Matematikai_modszerek_a_fizikaban_1.pdf

A tárgy neve MATEMATIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN 1.
Meghirdető tanszék(csoport) SZTE TTK Elméleti Fizikai Tanszék
Felelős oktató: Dr. Gyémánt Iván
Kredit 4
Heti óraszám 2+2
típus Előadás+gyakorlat
Számonkérés Kollokvium+gyakorlati jegy
Teljesíthetőség feltétele -
Párhuzamosan feltétel Előadás a gyakorlattal együtt
Előfeltétel Kalkulus 1.
Helyettesítő tárgyak -
Periódus Tavaszi félév, évente
Javasolt félév 2
Kötelező vagy kötelezően
választható
fizika
AJÁNLOTT IRODALOM
1. G. B. Arfken, H. J. Weber: Mathematical Methods for Physicists, Academic
Press, 1995.
2. Bronstein, Szemengyajev, Musiol, Muhlig: Matematikai kézikönyv, Typotex
Kiadó, Budapest, 2002.
3. Jánossy - Tasnádi: Vektorszámítás I., II., III., Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.
4. G. Simmonds: Tenzoranalízis dióhéjban, Műszaki Könyvkiadó, Budapest,
1985.
5. Elméleti Fizikai Példatár I., Tankönyvkiadó, Budapest, 1981.

A TANTÁRGY RÉSZLETES TEMATIKÁJA
Bevezetés
A Matematikai módszerek (című tantárgyak) célja, hogy a Kalkulus 1., a Kalkulus 2.
és a Lineáris algebra fizikusoknak című kurzusokat elvégző, a fizika alapképzésben
résztvevő hallgatók gyakorlatot szerezzenek a matematikai tételek és módszerek
fizikai alkalmazásaiban. Ezek az ismeretek az alapdiploma mesterségbeli
tudásfedezetének lényeges részét képezik, eme tudás nélkül elképzelhetetlen a fizika
professzionális tanulmányozása akár fizikatanári, akár akadémiai fizikus, illetve
fizikához kapcsolható inter-, vagy multidiszciplináris képzésekről legyen is szó.
A Matematikai módszerek 1. című kurzus az alábbi témakörökre bontható:
1. 3-dimenziós vektorok, a koordináta rendszer forgatása, skalár-, vektor-,
vegyes - szorzat, hármas vektori szorzat.
2. Változó vektorok, vektorok deriváltjai: időderivált, gradiens, divergencia,
rotáció. A nabla-vektor, többszörös deriváltak, számolási szabályok
3. Görbék és felületek: megadási módszerek, főbb jellemzők.
4. Görbevonalú koordináták.
5. Vektormezők integrálása: vonal-, felületi-, térfogati integrálok.
6. Gauss tétele. Stokes tétele. Alkalmazások.
7. Gradiens, divergencia, rotáció, ∆ görbevonalú koordinátákban.
8. Másodrendű tenzorok, tenzorműveletek.
9. Tenzorkomponensek transzformációja.
10. Főtengelytétel, tenzorinvariánsok.
11. Ferdeszögű koordinátarendszerek, metrikus tenzor. Vektorok és tenzorok
kovariáns és kontravariáns komponensei. Bázistranszformációk.
Ezek a témakörök a fizikai tanulmányok során mind fontos alkalmazásokat nyernek.
Az alább következő részletes tematikában az alkalmazásoknak csak egy korlátozott
körét tudjuk bemutatni.
1. 3-dimenziós vektorok, a koordináta rendszer forgatása, skalár-, vektor-,
vegyesszorzat, hármas vektori szorzat
1.1. 3-dimenziós vektorok
1.1.1. Irányított szakaszok, összeadás, szorzás számmal, kivonás stb.
(Pl.: elmozdulás, sebesség, gyorsulás, erő, impulzus, impulzusnyomaték)
1.1.2. Vetületek, komponensek, műveletek számhármasokkal
1.1.3. A koordináta-tengelyek elforgatása
a) a helykoordináták transzformációja
b) vektorkomponensek transzformációja
c) forgásinvariáns (koordináta rendszertől független) fizikai törvények
2

