a ^ + aj .3. A harmadik rendszál « 43 ==« 4c-fc3 = « 4c-|-« 32=&i.sin, a y— a 2. sin. (« 1+« 2) 4~ a 3. sin, (« t+x. 2+ « 3).A negyedik rendszál «. 4 === « 43 — « 4d===a,. sin,

épen igy vétetnek a metszéktengely felső oldalán lévő rendszálaktevőlegeseknek, ellenben annak alsó oldalán lévők nemlegeseknek.Innen magyarázható azon látszólagos ellentmondás,mely fentebb 2. alatt levezetett x x 2 =a,. cos. x x 1 — a,, cos. (aj-f-ajképletben észlelhető. Itt ugyanis első tekintetre ugy látszik,mintha « 3b — — a 3. cos. (« x-f-a 2) mennyiség x x 1 ===== a rcos.mennyiségből volna levonandó, holott a dolog természete, azidomot tekintve, épen az ellenkezőt kívánja, t, i. hogy (x t 1)az (« gb)-ből levonassék. Ezen látszólagos ellenmondás onnanered, hogy az a, szögnek cosinusa nendeges jellegű lévén,ha a szintén nemleges tényezővel (— aj-val szoroztatik, aszorzatot tevőlegessé teszi. Tehát : a, 2 = a 2b — x x 1 ==•a 2X — cm. (aj-f-aj — a,X— cos. a, =• — a^ cos. (aj-f-aj +a,, cos. a, vagy közönségesen a,, cos. a, — a 2. cos. (ct i+« í).Ebből kitetszik, hogy a tagok (szorzatok) összeadásának, vagylevonásának jellege mindenkor a sinusok és cosinusok helyezőiétőlfügg.x xKönnyebb áttekintés végett az egyes rendszálakat y, y, y s.. .-val a metszékeket X, X 2X 3...-val megjelölve, a fentebb 1, 2, 3.és 4. alatt eszközölt kiszámítások végeredményeit az alábbikét csoportba összeállítjuk.1. y, = a,. sin. «,;2. y 2==a 1. sin. «, — a 2. sin.3. jr,«-a,. sin. «, ~ « t. sin. (a t+a 2) + sa 3. sin.icc^+J:4.y 4==a 1. sin. aj —- a 2. sin, («, -f-a,) a s. sin. (x^x^xj —a,.sin.(«i*f*t4-s«+««)'1. X, ==a t. cos. x x ;2. X 2= a,. cos. a, — a t. cos. {'• l í-\- x i)•,3. X 3= a 1. cos. «,— a,, cos. (a,+a 2) + aj. cos. (x^x^+xj.4.X 4==a,. COS. a,-—a 2. COS. (a,-j- a 3)-f-a 3. cos. (atj -f-5t 2-4-a 3) — a vCOS. (a,4- a,-f-a 3-f-a 4).

E két csoportban eléggé világosan ki van fejezve azonszabály, melyszerint akár milyen számos oldalú idomnak ugyrendszálai, mint metszőkéi is kiszámíthatók azon különbséggel,hogy tényezőkképen amott a sinusok, itt pedig a cosinusokszerepelnek. E mellett megjegyzendő, hogy az első pont rendszálánakés metszőkének értéke ===== 0.Ha az a, «j «, háromszögben (lásd 2. ábrát) ct t * 3=== a,oldalt alapvonalnak vesszük, akkor az első rendszál, vagyis az« spont rendszála ===== a t. sin. a második rendszál, vagyisaz « spont rendszála === a,, sin. %—a 2. sin. (« 4-a 2) ===== 0.Ugyanezen háromszögben az első metszek : a^ cos. amásodik metszek: a,, cos.

