Funkcionálanalízis - ELTE Informatikai Kar - Eötvös Loránd ...

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEMINFORMATIKAI KARSzili LászlóFunkcionálanalízis – a jelfeldolgozásés a szimuláció matematikai alapjaiBudapest, 2007

A jegyzet aGVOP-3.2.2.-2004-07-0005/3.0 számú ELTE IKKKés a T 047132 számú OTKApályázatok támogatásával készült

TartalomjegyzékElőszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Weierstrass approximációs (sűrűségi) tételei . . . . . . . . . . . . 71.1. Előzetes megjegyzések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. A tételek megfogalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Az első approximációs tétel Bernstein-féle bizonyítása . . . . . . . . . 81.4. Csebisev tétele a legjobban közelítő polinomokról . . . . . . . . . . . 132. Térstruktúrák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1. Metrikus terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1. A metrikus tér fogalma. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2. Izometrikus terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3. Környezetek, korlátos halmazok, ekvivalens metrikák . . . . . 182.1.4. Konvergens sorozatok metrikus terekben . . . . . . . . . . . . 192.1.5. Teljes metrikus terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.6. Metrikus tér teljessé tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.7. Nyílt, zárt és kompakt halmazok metrikus terekben . . . . . . 242.1.8. Metrikus tér sűrű részhalmazai. Szeparábilis terek. A Bairefélekategóriatétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.9. Metrikus terek közötti függvények folytonossága . . . . . . . . 332.2. Lineáris terek (vektorterek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3. Normált terek és Banach-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. A L p és a l p terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.1. Előzetes megjegyzések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.2. A Lebesgue-integrálra vonatkozó néhány alapvető eredmény . 432.4.3. A L p függvényterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.4. Kapcsolat a L p terek között . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.5. Normakonvergencia. A L p terek teljessége . . . . . . . . . . . 522.5. Euklideszi terek és Hilbert-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563. A legjobb approximáció problémaköre . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1. A probléma felvetése és absztrakt negfogalmazása . . . . . . . . . . . 613.2. A legjobban közelítő elem létezése metrikus terekben . . . . . . . . . 633.3. Approximációs tételek normált terekben . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.1. Altértől vett távolság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.2. Zárt és konvex halmazoktól vett távolság . . . . . . . . . . . . 69

Tartalomjegyzék 38.5. A zárt gráf tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Irodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

ElőszóA jegyzet alapját azoknak az előadásoknak és gyakorlatoknak az anyagát alkotja,amelyeket a 2003. őszi és a 2007. tavaszi félév között tartottam az Eötvös LorándTudományegyetem Informatikai Karán a programtervező matematikus szakos hallgatóknak.A 8 féléves Analízis nevű tantárgy utolsó félévében szerepelt a korábbi ismeretekelmélyítésére és kiegészítésére szánt témakör: a funkcionálanalízis.A jegyzet ennek a félévnek az anyagát tartalmazza, ezért többször is hivatkozunka korábbi félévekben ismertetett alábbi témakörökre:• metrikus terek elmélete (alapvető tulajdonságok, metrikus terek közöttifüggvények folytonossága),• trigonometrikus Fourier sorok elmélete,• mérték- és integrálelmélet.Az ezekkel kapcsolatos fogalmakat és eredményeket (a bizonyítások felidézésenélkül) soroltuk fel.Az első változat összeállítása során sok segítséget kaptam hallgatóimtól és kollégáimtól.Hallgatóim közül különösen köszönettel tartozom Bese Antalnak, Kiss Balázsnak,Márton Ritának és Mátyás Gergelynek, akik az anyag alapos áttanulmányozása sorántettek hasznos megjegyzéseket és az ábrákat elkészítették.Kollégáim közül Simon Péternek és Tóth Jánosnak tartozom köszönettel, akiktőlaz első változat igen alapos áttanulmányozása után kaptam hasznos és fontos észrevételeket,javaslatokat; amelyeket a jelen változatba beépítettem.Minden megjegyzést, észrevételt, segítséget köszönettel veszek.Budapest, 2007. november 11.Szili LászlóELTE IK Numerikus Analízis Tanszéke-mail: szili@ludens.elte.hu5

1. Weierstrass approximációs (sűrűségi) tételei1.1. Előzetes megjegyzésekInduljunk ki abból a jól ismert tényből, hogy minden R-beli nemelfajuló intervallumtartalmaz racionális számot. Ebből az is következik, hogy minden valós szám tetszésszerinti pontossággal megközelíthető racionális számokkal, azaz∀a ∈ R-hez ∃ (q n ) ⊂ Q : q n → a (n → +∞). (1.1)A szemléletünkkel összhangban ezt úgy is mondjuk, hogy a racionális számok sűrűnvannak R-ben. Mivel Q megszámlálható ( ”kezelhető”), ezért az említett eredménygyakorlati jelentősége nyilvánvaló.Weierstrass első, illetve második approximációs tétele az (1.1) alatti állításnak a(C[a,b], ‖ · ‖∞), illetve a(C2π , ‖ · ‖ ∞)függvényterekre vonatkozó általánosítása.Emlékeztetünk arra, hogy C[a,b]-vel jelöljük a kompakt [a,b] ⊂ R intervallumonértelmezett valós értékű folytonos függvények halmazát. A pontonkénti műveletekrenézve ez természetes térstruktúrával van ellátva, és az‖f‖ ∞ := max |f(x)|x∈[a,b](f ∈ C[a,b])képlet normát definiál a C[a,b] lineáris téren. Ezzel a normával (C[a,b], ‖·‖ ∞ ) teljesnormált tér, azaz Banach-tér, és a norma által indukált konvergenciát az [a,b]-n vettegyenletes konvergenciának nevezzük.Az R halmazon értelmezett 2π szerint periodikus folytonos függvények C 2π lineáristere is Banach-tér az‖f‖ ∞ := maxx∈R |f(x)| (f ∈ C 2π)normára nézve, és a megfelelő konvergencia ebben az esetben az R-en vett egyenleteskonvergencia.Weierstrass tételei fontos szerepet játszottak a funkcionálanalízis kialakulásában.Az első motivációt adták a sűrűség, a zártság és a teljesség problémájánakaz általános felvetéséhez.7

8 1. Weierstrass approximációs (sűrűségi) tételei1.2. A tételek megfogalmazásaK. Weierstrass 1885-ben igazolta az analízis legalapvetőbb tételei közé sorolhatóalábbi eredményeket.1. tétel (Weierstrass első approximációs tétele). Minden f : [a,b] → R folytonosfüggvényhez létezik algebrai polinomoknak olyan (P n ) sorozata, amelyik az [a,b] intervallumonegyenletesen tart az f függvényhez. Ezt röviden úgy mondjuk, hogy azalgebrai polinomok sűrűn vannak a (C[a,b], ‖ · ‖ ∞ ) Banach térben.A tétel Weierstrass által közölt eredeti bizonyítása óta több más bizonyítást istaláltak. A következő pontban az Sz.N. Bernsteintől származó, 1912-ben publikált,valószínűségszámítási hátterű bizonyítást ismertetjük. Szőkefavi-Nagy Béla: Valósfüggvények és függvénysorok című tankönyve tartalmazza a tétel H. Lebesgue-félebizonyítását.Folytonos periodikus függvények trigonometrikus polinomokkal való közelítéséreis hasonló állítás érvényes.2. tétel (Weierstrass második approximációs tétele). Minden 2π szerint periodikusfolytonos f függvényhez létezik trigonometrikus polinomoknak olyan (T n ) sorozata,amelyik az egész számegyenesen egyenletesen tart az f függvényhez. Ezt röviden úgymondjuk, hogy a trigonometrikus polinomok sűrűn vannak a (C 2π , ‖ · ‖ ∞ ) Banachtérben.Ch. J. de la Vallée Poussin 1918-ban mutatott rá arra, hogy a két approximációstétel szoros kapcsolatban van egymással. Nevezetesen: egyik a másiknak a következménye.3. tétel (de la Vallée Poussin). Weierstrass két approximációs tétele ekvivalensegymással.A 2. és a 3. tételt nem bizonyítjuk. Az érdeklődőknek I. P. Natanszon: Konstruktívfüggvénytan című kiváló tankönyvét ajánljuk.1.3. Az első approximációs tétel Bernstein-féle bizonyításaKezdjük azzal a speciális esettel, amikor az alapintervallum [0, 1], azaz [a,b] = [0, 1].A bizonyítást több lépésben végezzük el. Az önmagukban is érdekes és fontosrészeket külön tételekben is megfogalmazzuk.

1.3. Az első approximációs tétel Bernstein-féle bizonyítása 9Definíció. Legyen n természetes szám. Az( n ( )N k,n (x) := xk)k (1 − x) n−k x ∈ [0, 1], k = 0, 1,...,npolinomokat n-edfokú Bernstein-féle alappolinomoknak nevezzük.4. tétel (az N k,n polinomok tulajdonságai).(a) N k,n (x) ≥ 0 (x ∈ [0, 1], n ∈ N).n∑(b) N k,n (x) = 1 (x ∈ [0, 1], n ∈ N).k=0(c) Minden rögzített δ > 0 és x ∈ [0, 1] szám esetén fennáll aegyenlőtlenség.∑N k,n (x) ≤ 14nδ 2k:|x− k n |≥δA (c) tulajdonságnak, durván kifejezve, az az értelme, hogy nagy n értékekre an∑N k,n (x)összegben csak azok a tagok lényegesek, amelyek k indexére∣ k ∣∣∣∣n − x < δ,k=0míg a többi tag az összeg értékét alig befolyásolja.Bizonyítás. (a) A definíció alapján nyilvánvaló.(b) Alkalmazzuk azn∑( n(a + b) n = ak)k b n−k (a,b ∈ R, n ∈ N)k=0binomiális tételt az a = x és b = 1 − x szereposztással.(c) Jelöljük ∆ n (x)-szel a 0, 1, 2,...,n sorozatba tartozó azoknak a k számoknaka halmazát, amelyekre ∣ ∣ kn − x∣ ∣ ≥ δ. Ha k ∈ ∆ n (x), akkor(k − nx) 2n 2 δ 2 ≥ 1.

1.3. Az első approximációs tétel Bernstein-féle bizonyítása 11összegben azok tagok, amelyekre k távol áll x-től, majdnem semmi szerepet nemnjátszanak. Ugyanez áll a B n f polinomra nézve is, mivel az f( k ) tényezők korlátosak.nEnnélfogva a B n f polinomban csak azok a tagok fontosak, amelyekre k az x-heznnagyon közel esik. De az ilyen tagokra az f( k ) tényező alig különbözik f(x)-től (anfolytonosság miatt). Ez azt jelenti, hogy a B n f polinom alig változik, ha tagjaibanf( k )-et f(x)-szel helyettesítjük. Más szóval fennáll a következő közelítő egyenlőség:n(B n f)(x) =n∑f(x)N k,n (x) ≈ f(x).k=0Lényegében a fenti gondolatmenet pontosításával igazolta Sz.N. Bernstein 1912-bena következő fontos eredményt.5. tétel (Bernstein). Tetszőleges f ∈ C[0, 1] függvény esetén a (B n f) polinomsorozata [0, 1] intervallumon egyenletesen konvergál az f függvényhez.Bizonyítás. Azt kell megmutatni, hogy ha f ∈ C[0, 1], akkor∀ε > 0-hoz ∃n 0 ∈ N, hogy ∀x ∈ [0, 1] és ∀n ≥ n 0 esetén∣ f(x) −(Bn f ) (x) ∣ ∣ < ε.Rögzítsük az ε > 0 számot, és jelöljük M-mel |f| maximumát. Az f függvényegyenletes folytonossága következtében ε-hoz∃δ > 0 : |x − ¯x| < δ ⇒ |f(x) − f(¯x)| < ε.Válasszunk ezután a [0, 1] intervallumon egy tetszőleges x-et. Mivel ∑ nk=0 N k,n(x) =1, ezértn∑f(x) = f(x)N k,n (x),és ígyf(x) − ( B n f ) (x) =k=0n∑ (f(x) − f ( kn) ) N k,n (x).k=0Osszuk fel a 0, 1,...,n indexeket két részre. Az egyikbe tartozzanak azok a kszámok, amelyekre∣ ∣∣∣ kn − x ∣ ∣∣∣< δ,ezek halmazát jelöljük I 1 -gyel. Legyen I 2 azon k indexek halmaza, amelyekre∣ k ∣∣∣∣n − x ≥ δ

12 1. Weierstrass approximációs (sűrűségi) tételeiteljesül. Ennek megfelelően a fenti összeget is két részre bontjuk; ezeket ∑ I-gyel és∑II -vel jelöljük. Az elsőben ∣ ∣f ( kn)− f(x)| < ε, és ezért∣ ∑ ∣ ≤ ε ∑ N k,n (x) ≤ εIk∈I 1n∑N k,n (x) ≤ ε.A másik összegben ∣ ∣f ( kn)− f(x)| ≤ 2M, és ezért az előző tétel (c) része alapjánk=0∣ ∑ ∣ ≤ 2M ∑ N k,n (x) ≤IIk∈I 2A fentieket összegezve azt kapjuk, hogyM2nδ 2.∣∣f(x) − ( B n f ) (x) ∣ ∣ ≤ ε + M2nδ 2.Ha n elegendően nagy (n ≥ n 0 ), akkorM2nδ 2 < ε és∣ f(x) −(Bn f ) (x) ∣ ∣ ≤ 2ε,amivel a tétel be is van bizonyítva, mert a szóban forgó n 0 szám nem függ az xmegválasztásától. Az első approximációs tétel bizonyításához még azt kell megmutatni, hogy azállítás minden [a,b] kompakt intervallumra is érvényes. Tegyük fel tehát, hogy[a,b] ≠ [0, 1]. Vegyünk egy tetszőleges f ∈ C[a,b] függvényt, és legyenϕ(y) := f(a + y(b − a)) (y ∈ [0, 1]).A fentiek szerint ehhez a ϕ ∈ C[0, 1] függvényhez minden ε > 0 esetén létezik olyanQ(y) = ∑ nk=0 c ky k polinom, hogy∣ ϕ(y) − Q(y)∣ ∣ < ε (y ∈ [0, 1]).Ha x az [a,b] tetszőleges pontja és x = a + y(b − a), akkor y = x−a ∈ [0, 1], ezért azb−aiménti egyenlőtlenségből azt kapjuk, hogy∣∣ϕ(y) − Q(y) ∣ = ∣ ∣f(x) − Q ( x−a ∣b−a)∣< ε (x ∈ [a,b]),és világos, hogy Q az x változónak is egy polinomja. Ez a polinom f-et a kívánt pontossággalmegközelíti. Weierstrass első approximációs tételét tehát maradéktalanuligazoltuk.

1.4. Csebisev tétele a legjobban közelítő polinomokról 131.4. Csebisev tétele a legjobban közelítő polinomokrólKompakt intervallumon folytonos függvények egyszerű szerkezetű függvényekkel(például polinomokkal) való megközelítésének természetes mértéke a következő.Definíció. Jelöljük P n -nel (n ∈ N) a legfeljebb n-edfokú algebrai polinomokhalmazát. Tetszőleges f ∈ C[a,b] függvény esetén azE n (f) := infP ∈P n‖f − P ‖ ∞számot az f függvény legfeljebb n-edfokú polinomokkal való legjobb megközelítéséneknevezzük.Nem nehéz látni, hogy a fenti infimum valóban létezik és minden f ∈ C[a,b]függvényreE 1 (f) ≥ E 2 (f) ≥ · · · ≥ 0.Ebből és Weierstrass első approximációs tételéből következik, hogylim E n(f) = 0n→+∞(f ∈ C[a,b]).Ha egy f függvényt polinomokkal kívánunk megközelíteni, akkor elég természetesaz az igény, hogy a legfeljebb n-edfokú polinomok közül (tehát P n -ben) azt a polinomotválasszuk, amelyik legközelebb van f-hez. Az eddigiekből nem következik,és egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy általában létezik-e a P n halmazban olyan P ∗polinom, amelyre E n (f) = ‖f − P ∗ ‖ ∞ , vagy másképpen az E n (f) definíciójában azinfimum vajon helyettesíthető-e minimummal. P.L. Csebisev 1859-ben — közel 30évvel megelőzve Weierstrass tételeit — igazolta ilyen ”legjobban közelítő” polinomoklétezését.6. tétel (Csebisev tétele). Tetszőleges f ∈ C[a,b] függvényhez és n természetesszámhoz egyértelműen létezik olyan P ∗ ∈ P n polinom, amelyre‖f − P ∗ ‖ ∞ = infP ∈P n‖f − P ‖ ∞ = minP ∈P n‖f − P ‖ ∞ = E n (f)teljesül. P ∗ -ot az f-et legjobban megközelítő P n -beli polinomnak nevezzük.Ennek a klasszikus tételnek a bizonyítása megtalálható I. P. Natanszon: Konstruktívfüggvénytan (Budapest, 1952) tankönyvének 33–45. oldalain. Itt csupán aztemlítjük meg, hogy a bizonyítás nem konstruktív jellegű, és az általános esetbenremény sincs az f-et legjobban megközelítő polinomok explicit előállítására. Az ún.Remez-algoritmus segítségével a szóban forgó polinomok ”jó közelítései” azonbanexplicit módon is megadhatók.A trigonometrikus polinomokkal való közelítésre is hasonló állítás érvényes.

2. TérstruktúrákA következő ábrán szemléltetjük a már megismert térstruktúrákat (bebizonyítható,hogy a jelzett tartalmazások mindegyike valódi tartalmazás abban az értelemben,hogy van olyan metrikus tér, amelyik metrikája nem származtatható normából, stb.):teljes metrikus terekBanach-terekHilbert-terekmetrikus tereknormált terekeuklidesziterekEbben a fejezetben összefoglaljuk és kiegészítjük a korábbi ismereteket.2.1. Metrikus terek2.1.1. A metrikus tér fogalma. PéldákDefiníció. Az (M,̺) rendezett párt metrikus térnek nevezzük, ha M tetszőlegesnemüres halmaz, ̺ : M × M → R pedig olyan függvény, amely a következő tulajdonságokkalrendelkezik:(i) minden x,y ∈ M esetén ̺(x,y) ≥ 0;(ii) ̺(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y (x,y ∈ M);(iii) bármely x,y ∈ M elemekre̺(x,y) = ̺(y,x)(szimmetriatulajdonság);(iv) tetszőleges x,y,z ∈ M elemekkel fennáll a̺(x,y) ≤ ̺(x,z) + ̺(z,y)háromszög-egyenlőtlenség. A ̺ leképezést távolság-függvénynek (vagy metrikának)mondjuk; a ̺(x,y) számot az x,y ∈ M elemek távolságának nevezzük.15

16 2. TérstruktúrákHangsúlyozni kell, hogy metrikus tér esetében nem kívánunk meg semmiféleegyéb struktúrát (műveletek, rendezés, stb.) a halmazon.Egyszerűen bebizonyítható az, hogy tetszőleges (M,̺) metrikus térben igazak aháromszög-egyenlőtlenségek alábbi változatai is:) ∑n−1)̺(x1 ,x n ≤ ̺(xk ,x k+1k=1∣∣ ρ(x,z) − ρ(y,z) ≤ ̺(x,y)(x 1 ,...,x n ∈ M, n ≥ 2);(x,y ∈ M).Nyilvánvaló, hogy bármely A ⊂ M részhalmaz esetén ̺-nak az A × A halmazravonatkozó leszűkítése metrika, és A ezzel a metrikával metrikus tér. Eztaz ( A,̺|A×A)metrikus teret az (M,̺) alterének nevezzük.Példák metrikus terekre.• M := R és ̺(x,y) := |x − y| (x,y ∈ R). Ez R ”szokásos” metrikája. Atovábbiakban R-et mindig ezel a metrikával látjuk el.• A diszkrét metrikus tér. Adott M nemüres halmazon a{0, ha x = y̺(x,y) :=1, ha x ≠ yképlet az úgynevezett diszkrét metrikát definiálja. Ekkor (M,̺)-t diszkrét metrikustérnek hívjuk.• Az ( R n ,̺p)terek. Legyen n pozitív egész szám, M := R n , 1 ≤ p ≤ +∞és x = (x 1 ,...,x n ), y = (y 1 ,...,y n ) ∈ R n eseténEkkor ( R n ,̺p)metrikus tér.⎧(∑ ⎨ nk=1 |x k − y k | p) 1/p, ha 1 ≤ p < +∞̺(x,y) :=⎩ max |x k − y k |, ha p = +∞.1≤k≤n• A l p terek. Az előző példa ”végtelen dimenziós” változataként tekintsükegy 1 ≤ p < +∞ mellett a sorozatokl p :={(x n ) : N → R ∣ ∑+∞ }|x k | p < +∞ ,k=1

2.1. Metrikus terek 17halmazát. A p = +∞-re való kiterjesztésként a következőt kapjuk:{l ∞ := (x n ) : N → R ∣ }sup |x k | < +∞ .k∈NLegyen továbbá x = (x n ),y = (y n ) ∈ l p esetén⎧(∑ +∞ ⎪⎨k=1 |x k − y k | p) 1/p, ha 1 ≤ p < +∞̺(x,y) :=⎪⎩ sup |x k − y k |, ha p = +∞.Ekkor ( l p ,̺p)is metrikus tér.1≤k≤n• A ( C[a,b],̺p)függvényterek. Valamely [a,b] korlátos és zárt intervallum(tehát a,b ∈ R, a < b) esetén jelöljük C[a,b]-vel az [a,b]-n értelmezett, valós értékűés folytonos függvények halmazát. Ha 1 ≤ p ≤ +∞, akkor tekintsük az iméntipéldák ”folytonos” változatait:⎧(∫ b⎨ |f − g|p) 1/pa , ha 1 ≤ p < +∞̺p(f,g) :=(f,g⎩max|f(x) − g(x)|, ha p = +∞x∈[a,b]∈ C[a,b]).(Emlékeztetünk arra, hogy |f − g| p bármely p ≥ 1 mellett folytonos függvény, ezértRiemann-integrálható. Továbbá Weierstrass tétele szerint az |f − g| folytonos függvénynekvan maximuma, következésképpen a ̺p függvények ”jól definiáltak”.)Megmutatható, hogy ( C[a,b],̺p)is metrikus tér.2.1.2. Izometrikus terekDefiníció. Azt mondjuk, hogy az (M 1 ,̺1) és az (M 2 ,̺2) metrikus terek izometrikusak,ha létezik közöttük távolságtartó bijekció, vagyis létezik olyan ϕ : M 1 → M 2bijektív leképezés, hogy( )̺1(x,y) = ̺2 ϕ(x),ϕ(y)minden x,y ∈ M esetén teljesül.Metrikus terek izometriája azt jelenti, hogy az elemeik metrikus tulajdonságaiugyanazok, csak az elemeik ”természete” különbözik. Ez azonban a metrikus terekelmélete szempontjából teljesen mellékes. Ezért az egymással izometrikus tereketazonosaknak tekintjük.

18 2. Térstruktúrák2.1.3. Környezetek, korlátos halmazok, ekvivalens metrikákDefiníció. Legyen (M,̺) egy metrikus tér, a ∈ M és r ∈ R + . Ak r (a) := k̺r(a) := { x ∈ M | ̺(x,a) < r }halmazt az a ∈ M pont r-sugarú gömb-környezetének vagy r-sugarú a középpontúnyílt gömbnek nevezzük. Ak r (a) := k̺r(a) := { x ∈ M | ̺(x,a) ≤ r }halmazt pedig r-sugarú a középpontú zárt gömbnek mondjuk.Példák. Szemléltessük az ( R 2 ,̺i)(i = 1, 2, +∞) metrikus terekben az origó 1sugarú gömb-környezeteit.Definíció. Az (M,̺) metrikus tér A ⊂ M részhalmazát korlátosnak nevezzük,ha van olyan M-beli gömb, amely A-t tartalmazza, azaz∃a ∈ M és ∃r > 0 valós szám, hogy A ⊂ k̺r(a).A háromszög-egyenlőtlenség felhasználásával egyszerűen be lehet bizonyítani azt,hogy az (M,̺) metrikus tér A ⊂ M részhalmaza akkor és csak akkor korlátos, ha atér minden elemének van olyan környezete, amely tartalmazza az A halmazt.Példák.• Legyen n ∈ N és 1 ≤ p ≤ +∞. A H ⊂ R n halmaz esetén jelölje H k(k = 1, 2,...,n) a H halmaz k-adik koordinátáiból álló R-beli halmazt. A H halmazpontosan akkor korlátos az ( R n ,̺p)metrikus térben, ha mindegyik Hk korlátos R-ben.• Legyen Φ a C[0, 1] függvényhalmaznak az a részhalmaza, amelyik pontosanaz alábbi módon értelmezett f n : [0, 1] → R (n ∈ N) függvényeket tartalmazza:⎧⎪⎨ 2n 2 x, ha 0 ≤ x ≤ 12nf n (x) := 2n⎪⎩2( 1− x) , ha 1 ≤ x ≤ 1 n 2n n0, ha 1 ≤ x ≤ 1.nEkkor(a) a Φ ⊂ C[0, 1] halmaz nem korlátos a ( C[0, 1],̺∞)metrikus térben;(b) a Φ ⊂ C[0, 1] halmaz korlátos a ( C[0, 1],̺1)metrikus térben.

2.1. Metrikus terek 19Definíció. Azt mondjuk, hogy az M halmazon értelmezett ̺1 és ̺2 metrikákekvivalensek, ha léteznek olyan c 1 ,c 2 pozitív valós számok, amelyekkel mindenx,y ∈ M elemre fennáll aegyenlőtlenség.Példák.c 1̺1(x,y) ≤ ̺2(x,y) ≤ c 2̺1(x,y)• Az R n halmazon (n ∈ N) bevezetett ̺p (1 ≤ p ≤ +∞) metrikák egymássalekvivalensek.• Az R n -en értelmezett diszkrét metrika nem ekvivalens ̺∞-nel.• A C[0, 1] halmazon értelmezett ̺∞ és ̺1 metrikák nem ekvivalensek.2.1.4. Konvergens sorozatok metrikus terekbenDefiníció. Az (M,̺) metrikus tér egy (a n ) sorozatát akkor nevezzük konvergensnek,ha létezik olyan α ∈ M elem, hogy ennek tetszőleges (sugarú) környezetén kívüla sorozatnak legfeljebb csak véges sok tagja van, azaz∃α ∈ M, hogy ∀ε > 0 esetén az { n ∈ N | a n ∉ k ε (α) } halmaz véges.Az ellenkező esetben (vagyis akkor, ha nincs ilyen α) azt mondjuk, hogy az (a n )sorozat divergens.A háromszög-egyenlőtlenségből következik, hogy legfeljebb egy olyan α ∈ Mlétezik, amelyre a fenti feltétel teljesül. Ezt a pontot az (a n ) sorozat határértékéneknevezzük, és az alábbi szimbólumok valamelyikével jelöljük:lim a ̺n = α, lim(a n ) ̺=̺α, a n −→ α (n → +∞).n→+∞Ha nem okoz félreértést, akkor a metrikára utaló jelet elhagyjuk.1. tétel. Legyen (M,̺) metrikus tér és (a n ) tetszőleges M-beli sorozat. Ekkor akövetkező állítások ekvivalensek:1 o Az (a n ) sorozat határértéke az α ∈ M elem.2 o Az α ∈ M pont tetszőleges (sugarú) környezetéhez van olyan n 0 ∈ Nküszöbindex, hogy a sorozat minden ennél nagyobb indexű tagja benne van a szóbanforgó környezetben, azaz∀ε > 0-hoz ∃n 0 ∈ N, hogy ∀n ≥ n 0esetén a n ∈ k ε (α).

20 2. Térstruktúrák3 o ∀ε > 0-hoz ∃n 0 ∈ N, hogy ∀n ≥ n 0 esetén ̺(a n ,α) < ε.4 o limn→+∞̺(a n,α) = 0.Egyszerűen bebizonyítható az, hogy a ̺ metrika folytonos a következő értelemben:Ha az M-beli (a n ) és a (b n ) sorozatok konvergensek, (a n )-nek α, (b n )-nek pedigβ a határértéke, akkorlimn→+∞̺(a n,b n ) = ̺(α,β).A konvergens valós sorozatok bizonyos tulajdonságai tetszőleges metrikus térbenis megmaradnak.2. tétel. Legyen (a n ) az (M,̺) metrikus tér egy tetszőleges konvergens sorozata.Ekkor a következő állítások teljesülnek:1 o Az (a n ) sorozat korlátos, azaz az értékkészlete korlátos M-beli halmaz.2 o Az (a n ) minden részsorozata is konvergens, és a határértéke megegyezik akiindulási sorozat határértékével.3 o Ha az (a n ) sorozatnak van két különböző M-beli elemhez tartó részsorozata,akkor (a n ) divergens.Ugyanazon a halmazon többféle módon is meg lehet adni metrikát, és a konvergenciaténye függ attól, hogy azt melyik metrikában tekintjük. Előfordulhat az, hogyegy adott halmazbeli sorozat az egyik metrikában konvergens, a másikban pedig divergens.Sokkal kedvezőbb a helyzet akkor, ha a két metrika ekvivalens. Ebben azesetben a konvergencia szempontjából a két metrika között nincs különbség: minda két metrikában ugyanazok lesznek a konvergens (divergens) sorozatok. Ezt fejeziki a következő állítás.3. tétel. Legyen M nemüres halmaz. Tegyük fel, hogy az M-en értelmezett ̺1 és̺2 metrikák ekvivalensek. Ekkor tetszőleges M-beli (a n ) sorozatralim (a n ) = ̺1α ⇐⇒ lim (a n ) = ̺2α.R-ben a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel azt állítja, hogy mindenkorlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Ez metrikus térben általában nemigaz. Például az ( N, ̺) diszkrét metrikus térben az a n := n (n ∈ N) sorozat korlátos,de nincs konvergens részsorozata.4. tétel. Az ( R n ,̺p)metrikus terekben (n ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞) igaz a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel, azaz minden korlátos sorozatnak van konvergensrészsorozata.

2.1. Metrikus terek 21Példa.• A ( C[0, 1],̺∞)metrikus térben nem igaz a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztásitétel: van olyan korlátos (f n ) sorozat, aminek nincs konvergens részsorozata.(Ilyen például azf n (x) := sin ( 2 n πx ) (x ∈ [0, 1], n = 0, 1, 2,...)függvénysorozat, ui. ̺∞(fn ,f m)≥ 1, ha n ≠ m.)2.1.5. Teljes metrikus terekEmlékeztetünk a valós analízis egyik legfontosabb tételére, a Cauchy-féle konvergenciakritériumra:az (a n ) valós sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha (a n )Cauchy-sorozat, azaz{∀ε > 0-hoz ∃n 0 ∈ N, hogy(a n ) ⊂ R konvergens ⇐⇒∀m,n ≥ n 0 esetén |a n − a m | < ε.Az analízis alapvető fogalmának, a sorozat konvergenciájának a definíciójábanszerepel egy, a sorozat tagjain ”kívüli” dolog is. Nevezetesen: a sorozat határértéke.Ez alapján a konvergenciát csak akkor tudjuk eldönteni, ha ismerjük a sorozathatárértékét. A Cauchy-féle konvergenciakritérium azt állítja, hogy a konvergenciáramegadható egy olyan szükséges és elégséges (tehát a konvergenciával ekvivalens)feltétel is, amely kizárólag a sorozat tagjainak a segítségével dönt a sorozat konvergensvagy divergens voltáról.Világos, hogy a Cauchy-sorozat fogalmát megadó tulajdonságot — tehát azt,hogy ”a sorozat elég nagy indexű tagjai tetszőlegesen közel vannak egymáshoz” —metrikus térben is lehet értelmezni.Definíció. Az (M,̺) metrikus térbeli (a n ) sorozatot akkor nevezzük Cauchysorozatnak,ha∀ε > 0 számhoz ∃n 0 ∈ N, hogy ∀m,n ≥ n 0 esetén ̺(a n ,a m ) < ε.Metrikus térben a konvergens és a Cauchy-sorozatok kapcsolatáról általában akövetkezőt mondhatjuk.5. tétel.1 o Tetszőleges (M,̺) metrikus térben minden konvergens sorozat egyúttalCauchy-sorozat is.2 o Az állítás megfordítása általában nem igaz: Van olyan (M,̺) metrikus tér,amelyikben van olyan Cauchy-sorozat, amelyik nem konvergens.

22 2. TérstruktúrákA valós számok példája is mutatja, hogy bizonyos metrikus terekben a konvergenciaténye ekvivalens lehet a Cauchy-tulajdonsággal. Az ilyen metrikus teret fogjukteljes metrikus térnek nevezni.Definíció. Az (M,̺) metrikus teret akkor nevezzük teljes metrikus térnek,ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens, vagyis a tér teljes, ha igaz benne aCauchy-féle konvergenciakritérium, azazPéldák.(a n ) ⊂ M konvergens ⇐⇒ (a n ) ⊂ M Cauchy-sorozat.• A Cauchy-féle konvergenciakritérium alapján R egy teljes metrikus tér.• A racionális számok Q halmazát az R-beli metrikával ellátva egy nem teljesmetrikus teret kapunk. (Például minden √ 2-höz tartó racionális sorozat — ilyenekléteznek! — Cauchy-sorozat a Q metrikus térben, és itt nem konvergens.)• A diszkrét metrikus terek teljesek. Egyszerűen bebizonyítható ui. az, hogyezekben a terekben egy sorozat pontosan akkor konvergens, illetve Cauchy-sorozat,ha a tagjai valamilyen indextől kezdve ugyanazt az értéket veszik fel.• Minden n ∈ N és 1 ≤ p ≤ +∞ esetén az ( R n ,̺p)teljes metrikus tér.• Minden 1 ≤ p ≤ +∞ esetén az ( l p ,̺p)is teljes metrikus tér.• A ( C[a,b],̺∞)metrikus tér teljes.• A ( C[a,b],̺p)metrikus terek (1 ≤ p < +∞) nem teljesek.A teljes metrikus terek további vizsgálatához tekintsük ismét a jól megismertR metrikus teret. Ott alapvető jelentőségű volt az a tény, hogy R rendelkezik aCantor-tulajdonsággal, vagyis azzal, hogy minden egymásba skatulyázott korlátosés zárt intervallumsorozatnak van közös pontja. Azt is tudjuk már, hogy ez ”majdnemekvivalens” az R teljességével. (Pontosabban: R-ben az archimédeszi és aCantor-tulajdonság együtt ekvivalens a teljességgel.) Tetszőleges metrikus térben— a Cantor-tulajdonság kiegészítésével — a teljességet ekvivalens módon lehet jellemeznibizonyos geometriai tulajdonsággal. Az állítás pontos megfogalmazása előttemlékeztetünk még arra, hogy az (M,̺) metrikus térbelik r (a) := k̺r(a) := { x ∈ M | ̺(x,a) ≤ r } (a ∈ M, r > 0)halmazt az a középpontú r-sugarú zárt gömbnek neveztük.6. tétel (a Cantor-féle közösrész-tétel). Egy metrikus tér akkor és csak akkor teljes,ha minden olyan zárt gömbökből álló k rn (a n ) (n ∈ N) sorozatra, amelyre

2.1. Metrikus terek 23(i) k rn+1 (a n+1 ) ⊂ k rn (a n ),(ii) lim r n = 0,n→+∞a gömböknek egyetlen közös pontjuk van, azaz aegyelemű halmaz.⋂k rn (a n )n∈NBizonyítás. ⇒ Tegyük fel, hogy a metrikus tér teljes, és tekintsük zárt gömböknekegy mondott tulajdonságú sorozatát. Ebből a feltételből következik, hogy a középpontokrafennáll a̺(a n ,a m ) ≤ r n (m ≥ n)egyenlőtlenség, ahonnan látható, hogy a középpontok (a n ) sorozata Cauchy-sorozat.A metrikus tér teljes, ezért ez konvergens. Jelölje a a határértékét. A fenti egyenlőtlenségből̺(a n ,a) ≤ ̺(a n ,a m ) + ̺(a m ,a) ≤ r n + ̺(a m ,a) (m ≥ n)következik, ahonnan m → +∞ határátmenettel̺(a n ,a) ≤ r n (n ∈ N)adódik. Ez azt jelenti, hogy az a pont mindegyik gömbnek eleme, tehát a közösrészük nem üres. Indirekt módon kapjuk azt, hogy a gömböknek ez az egyetlenközös pontja van.⇐ Most induljunk ki egy (a n ) Cauchy-sorozatból, és mutassuk meg, hogyaz konvergens. Konstruálni fogunk zárt gömböknek egy egymásba skatulyázottsorozatát.Az (a n ) sorozat Cauchy-tulajdonságából következik, hogyε = 1 2 -hez ∃n 1 ∈ N, hogy ∀n ≥ n 1 esetén ̺(a n ,a n1 ) < 1 2 .Jelölje F 1 az a n1 középpontú 1-sugarú zárt gömböt:F 1 := k 1 (a n1 ).Ismét a Cauchy-tulajdonságra hivatkozva kapjuk, hogyε = 1 2 2 -hez ∃n 2 > n 1 , index, hogy ∀n ≥ n 2 esetén ̺(a n ,a n2 ) < 1 2 2 .

24 2. TérstruktúrákLegyenF 2 := k1(a n2 ).2A konstrukcióból következik, hogyF 2 ⊂ F 1 .Az eljárást folytatva tegyük fel, hogy az a n1 ,...,a nk pontokat (n 1 < · · · < n k ) márkiválasztottuk (a n )-ből. Vegyünk ezután egy olyan a nk+1 tagot, amelyren k+1 > n k és ̺(a n ,a nk+1 ) < 12 k+1teljesül minden n ≥ n k+1 index esetén, és legyenA konstrukció miattF k+1 := k 12 k (a n k+1).F k+1 ⊂ F k .Így kapunk egymásba skatulyázott zárt gömböknek egy olyan (F k ) sorozatát, amelybenF k sugara . A tétel feltétele szerint ezeknek a gömböknek egy közös pontja12 k−1van. Jelöljük ezt a-val. Világos, hogy lim(a nk ) = a.Ez a pont azonban nem csak a részsorozatnak, hanem az egész sorozatnak ishatárértéke. Ez nyilvánvalóan következik a̺(a,a n ) ≤ ̺(a,a nk ) + ̺(a nk ,a n )egyenlőtlenségből, figyelembe véve, hogy (a n ) egy Cauchy-sorozat. Ez viszont aztjelenti, hogy az (a n ) sorozat valóban konvergens. 2.1.6. Metrikus tér teljessé tétele2.1.7. Nyílt, zárt és kompakt halmazok metrikus terekbenEbben a szakaszban metrikus terek legfontosabb halmaztípusairól, a nyílt, a zárt ésa kompakt halmazokról, valamint halmaz belsejéről és lezárásáról lesz szó.• Nyílt halmazok. Halmaz belsejeDefiníció. Legyen (M,̺) egy metrikus tér és A az M egy nemüres részhalmaza. Aza ∈ A pontot az A halmaz belső pontjának nevezzük, ha a-nak van olyan gömbkörnyezete,amely benne van A-ban, azaz van olyan r > 0 szám, hogy k r (a) ⊂ A.

