t.-l ,\l"- r"

Laplace-transzformici6 (nregoldisok)1.16 /\a)rlr.-:plJ^ " "'.t,",tt=J,, ,,'. r-a'. A parcirili. inr.gr;ild. rrr,.,d_szr:r6t (D 12.10) /'(i): el,-P)i.9(t) : I vrilaszt6ssa.l alkallrrazr-afr "(' rlrlat1t,":t,l - l"d.('-."",tt.1t '""'''Jti p J,, rn .t_p1,,_t,,. tcJ' P)t,. r(o r)i 1ll lll lrrrt -t-, n .l r..(,r_l.l: ,,1 t,)rH:rszrriJjrrk ferl, hogy tetsziilegcs komplcx szirnra ]c,l: eR"..| "tu-P)t I,li',' l- -l !,., n't" p'l '-0;aR.rar-N .lirrr ,lr,' 1'r t-1 ln_ PrRco - Rr'7r ( 0, Rr'7,r ) Rcn.lir,, lr,t, r'tt1 - lur r, lH.r. r,l '1i,,,/ r' t , /:;r/R.r R"., I= 0 (az utolst-r 'talakitasrlil a T 11 12 L'Hospi-.. I'":1, 1n, r, n,;;in;-mltal szzrlrrilyt alkalurirzva).(o t,\:lrt,) \ 1.^/:t/Nlirrthogy l/(r)l - 0-lx;l /(t) * 0 kt;r'rtkczik, I{tc.!;2} - -f -lr) .{ parcirilis irrtcgril;i.s rurirlsz.rir alk;rlrnazva 1.y-f,,," f,^",\lifo J'/a,",r""""r;C1t","t11,1 .[- , ,'1,,,"' ,1,. | ,',.',-, , '',t,-.Jttt.[/u ,(u-rrtl' ,- t.-l ,\l"- r"r" t'tt: Lr{t ',^t;r,}.t"Irrrreu tcljcs iutlrrkr.i

25. Laplace-transzformrici6(Kihasznr6ltul, hogy a (*) tisszefiiggds miatt ^lim l"'t-o-"I" | = o, O",,-et -p-oI4.Rep > 0 teljesiil. )f0. hal(o.Az 6br6b6l leolvashatjuk, hogy /(t) := {r - d, ha al t < b, igy az el6z6Ib-c. haf >6-feladat megold6siba.u szerepld (*) 6sszefUgg6st felhasznrilva:L{ f (t); p) = "-r, t"' 1t - a\ dt + e-tt lr-1b - a\ dt = ... = (e-'r- "-.Dr) j{"-30, kih*ro,6lo a 3. feladat megoldrisri.na.k (+) kdplet€t.VIII. igazol6sa: A cos6f = j (eibt+€-ibt) azonossdg miatt"ot.o" =l(e('+irx +€("-tr;)). A III. L6plet alLalmazd,sri.val ad6ctik a VIII.IX. igazoldsi: Az el6z6hoz hasonl6an.t _ .XI. igazolrisa: t """ Dt = i(teibt + h-ibt). Az la) feladat eredm6ny6t felhasznri.lvaa.d6dik a bizonyitalda kdplet.XII. igazol6sa: Lz el6z6hbz hasonl6an.XIII. igazolisa: A Xl.-hez hasonl6au.XIV. igazolisa: A Xl.-hez hasonl6an.8.L10.11.f( t)Llf: po\11JoMivel+r1(t0,=te-,lt5( -\2{,I,tdt3) ,1('- 3).t-ha I t

I20. sl'(3i - iJ:' (t3t-\ +."r-3!) tcly,tt.si1,.,"1 -I12r. clt^'tl r r{/,.r,/} -:/;-1tl n rAl,t6.,ar iJar,j?in.|l " :;l#II|i". ^i], ='o',,/rr'- ,l, riu;;t; ;rz,,rr,,.s;.r8 f, u,a.zrFiii.;val_{.'u' o ''" : "#f r

