Bilineáris leképezések

10. BILINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK
Az analízisben, a geometriában és a fizikában is lényeges szerepet
játszanak a kvadratikus formák, amelyekhez a legtermészetesebb út a
bilineáris leképezéseken keresztül vezet. Ezeket vizsgáljuk meg ebben a fejezetben.
A bilineáris leképezések tanulmányozását előkészítve először a vektorterek
direktszorzatával foglalkozunk.
Legyen K egy test, U és V e test feletti vektortér. E vektorterek
U×V≔{(u,v)|uU, vV} Descartes szorzatában az U és V összeadásának
felhasználásával egy összeadás műveletet értelmezünk az
(x 1 ,x 2 )+(y 1 ,y 2 )≔(x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 )
összefüggéssel, továbbá az U és V skalárral való szorzásának segítségével
egy skalárral való szorzást is bevezetünk a
k·(x 1 ,x 2 )≔(k·x 1 ,k·x 2 )
összefüggéssel. Itt (x 1 ,x 2 ), (y 1 ,y 2 )U×V tetszőleges vektorpár, kK pedig
tetszőleges skalár.
Ekkor az U×V Descartes szorzatot az imént rajta értelmezett összeadás és
skalárral való szorzás műveletével az U és V vektortér ilyen sorrendben képezett
direktszorzatának nevezzük.
Az U és a V vektorteret a direktszorzat tényezőinek hívjuk.
Megjegyezzük, hogy a fenti konstrukció minden nehézség nélkül kiterjeszthető
tetszőleges véges számú tényezőből álló direktszorzat értelmezésére is.
10.1. Állítás:
Ha U és V a K test feletti vektorterek, akkor e vektorterek direktszorzata a K
test felett szintén egy vektorteret alkot.
Bizonyítás:
Állításunk bizonyításához elegendő megmutatni, hogy a K test feletti U és V
vektortér direktszorzata eleget tesz a vektortér (A.1)-(A.4), (M.1)-(M.4) axiómáinak.
Az összeadás kommutatív, mert minden (a 1 ,a 2 ), (b 1 ,b 2 )U×V esetén
39

(a 1 ,a 2 )+(b 1 ,b 2 )=(a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 )=(b 1 +a 1 ,b 2 +a 2 )=(b 1 ,b 2 )+(a 1 ,a 2 ) ,
tehát (A.1) teljesül.
Az összeadás asszociatív, hiszen minden (a 1 ,a 2 ), (b 1 ,b 2 ), (c 1 ,c 2 )U×V mellett
((a 1 ,a 2 )+(b 1 ,b 2 ))+ (c 1 ,c 2 )=(a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 )+(c 1 ,c 2 )=
=((a 1 +b 1 )+c 1 ,(a 2 +b 2 )+c 2 )=(a 1 +(b 1 +c 1 ),a 2 +(b 2 +c 2 ))=
=(a 1 ,a 2 )+(b 1 +c 1 ,b 2 +c 2 )=(a 1 ,a 2 )+((b 1 ,b 2 )+(c 1 ,c 2 ))
így (A.2) is igaz.
Ha 0 u az U és 0 v a V zérusvektora, akkor tetszőleges (a 1 ,a 2 )U×V vektorpárra
fennáll
(0 u ,0 v )+(a 1 ,a 2 )=(0 u +a 1 ,0 v +a 2 )=(a 1 ,a 2 ) és
(a 1 ,a 2 )+(0 u ,0 v )= (a 1 +0 u ,a 2 +0 v )=(a 1 ,a 2 ) ,
ezért teljesül (A.3) is.
Tetszőleges (a 1 ,a 2 )U×V esetén tekintsük a (-a 1 ,-a 2 )U×V vektorpárt,
amelyre fennáll
(a 1 ,a 2 )+(-a 1 ,-a 2 )=(a 1 +(-a 1 ),a 2 +(-a 2 ))=(0 u ,0 v ) és
(-a 1 ,-a 2 )+(a 1 ,a 2 )=((-a 1 )+a 1 ,(-a 2 )+a 2 ))=(0 u ,0 v ) ,
így (A.4) is érvényes.
Minden k,mK skalárpárra és minden (a 1 ,a 2 )U×V esetén
(k+m)·(a 1 ,a 2 )=((k+m)a 1 ,(k+m)a 2 )=(ka 1 +ma 1 ,ka 2 +ma 2 )=
=(ka 1 ,ka 2 )+(ma 1 ,ma 2 )=k(a 1 ,a 2 )+m(a 1 ,a 2 ) ,
így (M.1) teljesül.
Minden kK skalár és minden (a 1 ,a 2 ), (b 1 ,b 2 )U×V mellett
k·((a 1 ,a 2 )+(b 1 ,b 2 ))=k·(a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 )=(k·(a 1 +b 1 ), k·(a 2 +b 2 ))=
=(ka 1 +kb 1 ,ka 2 +kb 2 )=(ka 1 ,ka 2 )+(kb 1 ,kb 2 )=k·(a 1 ,a 2 )+k·(b 1 ,b 2 ) ,
ezért (M.2) is igaz.
Minden k,mK skalárpár és minden (a 1 ,a 2 )U×V esetén
40

(k·m)·(a 1 ,a 2 )=((km)a 1 ,(km)a 2 )=(k(ma 1 ),k(ma 2 ))=
=k(ma 1 ,ma 2 )=k(m(a 1 ,a 2 )) ,
így igaz (M.3) is.
Végül az 1K egységelemre minden (a 1 ,a 2 )U×V mellett
1·(a 1 ,a 2 )=(1·a 1 ,1·a 2 )=(a 1 ,a 2 )
adódik, tehát (M.4) is teljesül.
Láthatjuk, hogy az egyes axiómáknak a direktszorzatra való teljesülése bizonyításához
éppen az adott axióma U, illetve V vektortérre való érvényességét
használtuk fel.
A fentiek az állítás helyességét igazolják.
A K test feletti U és V vektortér direktszorzatának vektorterét a (K,U×V),
vagy röviden csak az U×V szimbólum jelöli.
A fenti bizonyítással analóg módon igazolható, hogy ugyanazon test feletti
tetszőleges véges számú vektortér direktszorzata is e test felett vektorteret
alkot.
10.2. Állítás:
Ha U és V a K test feletti véges dimenziós vektorterek, akkor ezek U×V direktszorzata
is véges dimenziós vektortér, továbbá érvényes a
összefüggés.
Bizonyítás:
dim(U×V)=dim(U)+dim(V)
Ha dim(U)=n, dim(V)=m és B u ≔{e 1 ,...,e n } az U, B v ≔{f 1 ,...,f m } pedig a V vektortér
egy-egy tetszőleges bázisa, akkor tekintsük az U×V direktszorzat
R≔{(e 1 ,0 v ),...,(e n ,0 v ),(0 u ,f 1 ),...,(0 u ,f m )} n+m tagú rendszerét, ahol 0 u jelöli az
U, 0 v pedig a V vektortér zérusvektorát. Megmutatjuk, hogy R az U×V vektortér
egy bázisa.
Először tekintsük az
(0 u ,0 v )=a 1 (e 1 ,0 v )+...+a n (e n ,0 v )+b 1 (0 u ,f 1 )+...+b m (0 u ,f m )
41