dik tag annak második oldalát stb. birja tényezőül; a tagokmásodik tényezőjét képezi azon szögnek sinusa, illetőlegcosinnsa,mely a rendszálat, illetőleg metszéket megelőző szögökösszegéből áll. P. o. a négyszögnél a harmadika 3. COS. (aj+ag + ag)-tag:Az itt előadottakból a sokszögtannak azon kétkövetkezik, miszerint:főtantételea) Az utolsó pont rendszálának értéke akármelyidomnál mindenkor egyenlő (9-val.&)• Az utolsó pont metszéke akármely idomnálmindenkor egyenlő az alapvonallal.E két főegyenletből már most leszármaztathatunk egyharmadik főegyenletet is, mely s sokszögtanban egy ismeretlenszögnek a többi adott elemekből való meghatározására szolgál.és mindenHa p. o. egy hatszögben (lásd 6-ik ábrát) minden oldalszög, egy oldalnak és a mellette lévő két szögnekkivételével adva vagyon, akkor az ismeretlen » tszögöt ugyszámithatjuk ki, ha a fentebbi két főegyenletből oly egyenletetalakítunk, melyben az ismeretlen a 6oldal elő nem fordul.Ennek eszközlése végett az ismeretlen a 6oldalt utolsónak, azelső a toldalt pedig alapvonalnak vesszük, s az idom ezenfekvésénél az utolsó «, pontnak rendszálát és metszőkét kiszámítjuk.A fentebbi tantételek szerint az előttünk fekvő idomutolsó rendszála, vagy is « 2pontnak rendszála :a 2. sin. « 2— a 3. sin. (a 2+« 3) + a 4. sin. (a 2-|-a 3-r-a 1) —a 8. sin. (« a+« a+« 4.+« s) +ao- sin. (« a4-a s+ a 4-r-«5+« 8) = °> v a gypedig — a 6. sin. (« 2-|_« 3-t_a 4-)_ as_|_ 5{(,) == a 2. sin. « 2— a 3. sin.(*s +* 3) + a 4. sin. (cc 2 -r-a 3-f-*J — a 5. sin, (+« 2 +« a +a i +« . ) .De miután sin. (a a-±- K3+x i+ ;í+x 6) = sin. (720—« 1)= —sin. «, (mert a hatszög összes szögeinek összege 720° tesz),

következőleg — a„ X — sin. »\ === 4- a„. sin, « 1; eszerint tehát:a«. SÍM. «, == a 2. SÍW. « 2— a,, sin. (« 4 -|_a 8 ) + a 4. .SÍM. (« s -j-«,-|-a 4 ) —a, >///. (« a+á 8-fa 4+cí s) I.Az utolsó (aj pontnak metszőké : a 2. cos. « 2— a,, cos.("*+*•) + a *- «>* . (a 2 +a 3 +a 4 ) — a 6. cos. (« 2 +« 3_)_« t +« 6) +a,, cos. (« 24-a s -j_ a i +a 54-se 6 ) == a, vagy pedig, ha ezen egyenletelső részének első négy tagját az ellenkező oldalra ellenkezőjegygyei ál visszük, lesz :( « » + * « ) +a«. cos. ( a ! _|_a s -f at 44-s(.+a 6 ) == a, — ja acos. a, . — a 3. cos.A*-6'0S. ( S + S + ^ J — a *- COS. (^ 1+« 84 T a 4 -|-a e )}De miután cos. (M-^+toh*****^) = cos. (720°—aj =cos. a 1?ennélfogva, ha ez utóbbi mennyiséget ft. i. cos. «,) azegyenlet első részébe helyettesitjük, lesz 0 :a 8. cos. a , = a, — [a, cos. x t . — a 3. cos. (cct+xj -f- a 4ós. (cc s +a 3 +a 4 J —- a 5. cos. fa 2 +a a +« 4 +« 5 )] II.Hamár most az I. alatti egyenletet a II. alatti egyenlettelelosztjuk, lesz :számlálóa t. sin, « 4—a 3. sin. («»+«,)+a 4.**».(a 2 +a 3 - r -a 1 >a«. sin. a , / , , , A_—a 6. sin. (« a +a g +* 4 +« 5 )aj—[a,.cos.a 2 —a 3 .C0S.(«,4-a 3)+a 4 .C0S.(a 24-a 3 - a t )a fi. COS. a , , * _ , •, -1— a 5. COS. (a 2 -fa 3 +a 4 +a 5 )],és mivela"' = tana. «,, tehát :a 6. COS. a,, a 2. sin. a 2 — a 3. SÍM. (a 2 +a g ) + a 4. sin. (a 2 -f-a 3 -|-a 4 )I) — a 5. Sín. ( a i -|-a 34-a 4 +a 5 )tang a , = —— —i áj — [a,. COS. a , —a a. COS. (a 2 +a 3)-|-a 4. COS. (a 2 +a 3 +a 4 )nevező { , -•| — a 6. cos. («i+« 8 +a 4 +« 6 ).JEzen képletet mely a sokszögtannak IH-ik főtantételétmagában foglalja s mely az idomhoz képest kitágitható, vagyrövidithető, szavakban következőleg lehet kifejezni:

Az ismeretlen szögnek érintője egyenlő azontörttel, melynek számlálóját az idom utolsóelőttipontjának rendszála, nevezőjét pedig ugyanezenpont metszékenek az alapvonal értékéből valólevonásából eredő külömbség képezi.Ha tehát valamely sokszögben egy oldal és a mellettelévő két szög ismeretlen, azokat a fentebb kifejtett képletekszerint lehet kiszámítani. Ezen eset akkor áll be rendszerint,midőn a sokszög egyik oldala sem alkalmas alapvonalnak, s igykényszerítve vagyunk az idom valamaly alkalmas két pontjaközt húzandó ismeretlen átlót alapvonalulfelhasználni.Ilyen számitások gyakorlati kivételét a következő pontbanfogjuk látni.B) Gyakorlati eljárás.*)Midőn egy nagyobb erdőterületnek határait (külső szegélyzetét)egy szögmérő segítségével felmérni, annak pontjait sokszögtanilagmeghatározni, a papírra felhordani, és e területnek térfogatátkiszámítani akarjuk, következő eljárást kell követnünk.1. Mindenekelőtt, miután az egyes határvonalak a természetbenkiigazitattak, s megáilapitattak, egy kézirajz készítessék,mely a terület alakját lehetőleg hívenábrázolja.2. Ezekután megméretnek a kerületen lévő szögök és vonalak.Ha a vonalak mérése lejtős területen eszközöltetik, akkor alejtnek magassági és mélységi szögei is megmérendők és a valódi(ferde) távolságok méretei a vízszintes irányra leszállitandók.3. Az ekképen megmért szögök és a vizszintességre visszavezetetttávolságok méretei egy táblázatba bevezettetnek. Akövetkező táblázatban az idemellékelt rajz (7 ábra) oldalainakés szögeinek méretei vannak foglalva. Az alábbi kiszámításokis mind ezen idomravonatkoznak.*) Ezen eljárás Winkler után van előadva. Lásd „Praktische Geometrie''von Winkler. Seite 233.

A) Táblázati kimutatásaaz n i erdő kerületén felvett, szögögnek és vonalaknak. (Lásd a mellékeltrajz 7-ik ábráját).t —Am e j mértkerületi vonalak kerületi szögökjegyeimértékebécsi ölekbenjegyeimértéke fokokban ésperczekbenAz elméleti összegrekiigazított és számításbaveendőjegyeiAz idomrészeiai 150 M J115° 28' 115° 27'a-< 119,a, 124° 48' 124° 47' », Elsőa, 48, 0 5310° 17' 310" 15' et. idomrésza 4 180, 53ai 79° 32' 79° 31' a 4i a 8 255, 7 9Xt>112" 30' 112° 29 « 6a v Km M6+VI 83° 3' 83° 2' ae+via I V * V 90" 13' 90° 12' «va m H0, 0 9a I V 324° 30' 324" 28' «IVMásodika II 292, 15 %i 105° 4' 105° 3' AIII idomrész«i 204, 39 «n 94° 47' 94° 40' «nÖsszeg . 1140° 12' 1440°4. Az összes megmért belső szögök összeadatnak ésazoknak összege a sokszög elméleti öszegével összehasonlittatik.Ha a különbség nem nagyobb, mint az I. B. pontban megállapítottelkerülhetlen eltérésnek annyiszorosa, hány szöge vanaz illető idomnak, akkor ezen különbség az összes szögökközött egyenlően felosztatik; ha azonban ezen különbség jóvalnagyobb a megengedhető eltérések öszegénél, akkor ez jeleannak, hogy a mérésben valahol tévedés történt, mely mindenesetre a hely szinén megvizsgálandó és ezután kiigazítandó.

