letöltés PDF - EMT

— 164 —-Ε három sík xyz metszővonalai, melyek szintén merőlegesekegymásra, az egyes síkokban felezik a szemben fekvő tengelyeketúgy, hogy a hat tengelyről következőképen is fogalmat szerezhetünk.Képzelünk három síkot, melyek páronként egymásra merőlegesekés egymást az x, y, ζ egyenesekben metszik ; az (yz), (zx), (xy)szögek és mellékszögeinek felezői aa u bb lt cc x a kívánt tengelyek.Az ikosaeder csúcstengelyei és a dodekaeder laptengelyei olyhat egyenes, melyeknek bármelyike a többi öthöz egyenlő szög alatthajlik. Ha egy ABCDE szabályos ötszög F középpontjábanannak síkjára merőlegest emelünk, és erre az F talpponttól mérveaz ötszög körül írható kör félsugarát reárakjuk az Ο pontig, akkor azOA, OB, OC, OD, OE, OF egyenesek helyzete megegyező azikosaeder csúcstengelyének, valamint a dodekaeder laptengelyeinekkölcsönös helyzetével.Ugyanis a szerkesztésből következik, hogy az OF egyenes atöbbi öttel egyenlő szöget képez és pedig olyant, melynek trigontangense— 2.Másrészt, ha az F ponttól az AB ... Ε ötszög körül írhatókörbe egy szabályos ötszöget akarunk beírni, akkor az AF sugárfelét az AF-re merőleges sugárra visszük G-ig (FG J_AF, FG—AF),és AG-t a GF-re rakjuk F felé H- ig; végre AH a körbeírhatószabályos ötszög oldala. Az AHG egyenszárú háromszög azonbancongruens az ABO-va\, mert az AFG, AFO derékszögű háromszögekcongruensek, tehát AB = AH, AG = HG = AO = BO.A dodekaeder egy szemben fekvő élpárjának négy végpontján,még nyolcz él megy keresztül; ezeknek végpontjai egy hexaedernekcsúcspontjai. A dodekaederbe tehát oly hexaedert írhatunk be,melynek csúcsai a dodekaeder csúcsaiban vannak.Minden ily beírt hexaeder lapjai a dodekaeder három élpárjávalpárhuzamosak, úgy hogy az összes beírható hexaederek számaöt. Ezeknek 5.12 = 60 éle a dodekaeder lapjainak átlói 12.5 = 60.Minden dodekaeder-csúcs két hexaedernek csúcsa 5.8 = 2.20.Ebből folyólag a dodekaeder tíz csúcstengelye következőösszefüggésbe hozható a hexaeder csúcstengelyeivel: A dodekaederminden csúcstengelye hat csúcstengelylyel ép oly szöget képez,mint a hexaeder két csúcstengelye; a többi három csúcstengelylyelpedig szintén egyenlő, de ettől külömböző szöget képez ama csúcstengelylyel.A dodekaeder és ikosaeder minden éltengelyére két éltengely