lineáris kombinációt, ahol a i ,b j K (1≤i≤n, 1≤j≤m). A jobb oldalon álló kifejezés
átalakításával
(0 u ,0 v )=(a 1 e 1 ,a 1 0 v )+...+(a n e n ,a n 0 v )+(b 1 0 u ,b 1 f 1 )+...+(b m 0 u ,b m f m )=
=(a 1 e 1 +...+a n e n ,0 v )+(0 u ,b 1 f 1 +...+b m f m )= (a 1 e 1 +...+a n e n ,b 1 f 1 +...+b m f m )
adódik, amiből
0 u = a 1 e 1 +...+a n e n és 0 v = b 1 f 1 +...+b m f m
következik. A B u és a B v egyaránt lineárisan független vektorrendszer, hiszen
mindkettő bázis, ezért a fenti két összefüggésből
a i =0 (1≤i≤n) és
b j =0 (1≤j≤m)
adódik, így R is egy lineárisan független vektorrendszer az U×V vektortérben.
Másodszor legyen (x,y) az U×V vektortér egy tetszőleges eleme, s tegyük fel,
hogy xU vektor a B u bázisban x=x 1 e 1 +...+x n e n , az yV vektor pedig a B v
bázisban y=y 1 f 1 +...+y m f m alakban állítható elő. Ekkor
(x,y)=(x,0 v )+(0 u ,y)=(x 1 e 1 +...+x n e n ,0 v )+(0 u ,y 1 f 1 +...+y m f m )=
=x 1 (e 1 ,0 v )+...+x n (e n ,0 v )+y 1 (0 u ,f 1 )+...+y m (0 u ,f m ) ,
tehát az U×V tetszőleges eleme előállítható az R elemeinek lineáris kombinációjaként,
azaz U×V=R.
A fentiek szerint az U×V vektortérben létezik n+m elemű bázis, így
dim(U×V)=n+m, amiből pedig közvetlenül adódik állításunk helyessége.
Ezután már rátérhetünk a fejezet címében is jelzett bilineáris leképezések
vizsgálatára.
Legyen K egy test, U, V és W e test feletti vektorterek. Az U és V vektortér
U×V direktszorzatának a W vektortérbe vivő A:U×V→W leképezését
bilineáris leképezésnek nevezzük, ha minden x,x 1 ,x 2 U, y,y 1 ,y 2 V és minden
k,mK esetén érvényesek az
42
(1) A(x 1 +x 2 ,y)=A(x 1 ,y)+A(x 2 ,y),
(2) A(x,y 1 +y 2 )=A(x,y 1 )+A(x,y 2 ),
(3) A(kx,y)=k·A(x,y),
(4) A(x,my)=m·A(x,y)

összefüggések.
A fenti értelmezésből világosan látható, hogy az A(x,y) bilineáris leképezés
rögzített xU első komponens esetén az yV második komponensben, továbbá
rögzített yV második komponens mellett az xU első komponensben
lineáris leképezésként működik, vagyis additív és homogén. Ha U=V, akkor
az U vektortérnek a W vektortérbe vivő, ha pedig U=V=W, akkor az U vektortér
önmagába vivő bilineáris leképezéséről beszélünk.
10.3. Példa:
Ha U, V és W a K test feletti vektorterek, akkor az O:U×V→W, (x,y)↦0 w leképezés
bilineáris, itt 0 w jelöli a W vektortér zérusvektorát. Ezt a leképezést
zérus bilineáris leképezésnek hívjuk.
Ha U, V és W a K test feletti vektorterek, akkor az U×V direktszorzatot a W
vektortérbe vivő bilineáris leképezések halmazát a továbbiakban a
Bil(U×V,W) szimbólummal jelöljük.
Legyenek U,V,W és U',V',W' a K test feletti vektorterek. Az A:U×V→W
bilineáris leképezés egyenlő az A':U'×V'→W' bilineáris leképezéssel, ha U=U',
V=V' és W=W', továbbá minden (x,y)U×V mellett A(x,y)=
=A'(x,y) teljesül.
Megjegyezzük, hogy a bilineáris leképezés mintájára értelmezhetjük a
K test feletti V 1 ,V 2 ,...,V n vektorterek V 1 ×V 2 ×...×V n direktszorzatának a K test
feletti W vektortérbe vivő M:V 1 ×V 2 ×...×V n →W multilineáris leképezését is,
amely minden komponensében a többi komponens rögzítése mellett lineáris
leképezés.
Mi a továbbiakban csak a bilineáris leképezésekkel foglalkozunk.
Először az elemi tulajdonságokat tárgyaljuk.
10.4. Tulajdonság:
Ha U, V és W a K test feletti vektorterek és ABil(U×V,W), akkor minden
xU és yV esetén A(x,0 v )=0 w és A(0 u ,y)=0 w teljesül.
Bizonyítás:
A bilineáris leképezést értelmező (3) és (4) tulajdonság felhasználásával minden
xU és yV esetén
A(x,0 v )=A(x,0·y)=0·A(x,y)=0 w
A(0 u ,y)=A(0·x,y)=0·A(x,y)=0 w
és
43

adódik, ami az állítás helyességét igazolja.
10.5. Tulajdonság:
Ha U, V és W a K test feletti vektorterek és ABil(U×V,W), akkor
A(0 u ,0 v )=0 w .
Bizonyítás:
A 10.4. tulajdonságból x=0 u , illetve y=0 v helyettesítéssel közvetlenül adódik
az állítás.
10.6. Tulajdonság:
Ha U, V és W a K test feletti vektorterek, akkor az A:U×V→W leképezés
bilinearitásának szükséges és elégséges feltétele az, hogy minden x 1 ,x 2 U,
y 1 ,y 2 V és minden a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 K esetén érvényes az
A(a 1 x 1 +a 2 x 2 ,b 1 y 1 +b 2 y 2 )=a 1 b 1·A(x 1 ,y 1 )+a 1 b 2·A(x 1 ,y 2 )+
+a 2 b 1·A(x 2 ,y 1 )+a 2 b 2·A(x 2 ,y 2 )
összefüggés.
Bizonyítás:
A bilineáris leképezést értelmező (1)-(4) tulajdonságokból azonnal következik,
hogy
A(a 1 x 1 +a 2 x 2 ,b 1 y 1 +b 2 y 2 )=a 1·A(x 1 ,b 1 y 1 +b 2 y 2 )+a 2·A(x 2 ,b 1 y 1 +b 2 y 2 )=
=a 1 b 1·A(x 1 y 1 )+a 1 b 2·A(x 1 ,y 2 )+a 2 b 1·A(x 2 ,y 1 )+a 2 b 2·A(x 2 ,y 2 ).
Megfordítva, a tulajdonságban megfogalmazott feltételből a leképezés
bilinearitását biztosító (1) tulajdonság az a 1 =a 2 =b 1 =1 és b 2 =0 esetén, a (2)
tulajdonság az a 1 =b 1 =b 2 =1 és a 2 =0 esetén, a (3) tulajdonság az a 1 =k, b 1 =1 és
a 2 =b 2 =0 esetén, a (4) tulajdonság pedig az a 1 =1, b 1 =m és a 2 =b 2 =0 esetén következik.
10.7. Tulajdonság:
Ha U, V és W a K test feletti vektorterek és ABil(U×V,W), akkor minden
a 1 ,a 2 ,...,a n ; b 1 ,b 2 ,...,b m K skalárra és minden x 1 ,x 2 ,...,x n U; y 1 ,y 2 ,...,y m V
vektorra érvényes az
44

A
n
i1
a x
i
i
m n m
, b
jyj
aib
j A(
xi
, yj)
j1
i1
j1
összefüggés.
Bizonyítás:
Állításunk n=m=1 esetén az A leképezés bilinearitását értelmező (3) és (4)
tulajdonság alapján nyilvánvaló. Tegyük most fel, hogy az állítás m=1 mellett
minden i≤n-1 esetén igaz. Ekkor
A
n
n
i1
A(
a x
n
a x
i
i
, b y
1
, b y
1
1
)
1
n1
i1
A
i
n1
i1
a x
a b A(
x , y
1
i
i
i
a x
1
n
) a
n
n
, b y
1
1
1
A
b A(
x , y
n
1
n1
i
i1
n
)
a x
i1
i
i
, b y
1
1
1
a b A(
x , y )
következik.
Ebből az összefüggésből kiindulva tegyük fel, hogy bizonyítandó állításunk
minden rögzítet n mellett minden j≤m-1 esetén igaz. Most
A
n
a x
i i
i1 j1
A
n
i1
m n
, b
jyj
A
aixi
,
i1
n m1
n
a
ixi
, b jyj
A
j1
i1
m1
j1
a b
i
j
A(
x
n
i1
i
, y
m
j1
adódik, s ezzel állításunkat igazoltuk.
j
i
)
j
n
i1
a b A(
x
i1
i
m1
j1
a b
i
a x
, y
j
i
m
b
)
j
i
y
j
, b
m
A(
x
10.8. Tulajdonság:
Ha U, V és W a K test feletti vektorterek és ABil(U×V,W), akkor minden
xU és yV vektorra érvényesek az alábbi összefüggések:
b
y
i
m
m
, y
y
m
m
)
i
1
45