Ha a szögüiérés oly műszerrel történik, melyen egyes perczekleolvashatók, akkor a különbségnek az előttünk álló 7-ik ábránálnem szabad 10.30=300 másodpercznél, vagyis 5 percznéltöbbre terjednie. A fentebbi táblázatban e különbség 12 perczettesz, tehát nagyobb, mint tulajdonképen megengedve van; dee példa önkényesen lévén választva, a különség csupán aszámítás egyszerűsítése végett vétetett nagyobbnak, nehogyannak a szögök közötti elosztása miatt az egyes szögökre esőmásodperetekkel keljen a számítást eszközölni. Az érintettmódon kiigazított szögök a fenti táblázat megfelelő rovatábaigtattatnak.5. Ha kézirajzban ábrázolt terület idomjának van olyhoszabb oldala, melyet alapvonalnak lehet felhasználni, igenelőnyös, hogy a rendszálakat ezen oldalra vonatkozólag kiszámítjuk,mert igy az ismeretlen szög meghatározására szolgálókiszámításokat elkerülhetjük s ez által a munkát jelentékenyenmegrövidíthetjük. Ellenkező esetben kénytelenek vagyunk azidomot annak legtávolabbi pontjait öszekötő egyenes vonaláltal két részre osztani, minden egyes szögöt és oldalt a számításhozszükséges betűkkel megjelölvén, a mint ezt a példáulfelvett 7-ik ábra mutatja. Az osztó vonal által melyet a rendszálakés metszékek kiszámításánál mindkét idomrészre nézveközös alapvonalul felhasználunk, négy ismeretlen szög származikt, i. aj a VIés melynek elsejét, síj-át a III. alatti főegyenletbőlkiszámítjuk, a többit pedig az ismert ésa fi+TJszögökkel egyszerű levonás által nyerjük.6. Hogy az ismeretlen «, szögöt kiszámíthassuk, szükséges,hogy az egyes szögökből polygonometrikus összeget képezzünk,a mint ezt az imént említett főegyenlet kívánja, melyeketazután az alábbi B) táblázatnak 3-ik rovatába bevezetünk.

aB) Táblázat a mellékelt rajz 7-ik ábrájához.zt egyes tagjainakmütétj egyeiegyéni; ámtaniA szögökpolygonometricus öszszegeia szögök jegyeia szögök mértékefokokban és per-czekbenAz előbbi rovatbólleszármaztatott hegyesszögök és azoksinusai és cosinusaihelyzetének megjelölésesi­nuscosinushelyzeteAz ismeretlen szög meghatározására szolgáló egyenlet egyestagjainak logarithmikus kiszámítása180°log. sin. 55°13'=9.9i45io—10 log. cos. 55°13'=9.756236—10+ 124° 47' 124° 47'log 119, 6 1 =2.077768 log. 119, 61 =2.077768+a„ 55° 13' - -|-1.992278=ÍO(7. 98,24 —l.S34004=Zo2.407302=%.255,45 + 1.12I836=Zo£. 13,24

7. Miután a logarithmicus táblázatokbon a fügvényekcsupán 90°-ig terjedő, vagyis az első negyedben fekvő szögökszáraára foglaltatnak, ennélfogva a szögök polygonoroetricusösszegeit előbb hegyes szögökre leszármaztatni s ezeketa fentebbi táblázat 4-ik rovatába bevezetni szükséges. Evégettalakítjuk a (180°)-nak annyi többesét, amint ezt az idom szögeinekszáma követeli, jelen idomnál tehát 180, 360, 540,720 fok. Ezen többesekből azután a fentebbi táblázat 3-ikrovatában foglalt polygonometricus összegek, vagy megfordítvaezen összegekből a többesek vonatnak le, és pedig akképen,hogy a különbség 90 fokot soha meg nehaladja, a mint ez atáblázat 4-ik rovatából látható.8. Hogy az ekképen nyert szögöknek megfelelő sinusokés cosinusok tevőleges vagy nemleges jellegét is a táblázat5. és 6-ik rovatában megjelölhessük, kell, hogy az 5-ik ábráhozfolyamodjunk; ezen ábra szerint az első (« === 55° 13') szöga második negyedbe esvén, annak sinnsa tevőleges, cosinus anemleges, a második (^-4-^ = 75° 2') szög az első negyedbeesvén, ugy sinusa mint cosinusa tevőleges, stb.9. Az ismeretlen cc, szög meghatározására szolgáló HI-ikfoegyenlet egyes tagjainak első tényezőit, az oldalakat az A)táblázat 2-ik rovatából, a szögök polygonometricus összegeitpedig, vagy is az egyenlet tagjainak második tényezőit, a B)táblázat 4-ik rovatából helyettesitjük és ezeknek szorzatát azutóbbi táblázat utolsó rovatában logarithmusok segítségéveleszközöljük.Hogy pedig ezen számításnál ugy a számláló, mint a nevezőegyes tagjainak ( + ) és (—) jegyeit is biztosabban meghatározhassuk,a számláló és a nevező tagjainak számtaniműtételi jegyeit az egyenletből a B) táblázat első rovatábaátvisszük, ugy, hogy a felső jegy a sinusokra, az alsó pedig acosinusokra vonatkozik. Ezen, nemkülönben a táblázat 5. és 6-ik