1.1.4. Skalárszorzat
a) vetületek adott irányokra, A ⋅ B = AiBi = A B cos γ
b) A ⋅ B = B ⋅ A bilineáris, forgásinvariáns stb.
c) A 2 = ( A⋅A) > 0 …, A ⋅ B 2 ≤ ( A ⋅ A) ( B ⋅ B)
d) em · en = δ mn
1.1.5. Vektori szorzat
a) nyomatékok
b) A × B = A B sin γ n ˆ ( n ˆ ⊥ A , B jobbkéz szabály)
c) em × en = ε el mn l
d) L = r × p, FL = q v × B
e) B × A = – A × B, stb.
f) A ×B = (A2B3 – A3B2)e1+ ….
g) felírás determinánssal
h) az A és B által kifeszített paralelogramma területe (pl.: a felületi
sebesség és az impulzusnyomaték kapcsolata)
1.1.6. Vegyesszorzat: A ⋅ (B × C)
a) A ⋅ (B × C) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ (A ×B)
= – A × (C ×B) = – C · (B × A)= – B × (A × C)
b) felírás a komponensekből felépített determinánssal
A A A
A ⋅ (B × C) =
B
C
1
1
1
B
C
2
2
2
B
C
3
3
3
c) az A, B, C vektorok által kifeszített paralelogramma előjeles térfogata
d) jobbsodrás – balsodrás
e) kristályrács – reciprok rács
1.1.7. Hármas vektori szorzat: A × (B × C) = B (A ⋅ C) – C (A ⋅ B)
a) forgó test impulzusnyomatéka a szögsebesség homogén lineáris
függvénye
b) forgó test forgási energiája a szögsebesség homogén négyzetes
függvénye
c) mozgó töltések mágneses kölcsönhatása
2. Változó vektorok (A (r,t)) deriváltjai: időderivált, gradiens, divergencia, rotáció
2.1. Időderivált
Vektor függvény skalár változóval: A (t)
a) a fizikában a vektormennyiségek általában időfüggőek, változási
ütemüket időderiváltjuk jelenti: A& (Pl.: a sebesség a helyvektor időderiváltja, stb.)
b) összeg, skalárszorzat, vektori szorzat időderiváltja
c) egységvektor időderiváltja
d) centrális erőtérben a felületi sebesség állandó
e)
3

2.2. Gradiens
Skalárfüggvény vektor változóval: U (r)
a) Változási üteme függ az iránytól (n):
∂U
∂U
= nx
∂n
∂x
∂U
+ n y
∂y
∂U
+ nz
∂z
= ∇U
⋅ n
b) ∇U
az U függvény leggyorsabb növekedésének irányába mutat
c) ∇U
merőleges az illető ponton átmenő szintfelületre
d) ∇ = ei
1
e) ∇
r
∂
(Nabla – vektor)
∂xi
f) erő = – ∇ (potenciál)
2.3. Divergencia
Vektorfüggvény vektorváltozóval : A (r)
∂Ax
∂Ay
∂Az
a) ∇⋅
A = + +
∂x
∂y
∂z
r
b) ∇⋅ = 0 (r ≠ 0)
3
c) ∇⋅ (UA) = ∇U×A + U∇
⋅A
d) ∇⋅
B = 0 (B forrásmentes)
e) ∇ (A⋅B) = (∇⋅A) B + A ( ∇ ⋅B)
2.4. Rotáció
Vektorfüggvény vektorváltozóval: A (r)
∂A3
∂A2
a) ∇× A = e1
( − ) + …
∂x
∂x
=
e1
∂
e 2
∂
e3
∂
∂x1
A
∂x2
A
∂x
A
1
2
2
3
3
3
b) ∇ ×(UA) = U∇ ×A+ (∇ U)×A
c) ∇×E = 0 (E örvénymentes)
d)
r
∇× = 0 (r ≠ 0)
3
r
e) ∇ ×(ω ×r) = 2ω
f) ∇ (A⋅B) = (B⋅∇) A + (A⋅∇
)B + B × (∇ ×A)+A×(∇ ×B)
4