2.1. Metrikus terek 25Az A halmaz belső pontjainak a halmazát A belsejének nevezzük, és az intAszimbólummal jelöljük.Definíció. Azt mondjuk, hogy a G ⊂ M halmaz nyílt az (M,̺) metrikustérben, ha G minden pontja belső pont. A nyílt halmazok családját a G M szimbólummalfogjuk jelölni.Példák.• Az R-beli nyílt intervallumok a fenti értelemben nyílt halmazok.• A félig zárt [a,b) és (a,b] intervallumok, ahol −∞ < a < b < +∞ nemnyíltak; int [a,b) = (a,b) és int (a,b] = (a,b).• Az R metrikus térben a racionális pontok Q halmaza nem nyílt; int Q = ∅.• A diszkrét metrikus tér minden részhalmaza nyílt.• Tetszőleges metrikus térben az ∅ és a M halmazok nyíltak.• Tetszőleges (M,̺) metrikus térben a gömb-környezetek, vagyis ak r (a) := { x ∈ M | ̺(x,a) < r } (a ∈ M, r > 0)halmazok a fenti értelemben nyílt halmazok.• Ha a ( C[a,b],̺∞)metrikus térbenA := { f ∈ C[a,b] ∣ |f(t)| ≤ K < +∞, ∀t ∈ [a,b] } ,akkorintA = { f ∈ C[a,b]∣ |f(t)| < K < +∞, ∀t ∈ [a,b] } .Íme a nyílt halmazok alaptulajdonságai:7. tétel. Az (M,̺) metrikus tér nyílt halmazainak a G M családja a következőtulajdonságokkal rendelkezik:1 o az A ⊂ M halmaz belseje egyenlő A legbővebb nyílt részhalmazával, azazintA = ⋃G;G ⊂ AG ∈ G M2 o a G ⊂ M halmaz akkor és csak akkor nyílt, ha G = intG;3 o véges sok nyílt halmaz metszete is nyílt halmaz;

26 2. Térstruktúrák4 o tetszőlegesen sok nyílt halmaz egyesítése is nyílt halmaz;5 o bármely két különböző M-beli pont szétválasztható nyílt halmazokkal, azazha a és b az M halmaz két tetszőleges különböző pontja, akkor vannak olyan diszjunktU és V nyílt M-beli halmazok, hogy a ∈ U és b ∈ V .• Zárt halmazok. Halmaz lezárásaDefiníció. Az (M,̺) metrikus tér F ⊂ M részhalmaza zárt, ha az F halmaznakM-re vonatkozó komplementuma – azaz az M \ F halmaz – nyílt. A zárt halmazokcsaládját az F M szimbólummal fogjuk jelölni.Példák.• Az R-beli zárt intervallumok a fenti értelemben zárt halmazok.• A félig zárt [a,b) és (a,b] intervallumok, ahol −∞ < a < b < +∞ se nemnyíltak, se nem zártak.• Az R metrikus térben a racionális pontok halmaza nem zárt (és nem isnyílt).• A diszkrét metrikus tér minden részhalmaza zárt (és nyílt is).• Tetszőleges metrikus térben az ∅ és a M halmazok zártak is és nyíltak is.• Metrikus térben minden véges sok pontból álló halmaz zárt.• Tetszőleges (M,̺) metrikus térben a zárt gömbök, vagyis ak r (a) := { x ∈ M | ̺(x,a) ≤ r } (a ∈ M, r > 0)halmazok a fenti értelemben zárt halmazok. Speciálisan a ( C[a,b],̺∞)metrikustérben minden K > 0 esetén azA := { f ∈ C[a,b] | |f(t)| ≤ K, t ∈ [a,b] }halmaz zárt.A zárt halmazok alaptulajdonságai:8. tétel. Az (M,̺) metrikus tér zárt halmazainak a családja a következő tulajdonságokkalrendelkezik:1 o véges sok zárt halmaz egyesítése is zárt halmaz;2 o tetszőlegesen sok zárt halmaz metszete is zárt halmaz.

2.1. Metrikus terek 27Zárt halmazok további jellemzéséhez bevezetjük a következő fontos fogalmakat:Definíció.1 o Az (M,̺) metrikus tér egy a ∈ M pontját az A ⊂ M részhalmaz egytorlódási pontjának nevezzük, ha az a pont minden gömb-környezete tartalmaza-tól különböző pontot az A halmazból. Az A halmaz torlódási pontjainak ahalmazát az A ′ szimbólummal jelöljük.2 o Az (M,̺) metrikus tér A részhalmazának a lezárásán azhalmazt értjük.A := A ∪ A ′Hangsúlyozzuk, hogy egy halmaz torlódási pontja nem feltétlenül tartozik hozzáa halmazhoz. Tekintsük például az R metrikus térben az A := [0, 1] ∩ Q halmazt,amelyre A = [0, 1].Példák.• R-ben Q ′ = R és Q = R.• Tetszőleges (M,̺) metrikus tér bármelyik k r (a) gömb-környezetének a fentiértelemben való lezárása a neki megfelelő zárt gömb. (A zárt gömbökre bevezetettkorábbi jelölésünk tehát összhangban van a lezárásra imént bevezetett jelöléssel.)9. tétel. Egy (M,̺) metrikus tér tetszőleges A ⊂ M részhalmazára a következőállítások teljesülnek:1 o a ∈ A ⇐⇒ ∃ (x n ) ⊂ A sorozat, hogy lim(x n ) = a;2 o a ∉ A ⇐⇒ ∃ε > 0, hogy k ε (a) ∩ A = ∅.10. tétel. Az (M,̺) metrikus térbeli A ⊂ M halmaz lezárása az A-t tartalmazólegszűkebb zárt halmaz, azazA = ⋂F.A ⊂ FF ∈ F M11. tétel. Az (M,̺) metrikus tér tetszőleges A,B részhalmazai esetén érvényeseka következők:1 o ∅ = ∅,2 o A ⊂ A,3 o ha A ⊂ B =⇒ A ⊂ B,

28 2. Térstruktúrák4 o A ∪ B = A ∪ B,5 o (A) = A,6 o az A ⊂ M halmaz pontosan akkor zárt, ha A = A,7 o halmaz lezárásának a komplementere egyenlő a komplementer belsejével:M \ A = int (M \ A)(A ⊂ M).12. tétel (zárt halmazok jellemzése). Az (M,̺) metrikus tér egy F ⊂ M részhalmazáraa következő állítások ekvivalensek:1 o az F halmaz zárt az (M,̺) metrikus térben,2 o az F halmaz minden torlódási pontját tartalmazza, azaz F ′ ⊂ F;3 o minden F-beli konvergens sorozat határértéke is benne van F-ben.• Kompakt halmazokDefiníció. Az (M,̺) metrikus tér K részhalmazát kompaktnak nevezzük, haminden K-beli sorozatnak van K-beli elemhez konvergáló részsorozata.Definíció. Az (M,̺) metrikus tér A részhalmazának nyílt lefedésén M nyíltrészhalmazainak olyan {G α } összességét értjük, amelyre A ⊂ ⋃ G α .α13. tétel. Legyen (M,̺) metrikus tér. A következő állítások ekvivalensek:1 o a K ⊂ M halmaz kompakt;2 o K minden nyílt lefedése tartalmaz véges lefedést(ez a Borel-féle lefedési tétel);3 o K minden végtelen részhalmazának van K-beli torlódási pontja.14. tétel. Legyen K az (M,̺) metrikus tér egy kompakt részhalmaza. Ekkor1 o a K ⊂ M halmaz zárt az (M,̺) metrikus térben;2 o a K ⊂ M halmaz korlátos az (M,̺) metrikus térben.3 o Van olyan metrikus tér, aminek van zárt és korlátos, de nem kompaktrészhalmaza. (Például az (l 2 ,̺2) tér K egységgömbfelülete egy ilyen halmaz.)15. tétel. (R n ,̺p)-ben egy halmaz akkor és csak akkor kompakt, ha korlátos és zárt.

2.1. Metrikus terek 292.1.8. Metrikus tér sűrű részhalmazai. Szeparábilis terek. A Baire-félekategóriatételTekintsük a valós számok szokásos metrikus terében a racionális számok Q halmazát.Abból a jól ismert tényből, hogy minden nemelfajuló intervallum tartalmazracionális számot következik, hogy Q ′ = R, vagyis Q = R. A szemléletre hivatkozvaazt is mondtuk, hogy a racionális számok sűrűn vannak R-ben. Könnyű meggondolni,hogy ez azt is jelenti, hogy minden a ∈ R számhoz van olyan racionálisszámokból álló (q n ) ⊂ Q sorozat, amelyik a-hoz konvergál. A sűrűségi tulajdonságtehát bizonyos approximációs tulajdonsággal hozható kapcsolatba.További motivációként gondoljunk Weierstrass első approximációs tételére: mindenf ∈ C[a,b] függvényhez van olyan polinomsorozat, amelyik egyenletesen (vagyisa ̺∞ metrikában) tart f-hez. A szemléletre való hivatkozással itt is mondhatjuk azt,hogy az algebrai polinomok sűrűn vannak a ( C[a,b],̺∞)metrikus térben. Ezt atényt a halmaz lezárásának a fogalmával kifejezhetjük úgy is (l. a 9. tételt), hogy azalgebrai polinomok P halmazának lezárása a ( C[a,b],̺∞)metrikus térben az egészC[a,b] tér, azaz P = C[a,b].A fentiek általánosításaként vezessük be a következő fogalmakat.Definíció.1 o Azt mondjuk, hogy az (M,̺) metrikus tér A részhalmaza sűrű az M 0 ⊂ Mhalmazban, ha M 0 ⊂ A.2 o Az A ⊂ M halmaz mindenütt sűrű az (M,̺) metrikus térben, ha A = M.3 o Az A ⊂ M halmaz sehol sem sűrű az (M,̺) metrikus térben, ha egyetlengömbben sem sűrű.Példák.• A racionális számok halmaza mindenütt sűrű R-ben.• R-ben minden véges halmaz sehol sem sűrű.• Az { 1n | n ∈ N} ∪ { 0 } sehol sem sűrű R-ben.• Az ( R 2 ,̺2)metrikus térben minden egyenes sehol sem sűrű halmaz.• A ( C[a,b],̺∞)metrikus térben az [a,b] intervallumon definiált valós értékű,folytonos ”töröttvonal-függvények” A halmaza egy mindenütt sűrű halmaz. (ϕ ∈ Aakkor és csak akkor, ha létezik olyan n ∈ N és x i ∈ [a,b] (i = 0, 1,...,n) úgy, hogya =: x 0 < x 1 < · · · < x n := b és ϕ |[xi−1 ,x i ] lineáris függvény.)A 9. tétel felhasználásával egyszerűen bizonyíthatók az alábbi állítások.

30 2. Térstruktúrák16. tétel. Az (M,̺) metrikus tér tetszőleges A és M 0 részhalmazaira a következőállítások érvényesek:1 o Az A halmaz akkor és csak akkor sűrű az M 0 ⊂ M halmazban, ha M 0minden x eleméhez létezik olyan A-beli (x n ) sorozat, amelyre lim(x n ) = x, azaz M 0minden pontja ”tetszőleges pontossággal” megközelíthető A-beli pontokkal.2 o Az A ⊂ M halmaz pontosan akkor nem sűrű az M 0 ⊂ M halmazban, ha∃x ∈ M 0 és ∃ε > 0, hogy k ε (x) ∩ A = ∅.17. tétel. Az (M,̺) metrikus tér tetszőleges A részhalmaza esetén a következőállítások ekvivalensek:1 o Az A halmaz sehol sem sűrű.2 o Az A halmaz lezárása nem tartalmaz gömböt, azaz az A halmaznak nincsbelső pontja, ami azt jelenti, hogy intA = ∅.3 o Minden x ∈ M pont minden k ε (x) gömb-környezete tartalmaz olyan k ε1 (x 1 )gömböt, amelyben nincs A-beli elem.4 o M \ A mindenütt sűrű M-ben.Különösen fontosak azok a metrikus terek, amelyekben van megszámlálható,mindenütt sűrű részhalmaz. Az ilyen terekben ui. ki lehet jelölni egy olyan,megszámlálható halmazt — ennek elemeit lehet kezelni — amelynek elemeivel atér minden eleme ”tetszőleges pontossággal” megközelíthető.Definíció. Egy metrikus teret szeparábilisnek nevezünk, ha van megszámlálható,mindenütt sűrű részhalmaza.Példák.• R szeparábilis, Q egy megszámlálható mindenütt sűrű részhalmaza.• Az (M,̺) diszkrét metrikus tér pontosan akkor szeparábilis, ha M megszámlálható.• Az ( R n ,̺p)(n ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞) terek szeparábilisek, ezekben a racionáliskoordinátájú pontok halmaza egy megszámlálható mindenütt sűrű halmaz.• Az ( l p ,̺p)terek 1 ≤ p < +∞ esetén szeparábilisek, az(l ∞ ,̺∞)tér nemszeparábilis.• Weierstrass első approximációs tételét felhasználva igazolható, hogy a racionális( együtthatós ) algebrai polinomok halmaza — ami megszámlálható — sűrű aC[a,b],̺∞ metrikus térben, ezért ez is szeparábilis tér.

2.1. Metrikus terek 31Teljes metrikus terek sűrűséggel kapcsolatos fontos tulajdonságát állítja aBaire-lemma, amelyet különböző formákban fogalmazunk meg.18. tétel (a Baire-lemma). Legyen (M,̺) teljes metrikus tér.1 o Megszámlálható sok M-beli, mindenütt sűrű nyílt halmaz metszete is mindenüttsűrű M-ben, azaz ha (G n ) nyílt halmazoknak egy olyan M-beli sorozata, hogyG n = M(n ∈ N),akkor⋂G n = M.n∈N2 o Megszámlálható sok M-beli, sehol sem sűrű zárt halmaz egyesítése nemtartalmaz gömb-környezetet, azaz ha (F n ) ⊂ M zárt halmazoknak egy olyan sorozata,amelyreintF n = ∅ (n ∈ N),akkorint ( ⋃ )F n = ∅.n∈N3 o Ha M előállítható megszámlálható sok zárt halmaz egyesítéseként, akkorazok közül legalább az egyik tartalmaz nemüres nyílt gömb-környezetet, azaz ha (F n )zárt halmazoknak egy olyan sorozata M-ben, amelyre⋃F n = M,n∈Nakkor valamelyik F n halmaz belseje nemüres, azaz∃n 0 ∈ N, hogy intF n0 ≠ ∅.Megjegyzés. A teljesség feltétele lényeges: tekintsük például M = Q-ban (aszokásos metrikával) a Q \ {r} nyílt halmazokat vagy az {r} zárt halmazokat, aholr végigfutja a racionális számokat.Bizonyítás. 1 o Azt kell megmutatni, hogy tetszőleges k r0 (x 0 ) ⊂ M gömb-környezetbenvan ∩ n∈N G n halmazbeli pont.G 1 mindenütt sűrű M-ben, ezért található egy x 1 ∈ G 1 ∩k r0 (x 0 ) pont. Ez utóbbihalmaz nyílt, ezért van olyan 0 < r 1 < 1 szám, hogyk r1 (x 1 ) ⊂ G 1 ∩ k r0 (x 0 ).

32 2. TérstruktúrákDe G 2 is mindenütt sűrű M-ben, ezért van egy x 2 ∈ G 2 ∩ k r1 (x 1 ) pont is. Minthogyaz utóbbi halmaz nyílt, ezért van olyan 0 < r 2 < 1/2 szám, hogyk r2 (x 2 ) ⊂ G 2 ∩ k r1 (x 1 ).Rekurzióval folytatva a konstrukciót, zárt gömböknek olyan monoton fogyó sorozatátkapjuk, hogyk rn (x n ) ⊂ G n+1minden n-re, és lim(r n ) = 0. A Cantor-féle közösrész-tétel szerint e gömböknek vanegy x közös pontja. A konstrukció miatt x ∈ ∩G n és x ∈ k r0 (x 0 ).2 o Legyen G n := M \ F n (n ∈ N). Mivel F n -ek zártak, ezért mindegyik G n nyílthalmaz. Az egyszerűen bizonyíthatóösszefüggés alapjánezért G n = M, tehát (l. 1 o -et)M \ H = int ( M \ H ) (H ⊂ M) (2.1)M \ G n = int ( M \ G n)= intFn = ∅,⋂G n = M.n∈NEzt az egyenlőséget, (2.1)-et, valamint a de Morgan-azonosságokat felhasználvakapjuk, hogy(⋂ ) (∅ = M \ G n = int M \ ⋂ ) (⋃G n = int F n),n∈Nn∈Nn∈Nés ez a 2 o állítás bizonyítását jelenti.Végül a 3 o állítás 2 o felhasználásával indirekt módon igazolható. A most igazolt tételt — bevezetve az első és a második kategóriájú halmaz fogalmát— szokás más formában is megfogalmazni.Definíció. Az (M,̺) metrikus tér A részhalmazát első kategóriájúnak nevezzük,ha A előállítható megszámlálható sok sehol sem sűrű halmaz egyesítéseként. Ha Anem első kategóriájú, akkor második kategóriájúnak mondjuk.19. tétel (a Baire-féle kategóriatétel). Minden teljes metrikus tér második kategóriájú,azaz nem állítható elő megszámlálható sok sehol sem sűrű halmaz egyesítéseként.

2.1. Metrikus terek 33Bizonyítás. Az állítással ellentétben tegyük fel, hogy az M teljes metrikus tér elsőkategóriájú, vagyis előállíthatóM = ⋃ n∈NH nalakban, ahol a H n halmazok mindegyike sehol sem sűrű, azazintH n = ∅(n ∈ N).Ekkor a Baire-lemma 2 o állítását alkalmazva kapjuk, hogyint ( ⋃ )H n = ∅ = intM,n∈Nazaz az M tér belseje az üres halmaz. Ezzel az ellentmondással az állítást igazoltuk.Példák.• Mivel R-ben minden véges halmaz sehol sem sűrű, ezért minden megszámlálhatóhalmaz, így Q is első kategóriájú, noha Q mindenütt sűrű R-ben.• R 2 -ben a racionális koordinátájú pontok halmaza első kategóriájú.• R-ben az irracionális pontok Q ∗ halmaza második kategóriájú. Valóban,a Baire-féle kategóriatételből következik, hogy teljes metrikus térben első kategóriájúhalmaz kiegészítő halmaza második kategóriájú; Q meg első kategóriájú.2.1.9. Metrikus terek közötti függvények folytonosságaDefiníció. Legyenek (M 1 ,̺1) és (M 2 ,̺2) metrikus terek. Azt mondjuk, hogy azf ∈ M 1 → M 2 függvény folytonos az a ∈ D f pontban (jelölésben f ∈ C{a}), ha∀ε > 0-hoz ∃δ > 0, hogy ∀ x ∈ D f , ̺1(x,a) < δ esetén ̺2(f(x),f(a))< ε.f folytonos az A ⊂ D f halmazon, ha f folytonos az A halmaz minden pontjában.20. tétel (az átviteli elv). Legyenek (M 1 ,̺1) és (M 2 ,̺2) metrikus terek. Az f ∈M 1 → M 2 függvény akkor és csak akkor folytonos az a ∈ D f pontban, ha mindenD f -beli, a-hoz tartó (x n ) sorozat esetén a függvényértékek ( f(x n ) ) sorozata az M 2térben az f(a) ponthoz konvergál.

34 2. Térstruktúrák21. tétel. Tegyük fel, hogy az M i halmazon megadott ̺i és ˜̺i (i = 1, 2) metrikákekvivalensek. Ekkor azf ∈ (M 1 ,̺1) → (M 2 ,̺2)függvény akkor és csak akkor folytonos az a ∈ D f pontban, hafolytonos a-ban.f ∈ (M 1 , ˜̺1) → (M 2 , ˜̺2)22. tétel (az összetett függvény folytonossága). Tegyük fel, hogy (M i ,̺i) (i =1, 2, 3) metrikus terek és a g ∈ M 1 → M 2 függvény folytonos az a ∈ D g pontban,az f ∈ M 2 → M 3 függvény pedig folytonos a g(a) ∈ D f pontban. Ekkor az f ◦ gösszetett függvény folytonos a-ban.23. tétel (a folytonosság jellemzése nyílt halmazokkal). Legyenek (M 1 ,̺1) és(M 2 ,̺2) metrikus terek. Az egész M 1 téren értelmezett f : M 1 → M 2 függvényakkor és csak akkor folytonos M 1 -en, ha minden M 2 -beli nyílt B halmaz f általlétesített ősképe M 1 -beli nyílt halmaz.24. tétel. Legyenek (M 1 ,̺1) és (M 2 ,̺2) metrikus terek és A ⊂ M 1 . Az f : A → M 2függvény pontosan akkor folytonos az A halmazon, ha∀B ⊂ M 2 nyílt halmazhoz ∃G ⊂ M 1 nyílt halmaz, hogy f −1 [B] = A ∩ G.25. tétel. Legyenek (M 1 ,̺1) és (M 2 ,̺2) metrikus terek, és tegyük fel, hogy• A ⊂ M 1 kompakt halmaz,• az f : A → M 2 függvény folytonos A-n.Ekkor1 o R f ⊂ M 2 kompakt halmaz;2 o Ha M 2 = R, akkor f-nek van maximuma és minimuma (Weiersrasstétele);3 o ha f injektív, akkor f −1 is folytonos.Definíció. Legyenek (M 1 ,̺1) és (M 2 ,̺2) metrikus terek. Azt mondjuk, hogy azf ∈ M 1 → M 2 függvény egyenletesen folytonos az A ⊂ D f halmazon, ha∀ε > 0-hoz ∃δ > 0, hogy ∀x,y ∈ A, ̺1(x,y) < δ esetén ̺2(f(x),f(y))< ε.26. tétel. Legyenek (M 1 ,̺1) és (M 2 ,̺2) metrikus terek, és tegyük fel, hogy f ∈M 1 → M 2 .

2.2. Lineáris terek (vektorterek) 351 o Ha f egyenletesen folytonos az A ⊂ D f halmazon, akkor folytonos is A-n.2 o Ha A ⊂ D f kompakt és f folytonos A-n, akkor f egyenletesen is folytonosaz A halmazon. (Heine-tétel).27. tétel (a Banach-féle fixpont-tétel). Tegyük fel, hogy• (M,̺) teljes metrikus tér;• az f : M → M leképezés egy kontrakció, azaz létezik olyan α ∈ [0, 1)szám, hogy̺(f(x),f(y) ) ≤ α ̺(x,y) (∀x,y ∈ M).Ekkor1 o egyértelműen létezik olyan x ∗ ∈ M, hogy f(x ∗ ) = x ∗ (x ∗ -ot az f fixpontjánaknevezzük).2 o azx 0 ∈ Mx n+1 = f(x n ) (n ∈ N)iterációs sorozat konvergens és x ∗ a határértéke.3 o A konvergenciára ahibabecslés érvényes.̺(x ∗ ,x n ) ≤αn1 − α̺(x 0,x 1 ) (n ∈ N)2.2. Lineáris terek (vektorterek)A már megismert fontos metrikus terekben nem csak pontok távolságát, hanem azelemek között különböző műveleteket is lehet értelmezni. Fordítsuk figyelmünketmost csak a két legegyszerűbb műveletre: az összeadásra és a számmal való szorzásra.A tekintett fontos példák közös tulajdonságait keresve fogalmazhatunk úgy is, hogya szóban forgó halmazok nem csak ”metrikus”, hanem ”lineáris térstruktúrával” isel vannak látva.Feltételezzük a lineáris terekkel kapcsolatos alapvető fogalmak és eredményekismeretét. A továbbiakban csak a K := R vagy a K := C számtest feletti lineáristerekről lesz szó, és röviden egy X lineáris térről fogunk majd beszélni. A térnullaelemét a θ szimbólummal fogjuk jelölni.Az X 1 és az X 2 lineáris tér izomorf, ha elemeik között létezik művelettartóbijekció. Az izomorf lineáris tereket ugyanazon tér különböző realizációjának tekinthetjük.

38 2. Térstruktúrák• Mátrixnormák. Az m × n-es valós mátrixok R m×n lineáris terében azalábbi kifejezések mindegyike normát értelmez:( ∑ m‖A‖ :=i=1‖A‖ := max1≤j≤n‖A‖ := max1≤i≤mahol A := [a ij ] ∈ R m×n .n∑ ) 1/2|a ij | 2 (euklideszi norma),j=1m∑|a ij | (oszlopösszegnorma),i=1n∑|a ij | (sorösszegnorma),j=1• A l p terek. Tekintsük 1 ≤ p < +∞ esetén a valós sorozatokl p :=p = +∞ esetén pedig a{l ∞ :={(x n ) : N → R ∣ ∣+∞∑k=1(x n ) : N → R ∣ ∣ supk∈N}|x k | p < +∞ ,}|x k | < +∞(szokásos műveletekkel ellátott) lineáris terét. Ha x = (x n ) ∈ l p , akkor legyen⎧(∑ ⎨ +∞k=1 |x k| p) 1/p, ha 1 ≤ p < +∞‖x‖ p := ‖x‖ l p :=⎩sup{|x k |}, ha p = +∞.Ekkor ( l p , ‖ · ‖ l p)normált tér.k∈N• A C[a,b] függvényterek. A C[a,b] halmazt a függvények közötti szokásosműveletekkel ellátva nyilván egy valós lineáris teret kapunk; ezen a⎧(∫ b⎨ |f|p) 1/pa , ha 1 ≤ p < +∞‖f‖ p :=(f ∈ C[a,b])⎩max|f(x)|, ha p = +∞x∈[a,b]függvény norma, tehát ( C[a,b], ‖ · ‖ p)valós normált tér.• A L p terek. Ezekről a függvényterekről a 2.4. pontban lesz szó.

2.3. Normált terek és Banach-terek 391. tétel. Ha ( X, ‖ · ‖ ) normált tér, akkor a̺(x,y) := ‖x − y‖ (x,y ∈ X)függvény metrika az X halmazon, azaz (X,̺) metrikus tér. Következésképpen mindennormált tér egyúttal metrikus tér is. Ezt a ̺ metrikát a ‖·‖ norma által indukáltmetrikának nevezzük.Minden X lineáris téren értelmezett norma tehát egy metrikát indukál az Xhalmazon. Felvetődik az a kérdés, hogy egy lineáris téren értelmezett tetszőlegesmetrika vajon származtatható-e alkalmas normából? A válasz az, hogy nem.Példa. Jelölje R N a valós sorozatok szokásos műveletekkel ellátott lineáris terét, éslegyen̺(x,y) :=+∞∑n=112 · |x n − y n |n 1 + |x n − y n |(x = (xn ), y = (y n ) ∈ R N) .Ekkor ̺ olyan metrika R N -en, amelyik nem származtatható normából, vagyis nincsolyan norma ezen a téren, amelyik a ̺ metrikát indukálja.Definíció. Az ( X, ‖ · ‖ ) normált térbeli (x n ) sorozatot akkor nevezzük konvergensnek,ha (x n ) a norma álta indukált metrikában konvergens. Ez pontosan aztjelenti, hogy∃α ∈ X : lim ‖x n − α‖ = 0.n→+∞Konvergencia esetén a fenti α elem egyértelműen meg van határozva, ezt a sorozathatárértékének nevezzük (azt is mondjuk, hogy (x n ) sorozat a ‖ · ‖ normábantart α-hoz). Ezt tényt az alábbi szimbólumok valamelyikével jelöljük:lim a ‖ · ‖n = α, lim(a n ) ‖ · ‖‖ · ‖= α, a n −→ α (n → +∞).n→+∞Ha nem okoz félreértést, akkor a normára utaló jelet elhagyjuk.A következő tétel azt állítja, hogy a norma által indukált metrika valóban teljesítia bevezetésben jelzett elvárást: a műveletek folytonosak a metrikára nézve. Ezenkívül a metrika invariáns a ”párhuzamos eltolással” szemben és arányosan változika vektorok nyújtásának a hatására.2. tétel. Legyen ( X, ‖ · ‖ ) egy normált tér, és jelölje ̺ a norma által indukáltmetrikát. Ekkor

40 2. Térstruktúrák1 o ̺(x + z,y + z) = ̺(x,y) (x,y ∈ X);2 o ̺(λx,λy) = |λ|̺(x,y) (x,y ∈ X, λ ∈ K);3 o ‖ · ‖ ‖ · ‖ha x n −→ ξ, y n −→ η és λ n → λ ∈ K, akkorλ n x n‖ · ‖−→ λξ,x n + y n‖ · ‖−→ ξ + η.3. tétel. Legyen (X, ‖ · ‖) normált tér. A norma, mint X → R típusú függvényfolytonos.Definíció. Azt mondjuk, hogy az X lineáris téren adott ‖ · ‖ 1 és ‖ · ‖ 2 normaekvivalens (jelben ‖ · ‖ 1 ∼ ‖ · ‖ 2 ), ha léteznek olyan c 1 ,c 2 pozitív valós számok,hogyc 1 ‖x‖ 1 ≤ ‖x‖ 2 ≤ c 2 ‖x‖ 1minden x ∈ X-re.Ekvivalens normák ekvivalens metrikákat indukálnak. Egyszerűen igazolható,hogy normát vele ekvivalens normára cserélve a halmazok nyílt, zárt, kompakt,korlátos volta, a sorozatok konvergenciája vagy Cauchy-tulajdonsága nem változik.Példa. A C[a,b] lineáris téren a ‖ · ‖ ∞ és az ‖ · ‖ 1 normák nem ekvivalensek, sőttetszőleges 1 ≤ p < ∞ esetén a ‖ · ‖ p norma nem ekvivalens a ‖ · ‖ ∞ normával.4. tétel. Véges dimenziós X lineáris téren értelmezett bármely két norma ekvivalensegymással.5. tétel. Legyen ( X, ‖ · ‖ ) véges dimenziós normált tér. Ekkor1 o X teljes;2 o egy X-beli halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt;3 o X szeparábilis;4 o minden X-beli korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.A metrikus terekhez hasonlóan a normált terekben is fontos szerepe van a teljességnek.Definíció. Az ( X, ‖·‖ ) normált teret Banach-térnek nevezzük, ha a tér a normaáltal indukált metrikára nézve teljes metrikus tér.Példák.• R Banach-tér, a Q normált tér nem Banach-tér.

2.4. A L p és a l p terek 41• Minden véges dimenziós normált tér Banach-tér.• Minden 1 ≤ p ≤ +∞ esetén az ( )l p , ‖ · ‖ p normált tér Banach-tér.• A ( )C[a,b], ‖ · ‖ p normált tér egyetlen 1 ≤ p < +∞ esetén sem Banach-tér.• A ( C[a,b], ‖ · ‖ ∞)normált tér Banach-tér.• Tetszőleges (X, Ω,µ) mértéktér és 1 ≤ p ≤ +∞ kitevő esetén az(L p (X, Ω,µ), ‖ · ‖ L p)normált tér Banach-tér.Lineáris terekben a mindenütt sűrű halmazok helyett inkább zárt rendszerekrőlszokás beszélni.Definíció. Legyen ( X, ‖·‖ ) normált tér. A Z ⊂ X részhalmazt zárt rendszerneknevezzük X-ben, ha Z lineáris burka (vagyis a [Z] halmaz) mindenütt sűrű a normaáltal indukált metrikus térben, azaz[Z] = X.Ez pontosan azt jelenti, hogy minden X-beli elem tetszőleges pontossággal megközelíthetőZ-beli vektorok alkalmas lineáris kombinációjával, azaz∀x ∈ X vektorhoz és ∀ε > 0 számhoz∃n ∈ N, ∃z 1 ,...,z n ∈ Z és ∃λ 1 ,...,λ n ∈ K, hogy∥n∑ ∥ ∥∥∥x − λ k z k < ε.k=1Definíció. Az ( X, ‖ · ‖ ) normált teret akkor nevezzük szeparábilisnek, haX a norma által indukált metrikával szeparábilis metrikus tér, vagyis X-nek vanmegszámlálható, mindenütt sűrű részhalmaza. Ez azzal ekvivalens, hogy X-benvan megszámlálhatóan végtelen zárt rendszer.2.4. A L p és a l p terek2.4.1. Előzetes megjegyzések• A ( C[a,b], ‖ · ‖ p)függvényterek

42 2. TérstruktúrákEmlékeztetünk arra, hogy a C[a,b] függvénytéren minden 1 ≤ p ≤ +∞ számraértelmeztük a ‖ · ‖ p szimbólummal jelölt normát. Ha p = +∞, akkor a függvényértékekmaximumával, ha 1 ≤ p < +∞, akkor pedig az(∫ b) 1/p‖f‖ p := |f| p (f ∈ C[a,b]) (2.2)aképlettel (ezért neveztük ezeket integrálnormáknak). Itt az integrált a Riemann-féleértelemben tekintettük. Az így értelmezett ( C[a,b], ‖ · ‖ p)normált terek közöttilegfontosabb különbség az, hogy ez a tér a maximumnormában (p = +∞) teljes, azintegrálnormákban (1 ≤ p < +∞) azonban nem teljes. (A teljesség jelentőségétmár elég sokszor hangsúlyoztuk!)A fenti képletben a Riemann-integrál helyett Lebesgue-integrált is vehetnénk.Ez az ártatlannak tűnő módosítás azonban számos kérdést vet fel, amelyek megfogalmazásaelőtt címszavakban emlékeztetünk a Lebesgue-integrál elméletével kapcsolatosismeretekre.• A Lebesgue-integrál mértékterekbenTetszőleges (X, Ω,µ) mértéktérből (X tehát egy nemüres halmaz, Ω az X halmazrészhalmazaiból álló σ-algebra és µ : Ω → R + mérték) kiindulva felépíthető aLebesgue-integrál elmélete. Arról van szó, hogy az X-en értelmezett R-beli értékeketfelvevő f függvények többségéhez” hozzá lehet rendelni egy R-beli számot, amit”az ∫ f dµ szimbólummal jelölünk, és az f függvény µ mérték szerinti integráljánakXnevezünk. Ez az integrálfogalom rendelkezik a Riemann-integrálnál megismert tulajdonságokkal,sőt sok szempontból annál lényegesen kedvezőbb is.A tekintett függvények körét az ún. mérhető függvényekre korlátoztuk, ezekhalmazát az M(X, Ω) szimbólummal jelöltük:f ∈ M(X, Ω) ⇐⇒ ∀α ∈ R-re {f > α} := {x ∈ X | f(x) > α} ∈ Ω.(Ez a megszorítás igen keveset követel az f-től; az analízisben (!) előforduló valósvalósfüggvények szinte mindegyike rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.)Az elmélet felépítése során minden nemnegatív f mérhető függvényhez hozzárendeltünkegy [0, +∞]-beli számot. Így értelmeztük tetszőleges f ∈ M(X, Ω) függvénypozitív,∫illetve negatív részének (f + -nak, illetve f − -nak) az integrálját: I + :=X f+ dµ-t, illetve I − := ∫ f − dµ-t. Ezután azoknak a mérhető függvényeknekXaz integrálját definiáltuk, amelyekre I + és I − közül legalább az egyik véges. Egymérhető függvény integrálja tehát lehet véges, de lehet ±∞ is. A továbbiakban figyelmünketazokra a függvényekre fordítottuk, amelyeknek az így értelmezett integráljavéges. Az ilyen mérhető függvényeket neveztük (az X halmazon a µ mértékszerint) Lebesgue-integrálhatóknak, és ezek halmazát így jelöltük:

2.4. A L p és a l p terek 43L(X, Ω,µ) := { f ∈ M(X, Ω) ∣ ∣ ∫ X f dµ ∈ R} .L(X, Ω,µ) helyett a továbbiakban gyakran csak L-et fogunk írni. L + -szal a nemnegatívL-beli elemek halmazát jelöljük.• A probléma felvetéseStruktúrával szeretnénk ellátni a Lebesgue-integrálható függvények halmazát.L nyilván egy R feletti lineáris tér (vagy vektortér), ha a műveleteket a valósértékű függvények körében megszokott módon (pontonként) értelmezzük.A norma bevezetésének a problémája már jóval érdekesebb (mert nehezebb). A(2.2) képletből kiindulva fogjuk definiálni minden 1 ≤ p ≤ +∞ esetén a(L p (X, Ω,µ), ‖ · ‖ L p)normált teret. (Ki fog majd derülni, hogy különböző p-kre a C[a,b] függvénytértőleltérően itt már maguk a halmazok is különbözők lesznek.) Ezeknek a függvénytereknekaz egyik legfontosabb tulajdonsága az, hogy teljesek, vagyis Banach-terek(l. a Riesz–Fischer-tételt). Ez az eredmény egyike volt a legelsőknek azok közülaz általános érdeklődést felkeltő, fontos tételek közül, amelyek a Lebesgue-féle integrálonalapulnak, s amelyek így az új integrálfogalom teljesítő képességét demonstrálják.2.4.2. A Lebesgue-integrálra vonatkozó néhány alapvető eredmény1. tétel. Legyen (X, Ω,µ) mértéktér és f : X → R egy Ω-mérhető függvény. Ekkora következő állítások ekvivalensek:1 o az f függvény Lebesgue-integrálható, azaz f ∈ L;2 o f + ,f − ∈ L;3 o ∃g,h ∈ L;g,h ≥ 0 : f = g − h;4 o ∃G ∈ L : |f| ≤ G (f-nek van integrálható majoránsa);5 o |f| ∈ L.Legyen (X, Ω,µ) tetszőleges mértéktér. Tegyük fel, hogy T az X elemeire vonatkozó”logikai kifejezés” (tulajdonság, kijelentés), azaz ∀x ∈ X-re T(x) vagy igaz,vagy hamis. Azt mondjuk, hogy a T tulajdonság az X-en µ-majdnem mindenütt(röviden: µ-m.m. az X-en) teljesül, ha∃A ∈ Ω, µ(A) = 0 halmaz, hogy ∀x ∈ X \ A elemre a T(x) tulajdonság igaz.A Lebesgue-integrál ” érzéketlen” a µ-nullamértékű halmazokra.

44 2. Térstruktúrák2. tétel. 1 o Bármely nemnegatív Legesgue-integrálható f függvény esetén∫f dµ = 0 ⇐⇒ f = 0 µ-m.m. X-en.X2 o Ha az f és g mérhető függvények µ-m.m. egyenlők az X halmazon,valamint f Lebesgue-integrálható, akkor g is Lebesgue-integrálható a Lebesgue-integráljukis egyenlő.3 o Minden L-beli f függvényre igaz, hogy |f| < +∞ µ-m.m.3. tétel (Beppo Levi tétele). Tegyük fel, hogy(a) f n ∈ L (n ∈ N),(b) az (f n ) függvénysorozat monoton növekedő, és f := lim f n ,n→∞(c) az integrálok ∫ f n dµ (n ∈ N) sorozata korlátos.XEkkor az f függvény Lebesgue-integrálható és∫ ∫∫f dµ = lim(f n )dµ = lim f n dµ.n nXXX4. tétel (Fatou tétele).1 o Bármely f n ∈ L + (n ∈ N) függvénysorozatra∫X( )lim inf f nn( ∫dµ ≤ lim infnX)f n dµ .2 o Ha ∃F ∈ L : f n ≤ F (∀n ∈ N µ-m.m. az X-en), akkor( ∫ ) ∫lim sup f n dµ ≤ (lim sup f n )dµ.nnXX5. tétel (Lebesgue-tétele). Legyen (X, Ω,µ) tetszőleges mértéktér, és tegyük fel,hogy(a) f n ∈ L (n ∈ N),(b) a függvénysorozatnak van integrálható majoránsa, azaz ∃g ∈ L : |f n | ≤g (n ∈ N) µ-m.m. X-en,(c) az (f n ) függvénysorozat az X-en µ-m.m. konvergál az f függvényhez.

