U - Index of - Munka

Menedzsment és vállalkozásgazdaságtan2 2 2 22 2σ ( rP) = a1σ ( r1) + a2σ( r2) + ... + anσ( rn) + ∑=( a σ ( r ) + a σ ( r ) + ... + a σ ( r ))= a σ ( r ) + a σ ( r ) + ... + a σ ( r )11= σ ( r )ia + a11átlagos2+ ... + a222= 1;ni ≠ j;nnn2ij ≠ ji;kn,ni,j2aσ ( r ) a σ ( r )1 2ni,j(1.11)Ha jobban belegondolunk triviális eredményre jutottunk: teljes függőség (1-es korrelációk) eseténaz egész szórása a részek szórásának súlyozott átlaga. 39Nézzük meg külön azt az esetet is, amikor P n darab egyformán „átlagos”, együtt ingadozó részbőláll:1ai= ; σ ( ri) = σ ( ri)átlagos;n⎛ 1⎞ ⎛ 1σ ( rP) = ⎜ σ ( ri)átlagos ⎟ + ⎜ σ ( ri)⎝ n⎠ 1 ⎝ n1= n σ ( ri)átlagos= σ ( ri)átlagosnMost nézzük a 0 korrelációk esetét:σ ( r ) =Pa σ21a + a22( r ) + a σ1+ ... + a2= 1;kátlagos2i,j⎞⎟⎠= 12+ ... += 0= 1⎛⎜⎝2( r ) + ... + a σ2knii1σ ( ri)n2( r )njátlagos⎞⎟⎠jn(1.12)1 2ni,j(1.13)Nézzük itt is meg, hogy mi a helyzet akkor, ha P n darab egyformán „átlagos” részből áll, de most0 a tagok közötti korrelációkkal:σ ( r ) =P1ai= ;n==⎛ 1⎜ σ ( ri)⎝ n⎛ 1n⎜σ ( ri)⎝ nnσ ( ri)nσ ( r ) = σ ( r )iátlagos⎞⎟⎠átlagos21⎞⎟⎠2iátlagos;k⎛ 1+ ⎜ σ ( ri)⎝ ni,játlagos= 0⎞⎟⎠22+ ... +⎛⎜⎝1σ ( ri)nátlagos(1.14)Ennél az általánosabb esetnél látható igazán jól, hogy a portfóliók szórása független tagok esetén atagok számának növekedésével csökken: A fenti képletben n növekedésével a számláló (a gyök alattin) kevésbé növekszik, mint a nevező (a „sima” n).Vessük most össze a két eredményünket úgy, hogy n végtelenhez tartson:i,j= 1;σ ( r ) = σ ( r )Pkki,ji= 0;átlagosn ⇒n ⇒nσ ( rP) = σ ( ri)átlagos= 0n(1.15)Alapvető megállapításra jutottunk: egy sokelemű P portfólió szórása együttmozgó részek esetén arészek átlagos szórásához tart, független részek esetén viszont a nullához. Az utóbbi esetbenegyszerűen arról van szó, hogy a sok „össze-vissza” ingadozó rész kioltja egymást, így az összességükingadozása megszűnik. 40∞∞átlagos⎞⎟⎠2n39 A tökéletes (1-es) korreláció (lineáris) függvénykapcsolatot jelent. Ha az egyik nő, akkor a másik is, ha az egyik csökken,akkor a másik is, és e változások aránya állandó. A tökéletes korrelációra hozott példák emiatt mesterkéltnek is tűnhetnekkicsit, és emiatt a fenti szövegben a „triviális” jelző is. Pl. egy inga részeinek ingadozása között 1 a korreláció: ha az egyikrész kileng, akkor a másik is, igaz, az inga belső részeinek ingadozása kisebb, mint a külsőké. Az inga egészének ingadozása– mondjuk a tömegközéppontot tekintve „ingának” – nyilván részei ingadozásának az átlaga.36