"t.tFl1l < - ff"t', ha I > 0. Az egrenl6tlens€g szerint I :! liacrl mindenl\/tli > b esetdn. A t = 0 heb'e! vett jobb oldali hatd.r6rt€kre t€rve rit az 1 S 0ellentmoudr6.shoz jutunk; tehdt nem Lanlace-transzform6lhat6.;fu3r. l/(t)l = le3t+21= e2."3t S e2. "3', t"h5"1 K = e2 6s C = 3 r'rilaszt6ssalI f (t)l < K' ect val6baa teljesiil.32. K =7,C:O.33. Legyen /(r) : b$D. Ekkor li,3g.f(r) = /(0) = 0, a L'Eospital szabdlvtalkalmazra pedig = 0 ad6dik. Minthog.v aa / fiiggv€nv a (0'oo)Jj*/(t)intervallumoo folytonos ds a v€gpontokban ldtezik hatd.r6rt6ke, igy / korl4tosis a (0, e)-n. Ezek szerint ldtezik olyan ff 2 0 szd'm, hogy ha t ) 0, akkorl.1t -! 1\l/(t)l

25, Lapt!" r rarqzfofu,in.i,i37, ct *et - ,' . r' '.1., : 1,,'{,r.r]l = l€r.I38. 12*13 = .*13d..-rr r r' : "3.(i - sy:./.s = li6lu'rt., 1,,'39. -fr^r+1. 40. t+sh/.1 ,41. A sin o cos ,'i:i (";ll" + ,r) + siu(o ,i)) azorLossrig alkalIrraziisrivalsint * cost -ittt1/, sirr.s.cos(t s),is -/, ;[sin/*sin(2.r -i)]dr -rl.'-;- ll(rnr)L,,'.,r.. ,rl't- ' | ?t.tt.tJJ:O1 ,42, A cosocos;/ =;(.,^t,, - rl)+ cos(n *;i)) azorrossrig alkallr:rztisii.r'alcosr * c()s/ - ]tlu'r *, *,",y.I43. A sirro "i,, J = J) ,r,"(n ](,,,"(,,+.t)) azorrossiig alkalrrraz:'rs:ivalsurl+sirr/ :I(sirr/ ttos/).44. A 39.,1r 41.ftta(lar(,k crrrlrrrrlrrli{ fr.lharzrrrilla -ltsini cor,t* 1*ft45. "l / t .irr t ' /, s)r . .rrrlt ., r,/.A lrarci;ilis irricgri-rliis ru

A D 25.7 -ben J(t) = t, g(t) = I vrilasztrissal /(s)g(t - s) = s, 6s ezefi,(, + lXt) = "0" ='] Iot48. Megfelel6 azonossiigok 6s a definici6 alkalmazris6,rrl art/ (sins+coss).2dsJo'integrdlhoz jutunk, melynek €rtdke 2(- cos t * sin t * 1).49. A Laplace-transzformrilta& tribliaatdna"k III. k€plete afapj6n 4{ei} =;:.A T 25.10 kolrvolici6t€tel alapjdn az f(t) = "t, SQ) = et ftiggv6nyekre,. 1 I 1Lle' * e'l 'P-r P-r (P-r)2'50. A transzform6ltak t6.bldzatina& II. k6plete szeriut f,{rn} = ;#.2! 3! 72L{tz +t3} = E{t21. L{t3l =: F 7=7'51. A fllggvdnyt /-fel jeliilve, a konvolfci6 D 25.7 definici6ja szerint/(r) = (si! t) * e', 6s i$r a T 25.10 konvolici6tdrel szerintTeh6i52. -Az el6z6hoz hasonl6an -- -2-. 5s,. --.=2 -.\P" - t)p" p"lp - 2l54. A cosl .cos.e * sinl . sins = cos(l - s) azonossidg felhasznril6,s6,val hozzukI rl 1a f{tggvdnyt - s)ds ala.kra, majd hasznriljuk a T 28.10h J" e.cos(t. konvohlci6tdtelt. A keresettranszformii.lt:dT,156, Az el6z6hiiz hasonl6anWin56. A III. kdplet szerint Ct'\ = #,5?. p@*+t:"8'fffi-iW lo'"" d" :';trr,=fu55r. pb+1y6O. Mivel "-t (t2 *.t) = "-' lo'"'"t-" d", ez6tt az el6z6 feladat eredm6ny6t felhaszniilvaa fiiggv6ny Laplace-transzformdlrj"# 1X61. f(t):-2coslsinf : -sin2t, igy az V. k6plet szerintEIf' \ = LI- sinztl = -l{sin 2}} : -;,25.6