2.4. A L p és a l p terek 45Ekkor f ∈ L(X, Ω,µ) és∫ ∫f dµ =) ∫(lim f n dµ = limn nf n dµ.XXX2.4.3. A L p függvényterekLegyen (X, Ω,µ) egy mértéktér. Vezessük be minden f : X → R mérhető függvényrea következő kifejezéseket:( ∫ X‖f‖ p : =|f| p dµ) 1/p,ha 0 < p < +∞,‖f‖ ∞ : = inf { c ≥ 0 ∣ |f| ≤ c µ-m.m. az X-en } ,= inf { sup |f| ∣ E ∈ Ω és µ(E) = 0 }X\E(megállapodva abban, hogy inf ∅ := +∞).(2.3)Mivel minden f mérhető függvény esetén az |f| p függvény is mérhető (ui. bármelyα ≥ 0 számra az {|f| p ≥ α} és {|f| ≥ α 1/p } nívóhalmazok egyenlők), ezért adefiníciók korrektek. Tetszőleges f mérhető függvény esetén ‖f‖ p nemnegatív számvagy +∞.Az ‖f‖ ∞ számot szokás az |f| függvény lényeges felső korlátjának is nevezni.Ennek megfelelően használatos rá a sup essf := ‖f‖ ∞ jelölés is a francia ”supremumessentiel” kifejezés alapján.A fenti kifejezések néhány tulajdonsága (1 ≤ p ≤ +∞):• ‖f‖ p ⇐⇒ f = 0 µ-m.m. az X-en;• ‖f‖ p = ‖g‖ p ⇐⇒ f = g µ-m.m. az X-en;• ‖f‖ ∞ < +∞ ⇐⇒ ∃c ≥ 0 : |f| ≤ c µ-m.m. az X-en;• |f| ≤ ‖f‖ ∞ µ-m.m. az X-en;• ha ∃q ∈ (0, +∞), hogy ∫ |f| q dµ < +∞, akkorXlim ‖f‖ p = ‖f‖ ∞ ;p→+∞• ha a µ mérték véges és ‖f‖ ∞ < +∞, akkorlim ‖f‖ p = ‖f‖ ∞ .p→+∞

46 2. TérstruktúrákMivel a Lebesgue-integrál ” érzéketlen” a µ-nullamértékű halmazokra, ezért aµ-m.m. egyenlő függvények között nem célszerű különbséget tenni. Azonosítsukaz ilyen függvényeket! Pontosabban arról van szó, hogy a Lebesgue-integrálhatófüggvényekL := L(X, Ω,µ) (2.4)halmazán értelmezzük a következő relációt:f,g ∈ L : f∼ g :⇐⇒ f = g µ-m.m. az X-en.Könnyen belátható, hogy ∼ ekvivalenciareláció, ami L-nek egy osztályfelbontásátindukálja. Az így kapott ekvivalenciaosztályok halmazát azL := L(X, Ω,µ) (2.5)szimbólummal fogjuk jelölni.Az L halmaz elemei valós értékű függvények, ezek között az algebrai műveleteketa szokásos módon (pontonként) értelmezük. A bevezetett ekvivalenciareláció kompatíbilisezekkel az algebrai műveletekkel: ha f 1 = g 1 és f 2 = g 2 µ-m.m., akkorf 1 ± f 2 = g 1 ± g 2 µ-m.m.,f 1 f 2 = g 1 g 2 µ-m.m.;és hasonló érvényes a (2.3) alatt értelmezett kifejezésekre is.A (2.4) és (2.5) alatt bevezetett jelöléseket csak ebben a pontban fogjukhasználni. A jegyzet többi részében — a szokásoknak megfelelően — nemteszünk jelölésbeli különbséget L és L között, azaz L minden f elemeegyúttal az összes olyan g : X → R mérhető függvényt is jelöli, amelyik µ-m.m. egyenlő f-fel. Ha f ∈ L-et írunk, akkor f egy ekvivalenciaosztálytjelöl. A fentiek alapján azonban megállapodhatunk abban, hogy ekkor fnem ekvivalenciosztályt, hanem egyetlen függvényt, a szóban forgó ekvivalenciosztályegy tetszőleges elemét jelöli.Az L halmaz természetes vektortérstruktúrával van ellátva. Az ekvivalenciaosztályokösszegét, illetve számszorosát reprezentánselemek (ezek valós értékű függvények!)összegével, illetve számszorosával a szokásos módon (pontonként) értelmezzük.Megmutatható, hogy ez független a reprezentánselemek megválasztásától.L tehát R feletti lineáris tér (vagy vektortér).Definíció. Tetszőleges 0 < p ≤ +∞ esetén L p (X, Ω,µ)-vel vagy röviden L p -veljelöljük azoknak az L-beli elemeknek a halmazát, amelyekre ‖f‖ p véges:L p := L p (X, Ω,µ) := { f ∈ L ∣ ∣ ‖f‖ p < +∞ } .

2.4. A L p és a l p terek 47Gyakran fogjuk használni a következő fogalmat:Definíció.Az 1 ≤ p ≤ +∞ szám konjugált kitevőjén az1p + 1 q = 1egyenlőségnek eleget tevő q ∈ [1 + ∞] számot értjük ( 1azt is mondjuk, hogy p és q konjugált kitevők.+∞-n 0-t értve); és ilyenkorEbben a pontban a fő célunk annak igazolása, hogy minden 1 ≤ p ≤ +∞ eseténL p lineáris tér és a (2.3) kifejezések normák. A bizonyításban alapvető fontosságúaklesznek a következő egyenlőtlenségek.6. tétel. Legyenek 1 ≤ p,q ≤ +∞ konjugált kitevők: p −1 + q −1 = 1.1 o (Young-egyenlőtlenség) Ha a,b ≥ 0 és a p,q kitevők végesek, akkorab ≤ app + bqq .2 o (Hölder-egyenlőtlenség 1 ) Ha f ∈ L p és g ∈ L q , akkor fg ∈ L 1 és∫|fg|dµ = ‖fg‖ 1 ≤ ‖f‖ p · ‖g‖ q .X(A p = q = 2 esetben ez a Cauchy–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség.)3 o (Minkowski-egyenlőtlenség) Ha f,g ∈ L p akkor f + g ∈ L p és‖f + g‖ p ≤ ‖f‖ p + ‖g‖ p . (2.6)Bizonyítás. 1 o A Young-egyenlőtlenség. Átrendezés után 0 ≤ app − ab + bq q adódik.Rögzített b > 0 esetén (ha b = 0, akkor az állítás nyilvánvaló) tekintsük aϕ(x) := xpp− xb +bqq(x ≥ 0)függvényt. A ϕ függvény abszolút szélsőrték-helyeit keressük. Ehhez ϕ-t deriválvakapjuk, hogyϕ ′ (x) = x p−1 − b = 0 ⇐⇒ x = b 1p−1(p ≠ 1),1 Otto Hölder eredetileg a számsorokra vonatkozó egyenlőtlenséget bizonyította be; integrálokraaz egyenlőtlenséget először Riesz Frigyes igazolta.

48 2. Térstruktúrákϕ ′′ (x) > 0, ha x > 0, következésképpen ϕ szigorúan csökkenő a ( 0,b 1/(p−1)) ésszigorúan növő a ( b 1/(p−1) , +∞ ) intervallumon, a b 1/(p−1 pontban tehát abszolútminimuma van. Ennek értékeϕ(b 1p−1)= 1 p b pp−1 − b1+ 1p−1 +b q= 1 (p bq − b q + bq 1q = bq p + 1 )q= 0q()1+ 1 = 1 ⇒ q = pp q p−1− b qezért ϕ(x) ≥ 0 minden x ≥ 0, tehát x = a esetén is, azazϕ(a) = app− ab +bqq ≥ 0,és ez éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség.2 o A Hölder-egyenlőtlenség igazolása. A p = 1,q = +∞ esetben (és ezzel együtta p = +∞,q = 1 esetben is a bizonyítás egyszerű:|f(x)g(x)| ≤ |f(x)| · ‖g‖ ∞µ-m.m.,tehát∫‖fg‖ 1 =Xfg dµ ≤( )|f|dµ · ‖g‖ ∞ = ‖f‖ 1 · ‖g‖ ∞ .tekintsük most az 1 < p < +∞ esetet (ekkor egyben 1 < q < +∞). Ha ‖f‖ p és‖g‖ q közül csak egyik is 0-val egyenlő, akkor fg = 0 µ-m.m., s így az integrálja is 0,az állítás tehát triviálisan teljesül. Feltehetjük, hogy ‖f‖ p és ‖g‖ q mindegyike 0-tólkülönböző. Legyena := |f(x)|‖f‖ p(‖f‖ p ≠ 0), b := |g(x)|‖g‖ q(‖g‖ q ≠ 0).Írjuk fel a Young-egyenlőtlenséget ezekra az a,b számokra:|f(x) · g(x)|≤ 1 ‖f‖ p · ‖g‖ q p · |f(x)|p‖f‖ p + 1p q · |g(x)|q‖g‖ q q(µ-m.m x ∈ X).Az integrál monotonitását felhasználva kapjuk, hogy:∫1· |fg|dµ ≤ 1 ∫‖f‖ p · ‖g‖ q p · 1‖f‖ p · |f| p dµ+ 1p q · 1‖g‖ q qXX∫·X|g| q dµ = 1 p + 1 = 1, (2.7)q

2.4. A L p és a l p terek 49ugyanis ∫ |f| p dµ = ‖f‖ p p, valamint ∫ |g| q dµ = ‖g‖ q q. A (2.7) egyenletőtlenségetXX‖f‖ p·‖g‖ q -val beszorozva ∫ |f ·g|dµ ≤ ‖f‖ p·‖g‖ q adódik, és ez éppen a bizonyítandóXegyenlőtlenség.3 o A Minkowski-egyenlőtlenség igazolása. A p = 1 és p = +∞ esetek nyilvánvalók,ekkor ugyanis arról van szó, hogy két integrálható függvény összege isintegrálható és∫ ∫ ∫|f + g|dµ ≤ |f|dµ + |g|dµ,XXilletve hogy két lényegében korlátos mérhető függvény összege is ilyen, és |f + g| ≤|f| + |g| miattX‖f + g| ∞ ≤ ‖f‖ ∞ + ‖g‖ ∞is teljesül.Marad tehát az 1 < p < +∞ eset. Először azt mutatjuk meg, hogy f,g ∈ L pesetén f + g ∈ L p . f és g mérhetők lévén f + g, következésképpen |f + g| p ismérhető. Ez a függvény azonban integrálható is, mert van integrálható majoránsa.Ez következik az|f + g| p ≤ ( |f| + |g| ) p≤ 2p−1 ( |f| p + |g| p)egyenlőtlenségből, amit a h(x) := x p (x ≥ 0) függvény konvexitását felhasználvalehet bebizonyítani. (A h függvény konvex, mert h ′′ (x) = p(p − 1)x p−2 > 0, hax > 0, ui. a feltétel szerint p > 1. A konvexitás definíciója szerinth(α · a + (1 − α) · b) ≤ αh(a) + (1 − α) · h(b).Alkalmazzuk ezt az α := 1/2, az a := |f| és a b := |g| szereposztással.) Így f+g ∈ Lpvalóban teljesül.Legyen p konjugált kitevője q, azaz 1 + 1 = 1. Mivel (p − 1)q = p, ezért ebbőlp qkövetkezik, hogy |f + g| p−1 ∈ L q és∥∥|f + g| p−1∥ ( ∫ ) 1/q∥q= |f + g| p = ‖f + g‖p/qp .XAlkalmazzuk a Hölder-egyenlőtlenséget az L p -be tartozó |f|, |g| és az L q -ba tartozó

50 2. Térstruktúrák|f + g| p−1 függvényekre:∫∫‖f + g‖ p p = |f + g| p−1 · |f + g|dµ ≤∫|f + g| p−1 · |f|dµ +|f + g| p−1 · |g|µ ≤X≤ ∥ ∥ |f + g| p−1 ∥ ∥q · ‖f‖ p + ∥ ∥ |f + g| p−1 ∥ ∥q · ‖g‖ p ≤≤ ∥ ∥ |f + g| p−1 ∥ ∥q · (‖f‖ p + ‖g‖ p ) == (‖f‖ p + ‖g‖ p ) · ‖f + g‖ p/qp .XHa ‖f + g‖ p > 0, akkor az utolsó tényezővel át lehet osztani, és mivel p,q konjugáltkitevők, ezértp − p (q = p 1 − 1 )= p 1 q p = 1,kapjuk a kívánt (2.6) egyenlőtlenséget. Az ‖f + g‖ = 0 esetben (2.6) nyilvávalóanszintén teljesül.Ezzel a Minkowski-egyenlőtlenséget minden p ∈ [1, +∞] kitevő esetére bebizonyítottuk.7. tétel. Legyen ( X, Ω,µ ) tetszőleges mértéktér és 1 ≤ p ≤ +∞. Ekkor L p :=L p( X, Ω,µ ) a szokásos műveletekkel lineáris tér R felett. AzX( ∫‖f‖ p := ‖f‖ L p : =X|f| p dµ) 1/p,ha 1 ≤ p < +∞,(f ∈ Lp )‖f‖ ∞ := ‖f‖ L ∞ : = inf { c ≥ 0 ∣ ∣ |f| ≤ c µ-m.m. az X-en } ,függvény norma a L p lineáris téren, vagyis ( L p , ‖ · ‖ p)normált tér.Példák L p (X, Ω,µ) terekre.• Legyen n ∈ N és (X, Ω,µ) az R n -beli Legesgue-féle mértéktér, vagyis X ⊂ R negy nyílt halmaz, Ω az X Lebesgue-mérhető halmazainak a σ-algebrája és µ : Ω → Ra Lebesgue-mérték. L p elemei tehát n változós valós értékű függvények, az integrálpedig a többszörös integrál általánosítása.• Legyen (X, Ω,µ) := (N, P(N),µ), ahol µ a P(N) hatványhalmazon értelmezettelemszám-mérték (vagyis µ({n}) = 1 minden n ∈ N számra). Ekkor bármely1 ≤ p < +∞ esetén L p (N, P(N),µ) elemei olyan x = (x n ) valós sorozatok, amelyekre⎛ ⎞1/p∫( +∞) 1/p∑‖x‖ L p = ⎝ |x| p dµ ⎠ = |x k | p < +∞,Nk=1

2.4. A L p és a l p terek 51tehát ez a speciális eset a korábban már bevezetett ( l p , ‖ · ‖ p)térnek felel meg.Ha p = +∞, akkor L ∞( N, P(N), µ ) elemei a korlátos valós sorozatok:L ∞( N, P(N), µ ) = { (x n ) : N → R ∣ sup |x k | < +∞ } .kMivel ‖x‖ L ∞ = sup k |x k |, ezért a L ∞( N, P(N), µ ) tér is a korábban már bevezetett(l ∞ , ‖ · ‖ ∞)térrel egyezik meg. Ezekben az esetekben az A ⊂ Ω = P(N) halmaznyilván akkor és csak akkor nullamértékű, ha A = ∅. Ezért a L p -t (azaz a l p -t)alkotó ekvivalenciosztályok egyeleműek.• A L p w(I) függvényterek. Legyen I ⊂ R nyílt (nem feltétlenül korlátos)intervallum, w : I → R pedig a szokásos Lebesgue-mértékre vonatkozólag mérhető,m.m. nemnegatív függvény. Tegyük fel, hogy w integrálható I minden kompaktrészintervallumán, és jelöljük P-vel azon korlátos intervallumok félgyűrűjét, amelyneka lezárása is I-ben van. A µ(J) := ∫ w(t)dt képlet véges mértéket definiálJP-n. Tekintsük a hozzátartozó integrálelméletet, és 1 ≤ p ≤ +∞ esetén jelöljükL p w(I)-vel a megfelelő L p tereket. A w = 1 esetben visszakapjuk a szokásos L p (I)tereket.Megjegyzés. A 7. tételben lényeges a p ≥ 1 feltétel, ui. a 0 < p < 1 eseteknekmegfelelő L p terekben a (2.3) kifejezésre nem teljesül a normára megköveteltháromszög-egyenlőtlenség. Legyen ui. (X, Ω,µ) a (0, 1) intervallumra vonatkozószokásos Lebesgue-féle mértéktér, és tekintsük az{{1, ha 0 < x < 1 0, ha 0 < x < 1 22f(x) :=0, ha 1 ≤ x < 1, g(x) :=1, ha 1 ≤ x < 1.2 2függvényeket. Ekkor minden 0 < p < 1 esetén‖f + g‖ p = 1, ‖f‖ p = ‖g‖ p = ( 12) 1/p⇒ ‖f‖ p + ‖g‖ p < 1,ezért a háromszög-egyenlőtlenség ezekre a függvényekre nem teljesül.2.4.4. Kapcsolat a L p terek közöttÉrdemes megjegyezni, hogy véges µ mérték esetén a L p terek L 1 -től kezdve ”egymásbavannak skatulyázva”.8. tétel. Tegyük fel, hogy (X, Ω,µ) véges mértéktér (vagyis µ(X) < +∞). Ekkorminden 1 ≤ p < q ≤ +∞ esetén L q ⊂ L p .

52 2. TérstruktúrákBizonyítás. A Hölder-egyenlőtlenséget alkalmazzuk a˜p := q pés ˜q := qq − pkonjugált kitevőkkel a következő módon (1 jelöli az X-en mindenütt 1-et felvevőkonstans függvényt):‖f‖ p p = ∥ |f| p · 1 ∥ 1≤ ∥ |f| p∥ ( ∫· ∥˜p‖1‖˜q =X= ∥ ∥ f‖ p q · (µ(X) )1˜q .(|f| p ) q p dµ) pq( ∫·X)11˜q ˜qdµMivel µ véges mérték (azaz µ(X) < +∞) és f ∈ L q (vagyis ‖f‖ q < +∞), ezért afenti egyenlőtlenségből‖f‖ p ≤ c ‖f‖ q < +∞adódik, ahol c := ( µ(X) ) 1/p−1/q< +∞. Ez azt jelenti, hogy minden f ∈ L q eseténf ∈ L p is teljesül. Az L q ⊂ L p tartalmazás tehát valóban igaz. Megjegyzések. 1 o Egyszerűen megmutatható, hogy (például) a L p (0, 1) terekszigorúan egymásba vannak skatulyázva. Valóban, ha f α (x) := 1 (x ∈ (0, 1)),x αakkorf α ∈ L p (0, 1) ⇐⇒ α < 1,pezértf α ∈ L p \ L q , ha p < 1 α < q,tehát tetszőleges p < q esetén L p \ L q ≠ ∅.2 o Az előbbi tételben lényeges a mérték végességére tett feltétel.2.4.5. Normakonvergencia. A L p terek teljességeAz L p tereken definiált normával függvénysorozat normakonvergenciáját lehet(természetes módon) értelmezni.Definíció. Legyen 1 ≤ p ≤ +∞. Azt mondjuk, hogy az (f n ) ⊂ L p függvénysorozataz L p tér normájában konvergens, ha=∃ f ∈ L p :lim ‖f n − f‖ p = 0.n→∞

2.4. A L p és a l p terek 53Nyilván L p -beli sorozatok Cauchy-tulajdonsága is értelmezhető:Definíció. Legyen 1 ≤ p ≤ +∞. Az (f n ) ⊂ L P függvénysorozatot Cauchysorozatnaknevezzük, ha∀ ε > 0-hoz ∃ N ∈ N : ∀n,m ≥ N-re ‖f n − f m ‖ p < ε.Az L p terek egyik legfontosabb tulajdonsága az, hogy R-hez hasonlóan itt is igaza Cauchy-féle konvergenciakritérium, azaz függvénysorozat (norma)konvergenciájaekvivalens a függvénysorozat Cauchy-tulajdonságával.9. tétel (Riesz–Fischer-tétel 2 ). Legyen (X, Ω,µ) egy tetszőleges mértéktér. Ekkorminden 1 ≤ p ≤ +∞ kitevő mellett a ( L p , ‖ · ‖ p)normált tér teljes, azaz Banachtér.Ez azt jelenti, hogy minden L p -beli (f n ) Cauchy-sorozat az L p tér normájábankonvergens, vagyis létezik olyan f ∈ L p függvény, hogylim ‖f − f n‖ p = 0.n→+∞Bizonyítás. Az állítás bizonyításának Riesz Frigyes-féle alapgondolata a következő:Az L p tér tetszőleges (f n ) Cauchy-sorozatából kiválasztható olyan ( f nk)részsorozat, amelyik az X-en µ-m.m. (pontonként) konvergál egy f ∈ L pfüggvényhez.Ezt felhasználva már viszonylag egyszerűen meg lehet mutatni, hogy az egész (f n )sorozat ehhez az f függvényhez tart az L p tér normájában.1. Legyen először 1 ≤ p < +∞, és vegyünk egy tetszőleges (f n ) Cauchy-sorozatotaz L p térből, azaz tegyük fel, hogy∀ε > 0-hoz ∃N ∈ N : ∀n,m ≥ N-re ‖f n − f m ‖ p < ε. (2.8)Ekkor kiválasztható egy n 1 < n 2 < · · · indexsorozat úgy, hogy‖f nk+1 − f nk ‖ p < 1 2 k (k = 1, 2,...).[Valóban, (2.8) miatt van olyan n 1 index, hogy ‖f m −f n ‖ p < 1 2 minden m,n ≥ n 1-re;vegyük ezután n 2 > n 1 -et úgy, hogy ‖f m − f n ‖ p < 1 2 2 teljesüljön minden m,n ≥ n 2esetén, s.í.t]2 Riesz Frigyes és a német E. Fischer egymástól függetlenül találták 1907-ben; mindketten apárizsi akadémia Comptes Rendus-jében közölték, Riesz két hónappal előbb, mint Fischer.

54 2. Térstruktúrák(a) Megmutatjuk, hogy az így kiválasztott (f nk ) részsorozat az X-en µ-m.m.konvergál egy f : X → R függvényhez. Legyeng K :=K∑ ∣ ∣∣f nk+1 − f nk és g := lim g K =K→+∞k=1+∞∑k=1∣ ∣∣f nk+1 − f nk . (2.9)(Mivel a ( g K)függvénysorozat monoton növekedő, ezért g valóban”jól definiált”X → R típusú függvény.) Világos, hogy minden K természetes számra g K ∈ L p(vagyis g p k ∈ L1 ) és a normára vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség miatt∥ ∥ ( ∫∥g ∥p K =X) 1/pg p K dµ ∑ K∥ ∥≤ ∥f nk+1 − f ∥p nk ≤k=1K∑k=112 k ≤ 1,továbbá g p K ր gp (K → +∞) pontonként az X halmazon. A Beppo Levi-tételtalkalmazva kapjuk, hogy∫ ∫∫(g p dµ = lim gpK)µ = lim g p Kdµ ≤ 1,K→+∞XXK→+∞Xés ez azt jelenti, hogy g p Lebesgue-integrálható (g p ∈ L 1 , illetve g ∈ L p ), következésképpeng p , tehát g is véges értéket vesz fel µ-m.m. az X-en. Ezt viszont úgy isfogalmazhatjuk, hogy a∑( )fnk+1 − f nkk=1függvénysor az X-en µ-m.m. abszolút konvergens. Az abszolút konvergencia magaután vonja a konvergenciát is. Legyenf := f n1 ++∞∑k=1(fnk+1 − f nk).(Ez a függvény X-en µ-m.m. egyértelműen van definiálva.) f tehát azK−1∑( )s K := f n1 + fnk+1 − f nk = fnK (K ∈ N)k=1függvénysorozat µ-m.m. határfüggvénye. Igazoltuk tehát azt, hogy a kiválasztott(fnk)részsorozat µ-m.m. konvergens.

2.4. A L p és a l p terek 55(b) Most megmutatjuk, hogy az (f nK ) sorozat az L p tér normájában is tart azf függvényhez. Valóban, a fentiek szerint|f − s K | = |f − f nK | ≤+∞∑k=K∣ ∣∣f nk+1 − f nk ≤ g(K ∈ N).Ebből ( és g ∈ L p -ből következik, hogy f − f nK ∈ L p , és ezért f ∈ L p is teljesül. Az|f −fnK | p ,K ∈ N ) függvénysorozatra a Lebesgue-féle konvergenciatételt alkalmazva∥ ∥∥f − f ∥p nK → 0 (K → +∞) (2.10)adódik.(c) Végül az‖f − f n ‖ p ≤ ‖f − f nK ‖ p + ‖f nK − f n ‖ pegyenlőtlenségből következik, hogy az egész (f n ) sorozat is f-hez tart az L p -normában.Valóban, az utolsó összeg első tagja (2.10) miatt, a második tagja pedig (f n ) Cauchytulajdonságamiatt tart 0-hoz, ha n,n K → +∞.A Riesz–Fischer-tételt az 1 ≤ p < +∞ esetben tehát bebizonyítottuk.2. Ha p = +∞, akkor a fenti bizonyításban csak alimK‖f − f nK ‖ p = 0reláció igazolása igényel némi módosítást, ti. ekkor a Lebesgue-tétel nem alkalmazható.Azonban‖f nk+1 − f nk ‖ ∞ < 12 k (k ∈ N),amiből egyszerűen kapjuk a‖f nk+m − f nk ‖ ∞ < 12 k−1 (k ∈ N),becslést. Innen viszont |f − f nk | < 12 k−1 µ-m.m. (k ∈ N) adódik, azaz‖f − f nk ‖ ∞ < 12 k −1(k ∈ N),következésképpen lim ‖f − f nk ‖ ∞ = 0. kMegjegyzés. A p = +∞ határesetben az L ∞ tér teljességét a ( )C[a,b], ‖ · ‖ ∞ térteljességének bizonyításánál követett módon is beláthatjuk: Legyen (f n ) egy L ∞ -beli Cauchy-sorozat. Adott k természetes számhoz tehát létezik olyan N k index,hogy‖f m − f n ‖ L ∞ ≤ 1 k∀m,n ≥ N k -ra.

56 2. TérstruktúrákA ‖ · ‖ L ∞hogynorma definíciója alapján létezik olyan E mn ⊂ X µ-nullamértékű halmaz,|f m (x) − f n (x)| ≤ 1 k(x ∈ X \ Emn , m,n ≥ N k).LegyenEkkor µ(E k ) = 0 és|f m (x) − f n (x)| ≤ 1 k+∞⋃E k := E mn .m,n=N k∀x ∈ X \ E k -ra és ∀m,n ≥ N k -ra. (2.11)Világos, hogy az E := ∪ k E k ⊂ X halmaz is µ-nullamértékű. A fentiek alapján tehátminden x ∈ X \ E pontban ( f n (x) ) egy R-beli Cauchy-sorozat; jelöljük f(x)-szela határértékét. A (2.11) egyenlőtlenségben az m → +∞ határátmenetet elvégezvekapjuk, hogy|f(x) − f n (x)| ≤ 1 k∀x ∈ X \ E-re és ∀n ≥ N k -ra,amiből következik, hogy f ∈ L ∞ és ‖f − f n ‖ L ∞ ≤ 1 minden n ≥ N k k indexre, és ezazt jelenti, hogy ‖f − f n ‖ L ∞ → 0, ha n → +∞. Az ( L ∞ , ‖ · ‖ L ∞)normált tér tehátvalóban teljes.2.5. Euklideszi terek és Hilbert-terekMotiváció: R 3 -ban a skaláris szorzat. Skaláris szorzattal fejezhető ki vektorokszöge, merőlegessége, vetülete, távolsága, és maga a norma, a vektor abszolút értékeis. Ezért azok a lineáris terek, amelyekben R 3 példájára a skaláris szorzat vanértelmezve, várhatóan sokkal több hasonlóságot mutatnak a közönséges háromdimenziósvektortérrel, mint azok, amelyekben nincs skaláris szorzat.Definíció. Az ( X, 〈·, ·〉 ) rendezett párt euklideszi térnek nevezzük, ha1 o X lineáris tér a K számtest felett;2 o 〈·, ·〉 pedig olyan 〈·, ·〉 : X × X → K függvény, amelyik tetszőleges x,y,z ∈ Xelemre és λ 1 ,λ 2 ∈ K számra eleget tesz az alábbi követelményeknek:(i) 〈x,y〉 = 〈y,x〉;(ii) 〈λ 1 x + λ 2 y,z〉 = λ 1 〈x,z〉 + λ 2 〈y,z〉;(iii) 〈x,x〉 ≥ 0;(iv) 〈x,x〉 = 0 ⇐⇒ x = θ.

2.5. Euklideszi terek és Hilbert-terek 57A 〈·, ·〉 leképezést skaláris szorzatnak nevezzük.Ha K = R, akkor valós, ha K = C, akkor pedig komplex euklideszi térrőlbeszélünk. Ha a skaláris szorzat a szövegkörnyezetből nyilvánvaló, akkor egyszerűenX-et írunk ( X, 〈·, ·〉 ) helyett. X elemeit vektoroknak is nevezzük.Minden euklideszi térnek van természetes normája:1. tétel. Az ( X, 〈·, ·〉 ) euklideszi téren az‖x‖ := √ 〈x,x〉 (x ∈ X)függvény norma az X lineáris téren, tehát minden euklideszi tér egyúttal normált(tehát metrikus) tér is. Ezt a normát a skaláris szorzat által indukált normánaknevezzük.Minden X euklideszi térben igaz a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség:és a paralelogramma-azonosság:|〈x,y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖ (x,y ∈ X)‖x + y‖ 2 + ‖x − y‖ 2 = 2‖x‖ 2 + 2‖y‖ 2(x,y ∈ X).2. tétel (Neumann János tétele). Az ( X, ‖ · ‖ ) normált térben a norma akkorés csak akkor származtatható skaláris szorzatból (azaz X euklideszi tér), ha mindenx,y ∈ X esetén igaz azún. paralelogramma-egyenlőség.‖x + y‖ 2 + ‖x − y‖ 2 = 2 ( ‖x‖ 2 + ‖y‖ 2)3. tétel. Az(a) R n (n ∈ N),(b) l p ,(c) C[0, 1],(d) L[0, 1]tereken értelmezett ‖ · ‖ p (1 ≤ p ≤ +∞) norma akkor és csak akkor elégíti ki aparalelogramma-egyenlőséget, ha p = 2.Definíció. Az ( X, 〈·, ·〉 ) euklideszi teret Hilbert-térnek nevezzük, ha a skalárisszorzat által indukált normával nyert normált tér teljes.

58 2. TérstruktúrákPéldák Hilbert-terekreaz• Az R n euklideszi tér. A szokásos műveletekkel ellátott R n lineáris téren〈x,y〉 :=n∑ (x k y k x = (x1 ,...,x n ),y = (y 1 ,...,y n ) ∈ R n)k=1függvény skaláris szorzat. Az indukált‖x‖ := √ 〈x,x〉 (x ∈ R n )normával R n teljes, tehát ( R n , 〈·, ·〉 ) egy véges dimenziós Hilbert-tér.• A l 2 -tér. Azl 2 := { (x n ) : N → R ∣ ∣+∞∑n=1|x n | 2 < +∞ }halmaz a sorozatok közötti szokásos műveletekkel egy R feletti lineáris tér, ezen az〈x,y〉 :=+∞∑n=1x n y n(x = (xn ),y = (y n ) ∈ l 2)függvény skaláris szorzat. Az indukált norma ebben az esetben‖x‖ = √ ( +∞) 1/2∑〈x,x〉 = |x n | 2 = ‖x‖ l 2 (x ∈ l 2 ).n=1l 2 ezzel a normával teljes, ezért ( l 2 , 〈·, ·〉 ) Hilbert-tér.• A L 2 -terek. Legyen (X, Ω,µ) egy mértéktér. Tekintsük az{∫ }L 2 (X, Ω,µ) := f : X → R ∣ |f| 2 < +∞függvényteret, és legyenX√ ∫‖f‖ L 2 := |f| 2 dµX(f ∈ L 2 (X, Ω,µ) ) , (2.12)ahol nem teszünk különbséget két függvény között, ha azok µ-m.m. egyenlők.Emlékeztetünk a Riesz–Fischer-tételre, amely szerint L 2 (X, Ω,µ) ezzel a normávalBanach-tér.

2.5. Euklideszi terek és Hilbert-terek 59Egyszerűen igazolható, hogy az∫〈f,g〉 := fg dµX(f,g ∈ L 2 (X, Ω,µ) )egyenlőséggel értelmezett függvény kielégíti a skaláris szorzat követelményeit, emellettebből a skaláris szorzatból származtatott‖f‖ := √ (〈f,f〉 f ∈ L 2 (X, Ω,µ) )norma megegyezik a tér (2.12) alatti normájával, ezért ( L 2 (X, Ω,µ), 〈·, ·〉 ) Hilberttér.• Az L 2 (I)-tér. Legyen I ⊂ R egy nemdegenerált R-beli (korlátos vagy nemkorlátos) intervallum, és tekintsük ezen a Lebesgue-féle mértékteret. L 2 (I)-velfogjuk jelölni az előző példa speciális eseteként adódó Hilbert-teret.Megjegyzés. Legyen I ⊂ R egy nemdegenerált korlátos intervallum. JelöljeC(I) az I kompakt intervallumon értelmezett valós értékű folytonos függvényekszokásos” lineáris terét. Azt már tudjuk, hogy C(I) euklideszi tér az”∫( )〈f,g〉 := f(x)g(x)dx f,g ∈ C(I)Iskaláris szorzatra nézve, sőt azt is láttuk, hogy ez a tér nem teljes, tehát nem Hilberttér.Megmutatható, hogy a C(I) halmazhoz ”alkalmas” függvényeket hozzávéve eza tér teljessé tehető, vagyis alkalmas Hilbert-tér sűrű alterének tekinthető. Bebizonyítható,hogy a C(I) teljessé tételével kapott Hilbert-tér éppen az L 2 (I)Hilbert-tér lesz.• Az L 2 w(I) Hilbert-terek. Tegyük fel, hogy I egy R-beli nyílt intervallum ésw : I → R pedig a szokásos Lebesgue-mértékre vonatkozólag mérhető, m.m. nemnegatívfüggvény. Tegyük fel, hogy w integrálható I minden kompakt részintervallumán,és jelöljük I-vel azon korlátos intervallumok félgyűrűjét, amelyek lezárásais I-ben van. A µ(J) := ∫ w(t)dt képlet véges mértéket definiál I-n. Tekintsük aJhozzá tartozó integrálelméletet, és jelöljük L 2 w(I)-vel a megfelelő L 2 teret. A w ≡ 1esetben visszakapjuk az L 2 (I) teret.Nem nehéz igazolni azt, hogy L 2 w(I) az∫(〈f,g〉 := f(t)g(t)w(t)dt f,g ∈ L2w (I) )Iskaláris szorzattal szintén Hilbert-tér. A fenti tulajdonságú w függvényt súlyfüggvénynekszokás nevezni.

60 2. TérstruktúrákEgy Hilbert-térben alapvető fogalom az ortogonalitás. A H-beli x és y vektorokegymásra ortogonálisak (merőlegesek) — jelölésben x ⊥y —, ha 〈x,y〉 = 0, azaza két vektor skaláris szorzata nulla. Azt mondjuk, hogy az x ∈ H vektor ortogonálisaz M ⊂ H halmazra — jelölésben x ⊥M —, ha x ortogonális az M minden elemére.Végül a H Hilbert-tér M 1 és M 2 részhalmazát egymásra ortogonálisnak nevezzük —jelölésben M 1 ⊥M 2 —, ha M 1 bármely eleme ortogonális M 2 minden elemére. Nyilvánvaló,hogy a θ nullvektor ortogonális H minden elemére és egyúttal H mindenrészhalmazára.

3. A legjobb approximáció problémaköreEbben a fejezetben az approximációelmélet néhány alapfeladatával foglalkozunk.3.1. A probléma felvetése és absztrakt negfogalmazásaAz elemi geometriában láttuk, hogy milyen fontos szerepet játszik pont és egyenestávolságának a fogalma. Az x 0 pontnak és az M egyenesnek a távolságán a pontbólaz egyenesre állított merőleges szakasz d hosszát értettük, és ezt a definíciót ekvivalensmódon átfogalmaztuk:dx 0̺2(x 0 ,y)MVegyük x 0 -nak és az egyenes tetszőleges ypontjának a ̺2(x 0 ,y)-nal jelölt távolságát.Ekkor d ezek közül a lehető legkisebb:d = min {̺2(x 0 ,y) | y ∈ M} = ̺2(x 0 ,y 0 ).Ugyanígy értelmeztük pont és sík távolságát. Nyilvánvaló, hogy ez a fogalomtetszőleges metrikus térben is bevezethető. Motivációként gondoljunk még Csebisevklasszikus tételére. A ( C[a,b],̺∞)metrikus térben hasonló módon értelmezhetjükegy f ∈ C[a,b] függvénynek P n -től, vagyis a legfeljebb n-edfokú polinomok halmazátólvett távolságát. Csebisev tétele azt állítja, hogy P n -ben pontosan egy f-hezlegközelebbi polinom található. Már ez az egyetlen példa is elég indok arra, hogy aszóban forgó fogalmat érdemes (első közelítésben metrikus térre) általánosítani.Definíció. Az (X,̺) metrikus térben az x 0 pont és a nemüres M ⊂ X halmaztávolságát így értelmezzük:d(x 0 ,M) := inf {̺(x 0 ,y) ∣ ∣ y ∈ M } .Ezt a számot az x 0 pont M-beli elemekkel való legjobb közelítésének isnevezzük.Lássuk először a definíció néhány egyszerű következményét. Tetszőleges x 0 ∈ Xpont és nemüres M ⊂ X halmaz esetén a következő állítások érvényesek.• A szóban forgó infimum létezik és d(x 0 ,M) ≥ 0.• Van olyan M-beli (y n ) sorozat, amelyre ̺(x 0 ,y n ) → d(x 0 ,M) (n → +∞).Valóban, az infimum definíciója alapján minden n ∈ N esetén létezik olyan y n ∈ M,61

62 3. A legjobb approximáció problémakörehogyd(x 0 ,M) ≤ ̺(x 0 ,y n ) ≤ d(x 0 ,M) + 1 n .Az (y n ) ⊂ M sorozatot az x 0 pont egy minimalizáló sorozatának nevezzük.• A d(x 0 ,M) = 0 speciális esetre az alábbi ekvivalenciák érvényesek:d(x 0 ,M) = 0 ⇐⇒ ∀ε > 0-hoz ∃y ∈ M : ̺(x 0 ,y) < ε;⇐⇒ x 0 ∈ M;⇐⇒∃ (y n ) ⊂ M : ̺(x 0 ,y n ) → 0 (n → +∞).A d(x 0 ,M) = 0 egyenlőség tehát azt jelenti, hogy az x 0 pont tetszőleges pontossággalmegközelíthető (approximálható) M-beli elemekkel.• A {̺(x 0 ,y) | y ∈ M} ⊂ M számhalmaznak általában nincs legkisebb eleme.Ha van, akkor a halmaznak van minimuma, és ez az infimummal egyenlő. Ekkortehát létezik olyan y 0 ∈ M, amelyre ad(x 0 ,M) = ̺(x 0 ,y 0 ) (= min{̺(x 0 ,y) | y ∈ M})egyenlőség teljesül. Ilyenkor azt is mondjuk, hogy a d(x 0 ,M) távolság y 0 -lal realizálódik.A változatosság kedvéért y 0 -ra is több elnevezést használunk. Azt fogjukmondani, hogy y 0— egy, az x 0 ponthoz legközelebbi M-beli elem,— minimális távolságra van x 0 -tól,— az x 0 pont egy minimalizáló eleme,— egy, az x 0 pontot legjobban megközelítő M-beli elem.A következő kérdéseket vetjük fel.1. A létezés problémája. Adott x 0 ∈ X és M ⊂ X esetén vajon létezik-ex 0 -at legjobban megközelítő M-beli y 0 elem? Milyen feltételek mellett igaz az, hogyminden x 0 ∈ X-hez van ilyen y 0 ?2. Az egyértelműség problémája. Ha x 0 -hoz létezik legjobban közelítőelem, akkor az milyen feltételek mellett lesz egyértelmű?3. A jellemzés problémája. Létezés és egyértelműség esetén hogyan lehetjellemezni a legjobban közelítő elemet.4. Az előállítás problémája. Ha az első két (három) kérdésre pozitív aválasz, akkor hogyan lehet a legjobban közelítő elemet explicit módon (pontosan)vagy numerikusan előállítani.5. Meg lehet-e határozni d(x 0 ,M)-et? Ha nem, akkor milyen ”jó” felső becsléstlehet erre megadni?

3.2. A legjobban közelítő elem létezése metrikus terekben 63Az approximációelmélet a fenti problémákra ad teljes vagy részleges választakkor, amikor különböző függvényosztályokban, különböző normált terekben levőfüggvényeket közelítünk M-beli elemekkel, ahol M bizonyos ”jól” kezelhető függvényekből(pl. algebrai vagy trigonometrikus polinomok, spline-függvények) állóhalmaz.A részletek ismertetése előtt lássunk néhány egyszerű példát.• A közönséges háromdimenziós térben (vagyis az ( R 3 ,̺2)metrikus térben)tetszőleges x 0 pont és M egyenes esetén pontosan egy x 0 -t legjobban megközelítőy 0 ∈ M pont létezik, és ezt a merőlegességgel lehet jellemezni.• Ha az ( R 2 ,̺2)metrikus térben M := k1 (0) az origó középpontú 1-sugarúnyílt körlap, x 0 pedig a (2, 0) koordinátájú pont, akkor M-ben nyilván nincs x 0 -hozlegközelebbi pont. Ha a zárt körlapot vesszük, akkor egyetlen x 0 -hoz legközelebbipont van.• Ha az ( R 2 ,̺∞)metrikus térben M := k1 (0) (azaz M az origó középpontú, atengelyekkel párhuzamos 2 egység oldalú zárt négyzet), x 0 pedig a (2, 0) koordinátájúpont, akkor M-ben végtelen sok x 0 -hoz legközelebbi pont van. (Melyek ezek?)• Csebisev tétele azt állítja, hogy az ( C[a,b],̺∞)metrikus térben minden f ∈C[a,b] függvény esetén P n -ben pontosan egy f-hez legközelebbi polinom található.A továbbiakban a felvetett problémák közül az csak első kettővel foglalkozunk.Az iménti példák azt mutatják, hogy pozitív válaszhoz egyrészt az X térre, másrésztpedig az M halmazra is kell kiegészítő feltételeket tenni.3.2. A legjobban közelítő elem létezése metrikus terekbenA legáltalánosabb térstruktúránkban, vagyis metrikus terekben kompakt részhalmazokesetén már biztosítható a legjobban közelítő elemnek a létezése.1. tétel. Az (X,̺) metrikus tér tetszőleges M ⊂ X kompakt részhalmaza eseténminden x 0 ∈ X ponthoz van legközelebbi M-beli y 0 pont, azaz∀x 0 ∈ X-hez∃y 0 ∈ M : ̺(x 0 ,y 0 ) = d(x 0 ,M).Bizonyítás. Legyen d := d(x 0 ,M) = inf{̺(x 0 ,y) | y ∈ M}, és vegyünk egy (z n )minimalizáló sorozatot, azaz tegyük fel, hogy(z n ) ⊂ M : ̺(x 0 ,z n ) → d, ha n → +∞.

