51 A Sommerfeld-féle atommodell A Bohr elmélet már többre képes ...

Atomfizika 51 A Sommerfeld-féle atommodell
A Sommerfeld-féle atommodell
A Bohr elmélet már többre képes, mint a megelőző atomelméletek,
de számos kérdést megválaszolatlanul hagy. Meghatározta pl. a hidrogénatom
színképének keletkezését, kiszámíthatóvá vált a színképvonalak
frekvenciája, de már nem adott számot például a vonalak intenzitásáról.
A legegyszerűbb atom, a hidrogénatom leírására még alkalmas,
de az elmélet már a héliumatomra történő alkalmazás esetén is csődöt
mond. Nem is beszélve a nagyobb rendszámú, sok elektront tartalmazó
rendszerekről.
Nem ad számot az elmélet a színkép finomszerkezetéről sem. Tapasztalati
tény, hogy a hidrogén színképének vonalai erős felbontású
spektroszkópban egymáshoz nagyon közel eső vonalakból állnak. Ez
azt jelenti, hogy az energiaszintek is finomabb szerkezetűek, azok nem
csak az n kvantumszámtól függenek. A Balmer-sorozat legnagyobb hullámhosszú,
legintenzívebb Hα vonala például három vonalra bomlik fel.
A probléma megoldására először Arnold Sommerfeld vállalkozott, aki
felhasználta a relativitáselmélet eredményeit, és sikerül pontosítania a
Bohr-féle elméletet, de az igazi megoldást a kvantummechanika szolgáltatta,
amelynek alapjaival a következő fejezetben ismerkedünk meg.
Az atom Bohr-féle bolygómodelljét
alapul véve – a bolygómozgás Kepler
és Newton által felfedezett törvényeire
gondolva –, nyilvánvaló általánosításnak
látszik, hogy az elektronok számára
a körpályákon kívül feltételezzünk
olyan ellipszis alakú pályákat, melyek-
nek egyik gyújtópontjában az atommag
van (21.ábra). Sommerfeld úgy gondol-
ta, hogy a hidrogénvonalak finomszerkezete az ellipszispályák figyelembevételével
értelmezhető.
Mivel egy ellipszispálya meghatározásához két adatra van szükség
(az „a” nagy-féltengelyre, és a „b” kis-féltengelyre), ezért Sommerfeld
eggyel szaporította a kvantumfeltételek számát, előírt egyet az ellipszis
kis-féltengelyének kiválasztására is. A Sommerfeld-féle kvantumfeltételek
a következők:
a
n
r
Z n
bn
l
= ⋅ =
a n
+ , l
;
1 2 1
Az első nem más mint a Bohr-elméletben már szereplő eredmény, r1 a
n
21.ábra

Atomfizika 52 A Sommerfeld-féle atommodell
H-atom legbelső pályájának sugara, Z pedig a rendszám. A második
kvantumfeltétel az ellipszispálya kis és nagytengelyének arányát írja elő.
Innen világos, hogy a lehetséges elektronpályák megadásához már nem
elégséges egyetlen kvantumszám. Az n kvantumszám neve mostantól
kezdve főkvantumszám. Ez határozza meg az elektron magtól való
átlagos távolságát. Lehetséges értékei: n = 1, 2, 3, 4,…. Az l neve
mellékkvantumszám. A fenti formula alapján világos, hogy lehetséges
értékei: l = 0, 1, 2, …n -1. Egy adott főkvantumszámhoz tehát tartozik
egy körpálya, és n – 1 db ellipszis. Mint látszik a mellékkvantumszám
voltaképpen a pálya lapultságát jellemzi.
A spektroszkópiában adott fő és mellékkvantumszámok
által meghatározott állapotokat egy-egy betűvel
jelölik. A főkvantumszámok n = 1, 2, 3, 4, 5, …stb értékei
esetén a K, L, M, N, O, …stb betűjeleket is használják,
az l = 1, 2, 3, 4, 5, …stb mellékkvantumszám értékek
esetén pedig az s, p, d, f, g,…stb betűjeleket
írják. Ezt a jelölést láthatjuk a mellékelt ábrákon
az ellipszispályák mellett.
Sommerfeld kiszámította az elektronok lehetséges
energiáit, és a következő eredményt kapta:
E
n
2 4 2 2
2π me k Z 1
= − ⋅
2 2
h n
ami pontosan megegyezik a Bohr-elmélet
által adott eredménnyel. Eszerint az elektron
energiája nem függ a mellék-
kvantumszámtól, tehát ez az általánosítás
egyelőre nem magyarázza meg a színkép
finomszerkezetét.
A színkép finomszerkezetének részletes
tanulmányozása során kiderült, hogy a multiplett
színképvonalak hullámszámának
relatív eltérése 10 -4 nagyságrendű. Már
kiszámítottuk a hidrogénatom legbelső pályáján keringő elektron sebes-
ségét, amely v
c
= 137 -nek adódott. Vagyis a fénysebességhez nagyon
közeli érték. A speciális relativitáselmélet szerint fénysebességhez közeli
sebességek esetén a tehetetlen tömeg megnövekszik, és a növekedés