(1) A(-x,y)=A(x,-y)=-A(x,y) ,
(2) A(-x,-y)=A(x,y) .
Bizonyítás:
Valóban, a 10.4. tulajdonság felhasználásával tetszőleges xU és yV vektorra
0 w =A(0 u ,y)=A(x+(-x),y)=A(x,y)+A(-x,y);
0 w =A(x,0 v )=A(x,y+(-y))=A(x,y)+A(x,-y);
0 w =A(0 u ,-y)=A(x+(-x),-y)=A(x,-y)+A(-x,-y);
amelyekből a 2.8. tulajdonság alapján rendre
A(-x,y)=-A(x,y), A(x,-y)=-A(x,y) és A(-x,-y)=-A(x,-y)
következik, ahonnan a második és harmadik összefüggésből közvetlenül
adódik A(-x,-y)=-(-A(x,y))=A(x,y), s ezzel állításunkat bizonyítottuk.
Ezután a bilineáris leképezések között értelmezhető műveletekkel, s e
műveletek tulajdonságaival foglalkozunk.
Legyen U, V és W a K test feletti vektortér, s tekintsük az U×V vektorteret a
W vektortérbe vivő bilineáris leképezések Bil(U×V,W) halmazát!
Ha A,BBil(U×V,W), akkor e két bilineáris leképezés A+B:U×V→W összeg
leképezését úgy értelmezzük, hogy tetszőleges (x,y)U×V esetén
(A+B)(x,y)≔A(x,y)+B(x,y)
teljesüljön.
Ha pedig ABil(U×V,W) és kK, akkor az A bilineáris leképezés k skalárral
való szorzatát úgy értelmezzük, hogy tetszőleges (x,y)U×V esetén
teljesüljön.
(k·A)(x,y)≔k·A(x,y)
46

10.9. Állítás:
Ha U, V és W a K test feletti vektorterek, A,BBil(U×V,W) és kK, akkor
A+B,k·ABil(U×V,W), vagyis bilineáris leképezések összege és
skalárszorosa is bilineáris leképezés.
Bizonyítás:
Elegendő megmutatni, hogy az A+B és a k·A leképezés is eleget tesz a 10.6.
tulajdonságban megfogalmazott feltételnek.
Valóban, minden a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 K és minden x 1 ,x 2 U, y 1 ,y 2 V esetén
továbbá
(A+B)(a 1 x 1 +a 2 x 2 ,b 1 y 1 +b 2 y 2 )=A(a 1 x 1 +a 2 x 2 ,b 1 y 1 +b 2 y 2 )+
+B(a 1 x 1 +a 2 x 2 ,b 1 y 1 +b 2 y 2 )=a 1 b 1·A(x 1 ,y 1 )+a 1 b 2·A(x 1 ,y 2 )+
+a 2 b 1·A(x 2 ,y 1 )+a 2 b 2·A(x 2 ,y 2 )+a 1 b 1·B(x 1 ,y 1 )+a 1·b 2·B(x 1 ,y 2 )+
+a 2 b 1·B(x 2 ,y 1 )+a 2 b 2·B(x 2 ,y 2 )=a 1 b 1·(A(x 1 ,y 1 )+B(x 1 ,y 1 ))+
+a 1 b 2·(A(x 1 ,y 2 )+B(x 1 ,y 2 ))+a 2 b 1·(A(x 2 ,y 1 )+B(x 2 ,y 1 ))+
+a 2 b 2·(A(x 2 ,y 2 )+B(x 2 ,y 2 ))=a 1 b 1·(A+B)(x 1 ,y 1 )+a 1 b 2·(A+B)(x 1 ,y 2 )+
+a 2 b 1·(A+B)(x 2 ,y 1 )+a 2 b 2·(A+B)(x 2 ,y 2 ),
(k·A)(a 1 x 1 +a 2 x 2 ,b 1 y 1 +b 2 y 2 )=k·A(a 1 x 1 +a 2 x 2 ,b 1 y 1 +b 2 y 2 )=
=k·(a 1 b 1·A(x 1 ,y 1 )+a 1 b 2·A(x 1 ,y 2 )+a 2 b 1·A(x 2 ,y 1 )+a 2 b 2·A(x 2 ,y 2 ))=
=k·a 1 b 1·A(x 1 ,y 1 )+k·a 1 b 2·A(x 1 ,y 2 )+k·a 2 b 1·A(x 2 ,y 1 )+k·a 2 b 2·A(x 2 ,y 2 )=
=a 1 b 1·(k·A(x 1 ,y 1 ))+a 1 b 2·(k·A(x 1 ,y 2 ))+a 2 b 1·(k·A(x 2 ,y 1 ))+a 2 b 2·(k·A(x 2 ,y 2 ))=
=a 1 b 1·(k·A)(x 1, y 1 )+a 1 b 2·(k·A)(x 1 ,y 2 )+a 2 b 1 (k·A)(x 2 ,y 1 )+a 2 b 2 (k·A)(x 2 ,y 2 ),
ami az állítás helyességét igazolja.
10.10. Állítás:
Ha U, V és W a K test feletti vektortér, akkor az U×V vektortérnek a W vektortérbe
vivő bilineáris leképezések Bil(U×V,W) halmaza a bilineáris leképezések
összeadása és skalárral való szorzása műveletével a K test felett egy
vektorteret alkot.
Bizonyítás:
Állításunk igazolásához azt kell megmutatni, hogy Bil(U×V,W) a bilineáris
leképezések összeadása és skalárral való szorzása műveletével eleget tesz a
vektortér fogalmát értelmező (A.1)-(A.4), (M.1)-(M.4) axiómáknak.
47

Az összeadás kommutatív, mert minden A,BBil(U×V,W) és tetszőleges
(x,y)U×V esetén
(A+B)(x,y)=A(x,y)+B(x,y)=B(x,y)+A(x,y)=(B+A)(x,y),
amiből a bilineáris leképezések egyenlősége alapján A+B=B+A adódik, tehát
(A.1) teljesül.
Az összeadás asszociatív, hiszen minden A,B,CBil(U×V,W) és tetszőleges
(x,y)U×V mellett
((A+B)+C)(x,y)=(A+B)(x,y)+C(x,y)=(A(x,y)+B(x,y))+C(x,y)=
=A(x,y)+(B(x,y)+C(x,y))=A(x,y)+(B+C)(x,y)=(A+(B+C))(x,y),
ezért a bilineáris leképezések egyenlősége alapján ebből (A+B)+C=
=A+(B+C) következik, így (A.2) teljesül.
Ha OBil(U×V,W) a 10.3. példában említett zérus bilineáris leképezés, akkor
minden ABil(U×V,W) és tetszőleges (x,y)U×V esetén
(O+A)(x,y)=O(x,y)+A(x,y)=0 w +A(x,y)=A(x,y)
(A+O)(x,y)=A(x,y)+O(x,y)=A(x,y)+ 0 w =A(x,y),
és
amelyekből a bilineáris leképezések egyenlősége folytán A+O=O+A=A
következik, ezért az (A.3) teljesül.
A tetszőleges ABil(U×V,W) esetén tekintsük a
-A≔(-1)·ABil(U×V,W) leképezést. Ekkor minden (x,y)U×V mellett
(A+(-A))(x,y)=A(x,y)+(-A)(x,y)=A(x,y)+(-1)·A(x,y)=0 w =O(x,y),
((-A)+A)(x,y)=(-A)(x,y)+A(x,y)=(-1)·A(x,y)+A(x,y)=0 w =O(x,y),
és
amelyekből a bilineáris leképezések egyenlősége szerint A+(-A)=
=(-A)+A=O adódik, tehát (A.4) is teljesül.
Minden k,mK skalárpárra, minden ABil(U×V,W) bilineáris leképezésre
tetszőleges (x,y)U×V esetén
48
((k+m)·A)(x,y)=(k+m)·A(x,y)=k·A(x,y)+m·A(x,y)=
=(kA)(x,y)+(mA)(x,y)=(kA+mA)(x,y),

ahonnan a bilineáris leképezések egyenlősége alapján (k+m)A=kA+mA
adódik, így teljesül (M.1).
Minden kK skalárra és minden A,BBil(U×V,W) leképezéspárra tetszőleges
(x,y)U×V mellett
(k(A+B))(x,y)=k·(A+B)(x,y)=k(A(x,y)+B(x,y))=
=k·A(x,y)+k·B(x,y)=(kA)(x,y)+(kB)(x,y)=(kA+kB)(x,y),
s így a bilineáris leképezések egyenlőségére hivatkozva k(A+B)=kA+kB
adódik, tehát (M.2) is igaz.
Minden k,mK skalárpárra, s minden ABil(U×V,W) bilineáris leképezésre,
valamint tetszőleges (x,y)U×V vektorpárra
((km)A)(x,y)=(km)·A(x,y)=k(m·A(x,y))=
=k·(mA)(x,y)=(k(mA))(x,y),
amelyből a bilineáris leképezések egyenlőségét felhasználva (km)A=
=k(mA) következik, így az (M.3) is teljesül.
Végül az 1K egységelemre és minden ABil(U×V,W) leképezésre tetszőleges
(x,y)U×V mellett
(1·A)(x,y)=1·A(x,y)=A(x,y)
teljesül, amiből a bilineáris leképezések egyenlőségét kihasználva 1·A=A
adódik, vagyis (M.4) is teljesül, s ezzel állításunkat is maradéktalanul igazoltuk.
A fenti állításban szereplő (K,Bil(U×V,W)) vektorteret az U×V vektortérnek a
W vektortérbe vivő bilineáris leképezések terének nevezzük.
Most megmutatjuk, hogy véges dimenziós vektorterek esetén minden
bilineáris leképezést egyértelműen meghatároz egy tetszőleges bázispárra
gyakorolt hatása, vagyis minden vektorpárnak ismerni fogjuk a bilineáris
leképezés melletti képét, ha tudjuk egy bázispár képeit.
49