64 3. A legjobb approximáció problémaköreMivel M kompakt, ezért (z n )-nek van olyan konvergens (z nk ) részsorozata, amelyiknekaz y 0 határértéke M-ben van. Megmutatjuk, hogy y 0 az x 0 ponthoz legközelebbiM-beli elem, azaz ̺(x 0 ,y 0 ) = d. Valóban, a háromszög-egyenlőtlenség miatt̺(x 0 ,y 0 ) ≤ ̺(x 0 ,z n ) + ̺(z n ,z 0 ).A bal oldal itt n-től független, a jobb oldal pedig n k → +∞ esetén d-hez tart,ezért ̺(x 0 ,y 0 ) ≤ d. Másrészt y 0 ∈ M, ezért a ̺(x 0 ,y 0 ) ≥ d egyenlőtlenség is igaz,következésképpen ̺(x 0 ,y 0 ) = d. Megjegyzés. A bizonyításban szereplő (z n ) sorozat bármely ∅ ̸= M ⊂ X halmazesetén korlátos. Valóban, van olyan n ∈ N, amellyel pl. ̺(x 0 ,z n ) ≤ d + 1 (n ≥ N)teljesül. Ezért azr := max {d + 1,̺(x 0 ,z 1 ),̺(x 0 ,z 2 ),...,̺(x 0 ,z N−1 )}jelöléssel ̺(x 0 ,z n ) ≤ r (n ∈ N), azaz (z n ) ⊂ k r (x 0 ). Így a bizonyításban az M kompaktságahelyett csak az M halmaz ún. kvázikompaktságát használtuk ki; tehát azt,hogy bármely korlátos (z n ) ⊂ M sorozatnak van M-ben konvergens részsorozata.Például ( R ,̺∞) n -ben (n ∈ N) minden nemüres zárt M halmaz kvázikompakt.3.3. Approximációs tételek normált terekbenMost valós (X, ‖ · ‖) normált terekben tanulmányozzuk a legjobban közelítő elemlétezésének és egyértelműségének a problémáját. Az x 0 ∈ X pontnak és a nemüresM ⊂ X halmaznak a távolsága ebben az esetbend(x 0 ,M) = inf {‖x 0 − y‖ | y ∈ M}.Az M halmazra vonatkozóan két esetet fogunk vizsgálni:• M véges dimenziós altér X-ben,• M ⊂ X konvex és zárt halmaz.3.3.1. Altértől vett távolságA létezés problémájaTegyük fel, hogy M az X normált (tehát speciálisan metrikus) tér egy altere. Ezáltalában nem kompakt, ezért az előző tételünk közvetlenül nem alkalmazható.Emlékezzünk viszont arra, hogy egy véges dimenziós térnek egy részhalmaza pontosanakkor kompakt, ha korlátos és zárt, és ilyen halmazokat könnyen ki tudunk

3.3. Approximációs tételek normált terekben 65jelölni. Ezeket az észrevételeket felhasználva megmutatjuk, hogy normált tér tetszőlegesvéges dimenziós alterében mindig van minimalizáló vektor.2. tétel (a legjobban közelítő elem létezése). Legyen M az (X, ‖ · ‖) normált térvéges dimenziós altere. Ekkor bármely x 0 ∈ X elemhez van hozzá legközelebbiM-beli y 0 vektor, azaz∀ x 0 ∈ X-hez ∃ y 0 ∈ M : ‖x 0 − y 0 ‖ = d(x 0 ,M).Bizonyítás. Vegyük az altér egy ξ ∈ M rögzített pontját, és jelöljük M ∗ -gal azony ∈ M vektorok halmazát, melyekre az ‖y − x 0 ‖ ≤ ‖x 0 − ξ‖ egyenlőtlenség teljesül:M ∗ := {y ∈ M | ‖y − x 0 ‖ ≤ ‖x 0 − ξ‖ } ⊂ M.Ekkor M ∗ a véges dimenziós M altér egy korlátos és zárt, következésképpen kompaktrészhalmaza. Az 1. tételből tehát következik az állítás. Az egyértelműség problémájaEz a létezés problémájánál már nehezebb. Érdemes megint egyszerű példákból kiindulni.Tekintsük a különböző normákkal ellátott R 2 síkot. Egyszerű észrevenni,hogy a norma megválasztásától függ a legközelebbi elem egyértelműsége.• Tekintsük az euklideszi normával ellátott síkot, azaz legyen X := R 2 és‖ · ‖ := ‖ · ‖ 2 . Vegyünk egy M ⊂ R 2 alteret, vagyis egy origón átmenő egyenest ésegy x 0 ∈ R 2 pontot. Az elemi geometriából tudjuk, hogy ekkor bármelyik x 0 ∈ R 2pont esetén az M egyenesen egyetlen olyan y 0 ∈ M pont van, amelyik legközelebbvan az x 0 -hoz.• Vegyük most a maximum-normával ellátott síkot (X := R 2 , ‖ · ‖ := ‖ · ‖ ∞ ),és tekintsük az x 0 := (0, 1) pontot, valamint az y = 0 egyenletű egyenest, vagyis azM := {(x 1 , 0) ∈ R 2 | x 1 ∈ R} ⊂ R 2alteret. Világos, hogy ekkor M-ben végtelen sok x 0 -hoz legközelebbi y 0 ∈ M pontvan.x 2x 1x 0 (0, 1)Ha y 0 := (y, 0) és |y| ≤ 1, akkor ‖x 0 −y 0 ‖ ∞ =1, tehát minden ilyen y 0 pontra igaz, hogy‖x 0 − y 0 ‖ = d(x 0 ,M) = 1.−1 y 0 M 1

66 3. A legjobb approximáció problémaköreEz a két egyszerű példa azt mutatja, hogy az egyértelműséghez a normára továbbifeltételt kell tennünk. A kérdés persze az, hogy a normának milyen tulajdonságánmúlik az egyértelműség. A válasz kereséséhez nézzük meg a fenti két esetben azegységgömböket!x 2x 1 −1x 2x 111−111−1−1Az első szembetűnő különbség az, hogy a második esetben az egységgömb-felülettartalmaz szakaszt, az első esetben pedig nem. Kiderült (és ezt hamarosan meg isfogjuk mutatni), hogy az egyértelműség az egységgömb-felületnek ezen geometriaitulajdonságán múlik. A részletek pontosítása előtt ennek a szemléletes fogalomnak ageometriától mentes” értelmezését kell megadnunk tetszőleges normált térre. Ezek”után elég természetes” a következő”Definíció. Az (X, ‖ · ‖) normált teret szigorúan konvexnek nevezzük akkor, haaz X-beli origó középpontú egységgömb-felület nem tartalmaz szakaszt, azaz ha‖x‖ = ‖y‖ =x + y∥ 2 ∥ = 1 =⇒ x = y.Érdekes az a (nem nyilvánvaló) tény, hogy ezt a geometriai tulajdonságot tisztánalgebrai úton is lehet jellemezni. Induljunk ki a normált terekben alapvető szerepetjátszó‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (3.1)háromszög-egyenlőtlenségből, és vessük fel azt a kérdést, hogy vajon mikor áll ittfenn az egyenlőség. Az világos, hogy tetszőleges normált térben az egyirányú vektorokra(x és y ilyenek, ha y = λx valamely λ ≥ 0 számra) (3.1)-ben egyenlőségvan. A fenti két példában könnyű ellenőrizni, hogy az euklideszi norma esetén (3.1)-ben csak az egyirányú vektorokra van egyenlőség, a maximum-normára ez azonbannem igaz (tekintsük például az egységgömb-felület valamelyik szakaszát). Ez aztjelenti, hogy tetszőleges normált térben a normától függ, hogy milyen vektorokraáll fenn az egyenlőség a háromszög-egyenlőtlenségben. Szigorúan normált térnekfogjuk nevezni a teret akkor, ha a háromszög-egyenlőtlenségben csak az egyirányú

68 3. A legjobb approximáció problémaköreegyenlőtlenség- (de valójában egyenlőség-) láncból következik. Az x és y szerepétfelcserélve ebből a minden 0 < ν ≤ 1-re igaz ‖νx + y‖ = ‖νx‖ + ‖y‖ egyenlőségetkapjuk, és ebből ν-vel való osztás után adódik (3.3) a µ ≥ 1 esetre is. A nevezetes normált tereinkre ebből a szempontból a következők érvényesek.Példák.• Az (R n , ‖ · ‖ p ) terek 1 < p < +∞ esetén szigorúan normáltak/konvexek, deha p = 1 és p = +∞, akkor nem azok.• Az (l p , ‖ · ‖ p ) terek 1 < p < +∞ esetén szigorúan normáltak/konvexek, deha p = 1 és p = +∞, akkor nem azok.• A (L p (I), ‖ · ‖ L p) (I ⊂ R nemelfajuló intervallum) terek 1 < p < +∞ eseténszigorúan normáltak/konvexek, de ha p = 1 és p = +∞, akkor nem azok.(A pozitív állítások a megfelelő Minkowski-egyenlőtlenségekből vezethetők le. Anegatív esetekben pedig viszonylag egyszerű ellenpéldákat lehet megadni.)• A (C[a,b], ‖ · ‖ ∞ ) normált tér nem szigorúan konvex/normált. Tekintsük ui.a következő függvényeket:x 2f11x 1gx 2x 1abVilágos, hogy ‖f + g‖ ∞ = ‖f‖ ∞ + ‖g‖ ∞ , de nincs olyan λ > 0 szám, hogy f = λg,ezért a tér nem szigorúan konvex.• Minden ( H, 〈·, ·〉 ) Hilbert-tér szigorúan normált/konvex.(egyszerűen bebizonyítható) állításokból következik: ha x,y ∈ H és| 〈x,y〉 | = ‖x‖ · ‖y‖ ⇐⇒ x = λy (λ ∈ R),‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ 〈x,y〉 = ‖x‖ · ‖y‖.aa+b2bEz az alábbiMost megmutatjuk, hogy szigorúan konvex/normált terekben tetszőleges pontotés bármelyik véges dimenziós alteret véve pontosan egy olyan altérbeli pont van,amelyik legközelebb van a kiválasztott ponthoz.4. tétel (a legjobban közelítő elem egyértelműsége). Legyen M egy véges dimenziósaltér az ( X, ‖ · ‖ ) szigorúan konvex/normált térben. Ekkor minden x 0 ∈ X ponthozlétezik pontosan egy, tőle minimális távolságra levő y 0 pont M-ben, azaz∀ x 0 ∈ X-hez∃ ! y 0 ∈ M : ‖x 0 − y 0 ‖ = d(x 0 ,M).

3.3. Approximációs tételek normált terekben 69Bizonyítás. Az y 0 pont létezése az 2. tételből következik.Az egyértelműség bizonyításához tegyük fel, hogy az y 0 és y ′ 0 M-beli elem mindegyikeminimalizáló vektor, azaz‖x 0 − y 0 ‖ = ‖x 0 − y ′ 0‖ = d(x 0 ,M) =: d. (3.4)Először azt mutatjuk meg, hogy ekkor az y 0 ,y 0 ′ pontokat összekötő szakasz felezőpontja,vagyis az az y 0+y 0′ pont is egy legjobban közelítő elem. A háromszögegyenlőtlenségalapján egyrészt∥ x 0 − y 0 + y 0′ 2 ∥ = ‖(x 0 − y 0 ) + (x 0 − y 0)‖′ ≤ ‖x 0 − y 0 ‖ + ‖x 0 − y 0‖′ = d.222Másrészt az M egy altér, ezért a felezőpont is hozzá tartozik M-hez, azaz y 0+y 0′ ∈ M.2∥Ekkor viszont d értelmezése miatt ∥x 0 − y 0+y 0′ ∥ ≥ d, tehát2∥ x 0 − y 0 + y 0′ 2 ∥ = d. (3.5)Ha d = 0, akkor nyilván x 0 = y 0 = y 0. ′ Ha d > 0, akkor (3.4) és (3.5) alapjánkapjuk, hogy∥ ∥ x 0 − y 0∥∥∥ ∥ d ∥ = x 0 − y 0′ ∥∥∥∥ d ∥ = x 0 − y 0+y 0′ 2d ∥ = 1.Mivel az X tér szigorúan konvex, ezért ebből az következik, hogy y 0 = y ′ 0, és ez azállítás bizonyítását jelenti. 3.3.2. Zárt és konvex halmazoktól vett távolságMost nézzük a legjobb approximáció problémáját abban az esetben, ha M nemaltere az X normált térnek. Nem túl nehéz meggondolni, hogy a minimalizáló elemlétezéséhez és egyértelműségéhez M-nek legalább zártnak és konvexnek kell lenni.Az is várható, hogy az egyértelműséghez a normára is kell tenni valamilyen feltételt.Ezt nem egyszerű megtalálni. A végeredmény:Definíció. Azt mondjuk, hogy az (X, ‖ · ‖) normált tér egyenletesen konvex, ha∀ε > 0-hoz ∃δ > 0 : ‖x‖ = ‖y‖ = 1 ésx + y∥ 2 ∥ > 1 − δ =⇒ ‖x − y‖ < ε.

70 3. A legjobb approximáció problémaköreAz egyenletes konvexitás az egységgömb-felület egy geometriai tulajdonságát fejeziki: ha azon olyan pontokat veszünk, amelyeket összekötő szakasz felezőpontjaközel van a felülethez, akkor a két pont közel van egymáshoz:egyenletesen konvexnem egyenletesen konvexMegjegyzés. Az egyenletes konvexitásnak egyfajta algebrai interpretációja is adható.Emlékeztetünk arra, hogy euklideszi terek fontos tulajdonsága a paralelogramma-azonosság:‖x + y‖ 2 + ‖x − y‖ 2 = 2‖x‖ 2 + 2‖y‖ 2 .Ez normált terekben általában nem igaz. Az egyenletes konvexitást felfoghatjuk úgyis, mint ennek az azonosságnak egy gyengített változatát.5. tétel (az egyenletes konvexitás és a szigorú konvexitás kapcsolata). Ha az(X, ‖ · ‖) normált tér egyenletesen konvex, akkor szigorúan konvex is.Ha az (X, ‖ · ‖) normált tér szigorúan konvex és véges dimenziós, akkor egyenletesenkonvex is.• Véges dimenzióban a két fogalom ekvivalens.• A tétel első felében levő állítás megfordítása nem igaz!• A korábbi szigorúan konvex példák mindegyike egyenletesen konvex is.Az alaptétel: Szőkefalvi-Nagy Béla, 1942.6. tétel. Legyen (X, ‖ · ‖) egyenletesen konvex Banach tér és M ⊂ X tetszőlegesnemüres konvex zárt halmaz. Ekkor minden x 0 ∈ X ponthoz létezik pontosan egy,tőle minimális távolságra lévő M-beli y 0 pont.3.3.3. Approximációs tételek konkrét függvényterekbenAlkalmazzuk most a legjobban közelítő elem létezésére és egyértelműségére vonatkozóáltalános eredményeket (l. a 2. és a 4. tételeket) konkrét függvényterekre.Tekintsük először a folytonos függvények ( C[a,b], ‖ · ‖ ∞)normált terét. A 2. tételközvetlen következménye az alábbi7. tétel. Legyen f ∈ C[a,b] folytonos függvény. Ekkor minden n természetesszámhoz létezik f-et egyenletesen legjobban megközelítő legfeljebb n-edfokú p n algebrai

3.4. Approximációs tételek Hilbert-terekben 71polinom, az∀f ∈ C[a,b]-hez és ∀n ∈ N-hez ∃p n ∈ P n :‖f − p n ‖ ∞ = inf{‖f − p‖ ∞ | p ∈ P n }.Az egyértelműségre vonatkozó általános tétel nem alkalmazható, mert a maximum-normávalellátott C[a,b] tér nem szigorúan normált. Az egyértelműség azonbanigaz. Ez Csebisev tételéből következik.Nézzük most a ( L p (a,b), ‖ · ‖ L p)tereket. Ezek 1 < p < +∞ esetén szigorúannormáltak, ezért a 2. és a 4. tételekből kapjuk a következő állítást.8. tétel. Legyen 1 ≤ p ≤ +∞. Ekkor bármely f ∈ L p (a,b) függvényhez és mindenn természetes számhoz létezik f-et az L p -normában legjobban megközelítő legfeljebbn-edfokú p n polinom, azaz∀f ∈ L p (a,b)-hez és ∀n ∈ N-hez ∃p n ∈ P n :‖f − p n ‖ L p = inf{‖f − p‖ L p | p ∈ P n }.Ha 1 < p < +∞, akkor p n egyértelműen meghatározott.Könnyű látni, hogy p = 1 esetén az egyértelműség nem igaz. Tekintsük az{−1, ha −1 ≤ x ≤ 0f(x) :=1, ha 0 < x ≤ 1függvényt és a konstans polinomokat.3.4. Approximációs tételek Hilbert-terekbenA vizsgált általános térstruktúráink közül a Hilbert-terek vannak legközelebb aháromdimenziós térhez, illetve R n -hez. Idézzük fel R 3 -ban a legjobb approximációproblémájának elemi geometriából ismert megoldását. Tekintsünk egy x 0 pontot ésegy origón átmenő M síkot (alteret). Ekkor M-ben egyetlen x 0 -hoz legközelebbiy 0 pont van. Ez a pont az x 0 -ból a síkra állított merőleges egyenesnek és a síknaka metszéspontja. Ez azt is jelenti, hogy y 0 az az egyetlen M-beli elem, amelyikreaz x 0 − y 0 vektor merőleges a síkra, azaz merőleges az M altér minden vektorára.Megmutatjuk, hogy hasonló állítás Hilbert-terekben is érvényes.Legyen ( H, 〈·, ·〉 ) valós Hilbert-tér, és jelölje ‖x‖ := √ 〈x,x〉 a skaláris szorzatáltal indukált normát. Mivel minden Hilbert-tér szigorúan normált, ezért az előzőpont tételeiből a legjobb approximáció létezésére és egyértelműségére vonatkozó

72 3. A legjobb approximáció problémaköreállításokat megkapjuk abban az esetben, ha az altér véges dimenziós. Ezt a feltételta gyengébb zárt altér feltétellel fogjuk helyettesíteni. Világos, hogy minden végesdimenziós altér egyúttal zárt altér is; a zártság pedig szükséges a legjobban közelítőelem létezéséhez. Megjegyezzük még azt is, hogy egy Hilbert-tér altere nem feltétlenülzárt halmaz.9. tétel. Legyen M a ( H, 〈·, ·〉 ) Hilbert-tér egy zárt altere és x 0 a H tér egy tetszőlegespontja. Ekkor pontosan egy olyan M-beli y 0 pont létezik, amelyik minimálistávolságra van x 0 -tól, azaz∀x 0 ∈ H-hoz ∃ ! y 0 ∈ M : ‖x 0 − y 0 ‖ = d(x 0 ,M).Az x 0 − y 0 vektor merőleges az M altérre, azaz〈x 0 − y 0 ,y〉 = 0 (∀ y ∈ M). (3.6)Bizonyítás. Létezés. Legyen d := d(x 0 ,M) = inf{‖x 0 − y‖ | y ∈ M}, és vegyünkegy tetszőleges M-beli minimalizáló sorozatot, azaz legyen (y n ) ⊂ M egy olyansorozat, amelyred n := ‖x 0 − y n ‖ → d (n → +∞). (3.7)Megmutatjuk, hogy (y n ) Cauchy-sorozat.Írjuk fel az‖x + y‖ 2 + ‖x − y‖ 2 = 2‖x‖ 2 + 2‖y‖ 2paralelogramma-azonosságot az x, y helyett az x 0 −y n és x 0 −y m vektorokra. Ekkorazt kapjuk, hogy‖(x 0 − y n ) + (x 0 − y m )‖ 2 + ‖(x 0 − y n ) − (x 0 − y m )‖ 2 == ‖2x 0 − (y n + y m )‖ 2 + ‖y n − y m ‖ 2 = 2 ( ‖x 0 − y n ‖ 2 + ‖x 0 − y m ‖ 2) = 2(d 2 n + d 2 m),azaz‖y n − y m ‖ 2 = 2 ( d 2 n + d 2 m)− 4∥ ∥∥∥x 0 − y n + y m2∥2. (3.8)Minthogy az y n ,y m vektorokkal együtt ezek számtani közepe is az M altérben vanés d értelmezése alapján ∥ ∥∥∥x 0 − y n + y m2 ∥ ≥ d,ezért (3.8)-ból következik, hogy minden n,m ∈ N esetén‖y n − y m ‖ 2 ≤ 2 ( d 2 n + d 2 m)− 4d 2 .

3.4. Approximációs tételek Hilbert-terekben 73Ennek az egyenlőtlenségnek a jobb oldala d n → d miatt 0-hoz tart, ha n,m → +∞,de akkor a bal oldala is 0-hoz tart, ami azt jelenti, hogy (y n ) valóban Cauchy-sorozat,ezért a H tér teljessége miatt a sorozat konvergens. Legyen y 0 ennek a sorozatnaka határértéke. Mivel M zárt altér, ezért y 0 ∈ M. A norma folytonossága miattd n = ‖x 0 − y n ‖ → ‖x 0 − y 0 ‖ (n → +∞), (3.9)másrészt d n → d (n → +∞), így ‖x 0 − y 0 ‖ = d. Ezzel igazoltuk, hogy a d(x 0 ,M)távolság az y 0 ∈ M ponttal realizálódik, azaz ‖x 0 − y 0 ‖ = d(x 0 ,M). Megmutattuktehát azt, hogy tetszőleges minimalizáló sorozat konvergens, és a határértéke egyminimalizáló vektor.Egyértelműség. Most megmutatjuk a minimalizáló vektor egyértelműségét. Tegyükfel, hogy y 0 ,y ′ 0 ∈ M olyan tetszőleges vektorok, amelyekred(x 0 ,M) = ‖x 0 − y 0 ‖ = ‖x 0 − y ′ 0‖teljesül, és definiáljuk a következő (y n ) sorozatot:y n := y 0 , ha n = 2, 4,... és y n := y ′ 0 ha n = 1, 3,....Ekkor (y n ) nyilván egy minimalizáló sorozat, ami a fentiek alapján szükségképpenkonvergens. Ez pedig csak úgy lehetséges, ha y 0 = y ′ 0.Az ortogonalitás igazolása. Az (3.6) reláció bizonyításához legyen v 0 := x 0 − y 0 .Tetszőleges y ∈ M vektorral tekintsük afüggvényt. Ez ap(t) := ‖x 0 − (y 0 + ty)‖ 2 (t ∈ R)p(t) = ‖v 0 − ty‖ 2 = ‖v 0 ‖ 2 − 2〈v 0 ,y〉 t + ‖y‖ 2 t 2 (t ∈ R)alakban is írható, azaz p valós együtthatós másodfokú polinom, ha y ≠ θ. Mivelminden t ∈ R mellett y 0 + ty ∈ M, ezért a d = d(x 0 ,M) távolság értelmezésemiatt ‖x 0 − (y 0 + ty)‖ ≥ d, következésképpen p(t) ≥ d 2 minden t ∈ R esetén,míg p(0) = ‖x 0 − y 0 ‖ 2 = d 2 . Ebből következik, hogy t = 0 mellett a p polinomnakminimuma van, ezért p ′ (0) = −2〈v 0 ,y〉 = 0, vagyis minden y ∈ M esetén 〈v 0 ,y〉 = 0,és ez az állítás bizonyítását jelenti. Megjegyzés. Megmutatható, hogy tetszőleges M ⊂ H altér és x 0 ∈ H esetény 0 ∈ M pontosan akkor minimalizáló pont, ha 〈x 0 − y 0 ,y〉 = 0 (y ∈ M).

74 3. A legjobb approximáció problémaköre3.4.1. Projekciós (vetítő) operátorok10. tétel (a Riesz-féle felbontási tétel). Legyen M a H Hilbert-tér egy zárt altere.Ekkor minden x ∈ H vektor egyértelműen állítható elő azx = x 1 + x 2alakban, ahol x 1 ∈ M és x 2 ⊥ M. Ezt az x 1 vektort az x-nek az M altérre valóortogonális vetületének (vagy projekciójának) nevezzük.Bizonyítás. Az előző tétel szerint minden x ∈ H vektorhoz létezik egyetlen olyanx 1 ∈ M vektor, amelyre d(x,M) = ‖x−x 1 ‖. Legyen x 2 := x−x 1 . Ekkor x = x 1 +x 2és (3.6) alapján x 2 ⊥ M.A felbontás egyértelműségének a bizonyításához tegyük fel, hogy az x = x 1 + x 2és x = y 1 + y 2 az x elem két kívánt tulajdonságú felbontása, azaz legyen x 1 ,y 1 ∈ Més x 2 ,y 2 ⊥ M. Ekkor x 1 −y 1 ∈ M és y 2 −x 2 ⊥ M. Minthogy z := x 1 −y 1 = y 2 −x 2 ,ezért z ∈ M és z ⊥ M, következésképpen 〈z,z〉 = 0, azaz z = θ. Innen x 1 = y 1 ésx 2 = y 2 következik. Ezzel a felbontás egyértelműségét igazoltuk. Az x ∈ H vektor ortogonális felbontásában szereplő x 1 ,x 2 vektorokra fennáll az‖x‖ 2 = ‖x 1 ‖ 2 + ‖x 2 ‖ 2 (3.10)egyenlőség, ami a Pitagorasz-tétel Hilbert-térbeli változataként interpretálható.Valóban,‖x‖ 2 = 〈x 1 + x 2 ,x 1 + x 2 〉 = ‖x 1 ‖ 2 + 2〈x 1 ,x 2 〉 + ‖x 2 ‖ 2 ,ezért az x 1 ,x 2 vektorok ortogonalitását figyelembe véve adódik a (3.10) egyenlőség.A Riesz-féle felbontási tételből kiindulva bevezetjük a projekciós operátor fogalmát.Definíció. Legyen M a ( H, 〈·, ·〉 ) Hilbert-tér zárt altere ésx = x 1 + x 2 , x 1 ∈ M, x 2 ⊥ Maz x ∈ H vektor ortogonális felbontása. AP M : H → M, P M (x) := x 1utasítással értelmezett leképezést az M zárt altérre való ortogonális projekciós(vagy vetítő) operátornak nevezzük.

3.4. Approximációs tételek Hilbert-terekben 753.4.2. A projekciós operátor explicit előállításaGyakran szükség van valamely x ∈ H vektor legjobb M-beli közelítésének explicit,numerikus szempontból is használható előállítására. Ha M ⊂ H véges dimenziós(dimM = n) altér, akkor ilyen előállítás igen egyszerűen magadható. Ebben azesetben ui. M zárt altér, ezért x-nek az M altérre vett y := P M (x) vetülete leszaz x-et legjobban közelítő M-beli elem. P M (x) explicit alakjának előállításáhoztekintsünk M-ben egy e 1 ,e 2 ,...,e n ortonormált bázist, azaz tegyük fel, hogy{0, ha i ≠ j〈e i ,e j 〉 =1, ha i = j.(Később majd megmutatjuk, hogy az M tetszőleges lineárisan független f 1 ,f 2 ,...,f nbázisából az ún. Gram–Schmidt-féle ortogonalizációs eljárással hogyan kapható megegy ilyen ortonormált bázis.)Vegyünk egy tetszőleges H-beli x elemet. A P M (x) ortogonális vetületet írjukfel az e k vektorok lineáris kombinációjaként:P M (x) = x 1 =n∑λ k · e k .k=1Ezt az egyenlőséget skalárisan megszorozva e j -vel (j = 1, 2,...,n) kapjuk, hogy:〈P M (x),e j 〉 = 〈x 1 ,e j 〉 =n∑λ k · 〈e k ,e j 〉 = λ j ,k=1ui. a különböző indexű 〈e k ,e j 〉 tagok mind nullák, az azonos indexűek pedig eggyelegyenlők. Ez azt jelenti, hogyP M (x) =n∑〈x 1 ,e k 〉 · e k .k=1Mivel x 2 := x − x 1 ⊥ M, ezért minden j = 1, 2,...,n esetén 〈x − x 1 ,e j 〉 = 0,következésképpen〈x 1 ,e j 〉 = 〈x,e j 〉 (j = 1, 2,...,n),azazA fentieket összefoglalva adódik aP M (x) =n∑〈x,e k 〉 e k .k=1

76 3. A legjobb approximáció problémaköre11. tétel. Ha M a H hilbert tér egy véges dimenziós altere és e 1 ,e 2 ,...,e n ennekaltérnek egy ortonormált bázisa, akkor a projekciós operátor a következő explicitalakban adható meg:P M (x) =n∑〈x,e k 〉 e kk=1(x ∈ H).

4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elmélete4.1. A probléma felvetéseMost ismét bizonyos elemi geometriai ismeretekre utalunk. Láttuk a (közönséges)sík, illetve tér vektorai között értelmezett skaláris szorzat jelentőségét: segítségévelvektoroknak nemcsak a merőlegessége, hanem a hosszúsága, szöge is értelmezhető.Egyik alapvető eredmény az volt, hogy minden vektor egyértelműen írható fel amerőleges egységvektorok lineáris kombinációjával, ahol az együtthatók éppen azadott vektornak a megfelelő egységvektorokra eső merőleges vetületei.A lineáris algebrában ezt az eredményt tetszőleges véges dimenziós euklideszitérre általánosítottuk. Ott meg azt láttuk, hogy minden véges dimenziós(E, 〈·, ·〉)valós euklideszi térben (legyen dimE = n) van e1 ,e 2 ,...,e n ortonormáltbázis, és minden x ∈ E vektor azalakban írható fel.x =n∑〈x,e k 〉 e kk=1Ebben a fejezetben ezt az eredményt általánosítjuk végtelen dimenziós terekre.Számos fogalom és eredmény euklideszi terekben is értelmezhető. Az egyszerűségvégett a továbbiakban mi csak teljes euklideszi tereket, azaz Hilbert-tereket, ezenbelül is csak valós Hilbert-tereket fogunk tekinteni.A fejezet fő célja annak igazolása, hogy minden (végtelen dimenziós) szeparábilisHilbert-térben van (e n ,n ∈ N) ortonormált bázis és minden x ∈ H eseténx =+∞∑n=1〈x,e n 〉 e n .Egy ilyen (e n ) rendszer tehát a ”derékszögű koordináta-rendszer” szerepét játssza avégtelen dimenziós terekben. Meg fogjuk mutatni azt is, hogy minden szeparábilisHilbert-tér izometrikusan izomorf az l 2 Hilbert-térrel, azaz lényegében egyetlen szeparábilisHilbert-tér létezik.4.2. Ortogonalitás. A Gram–Schmidt-féle ortogonalizációEbben a fejezetben csak valós Hilbert-terekről lesz szó. Jelölésükre a ( H, 〈·, ·〉 )— vagy röviden a H — szimbólumot fogjunk használni. Feltesszük tehát, hogy H77

78 4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elméleteegy R feletti lineáris tér, 〈·, ·〉 : H × H → R skaláris szorzat H-n és a tér teljes askaláris szorzat által indukált‖x‖ := √ 〈x,x〉 (x ∈ H)normával. H nullelemét a θ szimbólummal jelöljük.A H Hilbert-tér egy tetszőleges M részhalmaza esetén is az [ M ] szimbólummaljelöljük az M halmaz lineáris burkát, vagyis az M halmazt tartalmazó legszűkebblineáris alteret. Ez az altér, amelyet a M által generált altérnek is szokás nevezni,megegyezik az M elemeiből képzett összes (véges) lineáris kombinációk halmazával,azaz[M]= {λ1 f 1 + λ 2 f 2 + · · · + λ n f n | λ i ∈ R, f i ∈ M, i = 1, 2,...,n; n ∈ N } .A H Hilbert-térbeli M halmaz lezárásának nevezzük – és az M szimbólummaljelöljük – az M-et tartalmazó legszűkebb zárt halmazt. M pontosan azokat a H-belielemeket tartalmazza, amelyek tetszőleges (sugarú) környezetében van M-beli elem.A metrikus terekhez hasonlóan a H Hilbert-teret is akkor nevezzük szeparábilisnek,ha létezik benne egy megszámlálható, mindenütt sűrű részhalmaz, vagyisvan olyan megszámlálható M ⊂ H halmaz, amelyre M = H teljesül. Ez azt jelenti,hogy minden x ∈ H elemhez és minden ε > 0 számhoz van olyan M-beli y elem, hogy‖x −y‖ < ε. Könnyű meggondolni, hogy normált — speciálisan Hilbert — terekbena szeparabilitás azzal ekvivalens, hogy a H térnek van olyan megszámlálható Mrészhalmaza, amelynek a lineáris burka mindenütt sűrű H-ban, azaz [M] = H.1. tétel. Az alábbi Hilbert-terek mindegyike szeparábilis:• az l 2 -tér,• tetszőleges I ⊂ R nemdegenerált intervallum esetén az L 2 (I)-tér,• tetszőleges I ⊂ R nyílt intervallum és w : I → R súlyfüggvény esetén azL 2 w(I)-tér.Egy Hilbert-térben alapvető fogalom az ortogonalitás. A H-beli x és y vektorokegymásra ortogonálisak (merőlegesek) – jelölésben x ⊥y –, ha 〈x,y〉 = 0, azaz akét vektor skaláris szorzata nulla. Azt mondjuk, hogy az x ∈ H vektor ortogonálisaz M ⊂ H halmazra – jelölésben x ⊥M –, ha x ortogonális az M minden elemére.Végül a H Hilbert-tér M 1 és M 2 részhalmazát egymásra ortogonálisnak nevezzük –jelölésben M 1 ⊥M 2 –, ha M 1 bármely eleme ortogonális M 2 minden elemére. Nyilvánvaló,hogy a θ nullvektor ortogonális H minden elemére és egyúttal H mindenrészhalmazára.

4.2. Ortogonalitás. A Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció 79Definíció. Tetszőleges M ⊂ H részhalmaz mellett jelölje M ⊥ az M halmazraortogonális H-beli vektorok halmazát, vagyisM ⊥ := { x ∈ H | x ⊥M } .Ezt az M ⊥ halmazt az M halmaz ortogonális komplementumának nevezzük.2. tétel. A H Hilbert-tér bármely M részhalmaza esetén• M ⊥ zárt altér H-ban, emellett• M ⊥ = [M] ⊥ .Bizonyítás. Legyenek x 1 ,x 2 ∈ M ⊥ tetszőleges vektorok, azaz x 1 ⊥M, x 2 ⊥M,legyenek továbbá α 1 ,α 2 ∈ R tetszőleges számok. Ekkor minden y ∈ M mellett〈α 1 x 1 + α 2 x 2 ,y〉 = α 1 〈x 1 ,y〉 + α 2 〈x 2 ,y〉 = 0,ami azt jelenti, hogy α 1 x 1 +α 2 x 2 ortogonális M-re, vagyis α 1 x 1 +α 2 x 2 ∈ M ⊥ , amiveligazoltuk, hogy M ⊥ altere H-nak.Legyen most (x n ) M ⊥ -beli konvergens sorozat, tehát van olyan x ∈ H, hogyx n → x. Ha y ∈ M egy tetszőleges vektor, akkor minden n indexre 〈x n ,y〉 = 0, demivel a skaláris szorzat folytonossága miatt 〈x n ,y〉 → 〈x,y〉, azért 〈x,y〉 = 0, tehát xortogonális M-re, azaz x ∈ M ⊥ . Igazoltuk tehát, hogy minden M ⊥ -beli konvergensvektorsorozat határértéke is M ⊥ -beli vektor, ami egyenértékű azzal, hogy az M ⊥altér zárt.Legyen x ∈ M ⊥ egy tetszőleges vektor, vagyis x ⊥M. Nyilvánvaló, hogy x ⊥ [M],de akkor a skaláris szorzat folytonossága miatt x ⊥ [M], azaz x ∈ [M] ⊥ , amiveligazoltuk, hogy M ⊥⊂ [M] ⊥ . Megfordítva, ha x ∈ [M] ⊥ , azaz x ⊥ [M], akkornyilvánvaló, hogy x ⊥M, azaz x ∈ M ⊥ , tehát [M] ⊥ ⊂ M ⊥ . Ezekből már következik,hogy M ⊥ = [M] ⊥ . A továbbiakban egy H Hilbert-tér bizonyos véges vagy megszámlálhatóanvégtelen részhalmazaira fogunk különböző elnevezéseket bevezetni. Ennek megfelelőena részhalmaz elemeit az N := {0, 1, 2,...,m} vagy az N := N halmazelemeivel indexeljük:F := {f n | n ∈ N }.Az F halmazt — némi, de elfogadható következetlenséggel — az (f n ) szimbólummalis jelöljük, és — vektorsorozat helyett — az (f n ) ⊂ H vektorrendszerről beszélünk.Definíció. A H Hilbert-tér (e n ) vektorrendszerét ortonormált rendszerneknevezzük, ha minden n-re ‖e n ‖ = 1 és bármely n ≠ m indexre e n ⊥e m , azaz a

80 4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elméletevektorrendszer tagjai páronként ortogonálisak egymásra. Másként kifejezve: (e n )ortonormált rendszer, ha bármelyik n,m indexre fennáll az{1, ha n = m〈e n ,e m 〉 = δ n,m :=0, ha n ≠ megyenlőség. (δ n,m az ún. Kronecker-féle szimbólum.)Az (e n ) ⊂ H vektorrendszert ortogonális rendszernek nevezzük akkor, ha nemtartalmazza a H tér θ elemét és bármely két tagja ortogonális egymásra. Világos,hogy ebben az esetbene n(n ∈ N)‖e n ‖ortonormált rendszer. Egyszerűen bebizonyítható az is, hogy minden (e n ) ortogonálisrendszer lineárisan független is, azaz bármelyik véges részrendszere lineárisanfüggetlen.Kiindulva valamely véges vagy megszámlálhatóan végtelen lineárisan független(f n ) ⊂ H vektorrendszerből az ún. Gram–Schmidt-féle ortogonalizációs eljárássalortonormált rendszert konstruálhatunk.3. tétel (a Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció). Tegyük fel, hogy (f n ) a H Hilberttéregy lineárisan független vektorrendszere, azaz a rendszer bármely véges sok tagjalineárisan független. Ekkor megadható olyan (e n ) ortonormált rendszer, hogy mindenn indexre az e n vektor előáll az f 1 ,f 2 ,...,f n vektorok olyan lineáris kombinációjaként,amelyben f n együtthatója nem nulla.Bizonyítás. Az (f n ) vektorrendszer függetlenségéből következik, hogy a rendszeregyetlen tagja sem θ. Vezessük be aze 1 := f 1‖f 1 ‖jelölést. Nyilvánvaló, hogy ‖e 1 ‖ = 1. Tegyük fel, hogy valamely n index mellettaz e 1 ,e 2 ,...,e n vektorokat már előállítottuk a kívánt módon, vagyis 〈e i ,e k 〉 =δ i,k (i,k = 1, 2,...,n), továbbá minden k = 1, 2,...,n esetén az e k vektor előállaz f 1 ,f 2 ,...,f k vektorok olyan lineáris kombinációjaként, amelyben az f k vektoregyütthatója nem 0.Próbáljuk most a λ 1 ,λ 2 ,...,λ n számokat úgy megválasztani, hogy ag n+1 := f n+1 − λ 1 e 1 − λ 2 e 2 − · · · − λ n e n

4.2. Ortogonalitás. A Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció 81egyenlőséggel értelmezett vektor ortogonális legyen az e 1 ,e 2 ,...,e n vektorok mindegyikére,vagyis hogy minden k = 1, 2,...,n mellett fennálljon a 〈g n+1 ,e k 〉 = 0egyenlőség. Könnyen látható, hogy ez teljesül a λ k = 〈f n+1 ,e k 〉 (k = 1, 2,...,n)mellett. Az e 1 ,e 2 ,...,e n vektorokra tett indukciós feltevésből következik, hogy ag n+1 vektor előáll az f 1 ,f 2 ,...,f n ,f n+1 vektorok nem csupa 0 együtthatós lineáriskombinációjaként (ui. az f n+1 vektor együtthatója 1), ezért a szóban forgó vektoroklineáris függetlensége miatt g n+1 ≠ 0. Ezek után legyene n+1 := g n+1‖g n+1 ‖ .Ekkor e 1 ,...,e n ,e n+1 olyan (n + 1)-tagú ortonormált rendszer, amelynek mindentagja rendelkezik a kívánt tulajdonsággal, vagyis minden k = 1, 2,...,n,n+1 mellettaz e k vektor előáll az f 1 ,...,f k vektorok olyan lineáris kombinációjaként, ahol f kegyütthatója nem nulla.A fentiekből teljes indukcióval már következik a kívánt tulajdonságú (e n ) ortonormáltrendszer létezése. A konstrukcióból látható, hogy az (e n ) ortonormált rendszer tagjai előállnake 1 = λ 11 f 1 ,e 2 = λ 21 f 1 + λ 22 f 2 , · · · ,.e n = λ n1 f 1 + λ n2 f 2 + · · · + λ nn f n ,.alakban, ahol λ ik ∈ R, és minden n-re λ nn ≠ 0. Ebből nyilvávalóan következikaz alábbi állítás: Ha (f n ) lineárisan független vektorrendszer, akkor a fenti ortogonalizációseljárással nyert (e n ) ortonormált rendszer lineáris burka azonos az (f n )vektorrendszer lineáris burkával.Példák ortonormált rendszerekre• Az l 2 térben azvektorsorozat egy ortonormált rendszer.e n := (0, 0,...,0, 1, 0,...) (n ∈ N)• Tetszőleges 2π hosszúságú I intervallumon aze 0 = 1 √2π, e 2n−1 := sin(nt) √ π, e 2n := cos(nt) √ πn = 1, 2,...trigonometrikus rendszer ortonormált rendszer az L 2 (I) Hilbert-térben.

