letöltés PDF - EMT

- 233 —Α Κ 12 Κ 13 egyenesen keresztül a G 4 gömbhöz érintőleg két síkfektethető, mely a G 2 és G 3 gömböket is érinti; az érintés a síkokugyanazon oldalán történik, tehát az érintősíkok a K 23 ponton iskeresztül mennek.Minthogy a két érintő sík egymást egy egyenesben metszi: aK xi K í3 Κ ΪΆ pontok ugyanegy egyenesben feküsznek.Ugyanezen uton következtethető, hogy a. B 12 B 13 K 23 , B X2 B 23 K X3és B 13 B l2 K 12 hasonlósági pontok is egyenesen feküsznek.A négy egyenest, mely három gömb hat hasonlósági pontjáthármával tartja, a három gömb hasonlósági tengelyeinek nevezik.A három gömb nyolcz közös érintősíkja tehát párjával ahárom gömb négy hasonlósági tengelyén megy keresztül.Minden sík, mely a három gömb egyik hasonlósági tengelyénmegy keresztül, a gömbök középpontjától oly távolságra van, melyeknekviszonya megegyező a gömbök sugarainak viszonyaival.Ugyanis, ha a K 12 K 13 K 23 hasonlósági tengelyen keresztül menősíkra az 0 X , 0 2 ,0 3 pontból bocsátott merőlegesek talppontjai A lt A 2 ,A 3 , akkor Ο χ Α χ : 0 2 A 2 = r x : r 2 , és 0 2 A 2 : 0 3 A 3 = r 2 : r 3 , tehát0 X A X : 0 2 A 2 : 0 3 A 3 — r x : r 2 : r 3 .Négy gömbnek általában nincs közös érintősíkja. De ha egömböknek középpontjai 0 ± 0 2 0 3 0 4 , sugarai r x r t v 3 r±, páronkénthasonlósági pontjai B 12 K 12 , B 13 K 13 , . . . B 3l K 3i , akkor kimutatható,hogy a külső hasonlósági pontok K 12 K 13 K Xi K 23 K u K 3i egy síkbanfeküsznek.Ugyanis, ha a gömbök középpontjaiból a K 12 K 13 K 2i K u síkrabocsátott merőlegesek talppontjai A 1 A 2 A s A i , akkor0 X A X : 0 2 A 2 : 0 a A 3 - - : r,: r 3 , és 0 V A V : 0 4 .1 4 = r x ·. r 4 ,tehát 0 X A X : 0 2 A 2 : 0 3 A 3 : 0±A l = r x : r 2 : r 3 : r i .Ebből következik, hogy ama sík a K 2i K 3l pontokon is keresztülmegy.Nyolcz síkot lehet találni, mely a gömbök 12 hasonlóságipontjait hatával magán tartja; ezek: K v2 K X3 K Xi K 23 K 2i K 3i ;K X2 K 13 K 23 B 23 B 2X B 3X , és még ily kettő; K xi K 3i B x3 B 23 B u B 2i ésmég ily három, melyek a gömbök hasonlósági síkjainak neveztetnek.Ha tehát négy pont 0 x 0. 2 0 i 0 i és négy vonaldarab r 1 r 2 r 3 r i vanadva, akkor nyolcz síkot találhatunk, melyeknek a pontoktól mérttávolsági viszonya a négy adott vonaldarab viszonyával (r x : r 2 :r 3 : r 4 ) egyenlő ; e síkok a négy pontból a négy vonaldarabbal, mintsugárral, leírható gömböknek hasonlósági síkjai.