g) A× ( ∇ ×A) =
1 2
∇ A –(A⋅∇ ) A
2
2.5. ∇ többszörös alkalmazása
a) ∇⋅∇U = ∆ U (Laplace)
b) ∇ ×∇ U = 0
c) ∇ ( ∇⋅A)
d) ∇ ⋅ ( ∇ ×A) = 0
e)
2
∇ ×(∇ ×A) = ∇ ( ∇ ⋅A) – ∇ A
3. Görbék és felületek
3.1. Görbék
3.1.1. Síkgörbék
a) implicit, explicit, paraméteres, polárkoordinátás megadási módok
b) ívelem, érintő, normális, görbületi sugár
3.1.2. Térgörbék
a) paraméteres megadás
b) ívhossz
c) érintő, normálsík, simulósik, főnormális, binormális, rektifikáló sík,
kísérő triáder
d) görbület, görbületi sugár, torzió, torziósugár, Frenet-képletek
3.2. Felületek
3.2.1 Megadási módok: implicit, explicit, paraméteres (helyvektoros)
3.2.2 Érintősík, normális
3.2.3 Felületi görbe íveleme, felületdarab felszíne
3.2.4 Felületi görbék görbülete, görbületi sugara, főgörbületi sugarak
4. Görbevonalú koordináták
4.1. Példák
a) Síkbeli polárkoordináták ( x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ)
b) Hengerkoordináták (x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z)
c) Gömbi polárkoordináták ( x = r cos ϕ sin θ, y = r sinϕ sin θ, z = r cos θ)
4.2. Ortogonális görbevonalú koordináták
a) koordináta felületek, koordinátavonalak
b) Lamé – féle együtthatók (h1,h2, h3)
c) ívelemek, felületelemek, térfogatelem
dsi = hidq i (nincs összegzés)
dσl = hihkdq i dq k (nincs összegzés)
dτ= h1h2h3dq 1 dq 2 dq 3
5

4.3. Általános görbevonalú koordináták
a) koordinátafelületek, koordinátavonalak
b) metrikus tenzor (gij)
c) felületelemek, ívelemek, térfogatelem
5. Vektormezők integrálása
5.1. Vonalintegrál
5.1.1. Görbe mentén vett vonalintegrál
a) síkgörbe ( γ ) mentén vett vonalintegrál
∫ γ
f x,
y)
dx
( , ∫ f x,
y)
dy , ∫
γ
( P ( x,
y)
dx + Q(
x,
y)
dy
γ
b) térgörbe mentén vett vonalintegrál
c) additivitás, irányítás, zárt görbe mentén vett vonalintegrál, cirkuláció
d) a vonalintegrál függetlensége az úttól
e) munka, konzervatív erőtér, potenciál
WA→ B =
B
∫ F ⋅ dr
A
∫ F ⋅ d r = 0 ⇔ F = − ∇U
5.2. Felületi integrálok
5.2.1. Kettős integrálok
b(
y )
∫ f ( x,
y)
dsxy
= ∫ dy ∫ dx f ( x,
y)
S
xy
y
y
b
a
x
x
a ( y )
5.2.2. Skalártér felületi integrálja
∫ yz
S
U ( r) dS
= ∫U
( x,
y,
z)
dS ⋅ i + …
S yz
5.2.3. Vektortér felületi integrálja (fluxus)
a) fluxus
∫ ( r)
dS
= ∫ Ax
( x,
y,
z)
S
S yz
∫
A dS + …
b) A ( r)
× dS
= A j−
A k dS + …
S
yz
∫ [ x y ] yz
S yz
5.2.4. Vonalintegrál kifejezése felületi integrállal
F ⋅ dr = ∇×
F ⋅ dS
(Stokes – formula)
∫
C
∫
F
5.2.5. Térfogati integrál kifejezése felületi integrállal
6