82 4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elmélete• A √ 2/π sin(nt) (n = 1, 2,...) függvények ortonormált sorozatot alkotnakaz L 2 (0,π) Hilbert-térben.• Az 1/ √ π és a √ 2/π cos(nt) (n = 1, 2,...) függvények ortonormált sorozatotalkotnak az L 2 (0,π) Hilbert-térben.• Ortogonális polinomok. Legyen I ⊂ R tetszőleges (korlátos vagy nemkorlátos) nyílt intervallum és w : I → R egy tetszőleges súlyfüggvény. Tekintsükaz 〈f,g〉 := ∫ I f(t)g(t)w(t)dt skaláris szorzattal ellátott L2 w(I) Hilbert-teret. Ha azI ∋ t ↦→ t n w(t) függvények minden n = 0, 1, 2,... esetén integrálhatók (ez a helyzetpéldául akkor, ha I korlátos és w (Lebesgue-)integrálható I-n), akkor az algebraipolinomok mind L 2 w(I)-hez tartoznak. Az algebra alaptételéből következik, hogy aze 0 (t) := 1, e 1 (t) := t, e 2 (t) := t 2 , ... (t ∈ I)hatványfüggvények lineárisan függetlenek az L 2 w(I) térben. Ezekre alkalmazva aGram–Schmidt-féle ortogonalizációt olyan (p n ) ortonormált polinomsorozatot kapunkaz L 2 w(I) Hilbert-térben, hogy degp n = n minden n-re. Azt mondjuk, hogy(p n ) az I intervallumon a w súlyfüggvényre nézve ortonormált polinomsorozat.Különösen fontosak az ún. klasszikus ortogonális polinomok. Ezek a következők:• a Legendre-polinomok, amelyekre I = (−1, 1) és w(t) = 1 (t ∈ I);• a Csebisev-polinomok, amelyekreI := (−1, 1) és w(t) :=1√1 − t2(t ∈ I);• a Jacobi-polinomok, amelyekreI := (−1, 1) és w(t) := (1 − t) α (1 + t) β(t ∈ I),ahol α,β > −1 rögzített paraméterek;• az Hermite-polinomok, amelyekreI = (−∞, +∞) és w(t) := e −t2 (t ∈ R);• a Laguerre-polinomok, amelyekreI = (0, +∞) és w(t) := t α e −t ( )t ∈ (0, +∞) ,ahol α > −1 rögzített paraméter.

4.3. Zárt és teljes rendszerek Hilbert-terekben 834.3. Zárt és teljes rendszerek Hilbert-terekbenA Fourier-sorok elméletében szükségünk lesz az alábbi két fontos fogalomra.Definíció. A H Hilbert-térben egy F = (f n ) ⊂ H vektorrendszert zárt rendszernekmondunk, ha az F halmaz lineáris burka mindenütt sűrű a H-ban, vagyisha[F ] = H.Ez azt jelenti, hogy H minden eleme tetszőleges pontossággal megközelíthető F-belielemek alkalmas (véges) lineáris kombinációjával, azaz∀x ∈ H és ∀ε > 0-hoz∃m ∈ N, λ 1 ,...,λ m ∈ R, és f 1 ,...,f m ∈ F, hogy∥m∑ ∥ ∥∥∥x − λ i f i < ε.i=1Definíció. A H Hilbert-térben egy (e n ) ortonormált rendszert akkor nevezünk teljesnek,ha ortogonálisan nem bővíthető, azaz ha nincs a térnek olyan f ≠ θ eleme,amelyik ortogonális az (e n ) rendszer mindegyik vektorára. Másként fogalmazva:(e n ) teljes rendszer, haf ∈ H és 〈f,e n 〉 = 0 (n ∈ N) =⇒ f = θ.(Természetesen a teljesség fenti definícióban megadott fogalma semmilyen kapcsolatbannincs a metrikus — tehát speciálisan Hilbert — terek teljességének a fogalmával.)4. tétel. A H Hilbert-térben az (e n ) ortonormált rendszer pontosan akkor zárt, hateljes.Bizonyítás. Induljunk ki abból, hogy az E := {e n | n ∈ N } ortonormált rendszerzárt, azaz[E ] = H,és mutassuk meg, hogy a rendszer teljes is. Vegyünk egy olyan f ∈ H elemet,amelyre 〈f,e n 〉 = 0 teljesül minden n indexre. A skaláris szorzat linearitását ésfolytonosságát felhasználva ebből következik, hogyf ∈ [E ] = H.Speciálisan f ⊥f, következésképpen f = θ, és ez azt jelenti, hogy az (e n ) rendszerteljes.

84 4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elméleteA fordított irányú állítást indirekt módon igazoljuk. Tegyük fel, hogy (e n ) teljes,de nem zárt. Ekkor a H 1 := [E ] halmaz a H Hilbert-térnek egy valódi zárt altere,ezért a Riesz-féle felbontási tétel alapján a H térnek van olyan nemnulla f vektora,amelyik ortogonális H 1 -re, amiből következik, hogy f ortogonális az (e n ) rendszerminden vektorára. Ez az (e n ) teljessége miatt csak úgy lehetséges, ha f = θ. Akapott ellentmondás azt bizonyítja, hogy a rendszer teljességéből következik a rendszerzártsága. Példák teljes (zárt) ortonormált rendszerekre5. tétel. Az előző pontban a konkrét Hilbert-terekben definiált ortonormált rendszerekmindegyike teljes (zárt) rendszer.4.4. Végtelen sorok Hilbert-terekbenA valós esetből kiindulva értelmezhetjük Hilbert-terekben a végtelen sor fogalmát:Legyen (x n ) : N → H egy tetszőleges sorozat a H Hilbert-térben. Az ebből képzetts n := x 1 + x 2 + · · ·x n (n ∈ N)sorozatot az (x n ) által generált (végtelen) sornak nevezzük és jelölésére a∑xnszimbólumot használjuk. s n -et a ∑ x n sor n-edik részletösszegének (vagy n-edikszeletének) hívjuk.A ∑ x n végtelen sort akkor nevezzük konvergensnek, ha a részletösszegeinek(s n ) sorozata konvergens a H Hilbert-térben, vagyis ha létezik olyan x ∈ H vektor,amelyrelim s n = x, azaz lim ‖s n − x‖ = 0n→+∞ n→+∞teljesül. Ezt az x ∈ H vektort a ∑ x n sor összegének nevezzük, emellett annakkifejezésére, hogy a ∑ x n sor összege azonos x-szel, azx =+∞∑x nn=1jelölést használjuk. Hilbert-tér esetén ez az egyenlőség tehát azt jelenti, hogy a ∑ x nsor részletösszegeinek sorozata a tér normájában tart az x elemhez, tehátx =+∞∑n=1x n ⇐⇒ limn→+∞∥∥x −n∑ ∥ ∥∥x k = 0.k=1

4.5. Fourier-sorok 85A H Hilbert-térbeli ∑ x n végtelen sort abszolút konvergensnek mondjuk, haaz (x n ) sorozat normáiból képzett ∑ ‖x n ‖ pozitív tagú valós sor konvergens. Avalós esethez hasonlóan tetszőleges Hilbert-tér esetén is könnyű bebizonyítani azt,hogy ha a ∑ x n sor abszolút konvergens, akkor egyúttal konvergens is; emellett hax jelöli a sor összegét, akkor fennáll az‖x‖ ≤+∞∑n=1‖x n ‖egyenlőtlenség.A következő tétel azt állítja, hogy Hilbert-térbeli konvergens végtelen sorokatszabad tagonként skalárisan szorozni.6. tétel. Ha a H Hilbert-térbeli ∑ x n végtelen sor konvergens és x := ∑ +∞n=1 x n asor összege, akkor minden y ∈ H esetén igaz azegyenlőség.〈x,y〉 =+∞∑n=1〈x n ,y〉Bizonyítás. Legyen s n := ∑ nk=1 x k a szóban forgó konvergens sor n-edik szelete. Asorösszeg értelmezése szerint ekkor s n → x a H normájában, de akkor a skalárisszorzat folytonossága miatt bármely y ∈ H esetén 〈s n ,y〉 → 〈x,y〉 is teljesül.Másrésztn∑〈s n ,y〉 = 〈x k ,y〉k=1is fennáll, amiből a tétel már egyszerűen következik. 4.5. Fourier-sorokA továbbiakban csak végtelen dimenziós Hilbert-tereket tekintünk.Definíció. Legyen H Hilbert-tér, és rögzítsünk ebben egy (e n ) ortonormált rendszert.A tetszőleges c n valós együtthatókkal képzett H-beli∑cn e nvégtelen sort az (e n ) rendszer szerint haladó általános ortogonális sornaknevezzük.

86 4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elméletePéldául az L 2 (0, 2π) Hilbert-térben az1√2π,cosx√ π,sin x√ π,cos 2x√ π,sin 2x√ π, ... (x ∈ R) (4.1)trigonometrikus rendszer egy ortonormált rendszer, az e szerint haladó általánosortogonális sor tehát a korábban már tanulmányozott∑( αn cos nx + β n sin nx )n=0(x ∈ R, αn ,β n ∈ R, n = 0, 1, 2,... ) (4.2)trigonometrikus sor.A fő kérdésünk ezek konvergenciájának a vizsgálata volt. Láttuk, hogy a konvergenciáttöbbféle értelemben is tekinthetjük: pontonként, egyenletesen vagya négyzetintegrálra (a mostani szóhasználatunkkal ezt úgy is mondhatjuk, hogy azL 2 (0, 2π) Hilbert-tér normájára) vonatkozóan. Akkor elég természetes módon jutottunkel ahhoz a megállapításhoz, hogy az általános trigonometrikus sorok helyett(első közelítésben) azokat a trigonometrikus sorokat érdemes tekinteni, amelyeknélaz együtthatókat speciális módon választjuk meg. Pontosabban szólva azt mutattukmeg, hogy ha a (4.2) trigonometrikus sor egyenletesen konvergens, akkor azegyütthatói és a sor összegfüggvénye között szoros kapcsolat van; az együtthatók ui.kifejezhetők az összegfüggvény segítségével. Az így adódó együtthatókkal képzetttrigonometrikus sort neveztük trigonometrikus Fourier-sornak:ahola 02 √ π + √ 1 ∑( an cos nx + b n sin nx ) ( x ∈ R, a n ,b n ∈ R ) , (4.3)πn=1a n := √ 1 ∫2πf(t) cos nt dt,π0b n := √ 1 ∫2πf(t) sin nt dtπ0(n = 0, 1, 2...)(4.4)az ún. trigonometrikus Fourier-együtthatók.Az ott megismert gondolatokat (természetesen a megfelelő módosításokkal) azáltalános keretek között is alkalmazhatjuk. A következő tételben azt mutatjuk

4.5. Fourier-sorok 87meg, hogy igen egyszerű és természetes lépéseken keresztül hogyan juthatunk el ahhozaz első fontos megállapításhoz, hogy Hilbert-térben is az általános ortogonálissorok helyett (első közelítésben) miért érdemes speciális együtthatókkal képzett(ezek az együtthatók lesznek a Fourier-együthatók) ortogonális sorokat tekinteni. Atrigonometrikus esethez hasonlóan megmarad az a ”dallam”, hogy ha egy általánosortogonális sor konvergens a H Hilbert-térbeli normára vonatkozóan, akkor a soregyütthatói kifejezhetők a sor összegével.Hilbert-térbeli általános ortogonális sorok konvergenciájára az alábbi állításokérvényesek.7. tétel. Legyen ∑ c n e n egy H Hilbert-térbeli, az (e n ) ortonormált rendszer szerinthaladó általános ortogonális sor. Ez pontosan akkor konvergens, ha az együtthatóinégyzetösszegéből képzett számsor konvergens, vagyis ha+∞∑n=1E követelmény teljesülése mellett legyenx :=|c n | 2 < +∞.+∞∑n=1az ortogonális sor összege. Ekkor a sor együtthatói az x vektor segítségével előállíthatókac n = 〈x,e n 〉 (n ∈ N)c n e nalakban. Emellett az x ∈ H vektorra fennáll az alábbi Parseval-egyenlőség:‖x‖ 2 =+∞∑n=1|c n | 2 . (4.5)Bizonyítás. Jelölje s n a ∑ c n e n , S n pedig a ∑ |c n | 2 sor n-edik szeletét, vagyiss n = ∑ nk=1 c ke k és S n = ∑ nk=1 |c k| 2 (n ∈ N).Legyen n > m. Mivel (e n ) ortonormált rendszer, ezért‖s n − s m ‖ 2 =∥n∑k=m+1c k e k∥ ∥∥2=〈n∑k=m+1c k e k ,n∑l=m+1c l e l〉=n∑k=m+1|c k | 2 = S n − S m ,és ez azt jelenti, hogy az (s n ) vektorsorozat pontosan akkor Cauchy-sorozat a HHilbert-térben, ha (S n ) Cauchy-sorozat az R-ben. H és R teljessége miatt ezekbőla tétel első állítása már következik.

88 4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elméleteTegyük most fel, hogy a ∑ c n e n sor konvergens és x = ∑ +∞n=1 c ne n a sor összege.A ∑ c n e n sort szabad tagonként skalárisan szorozni, ezért〈x,e n 〉 =+∞∑k=1c k 〈e k ,e n 〉 = c n(n ∈ N),és ez a tétel második állítását bizonyítja.A Parseval-egyenlőség igazolásához először azt jegyezzük meg, hogy az (e n )ortonormáltsága miatt minden n indexre fennáll az‖s n ‖ 2 =n∑|c k | 2k=1egyenlőség. Mivel s n → x a H tér normájában, ezért a norma folytonossága miatt‖s n ‖ → ‖x‖, így a fenti egyenlőségből az n → +∞ határátmenettel már következika Parseval-egyenlőség. Az iménti tétel motiválja az alábbi fontos fogalom bevezetését.Definíció. Ha (e n ) ortonormált rendszer a H Hilbert-térben és x ∈ H egy tetszőlegesvektor, akkor az〈x,e n 〉 (n ∈ N) (4.6)számokat az x vektornak az (e n ) ortonormált rendszerre vonatkozó Fourier-együtthatóinaknevezzük. Ezen együtthatókkal képzett∑〈x,en 〉 e n (4.7)ortogonális sort az x vektor (e n ) rendszer szerinti Fourier-sorának mondjuk.Érdemes meggondolni, hogy az L 2 (0, 2π) Hilbert-térben egy f függvénynek az(e n ) trigonometrikus rendszer (l. (4.1)-et) szerinti Fourier-sora, vagyis asor, ahol teháta√ 0+ 1 ∑( √ an cosnx + b n sin nx ) ( x ∈ (0, 2π) )2π πn=1a n = √ 1 ∫2πf(t) cos nt dt, b n = 1 ∫2π√ f(t) sin nt dtπ π(n = 0, 1, 2...),00éppen az f függvénynek a korábban értelmezett trigonometrikus Fourier-sora.

4.5. Fourier-sorok 89Feladatunk ezek után annak vizsgálata, hogy egy Hilbert-térben valamely ortonormáltrendszer szerinti Fourier-sor a tér normájában konvergens-e. Most ehhez fűzünknéhány előzetes megjegyzést.A konkrét Hilbert-terek közül a legfontosabbak és a legérdekesebbek a különbözőfüggvényterek. Az R n euklideszi térben ui. a konvergencia kérdése lineáris algebraieszközök felhasználásával viszonylag egyszerűen ”rendezhető”. Ezekből azeredményekből az n → +∞ határátmenettel szintén viszonylag egyszerűen kaphatjukmeg az l 2 Hilbert-térre vonatkozó állításokat.A függvényterek esete azért érdekesebb, mert ezekben — az alkalmazásokszempontjából is fontos — további kérdések vethetők fel elég természetes módon.Tekintsük például az L 2 (0, 2π) Hilbert-teret és ebben a trigonometrikus rendszert.Világos, hogy a Fourier-sor konvergenciáját többféle értelemben is vizsgálhatjuk:• Pontonkénti értelemben. Ekkor azt kérdezhetjük meg, hogy a sor egy rögzítettpontban konvergens-e, és ha igen, akkor mit lehet mondani az összegéről.• Egyenletes értelemben. Itt meg azt kérdezhetjük, hogy milyen f függvényesetén lesz a Fourier-sor egyenletesen konvergens, és ekkor milyen kapcsolat van fés az összegfüggvény között.• Az L 2 (0, 2π) Hilbert-tér természetes normájában (ebben a konkrét esetbenezt a konvergenciát négyzetintegrálra vonatkozó konvergenciának neveztük) isvizsgálhatjuk a Fourier-sor konvergenciáját.A trigonometrikus eset korábbi, részletesebb tanulmányozása során láttuk, hogya normakonvergencia szempontjából a trigonometrikus Fourier-sorok ”barátságosan”viselkednek abban az értelemben, hogy viszonylag egyszerű meggondolásokkaladódnak fontos, általános jellegű eredmények.Célunk éppen annak megmutatása, hogy az ott elmondott gondolatok messzemenőenáltalánosíthatók tetszőleges Hilbert-terekre. Ezekből az egyszerűen adódóáltalános tételekből aztán az alkalmazások szempontjából is fontos eredményeketlehet kapni.A továbbiakban tehát az x ∈ H vektor Fourier-sorának a konvergenciáját fogjukmegvizsgálni. A következő — természetes módon felvethető — kérdésekre keressüka válaszokat:1 o Milyen x ∈ H vektor esetén lesz a szóban forgó Fourier-sor konvergens?2 o Ha egy x ∈ H vektor esetén a Fourier-sor konvergens, akkor az összege vajonmegegyezik-e az x vektorral, azaz a Fourier-sor előállítja-e az x vektort.Bevezetjük a következő elnevezést.

90 4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elméleteDefiníció. A H Hilbert-térbeli x vektort az (e n ) ortonormált rendszer szerintFourier-sorba fejthetőnek nevezzük, ha az x vektor (e n ) rendszer szerinti Fouriersoránakösszege azonos x-szel.Az előző tételből azonnal adódik a következő állítás.8. tétel. Egy ∑ c n e n konvergens ortogonális sor azonos az összegének a Fouriersorával,amiből természetesen következik, hogy az összegvektor Fourier-sora konvergens.Ebből persze még nem következik az, hogy minden x ∈ H vektornak az (e n )ortonormált rendszer szerinti Fourier-sora konvergens. Ez az állítás egyébként igaz,és ezt a továbbiakban igazolni fogjuk. A bizonyításhoz felhasználjuk azt az önmagábanis fontos és érdekes tényt, hogy a Fourier-sorok részletösszegei egy nevezetesminimum-tulajdonsággal rendelkeznek.Pontosan a következőről van szó: Legyen (e n ) adott ortonormált rendszer a HHilbert-térben, és vegyük a H tér egy tetszőleges elemét. Tekintsük a következőminimumfeladatot: keressük meg az e 1 ,...,e n vektorok lineáris kombinációi, azaz ac 1 e 1 + c 2 e 2 + · · · + c n e nalakú vektorok közül (c k -k valós számok) azt, amelyik x-et a H térbeli távolságértelmében a legjobban megközelíti. Azt kérdezzük tehát, hogy adott n esetén az∥∥x −n∑ ∥ ∥∥c k e kk=1kifejezésnek egyáltalán van-e minimuma, ha a c k ∈ R együtthatók változnak; ésha van, akkor ezt a minimumot milyen együtthatók esetén veszi fel a kifejezés. Azalábbi tétel azt állítja, hogy ennek a minimumfeladatnak a megoldását éppen az xvektor Fourier-együtthatói adják.9. tétel. Legyen (e n ) egy teszőleges ortonormált rendszer a H Hilbert-térben. Ekkorminden x ∈ H vektorra és minden n természetes számra{∥ ∥∥xn∑min −k=1∥ ∣ }∥∥ ∣∣c k e k ck ∈ R,k = 1,...,n =∥∥x −n∑ ∥ ∥∥,〈x,e k 〉e kazaz minden x ∈ H és minden n ∈ N esetén az x ∈ H vektor Fourier-sorának n-edikrészletösszege az a H n := [{e 1 ,...,e n }] altérbeli vektor, amelyik a H tér normájábanlegközelebb van az x vektorhoz.k=1

4.5. Fourier-sorok 91Bizonyítás. Rögzítsük a c k együtthatókat. A skaláris szorzat tulajdonságait és az(e n ) rendszer ortonormáltságát felhasználva azt kapjuk, hogy∥ x −nnn∑ ∥ ∥∥2 ∑ ∑ 〉c k e k =〈x − c k e k ,x − c l e l =k=1k=1= 〈x,x〉 − 2= ‖x‖ 2 −l=1n∑c k 〈x,e k 〉 +k=1n∑|〈x,e k 〉| 2 +k=1n∑|c k | 2 =k=1n∑|〈x,e k 〉 − c k | 2 .Ebből az azonosságból világos, hogy a szóban forgó kifejezésnek van minimuma, ésazt akkor veszi fel, ha az utolsó négyzetösszeg minden tagja 0-val egyenlő, azaz hak=1c k = 〈x,e k 〉(k = 1, 2,...,n).A minimumot szolgáltató c k együtthatók tehát n-től nem függenek. Ezekkel azértékekkel a fenti kifejezés a következő alakot veszi fel:∥∥x −n∑ ∥ ∥∥2c k e k = ‖x‖ 2 −k=1Ez az ún. Bessel-féle azonosság. n∑|〈x,e k 〉| 2 . (4.8)10. tétel (a Bessel-féle egyenlőtlenség). Legyen (e n ) egy ortonormált rendszer aH Hilbert-térben. Ekkor tetszőleges x ∈ H vektornak az (e n ) rendszerre vonatkozó〈x,e n 〉 (n ∈ N) Fourier-együtthatóira fennáll az alábbi, ún. Bessel-féle egyenlőtlenség+∞∑ ∣∣〈x,e n 〉 ∣ 2 ≤ ‖x‖ 2 (x ∈ H), (4.9)n=1ezért a Fourier-együtthatók 0-hoz tartanak, azazk=1lim 〈x,e n〉 = 0n→+∞minden x ∈ H esetén.Bizonyítás. Mivel a (4.8) alatti Bessel-féle azonosság bal oldala nemnegatív, ezértaz egyenlőség jobb oldala is nemnegatív, amiből következik, hogy minden n ∈ Neseténn∑|〈x,e k 〉| 2 ≤ ‖x‖ 2 .k=1

92 4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elméleteItt az n → +∞ határátmenetet elvégezve kapjuk a Bessel-féle egyenlőtlenséget.A ∑ |〈x,e k 〉| 2 valós sor konvergens, ezért a generáló sorozata nullsorozat, és ebbőlkövetkezik, hogy a Fourier-együtthatók 0-hoz tartanak. Az 1 o kérdésünkre a válasz a11. tétel. Legyen (e n ) ortonormált rendszer a H Hilbert-térben. Ekkor mindenx ∈ H vektornak az (e n ) rendszer szerinti Fourier-sora konvergens.Bizonyítás. A (4.9) alatti Bessel-féle egyenlőtlenségből következik, hogy az x vektorFourier-együtthatói abszolútértékének négyzetösszege konvergens, ezért a 7. tételszerint az x vektor ∑ 〈x,e k 〉e k Fourier-sora valóban konvergens. Hangsúlyozzuk, hogy az iménti tétel csak a Fourier-sor konvergenciáját állítja,és nem mond semmit a sor összegéről. A következő tétel azt fejezi ki, hogy milyenkapcsolat van egy x ∈ H vektor Fourier-sorának összege és az x vektor között.12. tétel. Legyen (e n ) egy tetszőleges ortonormált rendszer a H Hilbert-térben.Jelölje H 1 az (e n ) rendszer lineáris burkának a lezárását (azaz azt a legszűkebb H-beli alteret, amely tartalmazza a rendszer minden tagját):H 1 := [ (e n ) ].Ekkor bármelyik H-beli x vektor (e n ) ortonormált rendszer szerinti Fourier-soránakösszege azonos x-nek a H 1 altérre való ortogonális vetületével.Bizonyítás. Tekintsük az x ∈ H vektor ∑ 〈x,e n 〉 e n Fourier-sorát. Az előző tételszerint ez a sor konvergens. Jelölje u a sor összegét, vagyis legyenA sorösszeg értelmezése alapjáns n =u :=+∞∑n=1〈x,e n 〉 e n .n∑〈x,e k 〉 e k → u a H tér normájában, ha n → +∞.k=1Mivel minden minden n-re s n ∈ [ {e 1 ,...,e n } ] , ezért nyilvánvaló, hogy u ∈ [(e n )] =H 1 . Másrészt a 7. tétel szerint a sor együtthatói kifejezhetők a sor összege segítségével,éspedig〈x,e n 〉 = 〈u,e n 〉 (n ∈ N).Ebből következik, hogy a v := x − u vektorra〈v,e n 〉 = 〈x,e n 〉 − 〈u,e n 〉 = 0(n ∈ N),

4.6. Szeparábilis Hilbert-terek izomorfiája 93ami azt jelenti, hogy a v vektor ortogonális az (e n ) sorozat minden tagjára, de akkorv ⊥H 1 , azaz v ∈ H ⊥ 1 . Mivel x = u + v, ahol u ∈ H 1 és v ∈ H ⊥ 1 , ezért a Rieszféleortogonális felbontási tételből következik, hogy u azonos az x vektor H 1 -re valóortogonális vetületével. A 4. és a 12. tételből nyilvánvalóan következik, hogy az alábbi fontos13. tétel. A H Hilbert-térben pontosan akkor lesz minden x ∈ H vektor Fouriersorbafejthető az (e n ) ortonormált rendszer szerint (azaz x-nek az (e n ) rendszer szerintiFourier-sorának az összege azonos x-szel), ha az (e n ) rendszer zárt, illetveteljes.Felmerül ezek után az a kérdés, hogy melyek azok a Hilbert-terek, amelyekbenlétezik zárt, vagyis teljes ortonormált rendszer. Lineáris algebrából tudjuk, hogyminden véges dimenziós térben van teljes ortonormált rendszer, ezért elég csak avégtelen dimenziós esetet tekintenünk. Legyen az (e n ) sorozat egy zárt rendszerH-ban. Az értelmezés szerint ekkor az [(e n )] halmaz sűrű a H-ban. Könnyen belehet látni azt, hogy az (e n ) tagjaiból képzett racionális együtthatós lineáris kombinációkhalmaza is sűrű H-ban. Mivel ez a halmaz megszámlálható, ezért H-nakvan megszámlálható sűrű részhalmaza, vagyis H szükségképpen egy szeparábilisHilbert-tér. Ennek az állításnak a megfordítása is igaz, ezért fenáll a következőfontos14. tétel. Egy H Hilbert-térben pontosan akkor létezik zárt (teljes) ortonormáltrendszer, ha H szeparábilis.Bizonyítás. Az előzőek szerint elég azt igazolni, hogy minden szeparábilis Hilberttérbenvan zárt (teljes) ortonormált rendszer. Tegyük fel tehát, hogy H szeparábilis,vagyis van benne egy olyan M ⊂ H megszámlálható halmaz, amelyre M = H.Az M halmaz alkalmas megritkításával könnyen nyerhető egy olyan (x n ) lineárisanfüggetlen M-beli sorozat, amelyre [(x n )] = [M]. Alkalmazzuk erre a vektorsorozatraa Gram–Schmidt-féle ortogonalizációs eljárást, akkor az így kapott (e n ) ortonormáltsorozatra nyilván [(e n )] = [M] teljesül. Mivel M-mel együtt [M] is sűrű H-ban,ezért [(e n )] = H, ami azt jelenti, hogy az (e n ) rendszer zárt a H térben. 4.6. Szeparábilis Hilbert-terek izomorfiájaEbben a pontban megmutatjuk, hogy a végtelen dimenziós szeparábilis Hilbertterekközött sem algebrai szempontból sem metrikus tulajdonságait tekintve nincskülönbség.

94 4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elmélete15. tétel (Riesz–Fischer-tétel). Minden végtelen dimenziós szeparábilis H Hilberttérizometrikusan izomorf az l 2 Hilbert-térrel. Ez azt jelenti, hogy H és l 2 közöttlétezik egy olyanϕ : H → l 2bijektív lineáris leképezés, ami normatartó is, azaz‖x‖ = ‖ϕ(x)‖ l 2(x ∈ H).Bizonyítás. Mivel H szeparábilis Hilbert-tér, ezért ebben létezik egy (e n ) teljesortonormált rendszer. Jelölje ϕ azt a leképezést, amelyik minden x ∈ H elemhezhozzárendeli az x vektor (e n ) szerinti Fourier-együtthatóinak a sorozatát:ϕ(x) := ( 〈x,e n 〉,n ∈ N )(x ∈ H).A 7. tételből következik, hogy ϕ minden H-beli elemhez l 2 -beli sorozatot rendel,ezért ϕ valóban egy H → l 2 típusú függvény.A ϕ leképezés lineáris. Valóban, a skaláris szorzat tulajdonságai alapján mindenx,y ∈ H, λ ∈ R és n ∈ N eseténkövetkezésképpen〈x + y,e n 〉 = 〈x,e n 〉 + 〈y,e n 〉,〈λx,e n 〉 = λ〈x,e n 〉,ϕ(x + y) = ( 〈x + y,e n 〉 ) = ( 〈x,e n 〉 ) + ( 〈y,e n 〉 ) = ϕ(x) + ϕ(y),ϕ(λx) = ( 〈λx,e n 〉 ) = λ ( 〈x,e n 〉 ) = λϕ(x),és ez azt jelenti, hogy ϕ lineáris leképezés.A ϕ leképezés injektivitása. Tegyük fel, hogy az x 1 ,x 2 ∈ H elemekre ϕ(x 1 ) =ϕ(x 2 ) teljesül. Mivel ϕ lineáris, ezért ebbőlϕ(x 1 − x 2 ) = ( 〈x 1 − x 2 ,e n 〉 ) = ( 〈x 1 ,e n 〉 − 〈x 2 ,e n 〉 ) = ( 0, 0, 0,... ) = 0 ∈ l 2következik. Ez azt jelenti, hogy az x := x 1 − x 2 H-beli elem az (e n ) rendszermindegyik vektorára ortogonális, és ez az (e n ) teljessége miatt csak úgy lehetséges,ha x = θ (∈ H), azaz x 1 = x 2 . A ϕ leképezés tehát injektív.Most azt igazoljuk, hogy ϕ szürjektív. Ennek bizonyításához induljunk ki egyl 2 -térbeli (c n ) sorozatból, és mutassuk meg azt, hogy van olyan x ∈ H, amelyreϕ(x) = ( 〈x,e n 〉 ) = (c n ),

4.6. Szeparábilis Hilbert-terek izomorfiája 95vagyis 〈x,e n 〉 = c n teljesül minden n indexre. Ehhez tekintsük a ∑ k∈Nc k e k sors n :=n∑c k e k (n ∈ N)k=0részletösszegeit. Megmutatjuk, hogy ez Cauchy-sorozat. Valóban, felhasználva,hogy (e n ) ortonormált rendszer azt kapjuk, hogy minden m > n indexre‖s m − s n ‖ 2 =∥m∑k=n+1c k e k∥ ∥∥2=m∑k=n+1|c k | 2 .Minthogy (c n ) ∈ l 2 , ezért (s n ) valóban Cauchy-sorozat, s így a H tér teljességealapján konvergens. Jelöljük x-szel a szóban forgó sorozat határértékét, azazs n → x (n → +∞) a H tér normájában.Ekkor a skaláris szorzat folytonossága alapján〈x,e k 〉 = limn→+∞ 〈s n,e k 〉(k ∈ N).Minthogy minden n ≥ k esetén 〈s n ,e k 〉 = c k , ezért c k az x elem Fourier-együtthatója,azaz 〈x,e k 〉 = c k minden k ∈ N indexre. Ezzel megmutattuk, hogy a most konstruáltx ∈ H elemre ϕ(x) = (c n ). A ϕ leképezés tehát szürjektív.A Parseval-egyenlőségből (l. a 7. tételt) következik, hogy‖x‖ 2 = ∑ k∈N∣∣〈x,e k 〉 ∣ ∣ 2 = ‖ϕ(x)‖ 2 l 2(x ∈ H),és ez azt jelenti, hogy a ϕ : H → l 2 lineáris bijekció normatartó. Bármely euklideszi térben (tehát Hilbert-térben is) a skaláris szorzat kifejezhetőa normával. Egyszerűen igazolható, hogy valós eulideszi tér esetén fennáll az〈x,y〉 = 1 4(‖x + y‖ 2 − ‖x − y‖ 2 )(x,y ∈ H)azonosság. Ezekből nyilvánvaló, hogy minden izometria egyben a skaláris szorzatotis megtartja, azaz〈x,y〉 = 〈ϕ(x),ϕ(y)〉 (x,y ∈ H).

5. Lineáris operátorok és funkcionálokLegyenek X és Y valós (vagyis R feletti) lineáris terek (más szóval vektorterek). Anullelemeket θ X , ill. θ Y jelöli. A lineáris terek elemeit vektoroknak is fogjuk nevezni.Feltesszük még azt is, hogy az X, ill. az Y lineáris tereken norma is van értelmezve,ezeket a ‖ · ‖ X , ill. a ‖ · ‖ Y szimbólumokkal jelöljük. Több definícióban és állításbanX-nek csak a vektortérstruktúrájára lesz szükségünk. Ezekben az esetekben az Xlineáris térről beszélünk. Ha azt mondjuk, hogy X normált tér, akkor pedig az(X, ‖ · ‖X)térstruktúrára gondolunk.Ebben a fejezetben normált terek közötti leképezések közül a legegyszerűbbekkel,a lineáris leképezésekkel foglalkozunk.5.1. A lineáris operátorok L(X, Y ) vektortereDefiníció. Legyenek X és Y lineáris terek. Az A : X → Y függvényt lineárisoperátornak (vagy lineáris leképezésnek) nevezzük, ha minden x,y ∈ Xelempárra és minden λ ∈ R számra(i) A(x + y) = A(x) + A(y),(ii) A(λx) = λA(x).A valós értékű lineáris leképezéseket lineáris funkcionáloknak hívjuk.A definíció (i), ill. (ii) feltétele azt jelenti, hogy az A operátor az X-beli összegeketY -beli összegekbe, ill. X-beli elemek számszorosát a megfelelő Y -beli elemek számszorosábaviszi át. Az A leképezésnek ezt a két tulajdonságát kifejezve azt szoktukmondani, hogy a leképezés művelettartó, vagy — az algebrában szokásosszóhasználattal élve — az A függvény homomorfizmus. Az A leképezés x helyenfelvett értékének jelölésére a szokásos A(x) mellett az Ax szimbólumot is használnifogjuk.Lineáris leképezésekkel kapcsolatban két kitüntetett alteret szokás bevezetni. AKer A := {x ∈ X | Ax = θ Y } ⊂ X,Im A := {Ax | x ∈ X} = R A ⊂ Yhalmazokat az A operátor magterének, illetve képterének nevezzük.Érdemes megjegyezni az alábbi — egyszerűen bebizonyítható — állításokat.Legyenek X és Y lineáris terek és A : X → Y egy tetszőleges lineáris operátor.Ekkor• Aθ X = θ Y ;97

98 5. Lineáris operátorok és funkcionálok• Ker A altér X-ben, Im A altér Y -ban;• A pontosan akkor injektív, ha KerA = {θ X };• A akkor és csak akkor szürjektív, ha Im A = Y .Minthogy az A : X → Y függvény értékei vektorok, ezért értelmezve van ezekösszege és számmal való szorzata. Ezt felhasználva értelmezhetjük az A,B : X → Ylineáris operátorok A + B összegét és az A operátor λ számszorosát:(A + B)(x) := Ax + Bx (x ∈ X),(λA)(x) := λAxEgyszerűen igazolható az alábbi fontos állítás.(x ∈ X, λ ∈ R).1. tétel. Legyenek X és Y tetszőleges lineáris terek. Az összes X → Y lineárisoperátort tartalmazó halmaz R feletti vektorteret alkot az imént definiált műveletekrenézve. Ezt a vektorteret azszimbólummal jelöljük.L(X,Y ) := {A : X → Y | A lineáris operátor}Emlékeztetünk arra, hogy az X 1 és az X 2 valós lineáris tereket akkor neveztükizomorfaknak (jelölésben X 1∼ = X2 ), ha elemeik között létezik művelettartó bijekció,vagyis ha∃ T : X 1 → X 2 bijekció, hogyT(λx + µy) = λT(x) + µT(y)(x,y ∈ X 1 , λ,µ ∈ R).Az izomorf lineáris tereket ugyanazon tér különböző realizációjának tekintjük, ezértaz ilyenek között nem teszünk különbséget.Példák lineáris leképezésekre• X = Y = R esetén pontosan az A(x) = cx (x ∈ R) alakú függvények alineáris leképezések, ahol c tetszőleges valós szám. (Ezek képei az origón átmenőegyenesek.) Egyszerűen látható, hogyL(R, R) ∼ = R.• Legyenek n és m rögzített természetes számok, X := R n és Y := R m .Korábban már láttuk, hogy rögzített X-, illetve Y -beli bázisok esetén az L(R n , R m )lineáris tér azonosítható az (m × n)-es valós mátrixok lineáris terével, azazL(R n , R m ) ∼ = R m×n .