63. A r 25.12 t6tcl szcrinr LLf') - pt{f}64.66.I'Idsr6szt T 25.12 rrdatttlll 1'tltl - ,\n.,[t| /,4j"o, rr,.i/- .Lirrr". pI1,o.:,]- t.^ ,':.)E?,kf,i;l 1,C{.,\i/}- 1- . .. ^/^z {1.6.rr1- J^-/,-,t|,tl_r ))262. rtsrr'-i ):-I'\tf i t ).t(0) = ra{.f}. ,1.L\.f' j : t;J/:.1.f | - rf ()) .f(0) = 1,:ra{l}.Ezck szcrirrr /i{/" .f' - .f) = 0} - p l)r:{fl0,t -r| lti) +2t r)L\.f IA 1(1t(,lt az.f(f):by:r+2ip2 + r11, 7+ 9.sirrir/ fiiggvrirlr| alkalrrrazva't d /. :;,,t-{/ si,r l,/] f {.ir, i,r 1tr 'dpeit +t/1 (1,:+ t?):H;rs

25. Laplace-transzformdci6Az eredeti egyenlet transzformriltjaf,\tutt(t\J -2r,1v'e)l :o

A.zr eftiz6 fclad a t rn"gc,ld;is{l r.z L a sonl6 szilrnit dssa.l. {clhasznrilva, -hog1.n', - lrr i,{ q I +I i^C. a ker,*, I r L;rplar,'r r a11.zfo111 r^t,'5rt,ll-, i:,,C{sh2l} rneghat6roz6srin6l inrlrrljrrrk ki sh I defirrici6j6b6l. A keresett Lapla_,.'tr auszfo"6lt: 1l', p. +' -+ ,.cl '' r I ,'_'Az cltiz6 lcla,lat szelilt "'1t-Lap)aec-r13;1.7fe1nr:iJrja lr, ,,-L.Az cr.,,l.rr''fiiggrcrry TI' +25.11 irrrcgr;iJrisi tFtcldt alkahnar\a.[1rsL2" ] 1 p:L \ /- ,/s )-- -- lll ---.lJo " J 4j. p._li81.83.T 25.14, rnajrl T 25.11 r:gyrrriis rrtii.rri a.lkalmaz6s6r6. 11,,41.P P _ QIldrrljulk ki 1 r:rrsI trarrszforrndltjib6l.I ,,,,"l.rDajd szirnitsuk ki ."u,1..-,l-,osi 1/-. |-'os.,',L,, , - ,r.\ rralszfornr:iltjatlt lnF(p) : -] t" p --!l]:\f(p+rJ2 +r!-z /-1+t6sF(2)f(t):.: tlflt);pj = ,-f- i..l;,1,:st.11r,., , ru.ru.z,rjrrtP'tP- t)c{, "'- I -,tt:pl - tlf l,tt)tt,l ll /t) I -L'L \n/ " (*)'(: * r)1i:11' -,t)F,U;'('-F) l{shrl} =Az dlta.l6,rrositott egysigfiiggv6rry grafikoujaaz iibrd.rr l6tlrat6. A t6Ll6zatuukl,.p--o-I. k6plcte szcrirrt l{1(t);p} - 1.r 25.16-b6l a {1ro (r):r,}: a {r(l-io)rpi- c-top L{t(t);t} - !"-,o0.P84. f(l\:- 1(l)- 1(t-r); az el6z6 fcladat rnegoldiis6t {elhaszu6.lvar{.r(r)) :4{1(r)} - c{1(r - .)}:! -" " -r - "-"'p p pNIegjcgyz6s. A rlcfiuici6 alapjriu tcirtrln6 mcgold6s:t.\f(t);pj - lo-. ,, yl4at = lo',-r,at=| +];:25.9