Atomfizika 53 Atomok impulzusnyomatéka
mértéke v és c arányának négyzetétől függ. Mivel pedig v ⎛
⎜
⎝ c
⎞
−4
⎟ ≈ 10 ,
⎠
ami éppen a színkép finomszerkezetében tapasztalt eltérések nagyságrendjével
egyezik meg, természetes gondolat volt Sommerfeld részéről,
hogy figyelembe vegye az elektronok mozgásának leírásánál a
relativisztikus effektusokat is. Különösen azoknál az ellipszispályáknál
lényeges a hatás, amelyek nagyon lapultak, a maghoz közeli pályarészen
ugyanis az elektron felgyorsul, a magtól távol pedig lelassul. Elvégezve
a számításokat az adódott, hogy az elektron energiája kismérték-
v 1
ben függ az l mellékkvantumszámtól is. Ha bevezetjük az α = =
c 137
ún. finomszerkezeti állandót, akkor a kapott eredmény a következő
alakba írható:
Z k Rhc Z
En,
l
n n
= − +
2 2 ⎡ α
2 ⎢1
2
⎣
2 2
n
+ −
⎛ 3⎞
⎤
⎜ ⎟⎥
⎝ l 1 4⎠
⎦
Ez a formula már viszonylag jól magyarázza a vonalak finomszerkezetét,
a tapasztalattal azonban csak akkor kapunk egyező eredményt,
ha még élünk azzal a feltevéssel, miszerint egy átmenet csak akkor jöhet
létre, ha a mellékkvantumszám változása 1, minden más átmenet
tiltott. A ∆l = ±1 kiválasztási szabály alkalmazásával az ábrán látható
módon azt kapjuk, hogy a Lyman sorozat tagjai szingletek, mivel az
n = 1 végállapotban l = 0 a kiinduló állapotban tehát csak l = 1 lehetséges.
A Balmer-vonalak viszont tripletek, ugyanis az n = 2 végállapotban
l = 0 illetve 1 lehet. Így a kezdőállapotban l lehetséges értékei rendre 1,
illetve 0 vagy 2.
Atomok impulzusnyomatéka
További fontos információkat szerezhetünk az atom szerkezetéről, ha
megvizsgáljuk az impulzusnyomaték színképtől független megnyilvánulásait.
(Az atomfizikában az impulzusnyomaték-vektort hagyományosan
L jelöli). Elsőként kiszámítjuk a H-atom µl mágneses momentumát. A
tárgyalás során a Bohr-elméletből indulunk ki, mivel az számszerűen
helyes eredményt ad, s egyszerűsíti a dolgot az is, hogy nem kell ellipszispályákkal
foglalkozni.
Tekintsünk egy m tömegű -e töltésű elektront, amely r sugarú körpályán
halad a mag körül v sebességgel (22.ábra). Ez a mozgó töltés egy
2

Atomfizika 54 Atomok impulzusnyomatéka
∆q
e e ev
i = = = =
∆t ∆t 2πr 2π
r
v
nagyságú elektromos áramot jelent. Az
elektromosságtanból tudjuk, hogy egy
ilyen „köráram” elemi mágnesnek tekinthető,
melynek nyomatéka
µ l
= iA
ahol A egy r 2 π nagyságú és a mozgó
töltés által generált B mágneses indukcióval
egyezőirányú területvektor – a
22.ábra
jobbkéz szabály szerint –.
A körpályán mozgó elektron által létrehozott mágneses momentum
nagysága eszerint
µ
l
e π
π
v
r r
2 evr
= =
2 2
Mivel a körpályán való mozgás miatt az r és v vektorok minden pillanatban
merőlegesek, ezért az L = r x mv impulzusnyomaték-vektor nagysága:
L = mvr. Mivel az elektron negatív töltésű, ezért ez a vektor ellentétes
irányú a mágneses nyomaték vektorával. A nyomatékokra felírt két
összefüggés alapján látható, hogy azok nem függetlenek egymástól,
hanem közöttük fennáll az alábbi összefüggés:
e
e
= ; µ = − L
2m 2m
µ l L vektoriá lisan l
A Sommerfeld által finomított elmélet szerint az impulzusnyomaték
h
nagysága L = l ⋅ , ahol l a mellékkvantumszám. Ha a hagyományok-
2π
nak megfelelően bevezetjük a h = h
jelölést (ejtsd: „h vonás”), akkor
2π
még egyszerűbben azt írhatjuk, hogy L = l⋅h. A precízebb kvantummechanikai
tárgyalás pontosabb eredménye szerint L = l( l + 1 ) h . Így az