5.2. Folytonosság és korlátosság 99A lineáris algebrában megismertük a véges dimenziós lineáris terek közöttilineáris leképezések (ezen keresztül a mátrixok) legfontosabb tulajdonságait. Azanalízisben fontos szerepet játszó lineáris terek végtelen dimenziósak. A funkcionálanalízisfeladata az ilyen terek közötti (lineáris) leképezések vizsgálata.5.2. Folytonosság és korlátosságEmlékeztetünk arra, hogy korábban már értelmeztük normált terek közötti leképezésekfolytonosságát. Ha X és Y normált terek, akkor azt mondtuk, hogy azf : X → Y függvény folytonos az a ∈ X pontban, ha∀ε > 0-hoz ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, ‖x − a‖ X < δ =⇒ ‖f(x) − f(a)‖ Y < ε.A valós-valós függvényekhez hasonlóan itt is érvényes az átviteli elv: az f : X → Yfüggvény akkor és csak akkor folytonos az a ∈ X pontban, ha minden x n → asorozatra f(x n ) → f(a). Az f : X → Y függvényt folytonosnak nevezzük, haminden a ∈ X pontban folytonos.Érdekes és fontos tény, hogy lineáris operátorok esetén az egyetlen pontbelifolytonosságból már következik az egész téren való folytonosság.2. tétel. Tegyük fel, hogy az A : X → Y lineáris leképezés folytonos egy a ∈ Xpontban. Ekkor A folytonos az összes x ∈ X pontban.Bizonyítás. Rögzítsük az x ∈ X pontot, és vegyünk egy olyan (x n ) ⊂ X sorozatot,amelyre x n → x az X térben. Megmutatjuk, hogy ekkor Ax n → Ax az Y térben,ami az átviteli elv alapján azt jelenti, hogy A folytonos x-ben. Tekintsük a következőátalakítást:Ax n = A ( a + (x n − x) + (x − a) ) = A ( a + (x n − x) ) + A(x − a) == A ( a + (x n − x) ) + A(x) − A(a) (n ∈ N).Mivel x n → x, ezért lim ( a + (x n − x) ) = a. Az A operátor a-beli folytonosságamiatt az (Ax n ) sorozat tehát valóban A(a) + A(x) − A(a) = A(x)-hez tart. Lineáris operátor folytonossága ekvivalens módon jellemezhető a korlátosságnakelnevezett tulajdonsággal.Definíció. Az A : X → Y lineáris operátort akkor mondjuk korlátosnak, halétezik olyan C ≥ 0 szám, hogy‖Ax‖ Y ≤ C‖x‖ X (x ∈ X). (5.1)

100 5. Lineáris operátorok és funkcionálokFigyeljük meg, hogy az X = Y = R esetben a korlátosságnak a fenti fogalmakülönbözik a valós-valós függvények körében korábban értelmezett korlátosság fogalmától.A továbbiakban ezt a fogalmat mindig a fenti értelemben értjük.3. tétel. Az A : X → Y lineáris operátor akkor és csak akkor folytonos X-en, hakorlátos.Bizonyítás. ⇐ A folytonosság definíciója alapján (5.1)-ből következik, hogy Afolytonos a θ X pontban, ezért a 2. tétel miatt minden x ∈ X pontban is folytonos.⇒ A fordított irányú állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy Anem korlátos. Ekkor (5.1) alapján∀n ∈ N-hez ∃x n ∈ X : ‖Ax n ‖ Y > n‖x n ‖ X .Világos, hogy x n ≠ θ X (n ∈ N), ui. ha x n = θ X lenne, akkorTekintsük az‖Ax n ‖ Y = ‖θ Y ‖ Y = 0 ≯ n‖x n ‖ X = 0.y n := 1 nx n‖x n ‖ X(n ∈ N)sorozatot. Ekkor ‖y n ‖ X = 1 → 0, tehát y n n → θ X az X térben. Az A operátorfolytonos a θ X pontban, ezért Ay n → θ Y az Y térben. Ekkor azonban a normáksorozata 0-hoz tart, azaz ‖Ay n ‖ Y → 0. Másrészt az indirekt feltétel miatt a normáksorozatára( )∥ ‖Ay n ‖ Y =1∥ A n · x n ∥∥∥Y= 1 ‖x n ‖ X n · ‖Ax n‖ Y> 1‖x n ‖ Xadódik minden n természetes számra, és ez azt jelenti, hogy az ‖Ay n ‖ Y normáksorozata nem tart nullához. Ez az ellentmondás az állításunkat bizonyítja. Véges dimenziós terek közötti lineáris leképezések folytonosak. Sőt ennél többis igaz.4. tétel. Tegyük fel, hogy X véges dimenziós, Y pedig tetszőleges normált tér.Ekkor minden A : X → Y lineáris operátor folytonos.Bizonyítás. Véges dimenziós tereken bármely két norma ekvivalens, ezért feltehető,hogy X = R n és ‖ · ‖ X = ‖ · ‖ 1 . Jelölje e 1 ,e 2 ,...,e n az R n tér kanonikus bázisát.∑Ekkor minden x ∈ R n esetén x = n ∑x k e k (x k ∈ R) és ‖x‖ 1 = n |x k |. Mivel A∑lineáris, ezért Ax = A( n ∑x k e k ) = n x k Ae k , következésképpen‖Ax‖ Y ≤k=1k=1k=1n∑|x k |‖Ae k ‖ Y ≤ C‖x‖ 1 , ahol C := max{‖Ae 1 ‖ Y ,...,‖Ae n ‖ Y }.k=1k=1

5.2. Folytonosság és korlátosság 101Ez azt jelenti, hogy A korlátos, tehát folytonos lineáris operátor. Érdekes és meglepő, hogy végtelen dimenziós terek között az ilyen egyszerű(vagyis lineáris) leképezések között is vannak már olyanok, amelyek nem folytonosak.Példa: a differenciáloperátor nem folytonos lineáris operátor.• Legyen ( X, ‖ · ‖ X):=(C 1 [0, 1], ‖ · ‖ ∞)és(Y, ‖ · ‖Y):=(C[0, 1], ‖ · ‖∞).Jelölje D a differenciáloperátort:D : X → Y, Df := f ′ .Ekkor D lineáris, de nem korlátos, tehát nem folytonos operátor. Valóban, a linearitásnyilvánvaló. Annak igazolására, hogy D nem korlátos, tekintsük azfüggvényeket. Mivel minden n-ref n (t) := t n (t ∈ [0, 1], n ∈ N)‖Df n ‖ ∞ = ‖f ′ n‖ ∞ = ‖nt n−1 ‖ ∞ = n = n‖f n ‖ ∞ > n 2 ‖f n‖ ∞ ,ezért D valóban nem korlátos, tehát nem is folytonos operátor.Megjegyzések. 1 o Az operátorok közül az analízis szempontjából az egyik legfontosabba differenciáloperátor. A differenciáloperátort különféle terekben lehetvizsgálni, és amint az láttuk, az általában nem folytonos. Ez a tény indokolttá tesziaz analízisben a nem folytonos operátorok tanulmányozását is. A továbbiakbanezekkel mi nem foglalkozunk.2 o Bizonyos esetekben a norma alkalmas megválasztásával tehetünk egy nemkorlátos operátort korlátossá. Az előző példánál maradva, ha az X-beli normát az‖f‖ X := ‖f‖ ∞ + ‖f ′ ‖ ∞(f ∈ C 1 [0, 1] )képlettel értelmezzük, akkor az így kapott differenciáloperátor már korlátos/folytonoslineáris operátor lesz. Valóban:minden f ∈ ( C 1 [0, 1], ‖ · ‖ X)esetén.‖Df‖ ∞ = ‖f ′ ‖ ∞ ≤ ‖f‖ ∞ + ‖f ′ ‖ ∞ = ‖f‖ X

102 5. Lineáris operátorok és funkcionálok5.3. Operátor normája. A B(X, Y ) normált térA továbbiakban csak a folytonos/korlátos lineáris operátorokkal foglalkozunk. AdottX,Y normált terek esetén ezek halmazát így fogjuk jelölni:B(X,Y ) := {A : X → Y | A lineáris és folytonos/korlátos}.A folytonos/korlátos lineáris operátorok között is értelmezve van az összeadás ésa számmal való szorzás művelete. Egyszerűen belátható, hogy B(X,Y ) ezekkel aműveletekkel egy R feletti vektortér, az L(X,Y ) tér egy altere. A 4. tételből az iskövetkezik, hogy B(X,Y ) = L(X,Y ), ha X véges dimenziós normált tér.További struktúrával, nevezetesen normával fogjuk ellátni a B(X,Y ) lineáristeret. Ehhez felhasználjuk a korlátosság fogalmának (l. (5.1)) alábbi ekvivalensátfogalmazásait. Legyen A : X → Y egy lineáris operátor. Ekkor∃C > 0 : ‖Ax‖ Y ≤ C‖x‖ X (∀x ∈ X);⇕∃C > 0 : ‖Ax‖ Y ≤ C (∀x ∈ X, ‖x‖ X ≤ 1);⇕∃C > 0 : ‖Ax‖ Y ≤ C (∀x ∈ S 1 := S 1,X := {x ∈ X|‖x‖ X = 1})(S 1,X -et az X egységgömbfelületének nevezzük);⇕∀M ⊂ X korlátos halmazra A(M) ⊂ Y korlátos halmaz.Definíció. Tetszőleges A ∈ B(X,Y ) esetén az‖A‖ := ‖A‖ XY : = sup {‖Ax‖ Y | x ∈ X, ‖x‖ X = 1}számot az A operátor normájának nevezzük.= sup {‖Ax‖ Y | x ∈ X, ‖x‖ X ≤ 1}Hamarosan megmutatjuk, hogy ez a leképezés valóban norma a B(X,Y ) lineáristéren. Először a fent definiált szám néhány egyszerűen bebizonyítható és a továbbiakbangyakran használt tulajdonságát fogalmazzuk meg.5. tétel. Tetszőleges A ∈ B(X,Y ) operátor esetén• ‖A‖ véges, nemnegatív valós szám;• ‖Ax‖ Y ≤ ‖A‖ · ‖x‖ X (∀x ∈ X);

5.3. Operátor normája. A B(X,Y ) normált tér 103• ‖A‖ = min {C ≥ 0 | ∀x ∈ X : ‖Ax‖ Y ≤ C · ‖x‖ X }(az ‖A‖ tehát a legkisebb olyan C ≥ 0 szám, amelyre az ‖Ax‖ Y ≤ C‖x‖ Xegyenlőtlenség minden x ∈ X elemre fennáll.)Az utolsó állítást leggyakrabban a következő formában fogjuk alkalmazni: haegy C ≥ 0 számra fennáll azegyenlőtlenség, akkor ‖A‖ ≤ C.‖Ax‖ Y ≤ C‖x‖ X (∀x ∈ X)Operátor normájának a következő szemléletes jelentés tulajdonítható: az operátorkorlátosságával ekvivalens‖Ax‖ Y ≤ C (x ∈ X, ‖x‖ X = 1)egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az X-beli S 1 egységgömbfelület A(S 1 ) képe bennevan az Y tér egy origó középpontú gömbjében. A legkisebb sugarú ilyen tulajdonságúgömbnek a sugara éppen ‖A‖.A következő tételben a B(X,Y ) tér alapvető tulajdonságait soroljuk fel.6. tétel. Legyenek X és Y normált terek. Ekkor• B(X,Y ) lineáris altér az L(X,Y ) vektortérben;• ha X véges dimenziós, akkor B(X,Y ) = L(X,Y ).• az A ↦→ ‖A‖ leképezés norma a B(X,Y ) lineáris téren;• ha az Y normált tér teljes (vagyis Banach-tér), akkor ezzel az A ↦→ ‖A‖normával B(X,Y ) Banach-tér.Bizonyítás. Az első állítás nyilvánvaló, a második pedig a 4. tétel következménye.A harmadik állítás bizonyítása: A norma meghatározó tulajdonságait ellenőrizzük.Legyen A,B ∈ B(X,Y ).(i) Nyilvánvaló, hogy ‖A‖ ≥ 0. Tegyük most fel, hogy ‖A‖ = 0. Ez azt jelenti,hogy minden x ∈ X, ‖x‖ X ≤ 1 vektorra ‖Ax‖ Y = 0, következésképpen Ax = θ Y ,ha ‖x‖ X ≤ 1. A norma homogenitását felhasználva ebből az adódik, hogy mindenx ∈ X esetén Ax = θ Y . Az A operátor tehát valóban a B(X,Y ) tér nulleleme.(ii) Hasonlóan igazolható, hogy ‖λA‖ = |λ| ‖A‖ minden λ ∈ R számra.(iii) A háromszög-egyenlőtlenség igazolásához az Y -beli norma, valamint az operátornormatulajdonságait használva kapjuk, hogy‖(A + B)(x)‖ Y = ‖Ax + Bx‖ Y ≤ ‖Ax‖ Y + ‖Bx‖ Y ≤≤ ‖A‖ · ‖x‖ X + ‖B‖ · ‖x‖ X = ( ‖A‖ + ‖B‖ ) · ‖x‖ Xamiből a 5. tétel alapján adódik, hogy ‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖.(x ∈ X),

104 5. Lineáris operátorok és funkcionálokA negyedik állítás bizonyítása. Tegyük fel, hogy ( )Y, ‖ · ‖ Y teljes, és igazoljuk,hogy akkor a ( B(X,Y ), ‖ · ‖ ) tér is teljes. Legyen (A n ) ⊂ B(X,Y ) egy Cauchysorozat.Megmutatjuk, hogy ekkor (A n ) konvergens, azaz van olyan A ∈ B(X,Y )operátor, amelyrelim ‖A − A n‖ = 0. (5.2)n→+∞Mivel (A n ) Cauchy-sorozat, ezért∀ε > 0-hoz ∃n 0 ∈ N : ∀n,m ≥ n 0 -ra ‖A n − A m ‖ < ε. (5.3)Így tetszőleges rögzített x ∈ X esetén fennállnak az‖A n x − A m x‖ = ‖(A n − A m )x‖ Y ≤ ‖A n − A m ‖ · ‖x‖ X < ε‖x‖ X (n,m ≥ n 0 )egyenlőtlenségek. Ez azt jelenti, hogy (A n x) ⊂ Y Cauchy-sorozat. Mivel Y teljes,ezért (A n x) konvergens Y -ban. Jelöljük Ax-szel a határértékét. Így tehátértelmeztünk egy A : X → Y operátort. A következőket kell igazolnunk:(i) A lineáris,(ii) A folytonos/korlátos,(iii) ‖A − A n ‖ → 0 (n → +∞).Lássuk a bizonyításokat:(i) Ez nyilvánvaló, mivel a limesz lineáris.(ii) Vegyünk egy tetszőleges x ∈ X vektort. A norma folytonossága, Axdefiníciója és (5.3) alapján kapjuk, hogy‖Ax − A n x‖ Y = limm→+∞ ‖A mx − A n x‖ Y ≤ ε · ‖x‖ X (n > n 0 ). (5.4)Ez azt jelenti, hogy a V := A−A n korlátos/folytonos lineáris operátor. A feltételünkszerint A n is ilyen, ezért az összegük, vagyis a V +A n = A operátor is korlátos/folytonoslineáris operátor.(iii) Az (5.4) egyenlőtlenségből az is következik, hogy‖A − A n ‖ ≤ ε (n > n 0 ),és ez azt jelenti, hogy limn→+∞ ‖A − A n‖ = 0.5.4. Példák funkcionálokra és operátorokra1. példa. Legyen(X, ‖ · ‖X):=(C[a,b], ‖ · ‖∞)és(Y, ‖ · ‖Y):=(R, | · |).

5.4. Példák funkcionálokra és operátorokra 105Adott a ≤ t 1 < t 2 < · · · < t n ≤ b pontrendszer és c 1 ,c 2 ,...,c n valós számok eseténtekintsük azn∑Φ : C[a,b] → R, Φf := c k f(t k )funkcionált. Ekkor Φ folytonos lineáris funkcionál és a normája‖Φ‖ =n∑|c k |.k=1Bizonyítás. A linearitás nyilvánvaló, mert minden f,g ∈ C[a,b] és λ,µ ∈ R eseténΦ(λf + µg) == λn∑ ( )c k λf + µg (tk ) =k=1n∑c k f(t k ) + µk=1= λΦ(f) + µΦ(g).k=1n∑c k (λf(t k ) + µg(t k )) =k=1n∑c k g(t k ) =k=1A funkcionál korlátossága (tehát folytonossága) a|Φf| =∣n∑( n∑c k f(t k ) ∣ ≤k=1k=1egyenlőtlenségből következik, amiből az is adódik, hogy)|c k | · ‖f‖ ∞ (f ∈ C[a,b])‖Φ‖ ≤n∑|c k |.k=1A fordított irányú egyenlőtlenséget úgy igazoljuk, hogy megadunk olyan f o ∈C[a,b] függvényt, amelyre ‖f o ‖ ∞ ≤ 1 és|Φf o | =n∑|c k |.k=1Ekkor‖Φ‖ = sup |Φf| ≥ |Φf o | =‖f‖ ∞≤1n∑|c k |.Φ definíciójából kiindulva most könnyű ilyen f o : [a,b] → R folytonos függvénytkonstruálni: a t k (k = 1, 2,...,n) pontban a függvényérték legyen f o (t k ) := signc k ;k=1

106 5. Lineáris operátorok és funkcionáloklegyen f o lineáris a [t k ,t k+1 ] (k = 1, 2,...,n − 1) intervallumon és állandó az [a,t 1 ],[t n ,b] intervallumon.Világos, hogy ekkor ‖f o ‖ ∞ ≤ 1 ésn∑n∑n∑Φf o = c k f o (t k ) = c k sign c k = |c k |,k=1ezzel az állítást bebizonyítottuk. 2. példa. Legyen(X, ‖ · ‖X):=(C[a,b], ‖ · ‖∞),(Y, ‖ · ‖Y):=(R, | · |)k=1k=1és g ∈ C[a,b] egy rögzített függvény. EkkorΦ : C[a,b] → R, Φf :=olyan folytonos lineáris funkcionál, amelynek a normája‖Φ‖ =Bizonyítás. Mivel folytonos függvények szorzata folytonos, és minden [a,b]-nfolytonos függvény Riemann-integrálható, ezért Φ ”jól definiált” leképezés. Φ linearitásaaz integrál linearitásából következik. A|Φf| = ∣∫ bafg∣ ≤( ∫ ba∫ ba|g|.∫ bafg)|g| · ‖f‖ ∞ (f ∈ C[a,b])egyenlőtlenség alapján Φ korlátos, tehát folytonos és‖Φ‖ ≤A fordított egyenlőtlenség bizonyítása most nehezebb, mint az előző példánál. Aztfogjuk megmutatni, hogy∫ ba|g|.∀ε > 0-hoz ∃f o ∈ C[a,b] : ‖f o ‖ ∞ ≤ 1 és |Φf o | = ∣∫ baf o ·g∣ >( ∫ ba)|g| −ε. (5.5)

5.4. Példák funkcionálokra és operátorokra 107Ezt felhasználva kapjuk a minden ε > 0 számra fennálló( ∫ b )‖Φ‖ = sup‖f‖ ∞≤1|Φf| ≥ |Φf o | ≥ |g| − εaegyenlőtlenséget. Ebből pedig már következik, hogy‖Φ‖ ≥Az (5.5) feltételeket kielégítő f o függvényt a következő módon konstruáljuk meg:Rögzítsük az ε > 0 számot, és osszuk fel az [a,b] intervallumot az a = t 0 < t 1 f o · g∣ ≥ar∑∫j=1△ ′ j|g| −|g(t)|dt − 2ε(b − a).s∑∫k=1△ ′′k|g| =

108 5. Lineáris operátorok és funkcionálokEzzel az (5.5) állítást, következésképpen a 2. példa állítását is bebizonyítottuk. 3. példa. Legyen( ) ( ) ( ) ( )X, ‖ · ‖X := C[a,b], ‖ · ‖∞ , Y, ‖ · ‖Y := C[a,b], ‖ · ‖∞és K : [a,b] × [a,b] → R egy rögzített folytonos függvény. EkkorA : C[a,b] → C[a,b],∫b( )Af (x) :=f(t)K(x,t)dt (x ∈ [a,b])olyan folytonos lineáris operátor, amelynek a normája∫ b‖A‖ = max |K(x,t)|dt =: M.a≤x≤baBizonyítás. A tett feltételekből következik, hogy A ”jól definiált”. Az A operátorlinearitása nyilvánvaló, és az≤‖Af‖ ∞ = max ∣a≤x≤b∫ baaf(t)K(x,t)dt∣ ≤( ∫ b )max |K(x,t)|dt · ‖f‖ ∞ = M · ‖f‖ ∞ (f ∈ C[a,b])a≤x≤baegyenlőtlenségből következik A folytonossága, valamint az, hogy ‖A‖ ≤ M. Mostigazoljuk a fordított irányú egyenlőtlenséget. Mivel az[a,b] ∋ x ↦→∫ ba|K(x,t)|dtfüggvény folytonos, ezért van olyan x 0 ∈ [a,b] pont, amelyre∫ b ∫ bM = max |K(x,t)|dt = |K(x 0 ,t)|dt.a≤x≤baa

5.4. Példák funkcionálokra és operátorokra 109Tekintsük a C[a,b] téren a g(t) := K(x 0 ,t) (t ∈ [a,b]) folytonos függvénnyel képzettΦf :=∫ bf(t)K(x 0 ,t)dt(f ∈ C[a,b])afolytonos lineáris funkcionált. Az előző példában láttuk, hogy minden ε > 0 számhozvan olyan f o ∈ C[a,b] függvény, hogy ‖f o ‖ ∞ ≤ 1 és|Φf o | ≥ ‖Φ‖ − ε =∫ b|K(x 0 ,t)|dt − ε = M − ε.Ekkor‖A‖ = sup{‖Af‖ ∞ | f ∈ C[a,b], ‖f‖ ∞ ≤ 1} ≥a∫ b≥ ‖Af o ‖ ∞ ≥ ( )Af o (x0 ) = K(x 0 ,t)f o (t)dt = |Φf o | ≥ M − ε.Mivel ε > 0 tetszőleges, ezért az ‖A‖ ≥ M egyenlőtlenség valóban teljesül. 4. példa. Véges dimenziós terek közötti lineáris operátorok.aLegyenek (X, ‖·‖ X ) és (Y, ‖·‖ Y ) most véges dimenziós normált terek. Tegyük fel,hogy dimX = n és e 1 ,...,e n az X lineáris tér egy bázisa; dimY = m és f 1 ,...,f maz Y tér egy bázisa.Vegyünk egy A : X → Y lineáris operátort. Ha x az X tér egy vektora, akkorx =n∑x j e j ,j=1így az A operátor linearitása miattAx =n∑x j Ae j .j=1Az A leképezés tehát mindenütt adott, ha ismertek A-nak az e 1 ,...,e n bázisvektorokonfelvett értékei. Tekintsük most az Ae j vektornak az Y -beli f 1 ,...,f mbázisvektorokkal felírt alakját:m∑Ae j = a ij f i (j = 1, 2,...,n).i=1

110 5. Lineáris operátorok és funkcionálokAz a ij együtthatókat egy (m ×n)-es A mátrixba rendezzük úgy, hogy A j-edik oszlopábaaz Ae j vektor f 1 ,...,f m bázisra vonatkozó koordinátáit, vagyis az a 1j ,...,a mjszámokat írjuk. Így az A ∈ L(X,Y ) operátorhoz hozzárendeltünk egy (m ×n)-es Amátrixot, amit az A leképezés rögzített e 1 ,...,e n és f 1 ,...,f m bázisokra vonatkozómátrixreprezentációjának nevezünk.Megadtunk tehát egyT : L(X,Y ) → R m×n ,TA := Aleképezést. Egyszerűen igazolható, hogy T lineáris bijekció (izomorfia) L(X,Y ) ésR m×n között, és ezt úgy is mondjuk, hogy a két tér izomorf egymással (jelölésben:L(X,Y ) ∼ = R m×n ). Izomorf tereket azonosíthatunk egymással, és ebben az értelembenazonosíthatjuk az A ∈ L(X,Y ) lineáris operátort a fentiek alapján megadott A ∈R m×n mátrixszal.Azt is tudjuk már azonban, hogy minden véges dimenziós normált téren értelmezettlineáris leképezés folytonos is, ezértA B(X,Y ) téren értelmezettL(X,Y ) = B(X,Y ) ∼ = R m×n .‖A‖ := sup{‖Ax‖ Y | x ∈ X, ‖x‖ X ≤ 1} (A ∈ B(X,Y ))operátornorma a fenti izomorfia alapján normát indukál a mátrixok lineáris terén.Ennek értéke az X, illetve Y -beli normák konkrét megválasztásától függ.Lássunk most néhány ”szokásos” mátrixnormát. Az egyszerűség érdekébencsak az(X, ‖ · ‖ X ) := (R n , ‖ · ‖ p ) =: R n p,(Y, ‖ · ‖ Y ) := (R m , ‖ · ‖ p ) =: R m pnormált tereket tekintjük, ahol 1 ≤ p ≤ +∞, és mindkét térben a kanonikusbázisokat rögzítjük. A B(R n p, R m p ) téren értelmezett operátornorma a mátrixok R m×nlineáris terén az‖A‖ p = sup{‖A · x‖ p | x ∈ R n p, ‖x‖ p ≤ 1} (A ∈ R m×n )normát indukálja, és ez a mátrix elemeivel is kifejezhető. Igazolhatók például azalábbi összefüggések:‖A‖ ∞ = max1≤i≤mn∑|a ij |j=1(A ∈ Rm×n )

5.4. Példák funkcionálokra és operátorokra 111(ez a mátrix sorösszegnormája);‖A‖ 1 = max1≤j≤nm∑|a ij |i=1(A ∈ Rm×n )(ez az oszlopösszegnorma);‖A‖ 2 = √ Λ 1(A ∈ Rm×n ) ,ahol Λ 1 az A T A mátrix legnagyobb abszolút értékű sajátértéke (A T az A mátrixtranszponáltja). Ezt a mátrixnormát spektrálnormának nevezik.5. példa. Hilbert-terek projekciós operátorai.Legyen (H, 〈·, ·〉 ) valós Hilbert-tér és jelölje ‖x‖ := √ 〈x,x〉 (x ∈ H) a skalárisszorzat által indukált normát. Tetszőleges {θ} ̸= M ⊂ H zárt altér esetén tekintsüka P M projekciós operátort:P M : H → M,P M (x) := x 1 (x ∈ H),ahol x = x 1 + x 2 az x ∈ H vektor ortogonális felbontása, azaz x 1 ∈ M és x 2 ⊥ M.Ekkor P M egy 1-normájú folytonos lineáris operátor.Bizonyítás. A Riesz-féle felbontási tétel szerint az x ∈ H ortogonális felbontásaegyértelmű, ezért P M jól definiált”.”P M lineáris operátor. Valóban, legyen x,y ∈ H és λ,µ ∈ R. Tekintsük x és yortogonális felbontását:x = x 1 + x 2 , x 1 ∈ M és x 2 ⊥ M,y = y 1 + y 2 , y 1 ∈ M és y 2 ⊥ M.Ekkor λx + µy = (λx 1 + µy 1 ) + (λx 2 + µy 2 ). Mivel λx 1 + µy 1 ∈ M (M altér) ésλx 2 + µy 2 ⊥ M (ui. 〈λx 2 + µy 2 ,m〉 = λ〈x 2 ,m〉 + µ〈y 2 ,m〉 = 0 minden m ∈ Mesetén, mert x 2 ⊥ m és y 2 ⊥ m), ezértP M (λx + µy) = λx 1 + µy 1 = λP M (x) + µP M (y),és ez azt jelenti, hogy a P M operátor lineáris.Folytonosság. Az x = x 1 +x 2 (x 1 ∈ M, x 2 ⊥ M) ortogonális felbontásra érvényes‖x‖ 2 = ‖x 1 ‖ 2 + ‖x 2 ‖ 2 Pitagorasz-tétel alapján‖P M (x)‖ = ‖x 1 ‖ ≤ ‖x‖(x ∈ H),

112 5. Lineáris operátorok és funkcionálokezért P M korlátos, következésképpen folytonos lineáris operátor. Ebből az egyenlőtlenségbőlmég az is következik, hogy ‖P M ‖ ≤ 1. A fordított irányú egyenlőtlenségbizonyításához vegyünk egy x 0 ∈ M, ‖x 0 ‖ = 1 vektort. (Az M ≠ {θ} feltétel miattvan ilyen x 0 .) Ekkor P M (x 0 ) = x 0 és‖P M ‖ = sup ‖P M (x)‖ ≥ ‖P M (x 0 )‖ = ‖x 0 ‖ = 1,‖x‖≤1tehát ‖P M ‖ = 1 valóban fennáll. 5.5. A duális térEbben a pontban normált téren értelmezett valós értékű folytonos lineáris leképezéseket,más szóval folytonos lineáris funkcionálokat fogunk vizsgálni. Ezekösszességét a normált tér duális terének nevezzük. Az előző pontban láttunknéhány konkrét példát ilyen leképezésekre. Az általános eredmények alkalmazásáhozsok esetben fontos tudni azt, hogy egy adott normált téren hogyan lehet megadni,illetve jellemezni az összes folytonos lineáris funkcionált. Megjegyezzük, hogy afunkcionálanalízis elnevezés onnan ered, hogy a matematikának ez az ága a különfélespeciális normált terek duálisainak a jellemzéséből nőtte ki magát. Az ilyenirányú kutatások az 1900-as évek elején kezdődtek, és ebben úttörő szerepe volt —többek között — Riesz Frigyesnek.5.5.1. A duális tér definíciójaAz előző pontban tetszőleges (X, ‖ · ‖ X ) és (Y, ‖ · ‖ Y ) valós normált terek esetén azX → Y típusú folytonos lineáris leképezések B(X,Y )-nal jelölt halmazát vizsgáltuk.Műveleteket és (operátor)normát értelmeztünk ezen a halmazon. Azt is láttuk, hogyha az (Y, ‖ · ‖ Y ) tér teljes, akkor az így kapott (B(X,Y ), ‖ · ‖ XY ) normált tér isteljes, azaz Banach-tér. Most csak a valós értékű folytonos lineáris leképezéseket,vagyis a folytonos lineáris funkcionálokat fogjuk tekinteni. Ebben az esetben tehát(Y, ‖ · ‖ Y ) = (R, | · |). Mivel R teljes, ezért (B(X, R), ‖ · ‖ XR ) Banach-tér.Definíció. Legyen ( X, ‖ · ‖ X)tetszőleges normált tér. Az X-en értelmezett valósértékű folytonos lineáris leképezések halmazát B(X, R) helyett X ∗ -gal jelöljük:X ∗ := B(X, R).A (B(X, R), ‖·‖ XR ) Banach-teret az ( X, ‖·‖ X)normált tér duális terének nevezzük,és jelölésére az (X ∗ , ‖ · ‖ ∗ ) szimbólumot használjuk:(X ∗ , ‖ · ‖ ∗ ) := (B(X, R), ‖ · ‖ XR ).

5.5. A duális tér 113A továbbiakban (X ∗ , ‖ · ‖ ∗ ) helyett gyakran X ∗ -ot írunk, és az X ∗ duális térrőlbeszélünk. X ∗ elemeit általában görög nagybetűkkel (Φ, Ψ, stb.) jelöljük. A Φ ∈ X ∗szimbólumon azt értjük, hogy Φ eleme az X ∗ duális térnek. Érdemes összefoglalni,hogy mi mindent fejez ki ez a rövid jelsorozat:Φ ∈ X ∗ jelentése:• adott egy (X, ‖ · ‖ X ) normált tér;• a Φ : X → R leképezés lineáris, azazΦ(λx + µy) = λΦ(x) + µΦ(y)(x,y ∈ X, λ,µ ∈ R);• Φ korlátos, azaz∃C > 0 : |Φ(x)| ≤ C‖x‖ X(∀x ∈ X);• a ‖Φ‖ ∗ = sup{|Φ(x)| | x ∈ X és ‖x‖ X ≤ 1} képlettel értelmezve van a Φfunkcionál normája.5.5.2. Konkrét normált terek duális tereiA duális terek leírásánál hasznos, ha bizonyos normált tereket azonosítunk egymással.Ezzel kapcsolatos a következőDefiníció. Az (X, ‖ · ‖ X ) és (Y, ‖ · ‖ Y ) normált terek izometrikusan izomorfak(jelölésben X ∼ = Y ), ha van olyan T : X → Y lineáris bijekció, hogy azegyenlőség minden x ∈ X-re fennáll.‖T(x)‖ Y = ‖x‖ XAz izometrikusan izomorf tereket ugyanazon tér különböző realizációjának tekinthetjük,ezért ezek között nem teszünk különbséget, azonosítjuk őket.Megjegyzés. Vannak olyan esetek is, amikor ezt az azonosítást nem célszerűmegtenni.Ebben a szakaszban végig p és q konjugált kitevőpárokat jelöl, azaz1 ≤ p,q ≤ +∞, és 1 p + 1 q = 1, ( 1+∞Ilyenkor azt is mondjuk, hogy q a p szám konjugált kitevője.:= 0).

114 5. Lineáris operátorok és funkcionálok• Az R n p terek duális tereiLegyen n ∈ N és 1 ≤ p ≤ +∞. Jelölje R n p az ( )R n , ‖ · ‖ p normált (Banach-)teret, és e 1 ,...,e n az R n tér kanonikus bázisát. Ekkor az x = (x 1 ,...,x n ) ∈ R nvektorra⎧⎨( ∑ nk=1 |x k| p ) 1/p , ha 1 ≤ p < +∞‖x‖ p =⎩ max |x k|, ha p = +∞.1≤k≤n7. tétel. Tetszőleges 1 ≤ p ≤ +∞ esetén(Rnp) ∗∼ = Rnq ,vagyis az R n p tér duális tere azonosítható R n q-val, ahol q a p konjugált kitevője.Bizonyítás. (a) Először azt jegyezzük meg, hogy az R n lineáris téren ”természetesmódon” meg lehet adni lineáris funkcionálokat. Nevezetesen, nyilvánvaló, hogy haa = (a 1 ,...,a n ) ∈ R n egy tetszőleges vektor, akkor aΦ a (x) :=n∑a k x k (x ∈ R n ) (5.6)k=1leképezés lineáris funkcionál, amit az a ∈ R n vektor által generált funkcionálnaknevezünk. Az is világos, hogy különböző vektorok különböző funkcionálokat generálnak.Most megmutatjuk, hogy minden a ∈ R n vektor esetén Φ a olyan folytonos lineárisfunkcionál az R n p téren, amelynek a normája ‖a‖ q :‖Φ a ‖ ∗ = ‖a‖ q .Ha a az R n tér nulleleme, akkor az állítás nyilvánvaló. Legyen tehát a ∈ R n \ {0}.A Hölder-egyenlőtlenséget alkalmazva kapjuk, hogy|Φ a (x)| =∣n∑ ∣ ∣∣a k x k ≤ ‖a‖q · ‖x‖ pk=1(x ∈ R n p),ezért Φ a korlátos, következésképpen folytonos lineáris funkcionál. Ebből az egyenlőtlenségbőlaz is következik, hogy‖Φ a ‖ ∗ ≤ ‖a‖ q .A fordított irányú egyenlőtlenség bizonyításához elég megadni olyan nemnulla x o ∈R n p vektort, amelyre a|Φ a (x o )| = ‖a‖ q ‖x o ‖ p (5.7)

5.5. A duális tér 115egyenlőség teljesül. Ebből ui. már következik, hogy|Φ a (x)|‖Φ a ‖ ∗ = sup ≥ |Φ a(x o )|= ‖a‖‖x‖ p≠0 ‖x‖ p ‖x o q .‖ pHa p = 1, akkor jelöljön j egy olyan indexet, amelyre |a j | = ‖a‖ ∞ és legyen{x o sign a j , ha k = j,k :=(k = 1, 2,...,n).0, ha k ≠ jEkkor a nemnulla x o := (x o 1,...,x o n) vektorra az (5.7) egyenlőség teljesül, ui.|Φ a (x o )| =∣n∑a k x o k∣ = |a j | = ‖a‖ ∞ = ‖a‖ ∞ · ‖x o ‖ 1 .k=1A p = 1 esetben tehát igazoltuk, hogy ‖Φ a ‖ ∗ = ‖a‖ ∞ .Tegyük most fel, hogy 1 < p ≤ +∞, tehát a q konjugált kitevő 1 ≤ q < +∞.Ebben az esetben az x o := (x 1 ,...,x n ) vektort azx o k := |a k | q−1 sign a k(k = 1, 2,...,n)képlettel értelmezzük. Egyszerű átalakítások után kapjuk, hogy|Φ a (x o n∑)| = ∣ a k x o n∑( n∑ ) 1/q ( n∑ ) 1/pk∣ = |a k | q = ( 1 + 1 = 1 miatt) = |ap q k | q · |a k | q =k=1k=1(felhasználva, hogy q = p(q − 1) és |a k | q = |a k | p(q−1) = |x o k| p )( n∑ ) 1/q ( n∑ ) 1/p= |a k | q · |x o k| p =k=1= ‖a‖ q · ‖x o ‖ p .k=1Az (5.7) egyenlőség tehát valóban fennáll, következésképpen ‖Φ a ‖ ∗ = ‖a‖ p az 1

116 5. Lineáris operátorok és funkcionálokés azt is beláttuk már, hogy ‖Φ‖ ∗ = ‖a‖ q = ‖Φ a ‖ ∗ . Ez azt jelenti, hogy azR n p téren minden folytonos lineáris funkcionál valamilyen alkalmas (egyértelműenmeghatározott) vektor által generált funkcionállal egyezik meg.(c) A fentiekből következik, hogy minden 1 ≤ p,q ≤ +∞ konjugált kitevőpáresetén aT : R n q → ( R n p) ∗, Ta := Φa ,leképezés egy izometrikus izomorfia az ( R n p) ∗és az Rnq terek között. • A l p terek duális tereiTekintsük most a (l p , ‖ · ‖ p ) (1 ≤ p ≤ +∞) sorozattereket. Az x = (x n ) ∈ l psorozat normáját 1 ≤ p < +∞ esetén az( +∞) 1/p∑‖x‖ p := |x n | p ,n=1ha p = +∞, akkor pedig az‖x‖ ∞ := sup |x n |n∈Nképlettel értelmeztük, és azt is láttuk már, hogy e terek mindegyike Banach-tér.A duális terek leírásához felhasználjuk az alábbi, önmagában is fontos állítást.8. tétel. Ha 1 ≤ p < +∞, akkor aze n := (0,...,0, 1, 0,...) n = 1, 2,...} {{ }n−1kanonikus egységvektorok kifeszítik az (l p , ‖·‖ p ) teret, azaz minden x = (x n ) ∈ l pelem előállítható azx =+∞∑n=1x n e nalakban. Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy a ∑ x n e n sor részletösszegeinek a sorozataaz l p tér normájában tart az x elemhez, tehát∥n∑ ∥lim ∥x − x k e k ∥∥p= 0.n→+∞Valóban, tetszőlegesen adott x = (x n ) ∈ l p esetén az∥n∑ ∥∥x − x k e k ∥∥p+∞∑≤ |x k | p → 0 (n → +∞)k=1pk=1k=n+1reláció teljesül, mert a ∑ n |x n| p sor konvergens.