ovatában foglalt jegyekből már most az utolsó rovatbeli szorzatokjegyei is meghatározhatók.10. A számlálónak és nevezőnek a táblázat utolsó rovatábankiszámított egyes tagjait a Ilí-ik főegyenletbe helyettesitvén,lesz :98, 24— 47, ;llJ+ 77, 68+ 255, 46 =384^ _1 50, 12— (—68, 24— 12, 6e— 163,o, + 13, M) ~~ 380, 69tang. «,, vagy :log. 384, 27— log. 380, 69~ 2, 584886— 2, M. M, — 0, o u 43==álog. tang. 45° 15' 51". A keresetett «, szög tehát 45° 15' 51 "-ettészen, melyet azonban egyszerűbb számítás végett kereken45° 16'-re kiegészíthetünk. Az előttünk fekvő I-ső idomrészismeretlen «, szöge ekképen kiszámítva lévén, a második ismeretlen,t. i. « 6szögöt is megtaláljuk, ha az «, « 2« 3« 4

O) Táblázat a mellékeltnlet egyes tagjaimtaniműtét jegyeiA szögök polygonometricusösszegeiAz előbbi rovatból leszármaztatotthegyes szögök s sinusaikés cosinusaik helyzeténekmegjelölésesc •»*M a szögök jegyeia szögök mértékefokokban és perczek-bensinushelyzetecosinus+ «• 45° 16'124° 47'170 3'310° 15'480° 18'79° 31'aj4- a 2-r-« 3+« 4559° 49'112° 29'45° 16'180°170° 3'9° 57'540°480° 18'59° 42'559° 49'540°19° 49'720°672° 18'+I+672° 18' 47° 42'++70" 11' 70° 11' +94° 46'«t+«I, 164° 57'105° 3'+270°4324° 28'«i-f-an-t-«ra+«rv 594° 28'180°164° 57'15° 3'270°180°90°594° 28'540°54° 28'720°90° 12' 684° 40'i+ a n -+- a m + a iv + a v 684" 40' 85° 20' —+a++0

ajz 7-ik ábrájához.A metszékek és rendszálak meghatározására szolgáló egyenlet egyestagjainak logaritmikus kiszámítása.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.log.sin.sin.sin.sin.sin.sin.sin.sin.sin.sin.150, 12 =2.17643945° 16' = 9.S51497—10119,9°48,59°180,19°255,47°log.log.cos.150, 12 = 2.17643945° 16'=9.8474Ó4—10+ 2.027906=%. 106,64 +2.023893=%. 105,6661 =5.077767log. 119, 61 =2.07776757 =9.237515—10log. COS. 9° 57' = 9.993418—10— 1.315182 = %. 20,67 + 2.071185=%. 117,8165 =1.68708342' = 9.93621Ü—10log.log.cos.48, 65 =1.66708359° 42'=9.702885—10+ 1.623195=%. 42,00 — 1.389968=%. 24,5553 =2.25654949' = 9.530215 —10log.log.cos.180, 53 = 2.25654919° 49' = 9.973489—10+ 1.786764 = %. 61,20 +2.230038=%. 169,8479 =2.407884log. 255 , 79 = 2.40788442' = 9.869015-~ 10log. cos. 47° 42'=9.828023— 2.276899 = %. 189,19 +2.235907 = %. 172,15204, 39 =2.31046070° 11'=9.973489—10log.log.cos.204, 39 =2.31046070° 11'=§.'580216—10+2.283949=%. 192,29 + 1.840675=%. 69,29292, ló =2.46560615° 3'=9.414408—10log.log.cos.2 92, 15 = 2.46560615° 3'=9.984842—10--1.880014=%. 75,86 +2.450448 = %. 282,13140, 09 =2.14640790° = 9.000000128,54°140,35°—2.146407=Zos- 90°= 140.0996 =2.11045528' = 9.910506—10log.log.cos.128, 96 =2.11045554° 28'=9.764308—io+2.020961 =%. 104,95 + 1.874763 = %. 74 ,(!.'>50 =2.147676log. 140, 50 = 2.14767620' = 9.762177- 10log. COS. 35° 20'=9.9li584—io— 1.909853=%. 31,26 +2.059260 = %. 114,62