Atomfizika 55 Atomok impulzusnyomatéka
atom mágneses momentumának a mellékkvantumszámtól való függését
is kifejező alakja a következő:
A µ B
µ l
eh
= l l +
2m
( 1 )
e
=
m
h
mennyiség az atomi mágneses momentum természetes
2
egysége, neve Bohr-magneton, számszerű értéke µB = 5,79⋅10 -5
eV/Tesla.
Ezzel a jelöléssel a nyomatékok közötti összefüggés a következő:
µ l
B
= − µ
h L
Helyezzük most az egy elektront tartalmazó atomot homogén, B indukciójú
mágneses térbe. A mágnességtanból ismeretes, hogy a fellépő
erők forgatónyomatékot gyakorolnak a mágneses dipólusra. A forgatónyomaték
vektora:
M = µl x B
Ahol a „x” a vektoriális szorzatot jelöli. A dipólus akkor van egyensúlyi
helyzetben, ha a forgatónyomaték nulla, azaz ϑ=0 vagy ϑ=π. A dipólus
forgatásához munkát kell végezni. Ez a munka kifejezhető a potenciális
energia segítségével:
ϑ1
∫ ∫
[ ]
E = Mdϑ = µ Bsin ϑdϑ = µ B − cos ϑ
pot l l
ϑ0
ϑ1
ϑ0
Mivel a munkavégzést szeretnénk kiszámolni, ezért csak a helyzeti
energia megváltozása érdekel bennünket, így alsó határnak tetszőleges
értéket választhatunk, legyen ϑ0 = π/2. Így azt kapjuk, hogy
Epot = -µlBcosϑ = -µlB, tehát a mágneses momentum és az indukció skaláris
szorzata. Ha nem zajlik semmiféle energiaelnyelő folyamat, akkor
az energia állandó, ami azt jelenti, hogy µl és B szöge (ϑ) állandó marad.
Más szavakkal ez úgy fogalmazható, hogy a mágneses momentum
vektora a térben állandó helyzetű B indukció által meghatározott irány
ϑ1
ϑ0

Atomfizika 56 Atomok impulzusnyomatéka
körül forog, a mechanikai súlyos pörgettyűhöz hasonlóan precessziós
mozgást végez (23.ábra). Ezt nevezzük Larmor-preceszsziónak.
A mechanika törvényei szerint a dipólusra
ható nyomatékot fel tudjuk írni az impulzusmomentum
segítségével is:
23.ábra
dL
L
M = ahonnan = − L × B
dt
d µ B
;
dt h
Ebből az impulzusnyomaték megváltozásának
nagysága:
B
dL = LB dt
µ
sin ϑ
h
A szögelfordulás nagysága dt idő alatt dφ.
Határértékben a dL húr hossza megegyezik
a hozzá tartozó körív hosszával, ezért
dL µ B
dφ
= = Bdt
Lsin
ϑ h
amiből kiszámítható az elemi mágneses dipólus precessziójának körfrekvenciája,
az ωL Larmor-frekvencia:
ω
L
dφ
µ B
B
dt
eB
= = =
h 2 m
A homogén mágneses tér B indukcióvektora természetes módon kijelöl
egy irányt a térben. Irányítsuk úgy koordinátarendszerünk z tengelyét,
hogy legyen párhuzamos és egyirányú a B vektorral. Arra vagyunk kíváncsiak,
hogy a µl mágneses momentum z irányú komponense tetszőleges
értéket felvehet-e.
A Sommerfeld-féle atomelméletben erre is született egy hipotézis,
amely szerint ha a térben van egy kitüntetett irány (a homogén B mágneses
tér, és a vele egyirányú z tengely), akkor az atomban az elektronpályák
síkjai nem helyezkedhetnek el tetszőleges módon, hanem csak
úgy, hogy az L impulzusmomentum kitüntetett irányba eső komponense
csak a h egész számú többszöröse lehet:

Atomfizika 57 Atomok impulzusnyomatéka
Lz = ml⋅h ; ahol ml = l, l -1, l -2, …0, …-(l -2), -(l -1), -l
ml a mágneses kvantumszám, amely az elmélet szerint tehát 2l + 1
féle értéket vehet fel (l a mellékkvantumszám). A fentiek szerint ennek
közvetlen következménye az, hogy a mágneses momentum sem lehet
tetszőleges irányú, hanem annak z komponense is kvantált (24.ábra):
Az elmélet kísérleti bizonyítása
előtt gondoljuk át
milyen következménye van
ennek az atom energiájára.
A dipólus potenciális energiája,
mint mondtuk
Epot = -µlBcosϑ = -µlB. Mivel
a B vektor iránya egyirányú
z irányával ezért a
skaláris szorzat Epot = -µlzB
–re egyszerűsödik. A mágneses
nyomaték kvantáltsága
miatt a potenciális
energia is kvantált:
µ
lz
µ B µ B
= − L z = − m h = −m
µ
h h
l l B
e
E B m B
m Bm
h
pot = − µ lz = − lµ B = − l
2
Tulajdonképpen ezért nevezzük ml-t mágneses kvantumszámnak. Ebből
adódik, hogy a mágneses tér hatására az atom energiaszintjei is megváltoznak:
E , = − −
chR
n
24.ábra
e
m Bm
h
n ml 2 l
2
Az energia tehát a főkvantumszámon kívül a mágneses kvantumszámtól
is függ. A mágneses térrel való kölcsönhatás a korábban egyetlen energiaszintet
felhasítja annyi szintre, ahány értéket adott n mellett az ml
kvantumszám felvehet. Már említettük hogy ml összesen 2l + 1 értéket
vehet fel, eszerint egy eredetileg szingulett vonal 2l + 1 vonalra hasad

Atomfizika 58 Az elektron spinje
fel. A színképvonalak mágneses térben történő felhasadását valóban
meg is figyelték már a múlt század végén. Ezt a hatást holland felfedezőjéről
Zeeman-effektusnak hívják. A Zeeman-effektus az impulzusmomentum
iránykvantáltságának közvetett kísérleti bizonyítéka.
Az elektron spinje
Ugyancsak a mágneses momentum iránykvantáltságának vizsgálatára
végzett el egy kísérletet 1922-ben Stern és Gerlach. A kísérlet lényege
a következő. Izzítással létrehoztak egy ezüstatomokból álló nyalábot,
amelyet egy fókuszáló berendezés segítségével z irányban
ellapítottak (25.ábra).
25.ábra
Ezt a nyalábot ezek után átvezették egy erősen inhomogén mágneses
téren. Tudvalevő, hogy az inhomogén mágneses tér a mágneses
dipólusra erőhatást gyakorol (26.ábra), melynek vektora
illetve annak számunkra érdekes z komponense a következő
módon számítható:
B
F = ( µ l; grad ) B;
Fz
= µ lz
z
∂
∂
Ezen egyenlet értelmében az ezüstatomokból álló
sugár eltérül a z irányban. Az atomokat egy fényérzékeny
lemez segítségével észlelték. Ha µlz tetszőleges 26.ábra
érték lehetne, akkor a fényképező lemezen a nyaláb
egyenletes kiszélesedését tapasztalták volna. Azonban
a kísérlet tanúsága szerint a nyaláb egyértelműen két komponensre
bomlott (27.ábra), egy +z és egy –z irányban eltérült komponensre. Ez
az eredmény csak egyet jelenthet. A µl vektor z irányú komponense nem
z

Atomfizika 59 Az elektron spinje
vehet fel tetszőleges értéket, hanem kvantált.
Ez a kísérlet tehát közvetlenül bizonyítja az
atom mágneses nyomatékának iránykvantáltságát.
A mágneses kvantumszám 2l + 1 lehetséges
értéket vehet fel, ez pedig azt jelenti, hogy
az elmélet szerint a nyalábnak páratlan számú
komponensre kellett volna felhasadnia. Az l = 0
27.ábra
esetben egy eltérítetlen nyalábnak kellene
adódni (m = 0), az l = 1 esetben egy eltérítetlen
(m = 0) és egy-egy pozitív és negatív irányba
(m = ±1) eltérített nyalábot kellene kapnunk, és így tovább. A kísérletet
1927-ben megismételte Phipps és Taylor alapállapotú hidrogénatomokat
tartalmazó nyalábbal. Az elméletünk szerint ekkor m = 0, így a nyaláb
nem térülhet el. A kísérlet tanúsága szerint viszont, ebben az esetben
is két részre bomlott a nyaláb.
Mindkét fenti kísérlet azt sugalmazza, hogy van az impulzusnyomatéknak
egy olyan forrása, amelyet eddig nem vettünk figyelembe. Vajon
mi lehet ez a forrás? Az egyik feltevés az, hogy az atommag rendelkezik
saját impulzusnyomatékkal. Ennek klasszikus megfelelője a saját ten-
gely körüli forgás. Ha ez így lenne, akkor az impulzusnyomaték növekedése
eh
m
= µ B lenne, ahol m az elektron, M a mag tömege. A Stern-
2 M M
Gerlach kísérlet kiértékelése azonban azt mutatta, hogy a valóságos
érték ennek körülbelül 10 3 -szorosa. Ennek az impulzusmomentumnak a
forrása a mag nem lehet, csak az elektron. Az elektron saját S impulzusnyomatékát
a forgásra utaló „spinning” angol szóból spin-nek nevezték
el. Mechanikai megfontolások alapján arra gondolhatnánk, hogy az
elektron spinje a saját tengely körüli forgásból származik. Ha ezt feltételezzük,
akkor arra a következtetésre jutunk, hogy az elektron felületi
pontjainak a vákuumbeli fénysebességnél gyorsabban kellene haladni,
ami a relativitáselmélet szerint lehetetlen. A spin semmilyen értelemben
sem klasszikus fogalom.
Wolfgang Pauli 1925-ben feltételezte, hogy létezhet az atomnak egy
negyedik kvantumszáma is, amely csak két értéket vehet fel. Nem sokkal
ezután a leideni egyetem két frissen végzett hallgatója, Goudsmit és
Uhlenbeck azt javasolta, hogy ez a negyedik kvantumszám legyen az
elektron spinjének z irányú komponense.
Jelölje ezt a kvantumszámot ms, neve spinkvantumszám. Ha kiindulunk
abból a már bizonyított Sommerfeld-féle hipotézisből, hogy az impulzusmomentum
iránykvantált, és feltesszük, hogy ez a spinre is igaz,