10.11. Állítás: (A bilineáris leképezések alaptétele)
Legyen U és V a K test feletti két véges dimenziós vektortér, dim(U)=n,
dim(V)=m, B u ={e 1 ,...,e n } az U, B v ={f 1 ,...,f m } pedig a V vektortér egy-egy
tetszőleges bázisa, továbbá {u 11 ,u 12 ,...,u nm } a K test feletti W vektortér egy
n·m számú elemből álló vektorrendszere. Ekkor egy és csakis egy olyan
ABil(U×V,W) bilineáris leképezés létezik, amelyre A(e i ,f j )=u ij (1≤i≤n,
1≤j≤m) teljesül.
Bizonyítás:
Először megmutatjuk, hogy egyetlen, az állítás feltételeinek eleget tevő
bilineáris leképezés létezhet csupán. A tetszőleges xU vektor a B u bázisban,
az yV vektor pedig a B v bázisban a 4.5. állítás szerint egyértelműen írható
fel az x=x 1 e 1 +...+x n e n , illetve az y=y 1 f 1 +...+y m f m alakban. Ha az
ABil(U×V,W) a tétel feltételeinek megfelelő bilineáris leképezés, akkor
A(x,y)=A(x 1 e 1 +...+x n e n , y 1 f 1 +...+y m f m )=x 1 y 1 A(e 1 ,f 1 )+
+...+x 1 y m·A(e 1 ,f m )+...+x n y 1·A(e n ,f 1 )+...+x n y m·A(e n ,f m )=
=x 1 y 1·u 11 +...+x 1 y m·u 1m +...+x n y 1·u n1 +...+x n y m·u nm
adódik. Ezzel az előállítással A(x,y), s ezzel az A bilineáris leképezés is egyértelműen
meghatározott.
Másodszor belátjuk, hogy létezik a tétel feltételeinek megfelelő bilineáris
leképezés. Ha a tetszőleges xU illetve yV vektor megfelelő előállítása a
B u , illetve B v bázisban x=x 1 e 1 +...+x n e n és y=y 1 f 1 +...+y m f m , akkor tekintsük az
A(x,y)≔x 1 y 1·u 11 +...+x 1 y m·u 1m +...+x n y 1·u n1 +...+x n y m·u nm
leképezést, ahol az {u 11 ,...,u nm } a W vektortér egy tetszőleges, de rögzített
n·m számú vektorból álló rendszere.
Ha x 1 ,x 2 U, y 1 ,y 2 V egy-egy tetszőleges vektorpár, a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 K tetszőleges
skalárok és x 1 =x 11 e 1 +...+x 1n e n , x 2 =x 21 e 1 +...+x 2n e n , y 1 =y 11 f 1 +...+
+y 1m f m , y 2 =y 21 f 1 +...+y 2m f m a vektorok előállítása a B u , illetve B v bázisban, akkor
50

A(a 1 x 1 +a 2 x 2 ,b 1 y 1 +b 2 y 2 )=A(a 1 (x 11 e 1 +...+x 1n e n )+a 2 (x 21 e 1 +...+x 2n e n ),
b 1 (y 11 f 1 +...+y 1m f m )+b 2 (y 21 f 1 +...+y 2m f m ))=A((a 1 x 11 +a 2 x 21 )e 1 +
+...+(a 1 x 1n +a 2 x 2n )e n , (b 1 y 11 +b 2 y 21 )f 1 +...+(b 1 y 1m +b 2 y 2m )f m )=
=(a 1 x 11 +a 2 x 21 )(b 1 y 11 +b 2 y 21 )u 11 +...+(a 1 x 11 +a 2 x 21 )(b 1 y 1m +b 2 y 2m )·u 1m +...+
+(a 1 x 1n +a 2 x 2n )(b 1 y 11 +b 2 y 21 )u n1 +...+(a 1 x 1n +a 2 x 2n )(b 1 y 1m +b 2 y 2m )·u nm =
=a 1 b 1·x 11 y 11·u 11 +a 1 b 2·x 11 y 21·u 11 +a 2 b 1·x 21 y 11·u 11 +a 2 b 2·x 21 y 21·u 11 +...+
+a 1 b 1·x 11 y 1m·u 1m +a 1 b 2·x 11 y 2m·u 1m +a 2 b 1·x 21 y 1m·u 1m +a 2 b 2·x 21 y 2m·u 1m +...+
+a 1 b 1·x 1n y 11·u n1 +a 1 b 2·x 1n y 21·u n1 +a 2 b 1·x 2n y 11·u n1 +a 2 b 2·x 2n y 21·u n1 +...+
+a 1 b 1·x 1n y 1m·u nm +a 1 b 2·x 1n y 2m·u nm +a 2 b 1·x 2n y 1m·u nm +a 2 b 2·x 2n y 2m·u nm =
= a 1 b 1 (x 11 y 11 u 11 +...+x 11 y 1m u 1m +...+x 1n y 11 u n1 +...+x 1n y 1m u nm )+
+a 1 b 2 (x 11 y 21 u 11 +...+x 11 y 2m u 1m +...+x 1n y 21 u n1 +...+x 1n y 2m u nm )+
+a 2 b 1 (x 21 y 11 u 11 +...+x 21 y 1m u 1m +...+x 2n y 11 u n1 +...+x 2n y 1m u nm )+
+a 2 b 2 (x 21 y 21 u 11 +...+x 21 y 2m u 1m +...+x 2n y 21 u n1 +...+x 2n y 2m u nm )=
= a 1 b 1·A(x 11 e 1 +...+x 1n e n , y 11 f 1 +...+y 1m f m )+a 1 b 2·A(x 11 e 1 +...+x 1n e n ,
y 21 f 1 +...+y 2m f m )+a 2 b 1·A(x 21 e 1 +...+x 2n e n , y 11 f 1 +...+y 1m f m )+
+a 2 b 2·A(x 21 e 1 +...+x 2n e n , y 21 f 1 +...+y 2m f m )=a 1 b 1·A(x 1 ,y 1 )+
+a 1 b 2·A(x 1 ,y 2 )+a 2 b 1·A(x 2 ,y 1 )+a 2 b 2·A(x 2 ,y 2 ),
tehát a 10.6. tulajdonság alapján az A:U×V→W egy bilineáris leképezés.
Mivel e i =0e 1 +...+0e i-1 +1·e i +0e i+1 +...+0e n és f j =0f 1 +...+0f j-1 +1·f j +0f j+1 +
+...+0f m , így A(e i ,f j )=0·0·u 11 +...+1·0·u i,j-1 +1·1·u ij +1·0·u i,j+1 +...+0·0·u nm =u ij
(1≤i≤n, 1≤j≤m), s ezzel állításunkat maradéktalanul igazoltuk.
Megjegyezzük, hogy most bizonyított állításunk abban az általánosabb esetben
is igaz, ha az U, illetve a V nem feltétlenül véges dimenziós vektorterek.
A továbbiakban a bilineáris leképezések egyes különleges típusaival foglalkozunk.
Tudjuk, hogy minden K test egy önmaga feletti 1-dimenziós vektortérnek
tekinthető, amelynek az 1K egységelem természetes bázisa.
Most a K test feletti U és V vektortér U×V direktszorzatának a K testbe, mint
vektortérbe vivő bilineáris leképezései Bil(U×V,K) halmazát vizsgáljuk. Az
ABil(U×V,K) leképezést bilineáris függvénynek nevezzük. Ha U=V, akkor
az ABil(U×U,K) leképezésre a bilineáris funkcionál, vagy lineáris 2-forma
elnevezést használjuk.
51

