U - Index of - Munka

Menedzsment és vállalkozásgazdaságtana karakterisztikus egyenes mentén ehhez az értékhez “csúsztatjuk”, és ettől kezdve ezen ε i adja isűrűségfüggvényét, pontosabban, feltételes sűrűségfüggvényét.Azt vizsgáljuk tehát, hogy i miként változtatja meg M kockázatosságát. Azt találtuk, hogy ezösszefüggésben van β értékével. Ha viszont ez így van, akkor a kockázatos portfólióként a piaciportfóliót tartó befektetők kockázatértékelésekor a β értéke alapvető szerepet játszik. Lehet, hogymegtaláltuk, amit szerettünk volna, és mérni tudjuk egy befektetés (piaci portfóliót tartó)befektetőknek „okozott” kockázatát? Ahhoz, hogy a igennel válaszolhassunk, még azt kell belátnunk,hogy a β értékének kizárólagos szerepe van.A fenti ábrázolással σ(r i )-t valójában két részre bontottuk: M-től függő és M-től nem függőrészekre. A szokásos matematikai felírás szerint (egy valószínűségi változó szokványos felbontásárólvan szó egy másik valószínűségi változótól függő és nem függő részekre):E felbontás lényegéből következik, hogy22 2σ ( r ) = β σ ( r ) + σiiM2( ε )i(1.20)kM, ε= 0 ; kM, M= 1iβ i(1.21)azaz az „epszilonos rész” a piaci portfóliótól független ingadozású. A „bétás rész” M-mel valókorrelációja értelemszerűen 1, hiszen önmagát tartalmazza. β i itt konstansnak tekinthető, ami akorrelációt nem befolyásolja. Jelentős lépést tettünk előre, hiszen az általános k M,i korrelációjú i-tsikerült felbontanunk könnyebben kezelhető 1 és 0 korrelációjú tagokra.Most fordítsuk figyelmünket M piaci portfólió felé. Ismerjük paramétereit: E(r M ); σ(r M ), bétájanyilván 1. Tudjuk, hogy M nagyszámú n elemből (befektetésből, értékpapírból) áll, így az egyeselemek hasonlóan „kicsi” a súlyúak, mint az általunk vizsgált i elem. Bontsuk most fel M összeselemét i felbontásához hasonlóan:a σ21a σ...22a σ2n2( r ) = a β σ12n2 21 12( r ) = a β σ222n222( r ) = a β σ2n2( r22M( rM( rM2) + a σ2) + a σ2) + a σn ⇒ ∞ ; a ⇒ 0(1.22)Tanulságos így szemlélni a világ összes kockázatos befektetését, értékpapírját. Összességükbeningadozást mutatnak, hiszen σ(r M ) nem nulla. Tudjuk, hogy nagy elemszámú portfólióban csak akkornem oltják ki egymást a tagok szórásai, ha van valamilyen átlagos pozitív korreláció tagjaik között,együttmozgásra hajlamosak. Ilyenkor van valamilyen közös faktor, ami egy irányba hajlamosítja azelemek ingadozását. A felbontásból jól látszik, hogy ez a faktor valójában éppen a piaci portfólióingadozása, a gazdaság egészének ingadozása. Ez megmarad, ez nem oltódik ki. A fenti felbontássorán mindegyik elem ingadozását éppen erre a faktorra való érzékenysége szerint, azaz a bétákszerint bontottunk fel, elkülönítve ezektől a piac egészétől független ingadozásokat, azaz az„epszilonos tagokat”.Ezek az „epszilonos tagok”, amelyek egyenként függetlenek M-től, M-ben ki is oltják egymást.Lényegében ezek azok a kockázati részek, amelyek diverzifikálódnak a piaci portfóióban. Ezekösszességének szórása tehát nulla kell legyen, ezekben már nincs közös faktor (az a „bétás tagokbanvan”), így a nagy elemszám miatt szórásuk „eltűnik”. Következésképpen a „bétás tagok”, amelyekteljességgel függnek M-től, adják összességükben ki a teljes σ(r M )-t. Mivel mindegyik „bétás tag” 1korrelációjú M-mel szemben, így törvényszerűen az egymással szembeni korrelációjuk is 1 kelllegyen. Az alábbi összefüggés felírásánál tehát a tökéletesen korreláló tagokból álló portfólióravonatkozó alapösszefüggésre építhetünk:σ ( rMσ ( rM) = a β) = σ ( r111Ma + aσ ( r2( a β + a β + ... + a β ))1M) + a β1+ ... + an22= 1;σ ( r22Ma β112n2( ε )22) + ... + a β1n+ a β2n2n( ε( ε12n))σ ( rnM)+ ... + a βnn= 1(1.23)48