Atomfizika 60 Az elektron spinje
akkor azt kapjuk, hogy a spinnek, valamint z irányú komponensének
lehetséges értékei:
( )
S = sh; vagy pontosabban S = s s + 1 h
továbbá Sz = ms⋅h
A spinhez is tartozik mágneses nyomaték, ez az elektron saját mágneses
nyomatéka, jele µs. Feltesszük, hogy µs és S között is olyan alakú
a kapcsolat, mint µl és L között, tehát
µ
b
µ s = − gs µ = −gsµ
Bms h S; sz
Itt a biztonság kedvéért felvettünk még egy gs szorzófaktort, amelynek
értékét a kísérletek alapján határozzuk majd meg (µl és L kapcsolatában
ennek értéke 1 volt!).
A Stern-Gerlach kísérlet szerint µsz csak két értéket vehet, és a nullára
szimmetrikusan helyezkedik el. Mivel a feltevés szerint S változása
csak a h egész számú többszöröse lehet, továbbá ms a –s és s között
csak egész értékekkel változhat, ms csak két értéket vehet fel:
1
m s = ± ; valamin t s =
2
Ez azt jelenti, hogy a saját impulzusnyomaték nagysága h/2, és a külső
mágneses tér irányához képest csak kétféle módon állhat be, z irányú
vetülete vagy +h/2 vagy -h/2.
A lehető legpontosabb mérések szerint µSz = µB, ami azt jelenti, hogy
gs⋅ms =±1. Tehát a gs szorzófaktor értéke 2, vagyis
µ s
B
= −2 µ
h S
ami azt jelenti, hogy a spinhez kétszer akkora mágneses momentum
tartozik, mint a pályaimpulzus-momentumhoz.
Úgy látszik, mintha két új kvantumszámot kaptunk volna, ezek s és
ms. Mivel s értéke mindig ½, ezért figyelmen kívül hagyhatjuk, tehát marad
az ms spinkvantumszám, melynek két lehetséges értéke ±1/2.
1
2

Atomfizika 61 A Pauli-elv és a periódusos rendszer
A hidrogénatommal végzett Stern-Gerlach kísérlet tehát a spinnel
kapcsolatos mágneses nyomatékot mutatta ki.
A Pauli-elv és a periódusos rendszer
A hidrogénatom példáján megismertük, hogy az atom állapotait a
Bohr-Sommerfeld féle elmélet kvantumszámokkal jellemzi. Az elektron
állapotát négy kvantumszám határozza meg. Az n főkvantumszám,
amely az elektron energiáját, az atommagtól való átlagos távolságát
határozza meg. Az l mellékkvantumszám amely a pályaimpulzusnyomaték
nagyságát határozza meg. Az ml mágneses kvantumszám
megadja, hogy az impulzusnyomaték vetülete a külső mágneses tér
irányára hányszorosa h-nak. Végül pedig az ms spinkvantumszám a
saját impulzusnyomaték két lehetséges irányát jellemzi.
A főkvantumszám valamely n értékéhez az l mellékkvantumszám
l = 0, 1, 2, 3, …n-1 lehetséges értékei tartoznak. Adott l esetén az ml
lehetséges értékei ml = -l, -l +1, -l +2,…,0,…l -2, l -1, l. Mindegyik
ml-hez s-nek két értéke tartozik ±1/2. Ennél fogva egy adott n
főkvantumszámhoz
n−1
l=
0
n−1
∑ ∑
( )
( l ) ( l ) ... ( n )
2 2 + 1 = 2 ⋅ 2 + 1 = 2 1+ 3 + 5 + 7+ 2 − 1 =
l=
0
1+ 2n − 1
= 2 n = 2n
2
2
különböző kvantumállapot tartozik. Ha n = 1 akkor 2, ha n = 2 akkor 8,
ha n = 3 akkor 18, ha n = 4 akkor 32, …stb lehetséges kvantumállapot
létezik.
Egy kvantumállapotot a legegyszerűbb esetben a fő- és mellékkvantumszám
megadásával határozunk meg. Ha pl. n = 3 és l = 2 akkor a
mellékkvantumszámra bevezetett s, p, d, f, …stb. jeleknek megfelelően
azt írjuk, hogy: 3d. Nem szabad azonban elfelejtenünk, hogy egy állapotot
egyértelműen egy n, l, ml, ms számnégyes határoz meg.
Kövessük végig, hogyan töltődnek be az egyes állapotok elektronokkal,
ha a rendszámot fokozatosan növeljük. Az atomok felépítésénél két
alapelvet kell szem előtt tartanunk. Az egyik az energiaminimumra való
törekvés elve, ami itt úgy nyilvánul meg, hogy az elektronok a még betölthető
állapotok közül először mindig a legalacsonyabb energiájú állapotot
töltik be.