e_op _ p_pp85. f(t)::7'1(r-a) -'y'1(r- F) miatt r{J(t)} =r-'(1 83)t-86. f(r) = lr. 1(r - 0) - t.l(f - 4)l + [(2a- '] l(t - aJ -(2a - t) r(t - 2a)l'--ii*a a, baloldali iUtt.) i' t U.,a" helyessdge az els6 k€t tagra vonatkoz6an aiobboldali rnbr6b6l is kiolvashat6'r.1(r)I . 1(t- o)Atalakitrissal JQ) = t' r(r) + (24- | - rll(t -')1 (t : 2i.l!\' 4 Il(t -l 2a), teh6t?:):i?lJ:l.itil:'zit- o)'i(r - o) + (r- 2;)'r(t -2a)' A tdbl6'zat II k€pleteszerint /2(i) = t'l(t)-re L\fr(t)) = icv ar 25'16 eltolasi t6tel szetint7,t.\J2ft - to)\ = a{(1 - ,0) ' l(t - t0)} = "-t"oL\lz(t)}:+e-t,e ' Az ut6bbi6sszefit886st alkalmazvaLlj@\=f,{t.1(t)} -2'E\(t-o) r(r-a)} +L{(t-2(,) l(t-2d)} :I= -p2 \ - r"-", \ * e-2op : \j - r"-", + "-2"p) = l (r - "-"')'pz pz p', ' P'(A rlefinici6 szerint is szrimolhatunk, az f,{/(l);p} : u"''f(t)dt =I"= f" "-,t . t dt + [2' e-t'12o - r)dr integrriljai parciiilisan kiszrimithatciak ),o "o^_ (t-"-r1"87. .- aa. e-"p_l_:.P P+ O8e, Felirhatjuk, hogy e(l) = i(t) + f2(t), ahol hQ),= 1(t) - t 1(t - a)'- -',4r7.t:L.w _o' j,,norronrrr zr.16 dkalmazri"s6val Laplacc-trauszformi4.ltktint'I ad6dik.eo. /(r; : ft@:)+ fz1)= (ft-o)'tlt-")-(t-")'7(t-q) +(6-a) 1(r-tr) =(i-a)'1(t -")-(t- b)'1(t-b)1A Laplace-transzform t: (e-'? - e-'P) J-'er. f(,) = 11.1(t)-1.l(t-1)l +[2'l(li1-zi1r -2)l +13'l(t- 2)-3 l(t3)l + ... = 1(t) + 1(t - 1)+ 1(t -o')* ' .,':; rf t - "), eze']. LIJ(\I : -;: D"-l .. ha lp+l:"-n'r.1,?(1 - e-a )igy Rep>0.25.10

L, t'.pr :.93. Alkalmazzrrk a T 25.15 hasonl6srigi, rnajd az eredeti fiiggv6nyre r.ooatkoz6r 25.16 elrol6si tetclt. f{e(r);p} : i.*. ("r)94. 1. megold6s. A felsij 6bra szcrint / peri6-tlrrsa /r : 2o, igy T 25.17 (1)k6pletc szelnt-,

.25, Laplace transzform6ci696.98.b lb * aorc'?97.+.aPz \l- e-dq)f It\ -:1 1-P-tPP 1+ e-tP1. megoldds. A fiiggvdny Laplace-transzformriltja T 25.17 (1) szerint:Llfu\..rt) -,t[n"-pt tirrt tlt -1-p-rPJo1*e-ip. 1-.1 p."p L+p,2. megold5s. ^ r 2s.rt (2) szerint: LII\:t;pl = 1{j'*#.ntfsirrt, ha0

T 25.21 szerint 6s a t6bl6zat V., ry., XII. k6pleteiuek felhasznr{li.s6va.lsin r * cos r : r-r {r{"in r} . I{cost}} = rt :{#, "=h}= ,-'{@+,p} =;-'{#E} = },",,',Az el6z6baz hasonl6 szri,mitrissal te,sht " sh/ - ("'--"-'],2.t= (sh2r)., = -1, -:r+:te4* l - 1 +-te"4'-1O6.4z eleuri :t