10.12. Példa:
Ha K egy tetszőleges test, akkor az M:K×K→K, (x,y)↦x·y testbeli szorzás
művelet egy bilineáris függvény (sőt bilineáris funkcionál), amelynek
bilinearitását a szorzásnak az összeadásra való disztributivitása, valamint a
szorzás asszociativitása biztosítja.
10.13. Példa:
Legyen K egy test, A ( a ) , M(
n,
m,
K)
egy rögzített mátrix, ekkor az
ij
n m
A:K n ×K m →K, (x,y)↦x·A·y T egy bilineáris függvény, amely a mátrixok közötti
szorzások elvégzésével felírható még az
n
A( x , y)
i1
m
a
x
ij
j1
i
y
j
alakban is, ha x=(x 1 ...x n )K n és y=(y 1 ...y m )K m .
10.14. Példa:
Az [a,b]R zárt intervallumon folytonos függvények C[a,b] terében a
b b
B:C[a,b]×C[a,b]→R, (f,g)↦ K ( s,
t)
f ( s)
g(
t)
dsdt
integrál egy bilineáris funkcionál, ahol K(s,t):R×R→R az s és t változó valamely
folytonos függvénye.
Ha U és V a K test feletti véges dimenziós vektortér, akkor egy-egy
bázis rögzítésével minden ABil(U×V,K) bilineáris függvényhez hozzárendelünk
egy mátrixot az alábbiak szerint.
B
u B v
Legyen dim(U)=n, dim(V)=m, s B u ≔{e 1 ,...,e n } az U, B v ≔{f 1 ,...,f m } pedig a V
vektortér egy-egy tetszőleges, de rögzített bázisa. Az ABil(U×V,K)
bilineáris függvény mat , ( A)
szimbólummal jelölt, B u , B v bázispárra vonatkozó
mátrixán azt az ( aij ) n, m M(
n,
m,
K)
mátrixot értjük, amelyre
a ij =A(e i ,f j ) teljesül.
a a
52

Megállapodunk abban, hogy bilineáris funkcionál mátrixának képzésénél az
U=V esetben mindkét komponensnél ugyanazt a bázist választjuk, azaz ha
ABil(U×U,K), akkor legyen B u =B v .
A 10.11. állítás biztosítja, hogy minden bilineáris függvény mátrixa jól definiált.
Ezt egészíti ki a
10.15. Állítás:
Ha U és V a K test feletti két véges dimenziós vektortér, dim(U)=n és
dim(V)=m, akkor a bilineáris függvények Bil(U×V,K), valamint a mátrixok
M(n,m,K) vektortere izomorf.
Bizonyítás:
Legyen B u ≔{e 1 ,...,e n } az U, B v ≔{f 1 ,...,f m } a V vektortér egy-egy tetszőleges,
de rögzített bázisa. A 10.11. állítás felhasználásával könnyen belátható, hogy
az
f : Bil( U V,
K)
→ M ( n,
m,
K),
A→ mat , ( A)
egy bijektív leképezés.
Ha A,BBil(U×V,K) két tetszőleges bilineáris függvény, akkor egyrészt
f ( A B)
i
B
u B v
(
A B)(
e , f ) A(
e , f ) B(
e , f )
i j n,
m i j i j
A(
e , f ) B(
e , f ) f ( A)
f ( B)
,
j
n,
m
másrészt tetszőleges kK skalárral
f ( kA)
i
j
n,
m
n,
m
(
kA)(
e , f ) k
A(
e , f ) k A(
e , f ) k f ( A)
,
i
j
n,
m
ezért f művelettartó leképezés is, így
i
j
n,
m
(K,Bil(U×V,K)) (K,M(n,m,K)) ,
vagyis Bil(U×V,K) és M(n,m,K) izomorf vektorterek.
10.16. Állítás:
Ha U és V a K test feletti véges dimenziós vektortér, dim(U)=n, dim(V)=m,
továbbá B u ={e 1 ,...,e n } az U, B v ={f 1 ,...,f m } a V egy-egy tetszőleges, de rögzí-
i
j
n,
m
53

tett bázisa, akkor az ABil(U×V,K) bilineáris függvény egyértelműen írható
fel az
A(
x , y)
x1
x2...
xn
a a a
11 12 1m
y1
a
an
21
1
a
a
22
n2
a
a
2m
nm
y
y
alakban, ahol ( a ij ) n , m mat , ( A)
az A bilineáris függvény mátrixa, és
B u B v
xU, yV egy-egy tetszőleges vektor,
( B 1 2 m
y ) ( y , y ,..., y ) koordinátákkal.
v
( 2
2
m
n
i1
x ) B u
( x1,
x ,..., xn
),
Bizonyítás:
Az A:U×V→K függvény bilinearitását, a 10.7. tulajdonságot, valamint a
bilineáris függvény mátrixának értelmezését felhasználva
m
j1
a
ij
x
i
y
j
n
i1
n m n m
A( x , y)
A
xiei
, y jf
j
xi
y j A(
ei
, f
i1 j1
i
j j1
m
a
11 a12
a1m
aij
xi
y j ( x1x2
... xn
)
1
a
a a
21 22 2m
an1
an2
anm
j
j
)
y1
y
2
ym
adódik.
Most azt a kérdést vizsgáljuk meg, hogy egy bilineáris függvény mátrixa hogyan
változik meg, ha egy B u , B v bázispárról egy másik B u ', B v ' bázispárra
térünk át.
54

10.17. Állítás:
Ha U és V a K test feletti véges dimenziós vektorterek, dim(U)=n, dim(V)=m,
B u ={e 1 ,...,e n } és B u '={e 1 ',...,e n '} az U, B v ={f 1 ,...,f m } és B v '={f 1 ',...,f m '} a V
vektortér egy-egy bázispárja; S=(s ij )GL(n,K) a B u ↦B u ' és T=(t ij )GL(m,K)
a B v ↦B v ' az átmeneti mátrixok, akkor az ABil(U×V,K) bilineáris függvény
A mat , ( A)
és A'
mat
B B ',
'(
A)
u B v
u B v
mátrixai között érvényes az
A' = S·A·T T
összefüggés.
Bizonyítás:
Ha xU és yV tetszőleges vektorpár, akkor az
x)
( x x ... x ) és ( x)
( x ' x '... x '), illetve ( y)
( y y ... y ) és
( B 1 2 n
B ' 1 2 n
B 1 2 m
u
( B ' 1 2
u
y ) ( y ' y '... y ') koordináta sormátrixaik között a 6.21. állítás szerint
v
fennállnak az
m
( x ' x2'...
xn
') S
( x1x2
... xn
) és ( y1'
y2'...
ym')
T
( y1
y2...
y
1 m
összefüggések. A 10.16. állítás felhasználásával az ABil(U×V,K) bilineáris
függvény a B u , B v bázispárban az
v
)
A(
x , y)
( x x
1
2
... x
n
) A
y ,
1
y
2
ym
a B u ', B v ' bázispárban pedig az
55

A(
x , y)
( x
1
' x
2
'... x
n
') A'
y ' ,
1
y2
'
'
ym
alakban állítható elő. Ekkor a B v ↦B v ' bázis átmenetet leíró összefüggés
transzponálásával nyert
T
T
y1'
y
2 '
ym
'
y1
y
2
ym
összefüggést felhasználva az A(x,y) bilineáris függvény B u , B v bázispárra
vonatkozó előállításából
A(
x,
y)
( x x
1
2
... xn
) A y1
(( x1
' x2
'... xn
') S)
A(
T
y
2
ym
T
( x ' '... ') ( ) 1'
1 x2
xn
S A T y
y '
2
ym
'
T
y1'
y
2 '
ym
'
)
következik. Az A(x,y) bilineáris függvény B u ', B v ' bázispárra vonatkozó mátrixa
10.16. állítás alapján egyértelműen meghatározott, így az
56