12. A fentebbi táblázat utolsó rovatában foglalt szorzatokat,melyek a rendszálak és metszékek egyes részeit kifejezik, amegfelelőleg rövidített két főegyenletbe helyettesítve, azoknakösszeadása, illetőleg levonása által nyerjük az egész rendszálakatés metszékeket. Igy például az I-ső idomrész « 3pontjának rendszála:y 2=& í.sin. » x—a 2.sin. ( ai-j- a2) = 106, 64— 20, 07=-= 85 ; 9 7;ugyanezen pont metszéke X, = a 1. cos.K l— a 2. cos. (« 1+« 1) =105, 66+ 1 1 7, 81= 223, 47.Mindkét idomrész rendszálainak és metszékeinek egyesalkatrészei, valamint az egész rendszálak és metszékek is a421. lapon következő D) táblázatba átnézetesen összeállittatnak.13. Ha az idom szögei és oldalai teljes pontossággalvolnának megmérhetők, akkor az I-ső főegyenlet szerint azidom utolsó rendszála értékének O-val egyenlőnek kellene lennie;ez azonban a megelőző szakaszban elősorolt elkerülhetleneltérések miatt igen ritkán fordul elő s rendesen a 0 tói különböző, csekély mennyiséget kapunk eredményül, mely azidomnak tökéletes berekesztése végett, a rendszálak egyesrészeire aránylagosan felosztandó, a mennyiben az a körzővel egyátalábanmég megmérhető.Ezen külömbség például az első idomrésznél -— 0. 02tesz,mert az utolsó rendszál a fentebbi táblázat szerint:(106, 6 4— 20 )67-f-42, 00-r- 61, 20) — 189, 19= 189, 1 7-189, 1 9—— 0, 02mely mennyiség nem jelentékenysége miatt ugyan — mertkisebbített mértékben körzővel meg sem mérhető — de azért,hogy a kiigazítás módja szemlélhetővé tétessék, osztatutt elaz 1-ső és 4-ik rendszál részei között. Ezen kiigazítást, hat. i. különbség merül fel, a metszékek alkatrészei is igénylik.Miután az a^, alapvonal mindkét idomrészszel közös,könnyen megfogható, hogy annak mindkét idomrészből kiszámítotthossza a Il-ik főegyenlet szerint kell, hogy egymással egyenlő

Az idom pontjainakjegyei+ +co oI I +"I COB p- .93 I— —- h-TI + +-1 C5 to |—I oto -1*."CD " o *cÜL OS O540,99*-tcOiC7IcoC?IlO| l 1 +©J p S Io%"COCD+ + +t o81,26LÍ*74,94*©00J OTOsto"ToCC© 1Jo""ío'1M (CO IO co OCDBg-lcs offSS*© "toTO -IC< IO IO t oJ D vCo OO Ül*íOi—• OA *"OlOSI + ++ +1g5 — oIsCD*CD (W I-ICft t-T ÍOOS I-IOS CD00 CO3r?r^_PI—

legyen. Ha tehát a két idomrész elemeiből kiszámított eredménynem egyenlő, akkor a különbség a metszek (alapvonal) részeiközött felosztandó, mint ez a renszálaknál is történt és a fentebbitáblázatból kivehető. Jelen ábránkban az első idomrészalapvonala . . . .= 540 :a második idomrészé= 540.a különbség tehát 0„melynek fele a kiegyenlítés végett az első eredményhez hozzáadatott, a másodikból levouatott. E szerint a kiigazított alapvonal540, 95 tészen. A Ö.04 ölet tevő különbség a metszeknégy hoszabb alkatrészére egyenlően felosztatott.14. Az előttünk fekvő 7-ÍK ábrára tekintve, láthatjuk,hogy annak térfogata az egyea metsz ékrészek és rendszálakáltal képezett háromszögök és dülényekből (trapéz) áll, melyeknekalapvonalát az egyes metszékrészek, magasságát pedig arendszálak képezik, melyeket a D) táblázat 10-ik és ll-ik rovatába,szorzataikat a 12-ik rovatba összeállítva, az utóbbiakösszegéből az egész idom térfogatát nyerjük. Megjegyzendőazonbau. hogy oly háromszögök vagy dülények, melyek másnagyobbakban fekszenek, az utóbbiakból levonandók.(Vége köv.)