∫
F
∫
F ⋅ dS = ∇ ⋅FdV
(Gauss – formula)
F
6. A Gauss- és Stokes-formulák alkalmazásai
1
grad U = lim U dS
∫S
V
1
div A = lim
V ∫ A dS
S
1
rot A = - lim
V ∫ A × dS
1
n ⋅ rot A = lim
S ∫ A dr
C
Green – formulák:
∫
V
∫
V
S
2
( U∇ V + ∇U
⋅∇V
) dV = U∇V
⋅ dS
2 2
( U∇ V −V∇
U ) dV = ( U∇V
−V∇U
) ⋅ dS
∫
S
∫
S
7. A grad, div, rot előállitása ortogonális görbevonalú koordinátákban
divA =
gradU =
1
h h h
1
1
h
1
2
3
∂U
∂q
⎧∂(
A1
h2h3
) ∂(
A2h3
h1
) ∂(
A3h1
h2
) ⎫
⎨ + +
1
2
3 ⎬
⎩ ∂q
∂q
∂q
⎭
e1
1 +
1
h
2
∂U
2
∂q
e2 +
1
h
3
∂U
∂q
1 ⎡∂(
F2
h2
) ∂(
F1h1
) ⎤
rotF = ⎢ − 1
2 ⎥ e3 + …
h1h2
⎣ ∂q
∂q
⎦
∇U =
1
h h h
1
2
3
⎧ ∂
⎨
⎩∂q
1
⎛ h2h
⎜
⎝ h1
3
∂U
⎞ ⎫
⎟ + ... 1 ⎬
∂q
⎠ ⎭
e3
3
a) henger: (q 1 =ρ, q 2 =ϕ, q 3 =z, h1=1, h2=ρ, h3=1)
b) gömbi polár: (q 1 =r, q 2 =θ, q 3 =ϕ, h1=1, h2=r, h3=r sinθ)
7

8. Másodrendű tenzorok. Műveletek tenzorokkal.
8.1. A → B = TA homogén, lineáris vektor – vektor függvény
a) Tehetetlenségi tenzor
b) Nyúlási tenzor
c) Feszültségtenzor
8.2. Tenzorok egyenlősége, zérus tenzor, egységtenzor, tenzorok összeadása, tenzor
transzponáltja, szimmetrikus (antiszimmetrikus) tenzor
1 1
T = (T + TT ) + (T - TT )
2
2
8.3. Descartes – féle derékszögű komponensek
T u = T ukek = ukTek, (ei ⋅ ek = δik)
T ek = Tikei, ahol Tik = ei ⋅ Tek
v = T u = Tikukei, vagyis vi= Tikuk
8.4. T= Tikei°ek (másdrendű tenzor Descartes-féle bázisa)
9. Tenzorkomponensek transzformációja
a) Koordinátatranszformáció
b) Koordinátarendszer forgatása:
K→K’ : x’ = A x
A = D = (dik) ortogonális forgásmátrix (D -1 =D T )
dikdjk= δij, dikdil=δkl
(a D forgásmátrix sor- és oszlopvektorai ortonormáltak)
c) x’ = A x, ill. x’=D x
T’ = A T A T , ill. T’ = D T D -1
10. Tenzor főtengelyei
10.1. Ts = λs (sajátvektorok, sajátértékek)
10.2. Szimmetrikus tenzor sajátértékei valósak, sajátvektorai ortonormáltak:
T d (i) = λi d (i) , D = (d (1) d (2) d (3) ) oszlopvektorok mátrixa,
D T D -1 = T’ diagonális
10.3. Főtehetetlenségi rendszer, szabadtengelyek
10.4. Tenzorinvariánsok
10.5. Invariáns tenzorok
8