A(
x , y)
( x ' x
1
2
'... xn
') A'
y1'
( x1'
x
y '
2
ym
'
2
'... x
n
') ( S A T
T
) y1'
y
2 '
ym
'
előállításból
A' = S·A·T T
adódik, ami állításunkat bizonyítja.
Most is megállapodunk abban, hogy bilineáris funkcionálok esetén
mindkét komponensnél ugyanazt a bázispárt választjuk, azaz ha
ABil(U×U,K), akkor legyen B u =B v és B u '=B v '. Ekkor imént bizonyított állításunkban
S=T, s így az A'= S·A·S T összefüggést nyerjük.
A fentiek alapján természetes módon adódik a következő definíció. Legyen K
egy test. Az AM(n,K) mátrix kongruens a BM(n,K) mátrixszal, ha létezik
olyan SGL(n,K) mátrix, hogy B=S·A·S T teljesül; jele: A≃B.
10.18. Állítás:
A K test feletti n-ed rendű négyzetes mátrixok M(n,K) vektorterében a kongruencia
egy ekvivalenciareláció, azaz
(1) minden AM(n,K) mátrixra A≃A teljesül;
(2) ha az A,BM(n,K) mátrixokra A≃B, akkor B≃A is teljesül;
(3) ha az A,B,CM(n,K) mátrixokra A≃B és B≃C, akkor A≃C is teljesül.
Bizonyítás:
Ha AM(n,K) egy tetszőleges n-ed rendű négyzetes mátrix, akkor
E n GL(n,K) n-ed rendű egységmátrixszal A=E n·A·E n T teljesül, így A≃A,
tehát a ≃ egy reflexív reláció.
Ha az A,BM(n,K) mátrixokra fennáll az A≃B reláció, akkor létezik olyan
SGL(n,K) mátrix, amellyel B=S·A·S T teljesül. Ekkor S T GL(n,K) és
(S T ) -1 =(S -1 ) T , hiszen
(S -1 ) T·S T =(S·S -1 ) T =E n T =E n és S T·(S -1 ) T =(S -1·S) T =E n T =E n .
57

Ennek felhasználásával
S -1·B·(S -1 ) T =S -1·(S·A·S T )·(S -1 ) T =(S -1·S)·A·(S T·(S T ) -1 )=E n·A·E n =A ,
s mivel S -1 GL(n,K), ezért ez éppen azt jelenti, hogy B≃A is fennáll, tehát a
≃ egy szimmetrikus reláció.
Ha az A,B,CM(n,K) mátrixokra érvényes az A≃B és a B≃C összefüggés,
akkor létezik olyan S,TGL(n,K) mátrixpár, hogy B=S·A·S T és C=T·B·T T .
A 6.15. állítás alapján T·SGL(n,K), amiből
C=T·B·T T =T·(S·A·S T )·T T =(T·S)·A·(S T·T T )=(T·S)·A·(T·S) T
alapján közvetlenül adódik, hogy A≃C is teljesül, vagyis a ≃ reláció tranzitív.
Ezzel állításunkat igazoltuk.
A fenti állítás szerint a K test feletti n-ed rendű négyzetes mátrixok
M(n,K) vektorterében a kongruencia egy ekvivalenciareláció, amely így az
M(n,K) halmaz egy osztályozását hozza létre. Egy-egy osztályhoz a 10.17.
állítás, valamint ezen állítás után tett megjegyzés alapján pontosan azok a
mátrixok tartoznak, amelyek egyazon bilineáris funkcionálnak más és más
bázisra vonatkozó mátrixai.
A továbbiakban értelmezzük a szimmetrikus és az antiszimmetrikus
bilineáris funkcionált, majd megvizsgáljuk legfontosabb tulajdonságaikat.
Ha K egy test és U e test felett egy vektortér, akkor azt mondjuk, hogy az
ABil(U×U,K) egy szimmetrikus (antiszimmetrikus) bilineáris funkcionál, ha
minden x,yU vektorpárra A(y,x)=A(x,y) ( A(y,x)=-A(x,y) ) teljesül.
A 6.19. állítás után már értelmeztük a szimmetrikus mátrix fogalmát. Most
ezt elevenítjük fel és egészítjük ki az alábbiak szerint. Az AM(n,K) n-ed
rendű, K test feletti négyzetes mátrixot szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrixnak
nevezzük, ha teljesül rá az A T =A (A T =-A) feltétel. Ha A=(a ij ) n , akkor
ezzel a feltétellel egyenértékű az a ji =a ij (a ji =-a ij ), 1≤i, j≤n követelmény.
10.19. Állítás:
Ha U a K test felett egy véges dimenziós vektortér, akkor az ABil(U×U,K)
bilineáris funkcionál akkor és csakis akkor lesz szimmetrikus
58

(antiszimmetrikus), ha az U vektortér egy tetszőleges B={e 1 ,e 2 ,...,e n } bázisában
e bilineáris funkcionál A=mat B (A)M(n,K) mátrixa szimmetrikus
(antiszimmetrikus) mátrix.
Bizonyítás:
Ha az ABil(U×U,K) egy szimmetrikus bilineáris funkcionál és
A=(a ij ) n M(n,K) a tetszőlegesen választott B bázisra vonatkozó mátrixa, akkor
a ji =A(e j ,e i )=A(e i ,e j )=a ij (1≤i, j≤n) alapján A T =A adódik.
Megfordítva, ha az ABil(U×U,K) bilineáris funkcionál B bázisra vonatkozó
A=(a ij ) n M(n,K) mátrixára A T =A teljesül, továbbá a tetszőleges x,yU vektorpárra
x=x 1 e 1 +...+x n e n és y=y 1 e 1 +...+y n e n , akkor a 10.16. állítás alapján
A(
y,
x)
n
j
j1
i1
n n
i1
n
y x A(
e
j1
a
i
ij
x
i
y
j
j
, e
n
i
i1
)
n
j1
n
j1
x
i
i1
y
n
j
a
ji
A(
e
i
y
j
, e
x
j
i
n
i1
n
j1
) A(
x,
y)
a
ji
x
i
y
j
következik.
Ha az ABil(U×U,K) egy antiszimmetrikus bilineáris funkcionál és
A=(a ij ) n M(n,K) a tetszőlegesen kiválasztott B bázisra vonatkozó mátrixa,
akkor a fenti okoskodással analóg módon a ji =A(e j ,e i )=-A(e i ,e j )=
=-a ij (1≤i, j≤n), így A T =-A adódik.
Megfordítva pedig fenti jelöléseinket alkalmazva, ha A T =-A, akkor
n
i1
A(
y,
x)
n
j1
( a
ij
n
j1
) x y
i
n
i1
j
y x A(
e
j
i
n
i1
következik.
Ezzel állításunkat igazoltuk.
n
j
, e
a
i
)
x
y
n
j1
a
y
ij i j
j1 i1
j1
n
ji
i1
n
n
j
x
x
i
i
y
i1
j
n
A(
e
j1
i
n
a
, e
j
ji
x
i
y
j
) A(
x,
y)
Legyen ABil(U×U,K) egy szimmetrikus bilineáris funkcionál. Ekkor a
Ker(A)≔{xU | y
U
: A(
x,
y)
A(
y,
x)
0}
59

vektorhalmazt az A bilineáris funkcionál magjának nevezzük.
10.20. Állítás:
Ha U a K test felett egy vektortér és ABil(U×U,K) egy szimmetrikus
bilineáris funkcionál, akkor Ker(A)«U, vagyis a mag egy altér az U vektortérben.
Bizonyítás:
Minden yU vektorra és az 0 u U zérusvektorra a 10.4. tulajdonság szerint
A(0 u ,y)=0K, így Ker(A)ø teljesül.
Ha x, x'Ker(A) és kK, akkor bármely yU esetén A(x,y)=A(x',y)=0, amiből
A(x+x',y)=A(x,y)+A(x',y)=0 és A(kx,y)=k·A(x,y)=0 következik, tehát
x+x'Ker(A) és kxKer(A) teljesül.
A fentiek a 3.8. állítás alapján éppen azt igazolják, hogy Ker(A) az U vektortér
egy altere.
10.21. Állítás:
Legyen K egy test, U e test felett egy véges dimenziós vektortér és
ABil(U×U,K) egy szimmetrikus bilineáris funkcionál. Ha dim(U)=n, s
B={e 1 ,e 2 ,...,e n } az U vektortér egy tetszőleges, de rögzített bázisa, továbbá
A=mat B (A) az A bilineáris funkcionál B bázisra vonatkozó mátrixa, akkor
érvényes a
dim(Ker(A))=dim(U)-rang(A)
összefüggés.
Bizonyítás:
Értelmezése szerint xKer(A) akkor és csakis akkor, ha minden yU esetén
A(y,x)=0 teljesül. Ha most x=x 1 e 1 +...+x n e n és y=y 1 e 1 +...+y n e n , akkor ez utóbbi
feltétel a 10.16. állítás alapján egyenértékű azzal, hogy minden y 1 ,y 2 ,...,y n K
esetén
( y1 y2...
yn
) A x 0,
1
x
2
xn
ami viszont pontosan akkor teljesül, ha fennáll
60