5.5. A duális tér 117A véges dimenziós esetben megszokott szóhasználattal élve azt mondjuk, hogy1 ≤ p < +∞ esetén az e n (n = 1, 2,...) vektorrendszer a l p tér egy bázisa (vagykanonikus bázisa).Megjegyzés. A 8. tétel p = +∞ esetén nem igaz: az e n (n = 1, 2,...) kanonikusegységvektorok nem feszítik ki a l ∞ teret. Tekintsük pl. az azonosan 1 sorozatot.9. tétel. Bármely 1 ≤ p < +∞ esetén(lp ) ∗∼ = l q ,vagyis az (l p , ‖·‖ p ) tér duális tere azonosítható az (l q , ‖·‖ q ) térrel, ahol q a p konjugáltkitevője.Bizonyítás. (a) Először azt mutatjuk meg, hogy ha a = (a n ) ∈ l q egy tetszőlegessorozat, akkorΦ a (x) :=+∞∑n=1a n x n (x = (x n ) ∈ l p )olyan folytonos lineáris funkcionál az l p téren, amelynek a normája ‖a‖ q , azaz‖Φ a ‖ ∗ = ‖a‖ q .Valóban, a Hölder-egyenlőtlenség alkalmazásával látható, hogy a definíció korrekt,és+∞∑ ∣ ∣∣|Φ a (x)| = ∣ a n x n ≤ ‖a‖q · ‖x‖ p (x ∈ l p ). (5.8)n=1Φ a linearitása a végtelen sorok összegére és számszorosára vonatkozó állításból következik.(5.8) alapján Φ a korlátos, tehát folytonos lineáris funkcionál és‖Φ a ‖ ∗ ≤ ‖a‖ qminden a ∈ l q esetén. A fordított irányú egyenlőtlenség igazolásához felhasználhatjuka 7. tétel bizonyításában megmutatott gondolatokat.(b) Most azt igazoljuk, hogy tetszőlegesen rögzített Φ ∈ ( l p) ∗funkcionálhozegyértelműen létezik olyan a ∈ l q sorozat, amelyre Φ a = Φ és ‖Φ‖ ∗ = ‖a‖ q .Ha van ilyen a ∈ l q sorozat, akkor szükségképpenΦ(e n ) = Φ a (e n ) = a nminden n-re, ahonnana n = Φ(e n ) (n = 1, 2,...). (5.9)

118 5. Lineáris operátorok és funkcionálokEz azt jelenti, hogy legfeljebb egy kívánt tulajdonságú a ∈ l q sorozat létezik.Megmuatatjuk, hogy az (5.9) képlettel definiált a = (a n ) sorozat valóban kielégítia megkívánt feltételeket, azaz(i) a ∈ l q és(ii) Φ = Φ a .Az állítás nyilvánvaló, ha a n = 0 (n = 1, 2,...). Feltehető tehát, hogy valamilyenN ∋ N 0 -ra a N0 ≠ 0. Ekkor (i)-t először p = 1 esetére igazoljuk:|a n | = |Φ(e n )| ≤ ‖Φ‖ ∗ · ‖e n ‖ p = ‖Φ‖ ∗minden n-re, úgyhogy a ∈ l ∞ .Ha p > 1 és így q < +∞, akkor tekintsük minden egyes rögzített N = 1, 2,...számra az{x N |a k | q−1 signa k , ha k ≤ Nk :=0, ha k > Nképlettel definiált x N := ( x N k , k ∈ N) sorozatot. Világos, hogy x N ∈ l p minden N-re(hiszen csak legfeljebb véges sok nemnulla tagja van a sorozatnak). Mivel∣∣x N ∣ p k = |a k | q (k ≤ N)(ui. 1 p + 1 q= 1 miatt p(q − 1) = q), ezért( ∑ N )Φ(x N ) = Φ x N k e k =k=1=N∑ ∣k=1∣x N kN∑x N k Φ(e k ) =k=1∣ p = ‖x N ‖ p p,N∑|a k | q =k=1ahol ‖x N ‖ p p > 0 (N ≥ N 0 ). Φ korlátos, ezért∣∣Φ(x N ) ∣ ∣ ≤ ‖Φ‖ ∗ · ‖x N ‖ p ,amiből azt kapjuk, hogyés így‖x N ‖ p p ≤ ‖Φ‖ ∗ · ‖x N ‖ p ,‖x N ‖ p−1p =( ∑ N ) (p−1)/p ( ∑ N ) 1/q|x N k | p = |a k | q ≤ ‖Φ‖∗ (N 0 ≤ N ∈ N).k=1k=1

5.5. A duális tér 119Innen N → +∞ esetén következik, hogy(+∞∑k=1|a k | q ) 1/q= ‖a‖q < +∞,tehát a ∈ l q valóban fennáll a q < +∞ (p > 1) esetben is.Hátra van még a Φ = Φ a egyenlőség igazolása. Mivel a folytonos és lineáris Φ ésΦ a funkcionálok definíció szerint megegyeznek minden e n pontban, ezért a 8. tételalapján (csak itt használjuk fel, hogy p ≠ +∞) megegyeznek az egész l p téren is. Megjegyzés. A 9. tétel p = +∞ esetén nem igaz, vagyis a korlátos sorozatok l ∞terének a duálisa nem az l 1 tér. Az igaz, hogy minden a ∈ l 1 sorozatra Φ a korlátoslineáris funkcionál az l ∞ téren és ‖Φ a ‖ = ‖a‖ 1 , azonban ( l ∞) ∗ezeken kívül máselemeket is tartalmaz. Az ( l ∞) ∗tér elemeinek általános alakja N végesen additívmértékeivel adható meg.A sorozatoknak azonban megadhatók olyan terei, amelyek duálisa az l 1 térrelazonosítható. Ezek a c 0 és a c sorozatterek. Jelölje c a valós konvergens, c 0pedig a zérussorozatok halmazát. Könnyen igazolható, hogy minden 1 < p ≤ +∞paraméterrel 1 ⊂ l p ⊂ c 0 ⊂ c ⊂ l ∞ ,továbbá a felsorolásban előforduló halmazok mindegyike lineáris altere a rákövetkezőnek.Bebizonyítható az is, hogy a (c, ‖·‖ ∞ ) és a (c 0 , ‖·‖ ∞ ) terek az (l ∞ , ‖·‖ ∞ ) Banachtérzárt alterei, következésképpen maguk is Banach-terek. A 9. tételhez hasonlóanigazolható, hogy• A L p terek duális tereic ∗ ∼ = l1és c ∗ 0 ∼ = l 1 .Legyen (X, Ω,µ) egy σ-véges mértéktér, és tekintsük aL p := L p( )(X, Ω,µ), ‖ · ‖ L p (1 ≤ p ≤ +∞)függvénytereket.Az előző példák figyelembevételével természetes módon” meg lehet adni folytonoslineáris funkcionálokat a L p (1 ≤ p ≤ +∞) téren: a Hölder-egyenlőtlenség”alkalmazásával ui. egyszerűen bizonyítható, hogy ha g ∈ L q egy tetszőleges függvényés 1 + 1 = 1, akkor a p q∫Φ g : L p → R, Φ g (f) := fg dµX

120 5. Lineáris operátorok és funkcionálokleképezés folytonos lineáris funkcionál a L p téren és ‖Φ‖ ∗ = ‖g‖ L q.Jóval nehezebb annak az eldöntése, hogy így minden folytonos lineáris funkcionáltelő lehet-e állítani. A következő fontos tétel azt állítja, hogy az 1 ≤ p < +∞ esetbena fenti Φ g leképezéseken kívül nincsenek más folytonos lineáris funkcionálok a L ptéren.10. tétel (a Riesz-féle reprezentációs tétel). Legyen 1 ≤ p < +∞. Ekkor mindenΦ ∈ (L p ) ∗ funkcionálhoz egyértelműen létezik olyan g ∈ L ( q 1+ 1 = 1) függvény,p qhogy∫Φ(f) = Φ g (f) = fg dµ (f ∈ L p )és ‖Φ‖ ∗ = ‖g‖ L q.XFennáll tehát a11. tétel. Legyen (X, Ω,µ) egy σ-véges mértéktér és 1 ≤ p < +∞. Ekkor aL p := ( )L p (X, Ω,µ), ‖ · ‖ L pfüggvénytér duális tere azonoítható a L q függvénytérrel, ahol q a p konjugált kitevője,azaz(L p ) ∗ ∼ = L q .• A (C[a,b], ‖ · ‖ ∞ ) tér duális tere• Hilbert-tér duális tereLegyen (H, 〈·, ·〉) egy valós Hilbert-tér, és jelölje ‖x‖ := √ 〈x,x〉 (x ∈ H) askaláris szorzat által indukált normát.A H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálok leírásához abból az egyszerűészrevételből fogunk majd kiindulni, hogy természetes módon meg lehet adni ilyenleképezéseket: minden a ∈ H vektor eseténΦ a (x) := 〈x,a〉 (x ∈ H)folytonos lineáris funkcionál a H Hilbert téren. Kevésbé nyilvánvaló, hogy mindenfolytonos lineáris funkcionál alkalmas a ∈ H vektorral ilyen alakban adható meg.Ezeket az eredményeket röviden a következő formában fogalmazzuk meg:12. tétel. Ha H tetszőleges valós Hilbert tér, akkorH ∗ ∼ = H,azaz H duális tere azonosítható magával a H Hilbert térrel.

5.5. A duális tér 121Bizonyítás. Azt kell megmutatni, hogy H és H ∗ izometrikusan izomorfak, azazvan olyan T : H → H ∗ lineáris bijekció, amelyre ‖Tx‖ ∗ = ‖x‖ is teljesül mindenx ∈ H vektorra.(a) Tetszőlegesen rögzített a ∈ H vektor esetén tekintsük aΦ a (x) := 〈x,a〉 (x ∈ H)leképezést. A skaláris szorzat tulajdonságai alapján ez nyilván lineáris. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség miatt|Φ a (x)| = |〈x,a〉| ≤ ‖a‖ · ‖x‖ (x ∈ H),ezért Φ a korlátos, tehát folytonos. Az operátornorma definíciója alapján ebből az iskövetkezik, hogy‖Φ a ‖ ∗≤ ‖a‖. (5.10)A fordított irányú egyenlőtlenség igazolásához tegyük fel, hogy a ≠ θ és legyenx 0 := a . Ekkor ‖a‖〈 a〉Φ a (x 0 ) =‖a‖ ,a = 〈a,a〉‖a‖ = ‖a‖2‖a‖ = ‖a‖.Mivel ‖x 0 ‖ = 1, ezért‖Φ a ‖ ∗ = sup{|Φ a (x)| | x ∈ H, ‖x‖ ≤ 1} ≥ |Φ a (x 0 )| = ‖a‖.Ezt egybevetve (5.10)-zel a bizonyítandó ‖Φ a ‖ ∗ = ‖a‖ egyenlőséget kapjuk. Nyilvánvaló,hogy az állítás a = θ esetén is fennáll.(b) Most megmutatjuk, hogy minden H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálΦ a alakú, ahol a ∈ H. Ez aRiesz–Fréchet-féle reprezentációs tétel. Legyen Φ : H → R egy folytonoslineáris funkcionál a H Hilbert-téren. Ekkor egyértelműen létezik olyan a ∈ Hvektor, amelyre Φ(x) = Φ a (x) (x ∈ H) teljesül, emellett a ‖Φ‖ ∗ = ‖a‖ egyenlőség isérvényes.A Riesz–Fréchet-féle reprezentációs tétel bizonyítása. A kívánt tulajdonságúa ∈ H vektort a Φ leképezés magterére ortogonális vektorként lehet megkapni.Legyen tehát Φ ∈ H ∗ . Mivel Φ ≡ 0 esetén a = θ megfelelő választás, ezértfeltehető, hogy Φ ≢ 0. Jelölje H 0 a Φ magterét:H 0 := Ker Φ = {x ∈ H | Φ(x) = 0}.

122 5. Lineáris operátorok és funkcionálokMinthogy Φ folytonos és lineáris, ezért H 0 zárt altér és Φ ≢ 0 miatt ez valódi altér is.A Riesz-féle felbontási tétel szerint létezik olyan nemnulla vektor, amelyik merőlegesa H 0 altérre. Jelöljön e egy ilyen egységvektort. Megmutatjuk, hogya := Φ(e)emegfelelő választás, azaz Φ = Φ a . Valóban, tetszőleges x ∈ H-ra legyen λ :=Φ(x)/Φ(e) és z := x − λe. (Világos, hogy Φ(e) ≠ 0, különben e ∈ H 0 és így e ⊥ H 0miatt 0 = 〈e,e〉 = ‖e‖ 2 lenne, ami ‖e‖ = 1 miatt nem igaz.) Ekkor Φ(z) = 0, tehátz ∈ H 0 , és így z ⊥ e. KövetkezésképpenésΦ(x) = Φ(λe + z) = λΦ(e)〈x,a〉 = Φ(e)〈x,e〉 = λΦ(e)〈e,e〉 + Φ(e)〈z,e〉 = λΦ(e).A Φ ≡ Φ a egyenlőség tehát valóban érvényes. Ezért ‖Φ‖ ∗ = ‖a‖.Az egyértelműség bizonyításához tegyük fel, hogy az a 1 ,a 2 ∈ H elemekre Φ a1 =Φ a2 = Φ teljesül. EkkorΦ a1 (x) − Φ a2 (x) = 〈x,a 1 − a 2 〉 = 0(∀x ∈ H).Itt az x := a 1 − a 2 vektort véve ‖a 1 − a 2 ‖ 2 = 0, azaz a 1 = a 2 adódik. A Riesz–Fréchet-féle reprezentációs tételt tehát bebizonyítottuk.(c) A fentiekből már következik, hogy aT : H → H ∗ ,T(a) := Φ aleképezés lineáris bijekció és ‖a‖ = ‖Φ a ‖ miatt izometria is, tehát H és H ∗ valóbanizometrikusan izomorfak.

6. A Hahn–Banach-tételek6.1. Előzetes megjegyzésekA funkcionálanalízis alapvető célja (pl.) normált terek közötti leképezések vizsgálata.Ezek közül a legegyszerűbbeknek, nevezetesen a lineáris leképezéseknek a leírásasem egyszerű feladat.Ebben a fejezetben a valós értékű lineáris leképezéseket, vagyis a lineáris funkcionálokatfogjuk általános szempontból vizsgálni. Az előző fejezetben számos példátláttunk konkrét normált tereken értelmezett funkcionálokra, sőt több esetben jellemeztükis a lineáris funkcionálok halmazát, azaz az adott tér duális terét. A duálistér számos tulajdonsága szoros kapcsolatban van az eredeti tér tulajdonságával,másrészt több szempontból kezelhetőbb az eredeti térnél. Ezért fontos feladat ezekvizsgálata.Az előző fejezetben láttuk, hogy ha X véges dimenziós lineáris tér, akkor ezenminden lineáris funkcionáln∑Φ(x) = x k α kk=1alakú, ahol x k -k az x vektor valamely rögzített bázisra vonatkozó koordinátái és α k -ka funkcionált meghatározó tetszőleges állandók. Végtelen dimenziós terek eseténa helyzet lényegesen bonyolultabb. Már az sem nyilvánvaló, hogy egy ilyen Banachtérenegyáltalán léteznek-e nemnulla lineáris funkcionálok. Mivel véges dimenzióstéren igen egyszerűen meg lehet adni lineáris funkcionálokat, ezért egy természeteskiindulópont annak vizsgálata, hogy egy ilyen leképezést vajon ki lehet-e terjeszteniaz egész térre. A Hahn–Banach-tétel éppen azt állítja, hogy ez a kiterjesztéslehetséges. A fentiek alapján a Hahn–Banach-tételt a funkcionálanalízis egyikalapvető tételének mondjuk.A következő pontokban ismertetjük az általános tételeket, és csupán megemlítjükazt, hogy ezeknek az eredményeknek igen sok fontos alkalmazása van többek közötta parciális differenciálegyenletek elméletében, az irányításelméletben, a játékelméletben,sőt a fizikában is.6.2. A Hahn–Banach-tétel analitikus alakjai:lineáris funkcionálok kiterjesztése1. tétel (a Hahn–Banach-tétel analitikus alakja vektortér esetén). Legyen X valósvektortér és tegyük fel, hogy p : X → R olyan leképezés, amelyre a következők123

124 6. A Hahn–Banach-tételekteljesülnek:p(x + y) ≤ p(x) + p(y) (∀ x,y ∈ X) (p szubadditív);p(λx) = λp(x) (∀ x ∈ X, λ > 0) (p pozitív homogén).Másrészt legyen X 0 ⊂ X altér és Φ 0 : X 0 → R olyan lineáris funkcionál, amelyet azX 0 altéren p majorál, azazΦ 0 (x) ≤ p(x) (∀x ∈ X 0 ).Ekkor van olyan, az egész X téren értelmezett Φ : X → R lineáris funkcionál, hogy• Φ kiterjesztése Φ 0 -nak, azaz Φ(x) = Φ 0 (x) (∀ x ∈ X 0 ) és• Φ(x) ≤ p(x) (∀ x ∈ X).A tétel bizonyításához a Zorn-lemmát fogjuk alkalmazni. Ennek megfogalmazásaelőtt felidézzük a rendezett halmazok elméletének néhány fogalmát.Jelöljön (F, ≤) parciálisan rendezett halmazt, azaz legyen F nemüres halmaz és≤ ⊂ F × F egy reflexív, antiszimetrikus és tranzitív reláció.A G ⊂ F egy teljesen rendezett részhalmaz, ha G bármely két eleme összehasonlítható,azaz az a ≤ b és b ≤ a relációk közül legalább az egyik teljesül.A G ⊂ F részhalmaznak c ∈ F egy felső korlátja, ha bármely G-beli g elem eseténg ≤ c.Azt mondjuk, hogy m ∈ F az F halmaznak egy maximális eleme, ha abból,hogy m ≤ a valamely F-beli a elemre, az következik, hogy a = m. Másképpenfogalmazva: nincs m-nél nagyobb F-beli elem.Zorn-lemma. Legyen (F, ≤) egy parciálisan rendezett halmaz. Ha F mindenteljesen rendezett részhalmazának van F-beli felső korlája, akkor F-nek vanmaximális eleme.Megjegyzés. A Zorn-lemma jól használható segédeszköz matematikai objektumoklétezésének a bizonyításánál.A Hahn–Banach-tétel bizonyítása. Tekintsük a következő halmazt:{}D Ψ ⊂ X altér, Ψ lineáris,F := Ψ ∈ X → R.∣ X 0 ⊂ D Ψ , Ψ kiterjesztése Φ 0 -nak és Ψ(x) ≤ p(x) ∀ x ∈ D ΨF nem üres halmaz, mert Φ 0 ∈ F.Értelmezzük F-en a következő relációt:Ψ 1 ≤ Ψ 2 :⇐⇒ D Ψ1 ⊂ D Ψ2 és Ψ 2 kiterjesztése Ψ 1 -nek.

6.2. A Hahn–Banach-tétel analitikus alakjai 125Könnyű ellenőrizni, hogy (F, ≤) parciálisan rendezett halmaz. Az is igaz, hogyF minden teljesen rendezett G részhalmazának van F-beli felső korlátja. Vegyünkugyanis egy ilyen G ⊂ F részhalmazt, és definiáljuk a Ψ ∗ leképezést a következőmódon:D Ψ ∗ := ⋃ Ψ∈GD Ψ , Ψ ∗ (x) := Ψ i (x), ha x ∈ D Ψi és Ψ i ∈ G.Nem nehéz megmutatni, hogy Ψ ∗ egy jól definiált X → R függvény és Ψ ∗ felsőkorlátja G-nek.A Zorn-lemma feltételei tehát teljesülnek, következésképpen F-nek van maximáliseleme. Jelöljünk egy maximális elemet Φ-vel.A tétel bizonyításához elég azt igazolni, hogy a Φ maximális elem értelmezésitartománya az egész X tér, azaz D Φ = X. Ezt indirekt módon látjuk be. Azállítással ellentétben tegyük fel, hogy D Φ ≠ X, azaz az X térnek van olyan x 0eleme, ami nem tartozik hozzá a D Ψ halmazhoz.Definiálni fogunk egy olyan Φ 1 ∈ F leképezést, melyre Φ < Φ 1 , és ez ellentmondannak, hogy Φ maximális elem.A szóban forgó Φ 1 értelmezéséhez vegyünk egy x 0 ∈ X \ D Φ ≠ ∅ vektort. LegyenésD Φ1 := {x + tx 0 | x ∈ D Φ ,t ∈ R} ⊂ XΦ 1 (x + tx 0 ) := Φ(x) + tα (x ∈ D Φ és t ∈ R),ahol α tetszőlegesen rögzített valós szám.Világos, hogy D Φ1 ⊂ X egy altér és Φ 1 lineáris kiterjesztése Φ-nek.Most megmutatjuk, hogy az α szám megválasztható úgy, hogy Φ 1 ∈ F is igaz legyen,azaz teljesüljön aΦ 1 (x + tx 0 ) = Φ(x) + tα ≤ p(x + tx 0 ) (∀ x ∈ D Φ és ∀ t ∈ R)egyenlőtlenség is. Φ linearitása és p pozitív homogenitása miatt ezt az egyenlőtlenségetelég a t = ±1 értékekre tekinteni. Ez azt jelenti, hogy az α-t oly módon kellmegválasztani, hogy minden x,y ∈ D Ψ esetén fennálljanak aΦ(x) + α ≤ p(x + x 0 )Φ(y) − α ≤ p(y − x 0 )(6.1)egyenlőtlenségek.Mivel Φ lineáris és p szubadditív, ezért minden x,y ∈ D Φ eseténΦ(x) + Φ(y) = Φ(x + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x + x 0 ) + p(y − x 0 ),

126 6. A Hahn–Banach-tételekamiből átrendezés után azt kapjuk, hogyΦ(y) − p(y − x 0 ) ≤ p(x + x 0 ) − Φ(x).Ez az egyenlőtlenség tehát minden x,y ∈ D Φ esetén teljesül. Ezért a bal oldalszuprémuma nem lehet nagyobb a jobb oldal infimumánál, azazA := supy∈D Φ(Φ(y) − p(y − x 0 )) ≤ infx∈D Φ(p(x + x 0 ) − Φ(x)) =: B.Ekkor bármelyik α ∈ [A,B] jó választás, ugyanis ezekre az α értékekre fennáll aΦ(y) − p(y − x 0 ) ≤ α ≤ p(x + x 0 ) − Φ(x) (x,y ∈ D Φ )egyenlőtlenség, amiből átrendezéssel (6.1) adódik. 2. tétel (a Hahn–Banach-tétel analitikus alakja normált tér esetén).Legyen (X, ‖ · ‖ X ) normált tér, X 0 ⊂ X tetszőleges altér és Φ 0 : X 0 → R folytonoslineáris funkcionál a‖Φ 0 ‖ ∗ = sup |Φ 0 (x)|x∈X 0‖x‖ X ≤1képlettel értelmezett normával.Ekkor van olyan folytonos lineáris Φ funkcionál az X téren (vagyis ∃ Φ ∈ X ∗ ),amelyik az X 0 altéren megegyezik Φ 0 -lal és ‖Φ‖ ∗ = ‖Φ 0 ‖ ∗ . Azaz: egy normált tértetszőleges alterén értelmezett folytonos lineáris funkcionál kiterjeszthető az egész Xtérre a folytonosság, a linearitás és a norma megtartásával.Bizonyítás. Alkalmazzuk az előző tételt ap(x) := ‖Φ 0 ‖ ∗ · ‖x‖ (x ∈ X)szubadditív és pozitív homogén függvénnyel. 1. következmény. Ha (X, ‖·‖ X ) normált tér és x 0 ∈ X, akkor az X ∗ duális térbenlétezik olyan folytonos lineáris Φ funkcionál, amelyreteljesül.Φ(x 0 ) = ‖x 0 ‖ 2 és ‖Φ‖ ∗ = ‖x 0 ‖Bizonyítás. Jelöljük a x 0 által meghatározott alteret X 0 -lal:X 0 := {t · x 0 | t ∈ R} ⊂ X,

6.3. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 127és értelmezzük aΦ 0 (t · x 0 ) := t · ‖x 0 ‖ 2 (t ∈ R)leképezést. Ekkor Φ 0 olyan folytonos lineáris funkcionál az X 0 altéren, amelyneka normája ‖x 0 ‖. Az előző tétel szerint ez a norma megtartásával kiterjeszthető azegész X térre. 2. következmény. Legyen X 0 az X normált tér egy tetszőleges zárt altere ése ∈ X \ X 0 . Ekkor van olyan folytonos lineáris Φ funkcionál az X téren , amelyre{ 0, x ∈ X0Φ(x) =1, x = e.3. következmény. Az (X, ‖ · ‖ X ) normált tér tetszőleges x elemének a normájáraazképlet érvényes.‖x‖ X = sup |Φ(x)|Φ∈X ∗‖Φ‖ ∗≤16.3. A Hahn–Banach-tétel geometriai alakjai:konvex halmazok szétválasztása síkokkalElőször vektortér síkjait értelmezzük. Ehhez a közönséges tér síkjaiból indulunk ki.Az R 3 tér adott x 0 pontján átmenő n normálvektorú síkon azS = { x ∈ R 3 | 〈x − x 0 ,n〉 = 0 }halmazt értjük.Az 〈x − x 0 ,n〉 = 0 egyenlőséget írjuk át az 〈x,n〉 = 〈x 0 ,n〉 alakra. Az 〈x,n〉 pedigfelfogható úgy is, mint a Φ : R 3 ∋ x ↦−→ 〈x,n〉 lineáris funkcionálnak az x helyenvett helyettesítési értéke. Az S sík tehát a Φ függvény α = 〈x 0 ,n〉 paraméterheztartozó szintfelülete:S = { x ∈ R 3 | Φ(x) = α } .Az itt használt fogalmakat tetszőleges vektortérben is értelmezhetjük, ezért tetszőlegesvektortérben a síkokat lineáris funkcionálok szintfelületeként definiálhatjuk.Definíció.Az X vektortér hipersíkjainak nevezzük azS Φ,α := {x ∈ X | Φ(x) = α}

128 6. A Hahn–Banach-tételekalakú részhalmazokat, ahol Φ egy nem azonosan nulla lineáris funkcionál és α ∈ R.Ekkor azt is mondjuk, hogy S Φ,α az X tér [Φ = α] egyenletű hipersíkja.Az S Φ,α hipersík az X teret két részre, úgynevezett félterekre osztja:amelyek közös része az S Φ,α sík.{x ∈ X | Φ(x) ≥ α} , {x ∈ X | Φ(x) ≤ α} ,3. tétel. Az X normált tér [Φ = α] egyenletű hipersíkja akkor és csak akkor zárthalmaz, ha Φ folytonos lineáris funkcionál.Definíció. Legyenek A és B az X normált tér részhalmazai. Azt mondjuk, hogyaz S Φ,α hipersík(a) tágabb értelemben szétválasztja A-t és B-t, haΦ(x) ≤ α ∀ x ∈ A-ra ésΦ(x) ≥ α ∀ x ∈ B-re;(b) szigorúbb értelemben szétválasztja A-t és B-t, ha∃ ε > 0 : Φ(x) ≤ α − ε ∀ x ∈ A-ra és Φ(x) ≥ α + ε ∀ x ∈ B-re.Szemléletesen:tágabb értelemben vett szétválasztásszigorúbb értelemben vett szétválasztásAS Φ,αAS Φ,αBBDefiníció. Az X lineáris tér egy A részhalmaza konvex, ha∀ x,y ∈ A és ∀ t ∈ [0, 1] : tx + (1 − t)y ∈ A.

6.3. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 1294. tétel (a Hahn–Banach-tétel első geometriai alakja.). Legyen A és B két diszjunktnemüres konvex halmaz az X normált térben. Ha A nyílt, akkor van olyan zárthipersík, amelyik tágabb értelemben szétválasztja A-t és B-t.5. tétel (a Hahn–Banach-tétel második geometriai alakja.). Legyen A és B kétdiszjunkt nemüres konvex halmaz az X normált térben. Ha A zárt és B kompakt,akkor van olyan zárt hipersík, amelyik szigorúbb értelemben szétválasztja A-t és B-t.

7. A Banach–Steinhaus-tételek7.1. Operátorsorozat konvergenciájaTetszőleges (X, ‖ · ‖ X ) és (Y, ‖ · ‖ Y ) normált terek esetén értelmeztük a folytonos(korlátos) lineáris leképezések B(X,Y ) lineáris terét, és ezt elláttuk az‖A‖ := ‖A‖ XY := sup ‖Ax‖ Y (A ∈ B(X,Y ))x∈X‖x‖ X ≤1(operátor)normával. Ez a norma az (A n ) ⊂ B(X,Y ) operátorsorozat alábbi konvergenciájátindukálja.Definíció. Azt mondjuk, hogy az (A n ) ⊂ B(X,Y ) operátorsorozat normában(vagy erősen) tart az A ∈ B(X,Y ) operátorhoz, ha:lim ‖A − A n‖ = 0.n→+∞Szintén természetes a következő konvergencia-típus bevezetése.Definíció. Azt mondjuk, hogy az (A n ) ⊂ B(X,Y ) operátorsorozat az M ⊂ Xhalmazon pontonként tart az A ∈ B(X,Y ) operátorhoz, ha minden x ∈ M vektorraaz (A n x) ⊂ Y sorozat Ax-hez konvergál az Y térben, azazMivellim ‖A nx − Ax‖ Y = 0n→+∞(x ∈ M).‖A n x − Ax‖ Y = ‖(A n − A)x‖ Y ≤ ‖A n − A‖ · ‖x‖ X(x ∈ X, n ∈ N),ezért a normakonvergenciából következik a pontonkénti konvergencia az egész Xhalmazon.Ennek az állításnak a megfordítása nem igaz, vagyis a pontonkénti konvergenciábóláltalában nem következik a normakonvergencia. Legyen ui. H Hilbert-térés vegyünk benne egy (e n ) ⊂ H ortonormált rendszert. Minden n ∈ N számratekintsük azL n x := 〈x,e n 〉 (x ∈ H)funkcionálokat. A Bessel-egyenlőtlenségből következik, hogy minden x ∈ H vektorralim 〈x,e n〉 = lim L n(x) = 0,n→+∞ n→+∞131

132 7. A Banach–Steinhaus-tételekés ez azt jelenti, hogy az (L n ) funkcionálsorozat pontonként tart az azonosan nullafunkcionálhoz. Viszont (L n ) nem konvergál normában ehhez a funkcionálhoz, hiszen‖L n ‖ = ‖e n ‖ = 1.A Banach–Steinhaus-tétel operátorsorozat pontonkénti konvergenciájára admeg szükséges és elégséges feltételt. Ezt az eredményt is a funkcionálanalízisalapvető tételei közé szokás sorolni.7.2. Az általános eredmények• Az egyenletes korlátosság tétele1. tétel (az egyenletes korlátosság tétele). Legyen (X, ‖ · ‖ X ) Banach-tér, (Y, ‖ · ‖ Y )pedig normált tér. Tegyük fel, hogy az (A n ) ⊂ B(X,Y ) operátorsorozat pontonkéntkorlátos az X téren, tehát minden x ∈ X elemre az (A n x) vektorsorozat korlátos azY térben, azaz∀x ∈ X elemhez ∃ (x-től függő) C x > 0 : ‖A n x‖ Y ≤ C x (∀n ∈ N). (7.1)Ekkor az operátornormák (‖A n ‖) sorozata egyenletesen korlátos, azaz∃C > 0 : ‖A n ‖ ≤ C (∀n ∈ N). (7.2)Bizonyítás. A Baire-féle kategóriatétel felhasználásával azt fogjuk megmutatni,hogy∃C > 0 : ‖A n z‖ Y ≤ C (∀z ∈ X, ‖z‖ X ≤ 1 és ∀n ∈ N). (7.3)Az operátornorma definíciója alapján ebből már következik a (7.2) egyenlőtlenség.Tekintsük azX m := { x ∈ X | sup ‖A n x‖ Y ≤ m } (m ∈ N)n∈Nhalmazokat. X m (m ∈ N) zárt halmaz. Valóban, legyen x k ∈ X m (k ∈ N) konvergenssorozat. Azt kell igazolni, hogy az x := lim x k határérték is X m -hez tartozik.k→+∞Az x k ∈ X m feltétel azzal ekvivalens, hogy‖A n x k ‖ Y ≤ m(∀n,k ∈ N).Ebből az A n operátorok és a norma folytonossága alapján‖A n x‖ Y = limk→+∞ ‖A nx k ‖ Y ≤ m (∀n ∈ N)adódik, és ez azt jelenti, hogy x ∈ X m .

7.2. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 133A pontonkénti korlátosságra tett (7.1) feltételünkből következik, hogy⋃X m = X.m∈NAz X teljes és az X m halmazok zártak, ezért a Baire-féle kategóriatétel alapjánintX m0 ≠ ∅ valamilyen m 0 -ra, így az X m (zárt) halmazok közül legalább az egyiktartalmaz (zárt) gömböt, azaz∃m 0 ∈ N, ∃x 0 ∈ X és ∃r > 0k r (x 0 ) = { x ∈ X | ‖x − x 0 ‖ X ≤ r } ⊂ X m0 .Ennek a halmaznak az x elemeit az x = x 0 + rz (‖z‖ X ≤ 1) alakban lehet felírni.Az X m0 definíciója alapján tehát fennáll az‖A n (x 0 + rz)‖ Y ≤ m 0 (∀n ∈ N és ∀ ‖z‖ X ≤ 1) (7.4)egyenlőtlenség.Legyen z ∈ X, ‖z‖ X ≤ 1 egy tetszőleges vektor és n ∈ N egy tetszőleges index.A n linearitása miattrA n (z) = rA n (z) + A n (x 0 ) − A n (x 0 ) = A n (x 0 + rz) − A n (x 0 ),ezért (7.4) alapján kapjuk, hogy‖rA n (z)‖ Y ≤ ‖A n (x 0 + rz)‖ Y + ‖A n (x 0 )‖ Y ≤ m 0 + C x0 ,ahol C x0 a (7.1) feltételből az x 0 ponthoz tartozó állandó. Következésképpen‖A n (z)‖ Y ≤ 1 r (m 0 + C x0 ) (∀z ∈ X, ‖z‖ X ≤ 1 és ∀n ∈ N)és ez azt jelenti, hogy a (7.3) egyenlőség a C := 1 r (m 0 + C x0 ) állandóval teljesül.Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Az egyenletes korlátosság tételének egy átfogalmazása a2. tétel (divergencia-tétel.). Legyen (X, ‖ · ‖ X ) Banach-tér, (Y, ‖ · ‖ Y ) pedig normálttér. Tegyük fel, hogy az (A n ) ⊂ B(X,Y ) operátorsorozat normáinak az (‖A n ‖)sorozata nem korlátos, azazsup ‖A n ‖ = +∞.n∈NEkkor van olyan x 0 ∈ X elem, hogy az Y térbeli (A n x 0 ) sorozat nem korlátos, azazsup ‖A n x 0 ‖ Y = +∞,nkövetkezésképpen az (A n x 0 ) ⊂ Y sorozat nem konvergens.

134 7. A Banach–Steinhaus-tételek• Operátorsorozat pontonkénti konvergenciája3. tétel. Legyen (X, ‖·‖ X ) Banach-tér és (Y, ‖·‖ Y ) normált tér. Tegyük fel, hogy az(A n ) ⊂ B(X,Y ) operátorsorozat minden x ∈ X pontban konvergens, vagyis mindenx ∈ X vektorra az Y -beli (A n x) vektorsorozat konvergens. JelöljeA(x) := limn→+∞ A nx (x ∈ X)a limesz-operátort. Ekkor A is folytonos lineáris operátor, azaz A ∈ B(X,Y ) és‖A‖ ≤ lim infn→+∞ ‖A n‖.Bizonyítás. A linearitás a határérték és a műveletek felcserélhetőségéből következik.A folytonosságra vonatkozó állítást a korlátosság bizonyításával igazoljuk. A normafolytonossága alapján‖A(x)‖ Y = limn→+∞ ‖A nx‖ Y(x ∈ X).Mindegyik A n korlátos, ezért‖A n x‖ Y ≤ ‖A n ‖ · ‖x‖ X(x ∈ X, n ∈ N).Itt mindkét oldal limesz inferiorját véve és felhasználva azt, hogy konvergens sorozatokhatárértéke a limesz inferiorjával egyenlő, azt kapjuk, hogy( )‖A(x)‖ Y = lim ‖A nx‖ Y = lim inf ‖A nx‖ Y ≤ lim inf ‖A n‖ · ‖x‖ X (x ∈ X).n→+∞ n→+∞ n→+∞Mivellim inf ‖A n‖ ≤ sup ‖A n ‖,n→+∞ n→+∞(7.5)és az egyenletes korlátosságra vonatkozó tétel alapján a jobb oldal véges, ezért (7.5)miatt az A limesz-operátor valóban korlátos, továbbá fennáll azegyenlőtlenség is. ‖A‖ ≤ lim infn→+∞ ‖A n‖4. tétel (a Banach–Steinhaus-tétel I.). Legyen (X, ‖ · ‖ X ) Banach-tér és (Y, ‖ · ‖ Y )normált tér, továbbá (A n ) ⊂ B(X,Y ) és A ∈ B(X,Y ). Ekkor a következő két állításegymással ekvivalens:

7.2. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 1351 o Az (A n ) operátorsorozat az X-en pontonként tart az A operátorhoz, azazlim A nx = Axn→+∞(x ∈ X).2 o (a) Van olyan Z ⊂ X zárt rendszer, hogy (A n ) a Z-n pontonként tart A-hoz,azazlimn→+∞ A nz = Az (z ∈ Z) és(b) az operátornormák (‖A n ‖) sorozata egyenletesen korlátos, azaz∃C > 0 : ‖A n ‖ ≤ C (∀n ∈ N).Bizonyítás. 1 o ⇒ 2 o Az (a) feltétel szükségessége nyilvánvaló. Ha az (A n x) ⊂ Ysorozat minden x ∈ X pontban konvergens, akkor az (‖A n x‖ Y ,n ∈ N) számsorozataz X tér minden x pontjában korlátos, ezért az egyenletes korlátosság tétele miatt(b) is teljesül.2 o ⇒ 1 o Most megmutatjuk, hogy az (a) és a (b) feltételekből következik az(A n x,n ∈ N) sorozatok konvergenciája minden x ∈ X pontban, azaz∀x ∈ X esetén ‖A n x − Ax‖ Y → 0, ha n → +∞. (7.6)Először azt jegyezzük meg, hogy az A n (n ∈ N) operátorok linearitása és az (a)feltétel miatt az (A n z) sorozat minden z ∈ [Z] pontban konvergens.A Z ⊂ X egy zárt rendszer, ami azt jelenti, hogy [Z] = X, azazAz előző megjegyzés értelmébenÍgy∀ε > 0-hoz ∃y ∈ [Z] : ‖x − y‖ X < ε. (7.7)lim ‖A ny − Ay‖ Y = 0 (y ∈ [Z]). (7.8)n→+∞‖Ax − A n x‖ Y ≤ ‖Ax − Ay‖ Y + ‖Ay − A n y‖ Y + ‖A n y − A n x‖ Y ≤≤ ( ‖A‖ + ‖A n ‖ ) ‖x − y‖ X + ‖Ay − A n y‖ Y ,és ez a kifejezés (7.7) és (7.8) miatt elég kicsi, ha n elég nagy, ami a (7.6) állításbizonyítását jelenti. Hasonló módon igazolható a

136 7. A Banach–Steinhaus-tételek5. tétel (a Banach–Steinhaus-tétel II.). Legyenek (X, ‖ · ‖ X ) és (Y, ‖ · ‖ Y ) Banachterek.Ekkor a folytonos lineáris operátoroknak az (A n ) ⊂ B(X,Y ) sorozata akkorés csak akkor konvergál minden x ∈ X pontban, ha(a) van olyan Z ⊂ X zárt rendszer, amelynek z ∈ Z pontjaiban az (A n z)sorozat konvergens, és(b) az operátornormák (‖A n ‖) sorozata egyenletesen korlátos, azaz7.3. Alkalmazások• Fourier-sor divergenciája∃C > 0 : ‖A n ‖ ≤ C (∀n ∈ N).Az egyenletes korlátosság tételének alkalmazásaként megmutatjuk, hogy vanolyan folytonos függvény, amelyiknek a trigonometrikus Fourier-sora egy előre megadottpontban divergens.Emlékeztetünk arra, hogy egy f ∈ C 2π függvény trigonometrikus Fouriersoránakaza 02 + ∑ (ak cos kx + b k sin kx ) (x ∈ R)k=1alakú függvénysort neveztük, ahol az együtthatókat aza k := 1 πb k := 1 πképletekkel definiáltuk. A sor∫ 2π0∫ 2π0f(t) cos kt dt (k = 0, 1,...),f(t) sin kt dt (k = 1, 2,...)(Sn f ) (x) := a n∑02 + (ak cos kx + b k sin kx ) (x ∈ R, n ∈ N).k=1részletösszegei az együtthatók képletének és a koszinuszfüggvényre vonatkozó addícióstételnek a felhasználásával a következő alakban írhatók fel:(Sn f ) (x) = 1 ∫ 2πf(x + t)D n (t)dt, (7.9)πahol⎧⎪⎨ sin ( )n + 1 2 tD n (t) = 1 + cos t + cos 2t + · · · + cos nt = 2 sin t , ha sin(t/2) ≠ 02⎪2⎩n + 1 , ha sin(t/2) = 02a Dirichlet-féle magfüggvény.0

7.3. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 137Így minden n természetes számra tekinthetjük azS n : ( C 2π , ‖ · ‖ ∞)→(C2π , ‖ · ‖ ∞),Sn f := S n foperátorokat. Az (S n ) operátorsorozat pontonkénti konvergenciája tehát az (S n f)függvénysorozat egyenletes konvergenciáját jelenti. S n lineáris, mert az integrállineáris; S n korlátos is, mert (7.9) alapján( ∫ 1 2π)‖S n f‖ ∞ ≤ |D n (t)|dt · ‖f‖ ∞ (f ∈ C 2π ).π0Az 5.4. pont 3. példájából következik, hogy a korlátos lineáris S n operátor normája‖S n ‖ = 1 π∫ 2π0|D n (t)|dt (n ∈ N).Bebizonyítható, hogy az (‖S n ‖) sorozat nagyságrendje log n, azaz léteznek olyan c 1 ,c 2 pozitív számok, hogyc 1 log n ≤ ‖S n ‖ ≤ c 2 log n(n ∈ N),ezért az operátorok normáiból képzett ( ‖S n ‖ ) sorozat nem korlátos:‖S n ‖ → +∞,n → +∞.Az egyenletes korlátosság tételéből tehát azonnal adódik az alábbi6. tétel. Van olyan 2π szerint periodikus folytonos f függvény, amelyik trigonometrikusFourier-sorának (S n f) részletösszegei nem konvergálnak egyenletesen azR-en, sőt sup ‖S n f‖ ∞ = +∞.nTeljesen hasonlóan olyan folytonos függvénynek a létezése is bebizonyítható,amelynek a trigonometrikus Fourier-sora egy megadott pontban divergens.7. tétel. Tetszőleges x 0 ∈ R ponthoz van olyan f ∈ C 2π függvény, amelynek atrigonometrikus Fourier-sora x 0 -ban divergens, sőt sup |S n f(x 0 )| = +∞.nTekintsük ui. aΦ n : ( C 2π , ‖ · ‖ ∞)→(R, | · |), Φn f := ( S n f ) (x 0 )funkcionált, és vegyük figyelembe, hogy‖Φ n ‖ = ‖S n ‖(n ∈ N).