Atomfizika 62 A Pauli-elv és a periódusos rendszer
A másik a Wolfgang Pauli által megfogalmazott alapelv (Pauli-elv),
amely szerint az atomban nem lehet két olyan elektron, amelynek mind
a négy kvantumszáma megegyezik. Ennek egyik legszemléletesebb
kísérleti bizonyítéka a karakterisztikus röntgensugárzás létezése, amely
pontosan arra utal, hogy az atomban nem minden elektron van az n = 1
főkvantumszámú állapotban, hanem az elektronok többsége magasabb
kvantumszámú pályára kényszerül.
Egy adott főkvantumszámhoz tartozó kvantumállapotok ún. héjat alkotnak,
amelyek elnevezése a főkvantumszám n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 értékének
megfelelően a következő: K, L, M, N, O, P, Q –héj. Ezeken a
héjakon a kvantumállapotok száma a számított 2n 2 szerint rendre: 2, 8,
18, 32, 50, 72 és a Q-héjon 98. Adott héjon belül, egy adott
mellékkvantumszámhoz tartozó kvantumállapotok pedig egy ún. alhéjat
alkotnak, amelynek megadására a fő- és mellékkvantumszámot együttesen
használjuk.
A fenti meggondolások figyelembevételével világosan tükröződik a
kvantumállapotok benépesülése n = 4-ig az alábbi táblázatban:
Főkvantumszám
Az elektronhéjakon található elektronok maximális száma
Elektronhéj
Mellékkvantumszám
Alhéj
Mágneses
kavantumszám
Elektronok száma
Alhéj Héj
1 K 0 1s 0 2 2
2 L
3 M
4 N
0 2s 0 2
1 2p +1,0,-1 6
0 3s 0 2
1 3p +1,0,-1 6
2 3d +2,+1,0,-1,-2 10
0 4s 0 2
1 4p +1,0,-1 6
2 4d +2,+1,0,-1,-2 10
3 4f +3,+2,+1,0,-1,-2,-3 14
Induljunk el a Z = 1 magtöltésszámú hidrogénatomnál. Ennek egyetlen
elektronja a mondottak szerint csakis az n = 1 főkvantumszámú állapotban
lehet. Ehhez tartoznak az l = 0 és ml = 0 kvantumszámok. A
spinkvantumszám felveheti a ±1/2 értékek valamelyikét. A hidrogénatom
alapállapota tehát az 1s állapot.
A következő elem a Z = 2 magtöltésszámú hélium. Ennek két elektronja
az n = 1, l = 0, ml = 0 kvantumszámok által meghatározott legalacsonyabb
energiájú állapotban van, s a Pauli-elv szerint az egyik elektron
spinkvantumszáma +1/2 a másiké –1/2. Alapállapotban tehát
mindkét elektron 1s állapotú.
8
18
32