A x 0 .
1
x2
0
x 0
n
Ez egy homogén lineáris egyenletrendszer, amelynek megoldáshalmaza a
fenti okoskodás szerint a Ker(A) altérrel egyezik meg. A szóban forgó homogén
lineáris egyenletrendszer megoldáshalmazának, mint altérnek a dimenziója
viszont a 8.8. állítás szerint dim(Ker(A))=n-rang(A), ami dim(U)=n figyelembe
vételével éppen állításunkat bizonyítja.
A most bizonyított állításban szereplő összefüggés egyszerű átrendezésével
rang(A)=dim(U)-dim(Ker(A)) adódik. Vegyük észre, hogy a jobb
oldal értéke független a B bázis megválasztásától, tehát az ABil(U×U,K)
szimmetrikus bilineáris funkcionál mátrixának rangja is független a bázis
kiválasztásától. Ez az észrevétel igazolja az alábbi definíció korrekt voltát.
Az ABil(U×U,K) szimmetrikus bilineáris funkcionál rangját a
rang(A)≔rang(A)
összefüggéssel értelmezzük, ahol AM(n,K) az A bilineáris funkcionál egy
tetszőleges bázisra vonatkozó mátrixa, s U természetesen egy n-dimenziós
vektortér a K test felett.
Megjegyezzük, hogy az U véges dimenziós vektortér ABil(U×U,K) szimmetrikus
bilineáris funkcionáljának rangjához eljuthatunk a 10.17. állításon
keresztül is.
Egyszerűen bizonyítható, hogy ha K egy test, AM(n,K) és BGL(n,K), akkor
rang (A·B)=rang(A), továbbá rang(B·A)=rang(A) is teljesül. Ha U a K
test felett egy n-dimenziós vektortér és A,A'M(n,K) az ABil(U×U,K)
szimmetrikus bilineáris funkcionál két tetszőleges bázisra vonatkozó mátrixa,
akkor létezik olyan SGL(n,K), hogy A'=S·A·S T teljesül. Ebből a fenti megállapítással
rang(A')=rang(S·A·S T )=rang(S·A)=rang(A) következik. Az A
szimmetrikus bilineáris funkcionál tetszőleges bázisra vonatkozó mátrixának
61

angja tehát ugyan az a szám, amelyet a fenti definícióval összhangban a
bilineáris funkcionál rangjának neveztünk.
Ezután a szimmetrikus bilineáris funkcionálok átlós előállításával foglalkozunk.
A továbbiakban feltételezzük, hogy K olyan test, amelynek karakterisztikája
nem 2, ami azt jelenti, hogy ha kK és k0, akkor k+k=2·k0 teljesül
minden kK testelemre.
10.22. Állítás:
Legyen K egy nem 2 karakterisztikájú test, U e test feletti véges dimenziós
vektortér. Bármely ABil(U×U,K) szimmetrikus bilineáris funkcionálhoz
található olyan B={e 1 ,...,e n } bázis az n-dimenziós U vektortérben, amelyre
vonatkozóan a bilineáris funkcionál ( aij ) n mat B ( A)
mátrixa diagonális,
azaz a ij =A(e i ,e j )=0, ha ij, 1≤i, j≤n.
Bizonyítás:
Állításunkat az n=dim(U) szám szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk.
Az n=1 esetben az állítás nyilvánvalóan teljesül. Tegyük fel, hogy minden
k≤n-1 esetén igaz a tétel.
Ha A(x,y)=0 minden x,yU mellett, akkor a bilineáris funkcionál tetszőleges
bázisra vonatkozó mátrixa az n-ed rendű zérus mátrix lesz, így ekkor az állítás
nyilvánvaló.
Ha van olyan p,qU, hogy A(p,q)0, akkor létezik olyan e n U is, hogy
A(e n ,e n )0. Valóban, ha ugyanis minden xU esetén A(x,x)=0 teljesülne,
akkor az A(p+q,p+q)=A(p,p)+2·A(p,q)+A(q,q) összefüggésből 2·A(p,q)=0
adódna, amiből pedig A(p,q)=0 következne, hiszen a K test karakterisztikája
nem 2.
Tekintsük most az L:U→K, x↦A(e n ,x) leképezést, amely az A bilinearitása és
A(e n ,e n )0 miatt egy nem zéró lineáris funkcionál. Ha L(e n )=h(0), akkor
tetszőleges kK esetén fennáll L((k·h -1 )·e n )=(k·h -1 )·L(e n )=(k·h -1 )·h=k·(h -
1·h)=k, így KIm(L), másrészt nyilván Im(L)K, amiből Im(L)=K adódik.
Ezért a
62
V≔Ker(L)={xU | A(e n ,x)=0}
altér dimenziója az 5.17. állítás alapján dim(V)=dim(Ker(L))=
=dim(U)-dim(Im(L))=n-dim(K)=n-1.

Most az A bilineáris funkcionál V×V halmazra történő leszűkítésére alkalmazva
az indukciós feltevést, létezik a V vektértérnek olyan {e 1 ,...,
e n-1 } bázisa, amelyre A(e i ,e j )=0, ha ij; 1≤i, j≤n-1. Ám fennáll
L(e i )=A(e n ,e i )=0 is, ha 1≤i≤n-1, hiszen e i V=Ker(L).
Az {e 1 ,...,e n-1 ,e n } vektorrendszer pedig az U vektortér egy bázisa lesz, mert
különben e n V állna fenn, amiből pedig L(e n )=A(e n ,e n )=0 következne. A fenti
konstrukció alapján az {e 1 ,...,e n } bázisban az A szimmetrikus bilineáris funkcionál
mátrixa diagonális lesz, s ezzel állításunkat bizonyítottuk.
Legyen most K egy nem 2 karakterisztikájú test, U e test felett egy n-
dimenziós vektortér és ABil(U×U,K) egy szimmetrikus bilineáris funkcionál,
továbbá B={e 1 ,...,e n } az U vektortér egy olyan bázisa, amelyben az A
bilineáris funkcionál mátrixa diagonális. Ha rang(A)=rang(mat B (A))=r≤n az A
bilineáris funkcionál rangja, akkor B bázisra vonatkozó
mat
B
a1
0
( A)
0
0
a
2
0
0
0
a
n
mátrixának főátlójában pontosan r számú a i K elem különbözik 0-tól. Szükség
esetén a B bázis elemeinek sorrendjét felcserélve, majd átindexelve elérhetjük,
hogy a i 0, ha 1≤i≤r és a i =0, ha r+1≤i≤n.
A fenti észrevételek, valamint a 10.16. állítás alapján igaz az alábbi
10.23. Következmény:
Bármely, a 10.22. állítás feltételeinek megfelelő ABil(U×U,K) szimmetrikus
bilineáris funkcionálhoz létezik olyan B={e 1 ,...,e n } bázis, hogy ha x,yU
tetszőleges vektorpár és x=x 1 e 1 +...+x n e n és y=y 1 e 1 +...+y n e n , akkor
ahol a i 0, 1≤i≤r.
A( x , y)
a
x
r
i1
i
i
y
i
,
63

A fenti következményben szereplő összefüggést az A szimmetrikus bilineáris
funkcionál átlós előállításának nevezzük.
Mivel az r=rang(A) értéke független a bázis megválasztásától, így érvényes a
10.24. Következmény:
Bármely, a 10.22. állítás feltételeinek megfelelő ABil(U×U,K) szimmetrikus
bilineáris funkcionál mindegyik átlós előállításában a zérustól különböző
együtthatók száma megegyezik.
Most megvizsgáljuk, hogy a 10.23. következményben szereplő átlós előállítás
hogyan egyszerűsödik abban a két sajátos esetben, ha a K test a komplex
számok C teste, illetve a valós számok R teste.
Ha K=C, ABil(U×U,C ) a 10.22. állítás feltételeinek eleget tevő szimmetrikus
bilineáris funkcionál, B={e 1 ,...,e n } az A valamely átlós előállításának bázisa
és
a1
0
0
0 a2
A mat B ( A)
a r M(n,C )
0
0
0 0 0
az átlós előállítás mátrixa, akkor alkalmazzuk azt a bázis-, illetve koordináta
transzformációt, amelynek átmeneti mátrixa
1
0 0
a1
0
1
S
GL(n,C ) ,
a r
1
0
0 0 1
64

ahol ai
C az a i C (1≤i≤r), a i 0 komplex szám két komplex négyzetgyökének
egyikét jelöli. A 6.21. állítás alapján könnyen belátható, hogy az új
1 1
bázis B' e
1,...,
er
, er 1,...,
en
lesz. Ha x,yU egy tetszőleges vektorpár,
amelynek régi, illetve új
a1
a r
koordinátái:
(x) B =(x 1 ... x n ), (x) B' =(x 1 ' ... x n ') ;
(y) B =(y 1 ... y n ), (y) B' =(y 1 ' ... y n ') ,
amelyek között a kapcsolatot a 6.22. állítás szerint az
(x 1 ' ... x n ')·S=(x 1 ... x n ) és (y 1 ' ... y n ')·S=(y 1 ... y n )
összefüggések létesítik, akkor az A szimmetrikus bilineáris funkcionál B' bázisra
vonatkozó mátrixa a 10.17. állítás alapján
1
0 0
0
1
r
T
A'
S A S
M ( n,
C ) ,
0
0
0
0 0
r
amiből a 10.23. következmény felhasználásával az
A(
x,
y)
r
i1
a x y
i
i
i
( x ... x
1
)
( x '... x
1
n
A y1
( x1
'... x
y
n
r
1'
n
')
A'
y
y '
n
n
i1
')
S A S
x ' y '
i
i
T
y1'
y '
n
65