138 7. A Banach–Steinhaus-tételekMegjegyezzük még azt, hogy 1876-ban du Bois Reymondnak sikerült példát adniaolyan konkrét folytonos függvényre, amelynek a Fourier-sora egy pontban divergál,tehát nem állítja elő a függvényt. Utána többeknek is sikerült ilyen példákat megszerkeszteni.1909-ben Fejér Lipót adott egy igen egyszerű példát (l. Szőkefavi-NagyBéla: Valós függvények és függvénysorok című tankönyvének 334. oldalát).• Fejér szummációs tételeA Banach–Steinhaus-tétel alkalmazásaként most bebizonyítjuk Fejér Lipótnakaz alábbi, 1904-ben publikált alapvető eredményét.8. tétel (Fejér szummációs tétele). Minden 2π szerint periodikus folytonos f függvényreteljesül, hogy trigonometrikus Fourier-sorának S n f részletösszegeiből képzettszámtani közepek(σn f ) (S0 f ) (x) + ( S 1 f ) (x) + · · · + ( S n f ) (x)(x) :=(x ∈ R, n ∈ N)n + 1sorozata az egész számegyenesen egyenletesen konvergál az f függvényhez.Bizonyítás. 1. lépés. Először azt mutatjuk meg, hogy σ n f-eket az S n f-ekhezhasonlóan zárt alakban lehet felírni.A részletösszegekre vonatkozó (7.9) képletből azt kapjuk, hogy(σn f ) (S0 f ) (x) + ( S 1 f ) (x) + · · · + ( S n f ) (x)(x) == 1 ∫ 2πf(x + t)F n (t)dt,n + 1πaholF n (t) = D 0(t) + D 1 (t) + · · · + D n (t)n + 1k=0k=0= 1n + 10n∑ sin ( k + 2) 1 tk=02 sin 1 2 ta Fejér-féle magfüggvény.Miveln∑2 sin ( n∑k + 2) 1 t · sint= − [ ]2 cos(k + 1)t − cos kt =ezért F n -re azσ n f-re pedig a(σn f ) (x) = 1 π∫ 2π0F n (t) == 1 − cos(n + 1)t = 2 sin 2 n+12 t,sin 2 n+12 t2(n + 1) sin 2 t 2f(x + t)F n (t)dt =12π(n + 1)(t ∈ (0, 2π)),∫ 2π0( sinn+1f(x + t)sin t 22 t) 2dt (7.10)

7.3. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 139zárt előállítást kapjuk.A Dirichlet-féle magfüggvénnyel összehasonlítva, a Fejér-féle magoknak a legszembetűnőbbtulajdonsága az, hogy nem változtatják meg az előjelüket, hanemF n (t) ≥ 0 (t ∈ (0, 2π)). (7.11)E tulajdonsága miatt a Fejér-féle magfüggvény sokkal kezelhetőbb a Dirichlet-félénél,s végeredményben ezen a tulajdonságon múlik, hogy a részletösszegek számtaniközepeivel való összegzés a Fourier-sorok esetében sokkal hatékonyabb, mint a közönségesösszegzés magukkal a részletösszegekkel.A Fejér-féle magfüggvény további, fontos tulajdonsága:∫ 2π0F n (t)dt = π (n ∈ N). (7.12)Ez azonnal következik a D j (t) = 1 + cos t + · · · + cosjt Dirichlet-magok tagonkénti2integrálásával adódóösszefüggésből.∫ 2π2. lépés. Tekintsük minden n-re a0D j (t)dt = π (j = 0, 1, 2,...)σ n : (C 2π , ‖ · ‖ ∞ ) → (C 2π , ‖ · ‖ ∞ ),σ n f := σ n foperátorokat. σ n lineáris, mert az integrál lineáris. σ n korlátos is, mert (7.10),(7.11) és (7.12) alapján‖σ n f‖ ∞ = ‖σ n f‖ ∞ ≤ 1 π ‖f‖ ∞ ·= 1 π ‖f‖ ∞ ·∫ 2π0∫ 2π0|F n (t)|dt =F n (t)dt = ‖f‖ ∞ (f ∈ C 2π ).Megmutatjuk, hogy a (σ n ) operátorsorozat az egész C 2π téren pontonként tartaz identitásoperátorhoz, azaz∀f ∈ C 2π -reσ n f ‖ −→ · ‖∞f, ha n → +∞. (7.13)Ez azt jelenti, hogy minden f ∈ C 2π esetén a (σ n f) függvénysorozat az R-en egyenletesentart f-hez.

140 7. A Banach–Steinhaus-tételekAz állítás bizonyításához a Banach–Steinhaus-tételt használjuk fel. Azt kell megmutatni,hogy(a) a C 2π térben van olyan Z zárt rendszer, hogy a (σ n ) sorozat a Z-n pontonkénttart az identitásoperátorhoz,(b) az operátornormák (‖σ n ‖) sorozata egyenletesen korlátos.Az utóbbi állítás bizonyítása egyszerű, mert az 5.4. pont 3. példája, (7.11) és(7.12) alapján‖σ n ‖ = 1 π∫ 2π0|F n (t)|dt = 1 π∫ 2π0F n (t)dt = 1(∀n ∈ N).Az (a) állítást aZ := {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...}függvényrendszerre látjuk be. Weierstrass második approximációs tétele szerint ezvalóban egy zárt rendszer a (C 2π , ‖ · ‖ ∞ ) Banach-térben.Rögzítsünk egy m = 0, 1, 2,... számot, és legyenf m (x) := cosmx(x ∈ R).Mivel minden trigonometrikus polinom Fourier-sora megegyezik magával a polinommal,ezért{0, ha n < mS n f m =f m , ha n ≥ m.Következésképpenσ n f m = S 0f m + · · · + S m−1 f m + S m f m + · · · + S n f mn + 1= ( 1 − mn+1)fm ,amiből következik, hogy a (σ n f m ,n ∈ N) függvénysorozat R-en egyenletesen tartf m -hez.Az állítás hasonlóan igazolható a Z szinuszfüggvényeire is.Ezzel (7.13)-at, tehát a tétel állítását bebizonyítottuk. • Általános kvadratúra formulákMost megmutatjuk, hogy a Banach–Steinhaus-tétel speciális esetként tartalmazzaa numerikus matematikában fontos szerepet játszó kvadratúra eljárásokatis.

7.3. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 141Integrálok közelítő kiszámítására ún. kvadratúra formulákat szokás használni.Az∫ baf(x)w(x)dx (f ∈ C[a,b]) (7.14)alakú integrálokat fogjuk tekinteni, ahol az egyszerűség végett feltesszük, hogy [a,b]kompakt intervallum és w : [a,b] → R egy adott integrálható függvény (az ún.súlyfüggvény). Rögzítsük az [a,b] intervallumon az n számúa ≤ x 1 < x 2 < · · · < x n ≤ balap- vagy csomópontot. Egy tetszőleges f ∈ C[a,b] függvény (7.14) típusú integráljátezeken a helyeken vett függvényértékek lineáris kombinációjával közelítjük:Q(f) :=n∑A k f(x k ) (f ∈ C[a,b]), (7.15)k=1ahol A k -k (k = 1, 2,...,n) rögzített számok. A (7.15) alatti Q funkcionált kvadratúraformulának nevezzük, az A k számokat pedig a kvadratúra formula együtthatóinakhívjuk.Nyilvánvaló, hogyQ : (C[a,b], ‖ · ‖ ∞ ) → Regy folytonos lineáris funkcionál, és az 5.4. pontban azt is láttuk, hogy a normája‖Q‖ =n∑|A k |.k=1Egyetlen (7.15) alatti formulától természetesen nem lehet elvárni azt, hogy jólközelítse a (7.14) integrált. Ilyen formulák sorozatát fogjuk tekinteni. Ez viszont akövetkező kérdés feltevéséhez vezet: Adva van tehát két háromszög alakú mátrix,amelyek egyike a csomópontok mátrixa, míg a másik az együtthatók mátrixa:x 1,1 ,x 1,2 , x 2,2 ,x 1,3 , x 2,3 , x 3,3.x 1,n , x 2,n , x 3,n , ..., x n,n.A 1,1A 1,2 , A 2,2A 1,3 , A 2,3 , A 3,3.A 1,n , A 2,n , A 3,n , ..., A n,n.(7.16)

142 7. A Banach–Steinhaus-tételekahol feltesszük, hogy a csomópontok az [a,b] intervallumban vannak. Ekkor mindenf ∈ C[a,b] függvényhez definiáljuk aQ n (f) :=n∑A k,n f(x k,n ) (f ∈ C[a,b]) (7.17)k=1kvadratúra-sorozatot vagy (általános) kvadratúra eljárást. Kérdés: milyen feltételekmellett áll fenn az, hogylim Q n(f) =n→+∞∫ baf(x)w(x)dx (∀f ∈ C[a,b]). (7.18)Azokban az esetekben, amikor (7.18) teljesül, azt mondjuk, hogy az (7.16) mátrixokhoztartozó (7.17) kvadratúra eljárás konvergens.Az általános kvadratúra eljárás konvergenciájára a következő alaptétel érvényes:9. tétel (Pólya–Szegő-tétel). Legyen [a,b] egy tetszőleges kompakt intervallum, wegy súlyfüggvény [a,b]-n, és tegyük fel, hogy adott az alappontoknak egyés az együtthatóknak egyrendszere. Tekintsük aa ≤ x 1,n < x 2,n < x 3,n < · · · < x n,n ≤ b (n ∈ N)A 1,n , A 2,n , ..., A n,n ∈ R (n ∈ N)Q n (f) :=n∑A k,n f(x k,n ) (f ∈ C[a,b], n ∈ N)k=1kvadratúra eljárást.Ekkor alim Q nf =n→+∞∫ baf(x)w(x)dx(f ∈ C[a,b])egyenlőségeknek, vagyis a kvadratúra eljárás konvergenciájának a szükséges és elégségesfeltétele az, hogy(a) az eljárás minden polinomra konvergens legyen ésn∑(b) ∃M > 0: |A k,n | ≤ M (∀ n ∈ N).k=0

7.3. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 143Bizonyítás. A kvadratúra eljárást a ( C[a,b], ‖ · ‖ ∞)Banach-téren értelmezettfunkcionálsorozatnak tekintjük:Q n : ( C[a,b], ‖ · ‖ ∞)→ R, Qn (f) :=n∑A k,n f(x k,n )k=1(n ∈ N).Az 5.4. pontban megmutattuk, hogy Q n folytonos lineáris funkcionál és a normája‖Q n ‖ =n∑|A k,n | (n ∈ N).k=1Weierstrass első approximációs tételéből következik, hogy az algebrai polinomokzárt rendszert alkotnak a ( C[a,b], ‖ · ‖ ∞)Banach-térben, ezért az állítás a Banach–Steinhaus-tétel közvetlen következménye. Különösen fontosak azok az eljárások, amelyekben valamennyi A k,n együtthatónemnegatív.10. tétel (Sztyeklov-tétel). Ha aQ n (f) :=n∑A k,n f(x k,n ) (f ∈ C[a,b], n ∈ N)k=1kvadratúra eljárásban minden A k,n együttható nemnegatív, azazA k,n ≥ 0(∀ k,n ∈ N),akkor az eljárás pontosan akkor konvergens minden folytonos függvényre, ha mindenpolinomra konvergens.Bizonyítás. Azt kell megmutatni, hogy ebben az esetben az előző tétel (b) feltételeautomatikusan teljesül. Ez azonban nyilvánvaló, mert a p(x) ≡ 1 polinomra akonvergencia azt jelenti, hogy∫ baw(x)dx = limn→+∞ Q n(1) = limn→+∞n∑k=1A k,n = limn→+∞n∑|A k,n |,következésképpen a ∑ nk=1 |A k,n| (n ∈ N) sorozat valóban egyenletesen korlátos. • Interpolációs kvadratúra eljárásokAz előzőekben szükséges és elégséges feltételeket adtunk meg kvadratúra eljárásokkonvergenciájára, de nem volt szó arról a fontos a kérdésről, hogy milyen csomópontésegyütthatórendszer elégíti ki ezeket a feltételeket.k=1

144 7. A Banach–Steinhaus-tételekAz együtthatók megválasztásának egy igen természetes módja a következő: Rögzítsünkegy tetszőleges x k,n (k = 1, 2,...,n; n ∈ N) pontrendszert és minden n-revegyük az f függvénynek az x k,n (k = 1, 2,...,n) pontokhoz tartozó Lagrange-féleinterpolációs polinomját:(Ln f ) n∑(x) := f(x k,n )l k,n (x) (x ∈ [a,b]),ahol tehátl k,n (x) :=k=1ω n (x)ω ′ n(x k,n )(x − x k,n ) , ω n(x) :=n∏(x − x k,n ).Ha f jó” függvény, akkor az L ” n f polinom az [a,b] intervallumon jól” közelíti f-et,”ezért várható, hogy a∫ b(Q n (f) : = Ln f ) n∑(∫ b)(x)w(x)dx = l k,n (x)w(x)dx f(x k,n ) ==ak=1n∑A k,n f(x k,n ) (n ∈ N)k=1kvadratúra sorozat konvergencia szempontjából ”jól” viselkedik.Interpolációs kvadratúra eljárásnak nevezzük azokat a kvadratúra eljárásokat,amelyekben az együtthatókat azA k,n :=∫ baak=1l k,n (x)w(x)dx (k,n ∈ N)képletekkel értelmezzük, ahol minden n-re l k,n -ek (k = 1, 2,...,n) az x k,n (k =1, 2,...,n) csomópontokhoz tartozó Lagrange-féle interpolációs alappolinomok. Egyilyen eljárásnál a csomópontok tetszőlegesek, az együtthatók pedig egyértelműenmeg vannak határozva.Az algebra alaptételéből azonnal adódik, hogy minden n-nél alacsonyabb fokúpolinom egyenlő az x k,n (k = 1, 2,...,n) pontokhoz tartozó Lagrange-féle interpolációspolinomjával. Ezt felhasználva egyszerűen bizonyítható a11. tétel. A Q n (f) (n ∈ N, f ∈ C[a,b]) kvadratúra eljárás akkor és csak akkorinterpolációs kvadratúra eljárás, ha tetszőleges n esetén aQ n (f) =∫ baf(x)w(x)dx (7.19)egyenlőség minden n-nél alacsonyabb fokú f polinomra fennáll.

7.3. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 145Az interpolációs kvadratúra eljárás nyilván konvergál minden polinomra. Valóban,ha f egy tetszőleges m-edfokú polinom, akkor (7.19) minden n > m eseténteljesül. Ezt az észrevételt, valamint az alaptételt felhasználva azonnal adódik a12. tétel. (a) Tetszőleges interpolációs kvadratúra eljárás minden polinomra konvergens.(b) Egy interpolációs kvadratúra eljárás pontosan akkor konvergens, ha∃ M > 0 :n∑|A k,n | ≤ M (∀ n ∈ N).k=1(c) Nemnegatív együtthatójú interpolációs kvadratúra eljárások minden folytonosfüggvényre konvergensek.Konvergencia szempontjából tehát a nemnegatív együtthatójú interpolációs kvadratúraeljárások a legkedvezőbbek. Az x k,n csomópontok alkalmas megválasztásávalelérhető, hogy az interpolációs kvadratúra formulákban minden A k,n együtthatónemnegatív legyen. Ez a helyzet akkor, ha az alappontok a w súlyfüggvényreortogonális polinomok gyökei.Az eddigieknél általánosabban legyen most (a,b) egy tetszőleges (korlátos vagynem korlátos) R-beli intervallum. Feltesszük, hogy a w : (a,b) → R súlyfüggvényrea következők teljesülnek:• 0 ≤ w(x) (x ∈ (a,b));• w Lebesgue-integrálható (a,b)-n és 0 < ∫ bw(x)dx < +∞;a• minden n ∈ N számra aµ n :=∫ bax n w(x)dxintegrálok (az ún. momentumok) abszolút konvergensek.Tekintsük az〈f,g〉 :=∫ baf(x)g(x)w(x)dxskaláris szorzattal ellátott L 2 w(a,b) Hilbert-teret. Ekkor minden algebrai polinombenne van az L 2 w(a,b) térben. A lineárisan független h n (x) := x n (x ∈ (a,b);n ∈ N)hatványfüggvényekre a Gram–Schmidt-féle ortogonalizációs eljárást alkalmazva egy,a fenti skaláris szorzatra nézve ortonormált (p n ) polinomrendszert kapunk. Bebizonyítható,hogy az n-edfokú p n polinomnak n egyszeres gyöke van az (a,b) intervallumban.

146 7. A Banach–Steinhaus-tételekJelölje y k,n (k = 1, 2,...,n) a p n (n ∈ N) polinom n különböző gyökét. Ezen acsomópontrendszeren vett interpolációs kvadratúra eljárás mindenA k,n =∫ bal k,n (x)w(x)dxegyütthatója nemnegatív. Ez az állítás a minden k,n ∈ N számra fennálló∫ bal k,n (x)w(x)dx =∫ ba[l k,n (x)] 2 w(x)dxegyenlőségekből következik. Ezek igazolásához a viszonylag egyszerűen bizonyíthatóalábbi azonosságokat használhatjuk fel:∫ ba∫ ban∑l k,n (x) = 1k=1(x ∈ (a,b); k,n ∈ N);l k,n (x)l j,n (x)w(x)dx ≠ 0, ha k,j = 1, 2,...,n és k ≠ j; n ∈ N;l k,n (x) [ l k,n (x) − 1 ] w(x)dx = 0, ha k = 1, 2,...,n, n ∈ N.A fentieket összefoglalva kapjuk az alábbi alapvető állítást.13. tétel (Stieltjes tétele). Legyen (a,b) ⊂ R egy tetszőleges intervallum és wegy tetszőleges súlyfüggvény (a,b)-n. Jelölje (p n ) a w súlyfüggvényre ortonormáltpolinomrendszert és y k,n (k = 1, 2,...,n) a p n (n ∈ N) gyökeit. Ekkor azegyütthatókkal képzettA k,n :=∫ baQ n (f) :=l k,n (x)w(x)dx (k,n ∈ N)n∑A k,n f(y k,n ) (n ∈ N)k=1interpolációs kvadratúra eljárás konvergens, azaz alim Q n(f) =n→+∞∫ begyenlőség minden f ∈ C(a,b) függvényre teljesül.af(x)w(x)dx

8. Az inverz operátor folytonossága.Nyílt leképezések és zárt gráfok8.1. Előzetes megjegyzésekEbben a fejezetben a funkcionálanalízis három további alapvető jelentőségű tételétismertetjük. A Banach-féle homeomorfia tétel folytonos lineáris operátor inverzéneka folytonosságára ad elégséges feltételt. A zárt gráf tétel operátor folytonosságáta sok esetben egyszerűbben ellenőrizhető feltételre, nevezetesen az operátorgrafikonjának a zártságára vezeti vissza. Mindkét tétel bizonyításának alapja azönmagában is érdekes és fontos nyílt leképezések tétele.Az egész problémakör motivációjaként emlékeztetünk arra, hogy eddig az Xés Y normált terek közötti A : X → Y lineáris és folytonos leképezések általánostulajdonságait elemeztük. Az X → Y típusú lineáris leképezések azonban nemfeltétlenül folytonosak. Láttuk azt, hogy az analízisben fontos szerepet játszó differenciáloperátorpéldául olyan lineáris leképezés, amely nem folytonos.Fontos tehát az, hogy minél több módszer álljon rendelkezésünkre operátor folytonosságánaka vizsgálatához. Tudjuk azt, hogy lineáris operátor folytonosságaekvivalens a korlátossággal; és ezt a tulajdonságot minden eddigi példánkban viszonylagegyszerűen meg tudtuk mutatni. A korlátosságot azonban sok esetben jóvalnehezebb ellenőrizni. Ez a helyzet például az inverz operátor folytonosságának aproblémájánál.8.2. Az inverz operátorEmlékeztetünk arra, hogy valamely függvénynek akkor van inverze, ha a függvényáltal létesített leképezés injektív, azaz ha az értelmezési tartomány bármely kétegymástól különböző elemét egymástól különböző elemekbe viszi át. Ebben az esetbentermészetes módon értelmezhető a leképezés inverze. Korábban ezeket a fogalmakatmetrikus terek közötti leképezések esetében is tekintettük; és megvizsgáltukazt a fontos kérdést, hogy egy ilyen leképezés folytonosságát vajon megtartja-e azinverz leképezés is. Az alapvető eredmény a következő: Ha egy kompakt metrikustéren értelmezett folytonos függvény injektív, akkor az inverz leképezés is folytonos.Nézzük meg ezt a problémát most normált terek közötti leképezésekre. LegyenekX és Y normált terek. Az A : X → Y operátort invertálhatónak nevezzük,ha tetszőleges y ∈ R A elemre az A(x) = y egyenletnek pontosan egy megoldása147

148 8. Az inverz operátor folytonossága.Nyílt leképezések és zárt gráfokvan. Ebben az esetben minden y ∈ R A elemhez hozzárendelhetjük a megfelelőA(x) = y egyenlet egyetlen x ∈ D A megoldását. Az ezzel a hozzárendeléssel kapott(az R A halmazon értelmezett) operátort az A operátor inverzének nevezzük, és azA −1 szimbólummal jelöljük:A −1 : R A → D A .Lineáris operátorok esetén az inverz folytonosságának a vizsgálatához más eszközökrevan szükség.Idézzük fel a metrikus terek közötti folytonos leképezések jellemzésére már megismertalábbi fontos eredményt: Ha M 1 és M 2 metrikus tér, akkor az f : M 1 → M 2függvény akkor és csak akkor folytonos az M 1 halmazon, ha minden M 2 -beli nyílthalmaz ősképe M 1 -beli nyílt halmaz. Ezt normált terek közötti leképezésekre alkalmazvaadódik az1. tétel. Legyen X és Y normált tér. Tegyük fel, hogy az f : X → Y egy invertálhatószürjektív leképezés. Ekkor az f −1 függvény akkor és csak akkor folytonos,ha f minden X-beli nyílt halmazt Y -beli nyílt halmazba visz át.Ez a motivációja a következő fogalomnak:Definíció. Az X és az Y normált terek közötti f : X → Y függvényt nyílt leképezésneknevezzük, ha minden X-beli nyílt halmaz f által létesített képe Y -belinyílt halmaz, azaz∀ G ⊂ X nyílt halmaz esetén f(G) ⊂ Y is nyílt halmaz.Az inverz operátor folytonosságával kapcsolatos alapvető kérdést tehát így fogalmazhatjukmeg: Ha a normált terek közötti f : X → Y szürjektív leképezésinvertálható, akkor f-re milyen további feltételeket kell tenni ahhoz, hogy f nyíltleképezés is legyen. A következő példa azt mutatja, hogy már a lineáris leképezésekreis kell további feltétel, ti. van olyan injektív, folytonos és lineáris leképezés, amelyiknekaz inverze nem folytonos.• Példa olyan injektív, folytonos és lineáris leképezésre, amelyiknek az inverze nemfolytonos.Legyen X := l 2 és tekintsük azA : X ∋ x ↦→ Ax := ( x n) (x = (xn ) ∈ l 2)noperátort. Világos, hogy A lineáris, továbbá‖Ax‖ l 2 =+∞∑n=1∣ ∣ ∑+∞ ∣x nn 2≤ |x n | 2 (= ‖x‖ ) 2 l x ∈ l2,2n=1

8.3. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 149ezért Ax ∈ l 2 és A korlátos, tehát folytonos leképezés is. Ha y = (y n ) ∈ R A , akkoraz Ax = y egyenletnek egyetlen megoldása van: x = (ny n ), tehát A invertálható, ésaz inverz operátor:A −1 : R A → l 2 , A −1 (y) = (ny n ).Innen következik, hogy az A −1 operátor az e n := ( δ nk ,k ∈ N ) egységvektorokat azne n (n ∈ N) vektorokba viszi át; és ez azt jelenti, hogy A −1 nem korlátos.8.3. A nyílt leképezések tételeA továbbiakban feltesszük, hogy (X, ‖ · ‖ X ) és (Y, ‖ · ‖ Y ) Banach-terek. Ebben apontban k X (x,δ)-val, ill. k Y (y,δ)-val jelöljük az X, ill. az Y tér x, ill. y pontjánaka δ-sugarú (nyílt) környezetét.Először a következő állítást bizonyítjuk be.Segédtétel. Legyenek X és Y Banach-terek. Ha a folytonos lineáris A : X → Yoperátor szürjektív (vagyis R A = Y ), akkor az origó középpontú X-beli 1-sugarúgömb képe tartalmaz Y -beli gömböt, azaz∃ r > 0 : A ( k X (0, 1) ) ⊃ k Y (0,r). (8.1)A segédtétel bizonyítása. Először azt igazoljuk, hogy∃ r > 0 : A ( k X (0, 1) ) ⊃ k Y (0, 2r). (8.2)LegyenMivel A szürjektív, ezértY n := A ( k X (0,n) )(n ∈ N).∞⋃Y = A ( k X (0,n) ) ∞⋃= A ( k X (0,n) ) ∞⋃= Y n .n=1n=1n=1A Baire-lemma alapján az Y n zárt halmazok valamelyike tartalmaz gömböt, mondjukk Y (y,s) ⊂ Y n .Ekkoris teljesül.k Y (−y,s) ⊂ −Y n = Y n

150 8. Az inverz operátor folytonossága.Nyílt leképezések és zárt gráfokLegyen x ∈ k Y (0,s). Ekkor x±y ∈ k Y (±y,s) ⊂ Y n . Felhasználva Y n konvexitásátebből(x + y) + (x − y)x = ∈ Y n2adódik, ami azt jelenti, hogyk Y (0,s) ⊂ Y n = A ( k X (0,n) ) .Ebből A homogenitása miatt (8.2) az r := s -nel adódik.2nA (8.1) bizonyításához rögzítsünk most egy tetszőleges y ∈ k Y (0,r) pontot.Olyan x ∈ k X (0, 1) elemet kell találnunk, amelyre Ax = y teljesül. Jegyezzükmeg ehhez azt, hogy A homogenitása miatt a (8.2)-ből a következő általánosabbrelációk is adódnak:( ) ( ( ) )k Y 0, 2r · 12 ⊂ A k n X 0,1(n ∈ N).2 nEzeket felhasználva rekurzióval olyan X-beli x 1 ,x 2 ,... sorozatot konstruálhatunk,amelyre‖x n ‖ X ≤ 1 és ‖y − A(x2 n 1 + x 2 + · · · + x n )‖ Y < r2 nteljesül minden n-re. Ekkor a ∑ x n sor konvergál valamely x ∈ k X (0, 1) elemhez ésA folytonossága miattAx =és ez az állítás bizonyítását jelenti. +∞∑n=1Ax n = y,2. tétel (a nyílt leképezések tétele). Legyenek X és Y Banach-terek. Ha afolytonos lineáris A : X → Y operátor szürjektív, akkor A egy nyílt leképezés is,vagyis A minden X-beli nyílt halmazt Y -beli nyílt halmazba visz át.Bizonyítás. Legyen G ⊂ X tetszőleges nyílt halmaz. Megmutatjuk, hogy azA(G) ⊂ Y halmaz is nyílt, azaz∀ y 0 ∈ A(G)-hez ∃ s > 0 : k Y (y 0 ,s) ⊂ A(G). (8.3)Valóban, legyen y 0 ∈ A(G) egy tetszőleges pont. Ekkor van olyan x 0 ∈ G, hogyAx 0 = y 0 . Mivel G nyílt, ezért az x 0 pontnak van olyan ε-sugarú k X (x 0 ,ε) környezete,amelyik benne van a G halmazban. Ezt az egyszerűen igazolhatók X (x 0 ,ε) = x 0 + εk X (0, 1) 11 x ∈ X és H ⊂ X esetén x + H := {x + h | h ∈ H}.

8.4. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 151egyenlőség alapján így is írhatjuk:x 0 + εk X (0, 1) ⊂ G.Ebből A linearitását felhasználva adódik, hogyA ( x 0 + εk X (0, 1) ) = Ax 0 + εA ( k X (0, 1) ) = y 0 + εA ( k X (0, 1) ) ⊂ A(G).A segédtétel alapján létezik olyan r > 0, hogy k Y (0,r) ⊂ A ( k X (0, 1) ) , ezérty 0 + εk Y (0,r) ⊂ y 0 + εA ( k X (0, 1) ) ⊂ A(G).Mivel εk Y (0,r) = k Y (0,εr) és y 0 + k Y (0,εr) = k Y (y 0 ,εr), ezért (8.3) az s := εrszámmal teljesül. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. 8.4. A Banach-féle homeomorfia tétel3. tétel (a Banach-féle homeomorfia tétel). Legyenek X és Y Banach-terek. HaA : X → Y folytonos lineáris bijekció, akkor A −1 folytonos lineáris operátor, azazA −1 ∈ B(Y,X)Bizonyítás. Tekintsük az A −1 : Y → X inverz operátort. Egyszerűen igazolható,hogy tetszőleges G ⊂ X halmaz A −1 által létesített ősképe éppen az A(G) ⊂ Yhalmaz, azaz(A−1 ) −1[G] = A(G).Az előző tétel alapján A nyílt leképezés, ezért minden X-beli G nyílt halmaz A(G)képe Y -beli nyílt halmaz. Azt kaptuk tehát, hogy minden X-beli G nyílt halmazA −1 által létesített ősképe Y -beli nyílt halmaz. A folytonosság nyílt halmazokkalvaló jellemzéséből tehát következik, hogy A −1 valóban folytonos leképezés. Ezzel atételt bebizonyítottuk. 4. tétel (ekvivalens normák). Legyenek (X, ‖ · ‖ 1 ) és (X, ‖ · ‖ 2 ) Banach-terek, éstegyük fel, hogy van olyan c > 0 állandó, hogy‖x‖ 2 ≤ c‖x‖ 1 (∀ x ∈ X). (8.4)Ekkor a két norma ekvivalens, azaz létezik olyan C > 0 állandó is, hogy‖x‖ 1 ≤ C ‖x‖ 2(∀ x ∈ X).

152 8. Az inverz operátor folytonossága.Nyílt leképezések és zárt gráfokBizonyítás. Tekintsük azI : (X, ‖ · ‖ 1 ) → (X, ‖ · ‖ 2 ),I(x) := xidentikus leképezést. I nyilván lineáris bijekció és a (8.4) feltétel miatt‖I(x)‖ 2 ≤ c‖x‖ 1(x ∈ X),ezért I korlátos, következésképpen folytonos is. A Banach-féle homeomorfia tételbőlkövetkezik, hogy ekkor I −1 is folytonos, tehát korlátos, ami azt jelenti, hogy vanolyan C > 0 állandó, hogy‖I −1 (x)‖ 1 ≤ C‖x‖ 2(x ∈ X).Ebből a nyilvánvaló I −1 (x) = x egyenlőség alapján már következik a tétel állítása.8.5. A zárt gráf tételEmlékeztetünk arra, hogy az f : R → R függvény grafikonján aΓ(f) := { (x,f(x)) | x ∈ R } ⊂ R × Rhalmazt értjük. Fontos észrevétel, hogy f folytonossága a síkbeli Γ(f) halmaz bizonyostopológiai tulajdonságával hozható kapcsolatba. Egyszerűen bebizonyíthatóaz, hogy ha az f függvény folytonos az egész R halmazon, akkor a Γ(f) ⊂ R 2 zárthalmaz, azaz ha(x n ,y n ) ∈ Γ(f) (n ∈ N) és x n → x, y n → y, akkor (x,y) ∈ Γ(f).Az állítás megfordítása nem igaz (l. pl. az f(x) := x −1 , ha x ∈ R\{0} és f(0) := 1,vagy pedig a Riemann-függvényt).Normált terek közötti függvényekre is természetes módon értelmezhető a grafikonfogalma, és a fenti állítás általánosítása is igaz. A zárt gráf tétel azt állítja, hogyBanach-terek közötti lineáris leképezések esetén a szóban forgó állítás megfordítható,azaz Banach-terek közötti lineáris operátorok folytonossága ekvivalens módon jellemezhetőaz operátor grafikonjának a zártságával. Így tehát a folytonosság eldöntéséhezegy újabb lehetőséget nyerünk. Az alkalmazásokban vannak olyan konkrétesetek, amikor a folytonosságot éppen a grafikon zártságával lehet a legegyszerűbbenellenőrizni.

8.5. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 153R×R mintájára először normált terek Descartes-szorzatát értelmezzük. Legyenektehát (X, ‖ · ‖ X ) és (Y, ‖ · ‖ Y ) tetszőleges normált terek. Egyszerűen bebizonyítható,hogy X × Y lineáris tér (R felett) és az‖(x,y)‖ := ‖x‖ X + ‖y‖ Y((x,y) ∈ X × Y)függvény norma ezen a lineáris téren. Az ( X × Y, ‖ · ‖ ) normált teret az X ésY normált terek Descartes-szorzatának nevezzük. A teljesség definíciójából azis azonnal adódik, hogy ( X × Y, ‖ · ‖ ) pontosan akkor Banach-tér, ha X és Y isBanach-tér.A továbbiakban csak az X és Y terek közötti lineáris leképezéseket tekintjük.Definíció. Az X és az Y normált terek közötti A : X → Y lineáris leképezésgrafikonján vagy gráfján ahalmazt értjük.Γ(A) := { (x,Ax) | x ∈ X } ⊂ X × YAz X × Y normált térben beszélhetünk topológiai fogalmakról, pl. halmazokzártságáról. Emlékeztetünk arra, hogy valamely normált tér egy részhalmaza akkorés csak akkor zárt halmaz, ha minden torlódási pontját tartalmazza. A zárt halmazokatkonvergens sorozatokkal is jellemeztük. Ezzel kapcsolatban érdemes megjegyezniazt, hogy az (x n ,y n ) ∈ X × Y (n ∈ N) sorozat pontosan akkor konvergálaz (x,y) ∈ X × Y ponthoz, ha‖·‖ Xx n −−→ x és‖·‖ Y yn −−→ yDefiníció. Az A : X → Y leképezést zárt gráfú operátornak nevezzük, ha aΓ(A) gráfja az X × Y normált térnek zárt részhalmaza, azaz ha‖·‖ X‖·‖ Y∀ x n −−→ x, Axn −−→ y esetén y = Ax.Folytonos lineáris leképezés gráfja nyilván zárt halmaz:5. tétel. Ha X és Y normált terek és A ∈ B(X,Y ), akkor Γ(A) az ( X × Y, ‖ · ‖ )normált tér zárt részhalmaza.Bizonyítás. Tegyük fel, hogy(x n ,Ax n ) ‖·‖−→ (x,y).

154 8. Az inverz operátor folytonossága.Nyílt leképezések és zárt gráfok‖·‖ X‖·‖ Y‖·‖ YEkkor x n −−→ x és Axn −−→ y. Mivel A folytonos, ezért Axn −−→ Ax, következésképpenAx = y. A most vizsgált probléma is rávilágít a véges és a végtelen dimenziós terekközötti lényeges különbségekre. A fent elmondottaknak abban az esetben, ha csakvéges dimenziós terek közötti lineáris leképezéseket vizsgálunk, nincs különösebb jelentősége,ti. ekkor minden ilyen leképezés már automatikusan folytonos is; de azértazt is mondhatjuk, hogy ekkor a folytonosság az operátor zártságával is jellemezhető.Lényegesen megváltozik a helyzet azonban akkor, ha az X és Y normált terekvégtelen dimenziósak. A következő példa azt mutatja, hogy ekkor még a lineárisleképezések folytonossága sem jellemezhető a gráfjuk zártságával.Példa nem folytonos lineáris zárt gráfú leképezésre.Tekintsük ui. aznormált tereket és aX := ( C 1 [0, 1], ‖ · ‖ ∞), Y :=(C[0, 1], ‖ · ‖∞)D : X → Y, Df := f ′differenciáloperátort. Ez nyilván lineáris, és azt is láttuk már, hogy D nem folytonos(korlátos). (Emlékeztetőül: vegyük az f n (t) := t n (t ∈ [0, 1],n ∈ N) függvénysorozatot.)Megmutatjuk, hogy D egy zárt gráfú operátor. Valóban, legyen (f n ,Df n ) ⊂X × Y (n ∈ N) olyan sorozat, amelyik konvergens az X × Y normált térben, azaz‖·‖ X‖·‖ Yf n −−→ f és Dfn −−→ g.Ez azt jelenti, hogy a folytonosan differenciálható (f n ) függvénysorozat egyenletesenkonvergál az f függvényhez, és a deriváltak (Df n ) = (f ′ n) sorozata pedig egyenletesenkonvergál egy g ∈ C[0, 1] függvényhez. A függvénysorozatok tagonkénti deriválásáravonatkozó tételből következik, hogy ekkor f szükségképpen folytonosanderiválható, és f ′ = g, azaz a g = Df egyenlőség fennáll, ami azt jelenti, hogy Dvalóban egy zárt gráfú operátor.Az alábbi tétel azt állítja, hogy Banach-terek közötti zárt gráfú lineáris operátorokmár szükségképpen folytonosak is, vagyis a folytonosság az operátor grafikonjánaka zártságával jellemezhető. (Az előző példában megadott D operátor értelmezésitartománya nem teljes, tehát nem Banach-tér; l. pl. Weierstrass első approximációstételét.)6. tétel (a zárt gráf tétel). Legyenek X és Y Banach-terek és tegyük fel, hogyA : X → Y egy lineáris zárt gráfú operátor, azaz az A lineáris leképezés Γ(A) =

8.5. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai 155{(x,Ax) | x ∈ X} grafikonja az (X × Y, ‖ · ‖) Banach-tér egy zárt részhalmaza.Ekkor A folytonos is, azaz A ∈ B(X,Y ).Bizonyítás. Mivel X és Y Banach-terek, ezért egy korábbi megjegyzésünk alapjánaz ( X × Y, ‖ · ‖ ) Descartes-szorzatuk is Banach-tér. Nyilvánvaló, hogy Γ(A) azX × Y tér egy lineáris altere. A tétel feltétele szerint ez tehát egy zárt altér,következésképpen Γ(A) maga is Banach-tér.Tekintsük aΛ : X → Γ(A), Λx := (x,Ax)operátort. Ez a leképezés egy lineáris bijekció az X és a Γ(A) Banach-terek között.Az inverze, vagyis aΛ −1 : Γ(A) → X,Λ −1 (x,Ax) = xoperátor korlátos (folytonos). Valóban∥∥Λ −1 (x,Ax) ∥ ∥X= ‖x‖ X ≤ ‖x‖ X + ‖Ax‖ Y = ‖(x,Ax)‖((x,Ax) ∈ Γ(A)).A Banach-féle homeomorfia tétel alapján ennek a folytonos lineáris bijekciónak azinverze, vagyis a ( Λ −1) −1= Λ operátor is folytonos (korlátos), azaz van olyan C > 1állandó, hogyteljesül, amiből‖Λx‖ = ‖(x,Ax)‖ = ‖x‖ X + ‖Ax‖ Y ≤ C‖x‖ X (x ∈ X)‖Ax‖ Y ≤ (C − 1)‖x‖ X (x ∈ X)következik. Ez viszont azt jelenti, hogy A valóban egy korlátos (folytonos) leképezés.Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

Irodalom[1] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Théorie et applications, Masson, Paris,1983.[2] N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory,John Wiley & Sons, New York (1988).[3] Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, TypoTEX, Budapest, 2007.[4] L. V. Kantorovics–G. P. Akilov, Funkcionálanalízis, Nauka, Moszkva, 1977.(oroszul)[5] Karvasz Gyula, Analízis III. és IV., ELTE jegyzet, 1978. és 1979.[6] A. N. Kolmogorov–Sz. V. Fomin, A függvényelmélet és a funkcionálanalíziselemei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.[7] Komornik Vilmos, Valós analízis előadások I., II., TypoTEX, Budapest,2003.[8] Máté László, Funkcionálanalízis műszakiaknak, Műszaki Könyvkiadó, Budapest,1976.[9] I. P. Natanszon, Konstruktív függvénytan, Akadémiai Kiadó, 1952.[10] Petz Dénes, Lineáris analízis, Akadémiai Kiadó, Budapest, 2002.[11] Riesz Frigyes és Szőkefalvi-Nagy Béla, Funkcionálanalízis, Tankönyvkiadó,Budapest, 1988.[12] W. Rudin, A matematikai analízis alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest,1978.[13] Schipp Ferenc, Analízis IV. (Funkcionálanalízis), Egyetemi jegyzet, 2004.(http://numanal.inf.elte.hu/∼schipp/)[14] Simon Péter, Analízis V., Egyetemi jegyzet, Eötvös Kiadó, Budapest, 1996.[15] Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó,Budapest, 1975.[16] K. Yosida, Functional Analysis, Springer–Verlag (1965).157