Atomfizika 63 A Pauli-elv és a periódusos rendszer
Ezzel az n = 1 főkvantumszámnak megfelelő lehetséges kvantumállapotokat
betöltöttük.
A soron következő elem a lítium. Rendszáma 3, így a mag körül három
elektron kering. Ebből két elektron az n = 1 főkvantumszámú állapotba
kerül, a harmadik viszont már magasabb nívóra kerül, az n = 2,
l = 0, ml = 0, ms = ±1/2 állapotok valamelyikébe kerül. Két elektron tehát
1s a harmadik pedig 2s állapotú.
A negyedik elem a berillium, négy elektronja közül kettő betölti az
n = 1, l = 0, ml = 0, ms = ±1/2 állapotokat, a másik kettő pedig az n = 2,
l = 0, ml = 0, ms = ±1/2 állapotokat.
Az ötödik elem a bór, melynek öt elektronjából négy a berilliumnál is
leírt 1s és 2s pályákra kerül, az ötödik pedig a magasabb energiaszintű
n = 2, l = 1, és pl. ml = -1, ms = +1/2, ún. 2p állapotba kényszerül.
A 2p pálya betöltésénél figyelembe kell venni a Hund-szabályt,
amely szerint egy adott mellékkvantumszámú pályát az elektronok először
azonos spinnel töltenek fel.
Eszerint a hatos rendszámú szén hatodik elektronja, pl. az n = 2,
l = 1, ml = 0, ms = ±1/2, szintén 2p állapotba kerül.
Így folytathatjuk a sort a neonig, melynek 10 elektronja közül kettő az
1s, kettő a 2s és hat pedig a 2p pályán van. A neonnál teljesen betöltődik
az n = 2 főkvantumszámú energiaszint is.
A tizenegyes rendszámú elem a nátrium, amelynek utolsó elektronja
már az n = 3 főkvantumszámú energiaszintre kerül a 3s állapotba.
Az itt követett eljárást alkalmazva a
Pauli-elv és a Hund-szabály figyelembevételével
felépíthetjük az atomok
alapállapotait, betöltve azokat elektronokkal
úgy, hogy először mindig a
legalacsonyabb energiaszint töltődik
be és aztán a következő.
Tisztában kell lennünk azonban
azzal a ténnyel, hogy az elektronok
energiája nem monoton növekvő
függvénye a fő- és mellékkvantumszámnak.
A tapasztalat szerint például
a 4s alhéj előbb kezd betöltődni,
mint a 3d, az 5s előbb, mint a 4d, a 6s
előbb, mint az 5d és az előbb, mint a
4f, stb (28.ábra). A tapasztalattal viszonylag
jól egyező eredményt ad a
Klecskovszkíj-szabály, amely szerint
28.ábra

Atomfizika 64 A Pauli-elv és a periódusos rendszer
a szintek benépesülése a fő és mellékkvantumszám növekvő összege
szerint megy végbe. Azonos n + l érték esetén pedig először a kisebb
főkvantumszámú alhéjat foglalják el az elektronok.
Ha mindhárom szabály együttes alkalmazásával benépesítjük az
egyes héjakat látszik, hogy a K-héj a He-nál zárul, az L-héj a Ne-nál, az
M-héj az Ar-nál,..stb, tehát az egyes héjak betöltése mindig nemesgázzal
zárul. A lezárt elektronhéj pedig nagyon stabilis, ez magyarázza a
nemesgázok kémiai viselkedését, pl. azt, hogy más elemmel nem szívesen
vegyülnek, s elemi állapotban is atomos szerkezetűek.
A nemesgázok előtt közvetlenül olyan elemek találhatók, amelyeknek
mindössze egy elektron hiányzik a lezárt elektronhéjhoz. Ezek az elemek
a halogének. Ez magyarázza a halogének erős reakciókészségét.
Nagyon szívesen vegyülnek olyan elemekkel, amelyektől egy elektront
el tudnak szakítani a nemesgázszerkezet kialakításához.
A nemesgázok után közvetlenül pedig olyan elemek találhatók, amelyeknek
a lezárt héjon kívül csak egy elektronja van, ezek az alkálifémek.
Ezek is nagyon reakcióképesek, szívesen megválnak ettől a magasabb
nívón lévő egy elektronjuktól.
Így folytathatnánk a sort, és gyűjthetnénk össze azokat az elemeket,
amelyeknek elektronszerkezete hasonlít egymáshoz, s máris érthetővé
válnak a hasonló kémiai sajátságok is. Mivel az elmélet szerint az elektronszerkezet
felépülése periodikus, érthetővé válik a kémiai tulajdonságok
periodikus megjelenése is. Mengyelejev óriási érdeme éppen abban
van, hogy az előtt sikerült felépíteni a periódusos rendszert, mielőtt
az atomok belső szerkezetéről bármit is tudtak volna. A Bohr-elmélet
további sikerei közé tartozik a periódusos rendszer kvantumfizikai magyarázata.
A következő táblázat az atomok elektronrendszerét tartalmazza, a fő-
és mellékkvantumszámok valamint az elemek vegyjelének feltüntetésével:
Az atomok elektronrendszere
n 1 2 3 4 5 6 7
l 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 0
1 H 1
2 He 2
3 Li 2 1
4 Be 2 2
5 B 2 2 1
6 C 2 2 2