11. Ferdeszögű koordinátarendszerek, metrikus tenzor, tenzorok kovariáns és
kontravariáns komponensei. Tenzorok görbevonalú koordinátarendszerekben.
11.1. Vektor felbontása nem-ortogonális komponensekre: A = A k gk = Akg k
11.1.1. Reciprok bázis
a) bázis: (g1, g2, g3) – reciprok bázis: (g1 , g2 , g3 )
gi ⋅gk = 0 , ha i ≠ k és gi ⋅gk = 1, ha i = k
b) g1⋅(g2 × g3)=D; g1⋅(g2 × g3 )=D’; DD’ = 1
g1 1
= g2 × g3, g
D
2 1
= g3 × g1, g
D
3 1
= g1× g2
D
c) kristálytér – reciprok tér
11.1.2. A k = A ⋅ g k (kontravariáns komponensek)
Ak = A ⋅ gk (kovariáns komponensek)
11.1.3. Metrikus tenzor: gik = gki = gi⋅gk; gik = gki = g
Ak = gklAl; Al = glkAk; k
g = δ
ds 2 = g i dxidxk = gikdx i dx k; G = det
G = det g ik ; D = G ; G’=det
k
i
i
ik
g
11.1.4. Kontravariáns bázis – kovariáns bázis
g i = g ik gk ; gk = gki g i
11.1.5. Skaláris szorzat: A ⋅ B = AiB i
11.1.6. Vektori szorzat: A × B = εijk A i B j g k
i⋅g k
ik
g ; D’= G ' ; GG’=1
11.2. Másodrendű tenzor komponensei
a) alsó indexes komponensek (kovariáns)
T gj = Tj= Tijgi; Tij= gi ⋅ T gj;
T = Tijgi ° gj ⋅
b) felső indexes komponensek (kontravariáns)
T gj = Tj = Tij gi; Tij = gi ⋅ T gj; T = Tijgi ° gj ⋅
c) vegyes indexű komponensek
i
T⋅ j
= gi⋅
i
Tgj ; = gj ⋅ T g
Tj ⋅ i;
i
T = gi ° gj
i
; T= T g
⋅ j
° gi .
T⋅ j
j
T⋅ j
d) ha T szimmetrikus, akkor Tij = Tji; Tij = Tji; i
=
11.3. Tenzorkomponensek transzformációja
11.3.1. Bázis transzformációja
i
Tj ⋅
9

g′ = R g + R g + R g , …
1
j
1
1
i
j
1
g ′ = R g
i
2
1
2
3
1
, (G’ = GR).
1 1 1
⎛ R ⎞
1 R2
R3
⎜
⎟
2 2 2
R = ⎜ R1
R2
R3
⎟ ; R
⎜ 3 3 3 ⎟
⎝ R1
R2
R3
⎠
3
-1 =
⎛ ( R
⎜
⎜(
R
⎜
⎝(
R
)
−1
1
1
−1
2
) 1
−1
3
) 1
gj = (R-1 ) i j g’i ; (G = G’ R-1
).
G’ -1 = R-1G-1 ; g’ i = (R-1 ) i j gj
.
G-1 = R G’ -1 ; gi = R i j g’ j .
11.3.2. Vektorkomponensek transzformációja
A′j = g′j ⋅ A = (R-1 ) i j gj
⋅ A.
A′j = R i j Ai ; A’ i = (R-1 i
) j Aj
.
11.3.3. Bármely másodrendű tenzorra
T'ij
i
T j
⋅
'
k p
i
= R R T ; ' = (R
k
= R (R
i
j
j kp
T ⋅ j
( R
( R
( R
-1 i p k
) k R j T⋅ p
)
−1
1
2
−1
2
) 2
−1
3
) 2
-1 i p
) p Tk ;
⋅
T '
ij = (R-1 ) i k ( R -1 j kp
) p T
11.3.4. Egységtenzor komponensei ( Ι ⋅ A = A)
I = gij, I i i ij
= δ , I = g
ij ⋅ j
11.3.5. Indexek le- és felhúzása
g i =g ik gk, gi= gikg k ,
A i = g ikA k , Ai = gikAk,
i
T⋅ j
=g
j
ikT kp , Tij =gik j
Tk ⋅ k
, Tij =gik T⋅ j ,
ij
( R
( R
( R
) ⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
−1
1
3
−1
1
) 3
−1
3
) 3
10