25. Laplace-transzformrici6L-, {F(p)} =' L- {@:;+r\*l " {6 _ = #rr\= 2et cos2t + 1el sin 21.lO8.l.megoldis (elemi tortekre boutrissal).6fu : 6+.6$,.-'tr+) =t", +r]"'2. megoldris (a kifejtdsi t6tel T 25.31 dltalenos alakjnb6l).'' {#ry;'}= a}t" n#[r'- rrr5al =2. megoldds. A sz6mlil6t F1(p)-vel, a nevez6t F2(p)-vet jelalverrb)Fz(p) (p- 1)r(p - tXp + t)'A T 25.31 kifejt6si titelt alkalmazra:=lyn6ntp+ptr = r",(r + j) .3. megoldr4s. (a kifejt€si t6tel T 25.32 speci6Jis a.lakjrib6l).,-''{;",,}=i}+[,,-,y-,l *. r,*.i g#[r_,rr:"] t ",,*r0e.1. meeordds,=;",-' {5 _ }6;l;'}.+ Is *L,lr- ,r6j,F] # "',-,]",+,",=-*.ir+*-5{;= -", + r", + "o"r.miatt:f(t) = L' {+B}= ai g f;ft,-'t,5 _}6* u*'1,*6$ y:1[o-'r *,1*(p-1),(p-tXp+t)z:*^tl1,!'gr, [to*or (p- l),(p-i)(p+i)- I'25.1,1

!u,LapracP traxs7t,,r,,,;. j,lps I L;ir,'rrr liat,ir,ilrF[ ,, r,,lr, .,, ,.], . ]3. nregofd6s (rT 25.32 "1,,,,.i,ili" ,l^k ,2r,,,.;,,?szlrirrt:) .) -{iagokI /,t: l grr,krrek rl"gfclelcii ,l*,f','-rt';,,-1nj;JJ"' i .'**i,Bft''-rt'-,, -?-rl # .'=2 , ,, r \'a"' + I,i!: (,,r; ,' -r]7,t - ,rl..r;. ., l,l r /'r ,-ir,,t.tr.,k rrr,1,f, I.r.. ras .l irsszr'gr:rr,k kisz:irlitiisrirriiJra\/rrjrt.luk :r I I Il, j,/,,rj,,..,iA,,r=. n({,,,s/ } rsirr/)_ ro.i- n,,(.,'):,\r;rq,,t,^..,,-, ,110.1 ,, 12,-:t1n.:(,'+'{t,,t''lI t:l t') ), i il\/(.os/ I sj,,/)1rr.](,, ri,s/-l.si,,i)113'[Iiv.l,r]ll irrv,rz;ra1 ti:1 1 ;rlf ;,i|I- rr1)l^.(.-t, I rl -lr r.a 'szt' '1tt rr _ -. r.!\7rr!r(r'J(l,)--1f,rrriirtj ^ isknnvaslirt(i a t;ii,l;jz;rllrril. a7 i,l(,lrj'ri,rt{,k i;ssr(,g{,k(1ut valrj rlij;illitrt. lrtilrt.rra!' .4t. B (.t+D{/,: r.l)t,r,it, 1..1 t; rj-l -7(l.t;illir:iss;,1 ;",tolg,,zL;rrrrrrk. Z: I I t, ,l :' (^2/-drr[(,r+rlrr*11't/rt4.(t +-(-! (,.,*:r+f ";,,:,).115.1 l ,+ Ji 8 rl i, : t:7,:,:r..125.15

25. Laplace-transzformrici6rr6.et +ztet +;*et.r:r,.tet +!t2et.l18.Elemi tr6rtekre bont6ssal, vagr a 1O6. feladat megold6s:ihoz hasonl6an,=# i (* - "t*'*sar: 7{1) r1(chr -''o" i)'rre.A :;(fir.azonossis arapiro:*eLl F=)/ - 3 rE l#-l= i(cosr+chr).\rl' o'F.-Flt-2F = G+. fry. h- #1y+ifi'ttxt - [ =---:-\ =!r'""' - 2te2t + ge2t - tet - get.t(p- 1)2(p-2)3 J - 2"121. T 25.21 szerint--,{ 1 I I --,f I I --,( I It' =4' * L' tF+l' FlrI lF+1J \i411'lgy a t{blezat V. kdplete 6s a 42. feladat eredm6nye szerint,-'{Gnh't}l22.Haszndljuk fel az el6zd feladat eredm6ny6t!= sinr+sinl: - t"o"r) .}Ginr'-' {@+rF Fh} ='-'{iF+,;'}.'-' {"i} =ebb6l, parcirilis iutegrrilissal,,' {'+ry}= t - r cos r) * sin r;](sin= - /' }Gio,""oss)sin(r - s)ds = - }{rt),iot - !r"o,t.rzs. c- (cos 3r) *(cos2r) = {fiU fia,r\= }{r",,, a, - r.,,' zr).r24. L-' r} = (re-z') *(e-t)= -(t + t)e-2t + e-l.{ @+* #'. ( 1 r I1r5.4-ttF;#,tl= (sint)+(e') = j{-sint-cosr+e'). (A konvohici6sintegrr4,l kiszii"mitrisri.hoz lisd a 51. feladat megoldrisrnt.)126. Az el6z6 feladat eredmdny6t felhaszndlvar-' {5-fr,O= - ot} l,-"t"' "ost + e') * 1(t) := f' |t-"t" " - coss * e'). I ds : ]{",+ "o"r - sin I - 2).25.16