Atomfizika 65 A Pauli-elv és a periódusos rendszer
n 1 2 3 4 5 6 7
l 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 0
7 N 2 2 3
8 O 2 2 4
9 F 2 2 5
10 Ne 2 2 6
11 Na 2 2 6 1
12 Mg 2 2 6 2
13 Al 2 2 6 2 1
14 Si 2 2 6 2 2
15 P 2 2 6 2 3
16 Si 2 2 6 2 4 1
17 Cl 2 2 6 2 5 2
18 Ar 2 2 6 2 6 2
19 K 2 2 6 2 6 2
20 Ca 2 2 6 2 6 2
21 Sc 2 2 6 2 6 1 2
22 Ti 2 2 6 2 6 2 2
23 V 2 2 6 2 6 3 2
24 Cr 2 2 6 2 6 4 2
25 Mn 2 2 6 2 6 5 2
26 Fe 2 2 6 2 6 6 2
27 Co 2 2 6 2 6 7 2
28 Ni 2 2 6 2 6 8 2
29 Cu 2 2 6 2 6 9 1
30 Zm 2 2 6 2 6 10 2
31 Ga 2 2 6 2 6 10 2 1
32 Ge 2 2 6 2 6 10 2 2
33 As 2 2 6 2 6 10 2 3
34 Se 2 2 6 2 6 10 2 4
35 Br 2 2 6 2 6 10 2 5
36 Kr 2 2 6 2 6 10 2 6
37 Rb 2 2 6 2 6 10 2 6 1
38 Sr 2 2 6 2 6 10 2 6 2

Atomfizika 66 A Pauli-elv és a periódusos rendszer
n 1 2 3 4 5 6 7
l 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 0
39 Y 2 2 6 2 6 10 2 6 1 2
40 Zr 2 2 6 2 6 10 2 6 2 2
41 Nb 2 2 6 2 6 10 2 6 4 1
42 Mo 2 2 6 2 6 10 2 6 5 1
43 Tc 2 2 6 2 6 10 2 6 6 1
44 Ru 2 2 6 2 6 10 2 6 7 1
45 Rh 2 2 6 2 6 10 2 6 8 1
46 Pd 2 2 6 2 6 10 2 6 10
47 Ag 2 2 6 2 6 10 2 6 10 1
48 Cd 2 2 6 2 6 10 2 6 10 1
49 Jn 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 1
50 Sn 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 2
51 Sb 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 3
52 Te 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 4
53 J 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 5
54 Xe 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 6
55 Cs 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 6 1
56 Ba 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 6 2
57 La 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 6 1 2
58 Ce 2 2 6 2 6 10 2 6 10 1 2 6 1 2
59 Pr 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 2 6 1 2
60 Nd 2 2 6 2 6 10 2 6 10 3 2 6 1 2
61 Pm 2 2 6 2 6 10 2 6 10 4 2 6 1 2
62 Sm 2 2 6 2 6 10 2 6 10 6 2 6 2
63 Eu 2 2 6 2 6 10 2 6 10 7 2 6 2
64 Gd 2 2 6 2 6 10 2 6 10 7 2 6 1 2
65 Tb 2 2 6 2 6 10 2 6 10 8 2 6 1 2
66 Dy 2 2 6 2 6 10 2 6 10 9 2 6 1 2
67 Ho 2 2 6 2 6 10 2 6 10 10 2 6 1 2
68 Er 2 2 6 2 6 10 2 6 10 11 2 6 1 2
69 Tu 2 2 6 2 6 10 2 6 10 13 2 6 2
70 Yb 2 2 6 2 6 10 2 6 10 13 2 6 2

Atomfizika 67 A Pauli-elv és a periódusos rendszer
n 1 2 3 4 5 6 7
l 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 0
71 Cp 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 1 2
72 Hf 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 2 2
73 Ta 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 3 2
74 W 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 4 2
75 Re 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 5 2
76 Os 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 6 2
77 Ir 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 7 2
78 Pt 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 9 1
79 Au 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 1
80 Hg 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2
81 Tl 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 1
82 Pb 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 2
83 Bi 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 3
84 Po 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 4
85 At 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 5
86 Em 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 6
87 Fr 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 6 1
88 Ra 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 6 2
89 Ac 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 6 1 2
90 Th 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 1 2 6 1 2
91 Pa 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 2 6 1 2
92 U 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 3 2 6 1 2
93 Np 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 4 2 6 1 2
94 Pu 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 5 2 6 1 2
95 Am 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 6 2 6 1 2
96 Cu 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 7 2 6 1 2
97 Bk 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 8 2 6 1 2
98 Cf 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 9 2 6 1 2
99 Kt 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 10 2 6 1 2
100 Fm 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 11 2 6 1 2
101 Mv 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 12 2 6 1 2
102 No 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 13 2 6 1 2

Atomfizika 68 A Pauli-elv és a periódusos rendszer
n 1 2 3 4 5 6 7
l 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 0
103 Lw 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 14 2 6 1 2
104 Bo 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 14 2 6 1 2