25. Laplace-transzfornuici6L27.t | { .+ = r-ht*sirt: l1.ht=:,,}.o.ty. (Az integrit6st illcriir:n(P'-r P'r r JL a 45. feladat megoldii"s6t.)128,Az clijz(j fela

1 25.25-t alkalmazva+=== =c-,{!,-"

l,aplace-transzformAci6tt'lrit a lrcri6clus lt = 2a,6s'}Fntp)-! ,,,,r. luyrt .'{,}_. {,.'I' p lp) | pJIFr(p1 = :-'. lt\t)- t-tlFttp)) 1ri ). T 2527 sz.rirrr 1 \f I.{ ",r l}:r-r{.-',,, r,(p)} -fie-tt).1(r-o):1(r-.).t /'Jr0. hatra tartalrrr:rzz:r. Nlcgjcgyczztik.hogy r:rcdrnrlrryiiuk iisszhiurgl)aD :ill (s6t t'kviv:rlt ns) a 94. fcladat crr,dnrrinyr:-vcl.140.A tijrt szir.rrrliLlijrlt (1s ncvczoj(tt -r-'rr'-vt.l urcgszorozl.a lxtzztk

2 5. Laplace-transzformrici6r+Tiffi. *k.^^2r44' p4;T*'145. Linearizdljuk cos2 t-t. A keresett Laplace-trauszformiilt:3_ _prp8p 2(f +4)'8(l+16)'sin 2tI p146.A sintcosl = azonossri.g felhasznrilisdral: -f fr EF-Tr6)-'147. Easznriljuk az indirekt bizonyitdsi m6dszert. Ea lenne olya"n .I( 6s C va.l6ssz6,m,hogy et' 5' ffect a (0, oo)-interwallumon, akkor el' -ct 5 Ii is teliesiilne,t4a,ellentmonddsban azzal, hogy et" -ct Lli:f,r61 nem korlitos.f _,2 ) _,2 ,2 -2 roo _,-^,,2L\e-.;nj = Jo"-,.endt=Jo e-Pt-i dt= e, Joe-'? dt.Az ut6bbi integrrilbao vezessiink be rij 'rel!.oz6t a. p+l = z iisszefilggds alapjri.n.A r integrdl6si rriltoz6 hatd.rai p €s oo lesznek,ro '2 t;L["+,,\="*( . l*"--' T dr, de e-z dr = r ro J,y';o(p). 6s-l ;o -2 rD -2 t;I e- -r dt = I e-T dr - l' e-t d.r = tim ,/=Of"t -,/" -Je ro Jo s-e y z u t9l?)'. ( - , 2 t l ; . 2Igy ad6dil Ll"uto|, = :eq"l-o(p)].\fI li,r .z ) 1..14e.T 25.1rrev6n f,{O(t)} = L ll : l^ "-', a"l = :"r'12(t - otrl).[v ?r''0 p)l5o,Legyen / 6s g Laplace-transzform6lhat6. Ekkor l6teznek olyarr Ii1, C1 ds K2,d2 nernnegativ konstansot, hogylf (t)l < Ktectt esEz4t1, ha C > Ct * Cz, akkotls(t)1.31. K2oc2t.tu * d@l : ", r"1 . ll""u*u- lot valwa- s)l ds ! Kt Kzlo'"c,,1" == KrKztect < KrKze@+rlt,mert a (0, oo) intervallumon t I et.rsr.rlr) . L{s} . r.|hl. r52. LI hl f. lnl LI fzj L Illzl.153.E16g be}i.tt , hogy a L6t oldal Laplace-trzunszforrlriltjai egyorl&:k. Ez

I-Izs. r.^pr.*,t.""-i.,",a.i0!I 155.T 25.11 ,\ T 25.14 rrri:rrrt tlltt):t'l - lrlsiD;/ -'r'i si'3r I I /'f P (=;J, t {sin7l sirr3lrq} dq-IA_.sint..siur = -I;(c,,s(r,r,) - cc_,s(u f t,)) azonossrlgot 6s a tV. kdpletctI felhaszrr6lra-If {sirrii..il'3/.r,1 _rl , _ /, jt!\p:116 pr I t}u)J Ezekl,iilIl','l.rr tI11 ,,1- r',, [,,, +l - -1,,,p' , tou.r, I ,r., 1001, tt,--. tiI_ rc156.\',r,$iik l",a,i(iJ) = /i,,)(/) j(.li,l(1s1. Ft,jczziik ki r,,,,q(1) Laplacetr:r.rszf

2 5. Laplace-transzformrici6r6o.L-'{+4 F-} -.' {,+} ., ={,,'_r}: (-5cos2t)*(sht) =-5/'.o"Z".sh(t - s)ds : cos2t - chr.16l.L{cbt * sint} : ,C{shl* cosl}; igy a T 25.19 t6tel kdvetkezm€nye szerirrtchl * sinl: shl * cost, ha I 2 0.162.lsini. Megjegyezziik, hogy az inverz Laplace-transzforrn6lt kOzvetlerriil kiolvashat6a transzform6ttak XIL k6plet6b6l, hiszen (-rr6s,(r2e3r) . " o, = (t' _ 4* 3\ .t, * ( -f\.-ar\7 49 343/" \343i{ffi}164.+(ch2r-chr), mertpr. F(p)=@ ;@ _q: (*-fi): r"r"*1 I/ I 1-)165.C6lszeriieu T 25.30 felhaszn5" tasava. -- ..la.lik. (u"' ^,fl t \l= p-, + 1/ezert- , ( 1 ) r . ( r ) t l.-'tF-l= it.r'r-sint) igy c-'t#Tl - (j,.r',-.r,,1) .(|t.ft, - "t"tl), ami T 25.9 szerint a 43. ds 48. feladat is sht * shl kouvolfci6iravezet.166. Vegyitk 6szre, hogy a tnegadott I'(p) ktinnyen integriilhatci, r1s alkalrnazzrrk aLaplace-transzformalt integr6l6si tdtelit, T 25.25-t:rttt = tr, =, U,- A!n"\ I,, {":,}az el6zri fcladat egyik r6szercrlnrdny,irek f, lLa'zrr:ilisival.167.1 | I \' lr r \'- = lp3.(p I l)3- \prp*rfi : -r_1/\t- l r(srr, -.i,rr)IV6gezziik cl a kijelolt hatviDyozasr €s ism6rcltor (},.,}u-nctgyel tijrtan6 helyettcsit6s6t mi dcnhol../-t2 \ //r \t-'tFtpt\ =,-'l rr-oJ ,r (:-3t.6)#)168.e(p)-t szorzatk6nt d.ri,, ua. {p =ti .i*\' r-, I 9'11'),t} - f .r,r.etp) ,jr-r,'''' - [atpt'".1 Z-169. 8:slrI+:cht.lTo.Hardrozzrrk r11cg et6'szcir a-,{*;il. ,,} ,11 1 1 I p Il 1p(p+1Xp?+1) .1p 51, + 1 - ?0/ + 4 - 51,, + I25.22

I17l.,t DiIr.- l-|l(tItc'I,rlace t rarrszfr;rrrtil I :!c-tt-t/2) - fi cos2(r- ])- $.;,,:1r _ ll). f,"i, 1.. .{ T 25.21 }on\.drici6rrir(l sz.rirrr {-rlhar