összefüggést nyerjük. Komplex számtest esetén az
A( x , y)
x i ' y i ' előállítást
az A szimmetrikus bilineáris funkcionál normálalakjának nevezzük.
Ha K=R, ABil(UxU,R) a 10.22. állítás feltételeinek megfelelő szimmetrikus
bilineáris funkcionál, B={e 1 ,...,e n } az A egy átlós előállításának bázisa és
r
i1
a1
0
0
0
A mat
B ( A)
a
r
M(n,R)
0
0
0 0 0
az átlós előállítás mátrixa, akkor a fenti konstrukcióval analóg alkalmazunk
egy bázis-, illetve koordináta transzformációt, amelynek átmeneti mátrixa
1
0 0
| a1
|
0
1
S
GL(n,R) .
| a r |
1
0
0 0 1
1 1
Az új bázis most B' e 1,...,
er
, er
1,...,
e
| a1
| | a r |
funkcionál ezen bázisra vonatkozó mátrixa pedig
n
lesz, az A bilineáris
66

u1
0
0
0
T
A ' S A S
ur
r M(n,R)
0
0
0 0 0
r
alakú, ahol u i R (1≤i≤r) értéke 1, vagy -1. Ebből az
r
A(
x,
y)
ai
xi
yi
( x1...
xn
) A y
i1
( x '... x
1
1
( x1'...
x
y
n
r
') A'
y1'
yn
'
összefüggést kapjuk. Valós számtest esetén az
n
n
i1
') S
A S
u x ' y '
i
i
i
T
y1'
yn
'
A( x , y)
u
x ' y ' előállítást
az A szimmetrikus bilineáris funkcionál normálalakjának nevezzük.
Valós esetben a fentinél még többet is állíthatunk az A normálalakjában szereplő
pozitív, illetve negatív együtthatók számáról.
10.25. Állítás: (Sylvester inercia tétele)
Ha U a valós számok R teste feletti n-dimenziós vektortér és ABil(U×U,R )
e vektortéren értelmezett szimmetrikus bilineáris funkcionál, akkor az A valamennyi
normálalakjában a pozitív, illetve a negatív együtthatók száma
mindig ugyanaz.
r
i1
i
i
i
67

Bizonyítás:
Legyen U az R test felett egy n-dimenziós vektortér és ABil(U×U,R ) egy
r(≤n) rangú szimmetrikus bilineáris funkcionál. Legyen továbbá B={e 1 ,...,e n }
és B'={e 1 ',...,e n '} az U vektortér két olyan bázisa, amelyben az A bilineáris
funkcionál a fentiekben ismertetett módon előállítható
r
A( x , y)
u x y , illetve A(
x,
y)
i1
i
i
i
r
i1
u ' x ' y '
normálalakban, ahol |u i |=|u i '|=1 (1≤i≤r). Ha az elsőben s(≤r), a másodikban
pedig t(≤r) számú pozitív együttható szerepel, akkor állításunk igazolásához
elegendő megmutatni, hogy s=t teljesül.
Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a fenti két előállításban
a pozitív együtthatójú tagok az első helyeken állnak, azaz
i
i
i
u
i
1, ha 1
i s
A( e i , ei
) 1,
ha s 1
i r ; ui
' A(
ei
', e
0, ha r 1
i n
i
1, ha
')
1,
ha
0, ha
1
i t
t 1
i r
r 1
i n
továbbá A(e i ,e j )=A(e i ',e j ')=0, ha ij és 1≤i,j≤n. Megmutatjuk, hogy az
{e 1 ,...,e s ,e t+1 ',...,e n '} egy lineárisan független vektorrendszer. Valóban, tekintsük
az
a 1 e 1 +...+a s e s +b t+1 e t+1 '+...+b n e n '=0
lineáris kombinációt, amelynek átrendezésével vezessük be az
x≔a 1 e 1 +...+a s e s =-b t+1 e t+1 '-...-b n e n 'U
vektort!
Ekkor az x vektor első előállítását felhasználva, tekintettel u i (1≤i≤s) előjelére
az
s s s s
A(
x,
x)
A
aiei
, a je
j
aia
j A(
ei
, e j )
i1
j1
i1
j1
s
i1
a
2
i
A(
e , e
i
i
)
s
i1
2
i
a · u
i
0
68

egyenlőtlenség adódik. Az x vektor második előállítását felhasználva pedig
u i ’ (t+1≤i≤n) előjele miatt az
A(
x,
x)
A
n
it1
( b
) e
',
i
i
n
jt1
( b
j
) e
j
'
n
it1
n
jt1
( b
) ( b
i
j
)
A(
e ', e
i
j
')
n
it1
( b
)
i
2
A(
e ', e
')
n
2
bi
it1
A valós ABil(U×U,R ) szimmetrikus bilineáris funkcionál egy tetszőleges
normálalakjában a pozitív együtthatók i + számát, illetve a negatív együtthatók
i - számát a bilineáris funkcionál pozitív, illetve negatív tehetetlenségi indexének,
ezek i + - i - különbségét pedig a bilineáris funkcionál szignatúrájának
nevezzük.
Megjegyezzük, hogy a fenti fogalmak értelmezéséhez természetesen felhasználhattuk
volna az A szimmetrikus bilineáris funkcionál egy tetszőleges átlós
előállítását is, hiszen nyilvánvaló, hogy a 10.25. állítás okoskodása végigvihető
ebben az általánosabb esetben is. Ekkor azonban a pozitív, illetve nega-
69
i
i
u ' 0
egyenlőtlenség teljesül. Ám a fenti két egyenlőtlenség csak akkor állhat fenn,
ha A(x,x)=0, amiből az
A( x , x)
a i u i ,
s
i1
u i >0 (1≤i≤s) első előállítás alapján a i 2 =0, s ebből a i =0 (1≤i≤s) következik.
Ez azt jelenti, hogy x=0·e 1 +...+0e s =0, s mivel {e t+1 ',...,e n '} egy lineárisan független
vektorrendszer, így a 0=x=-b t+1 e t+1 '-...-b n e n ' előállítás alapján b i =0
(t+1≤i≤n) is érvényes. Az {e 1 ,...,e s ,e t+1 ',...,e n '} tehát valóban lineárisan független
vektorrendszer, amiből dim(U)=n felhasználásával azonnal következik,
hogy s+(n-t)≤n, ebből pedig az s≤t egyenlőtlenség adódik.
A B és a B' bázis szerepének felcserélésével a fentivel analóg okoskodás segítségével
a t≤s összefüggést nyerhetjük, amely az előzővel együtt biztosítja
az s=t teljesülését.
Sylvester most bizonyított tétele lehetőséget nyújt a valós számok R
teste feletti n-dimenziós U vektortéren értelmezett A szimmetrikus bilineáris
funkcionál tehetetlenségi indexeinek és szignatúrájának bevezetésére.
2
i

tív együtthatók értéke nem feltétlenül 1, illetve -1, a megegyező előjelű
együtthatók száma azonban mindkét megközelítésben megegyezik.
A fentiek alapján nyilvánvaló továbbá, hogy érvényes az i + + i - = r =
=rang(A) összefüggés is.
Feladatok:
1. Legyen {e 1 =(1,1,1), e 2 =(1,1,-1), e 3 =(1,-1,-1)} az R 3 vektortér egy bázisa.
Határozzuk meg az
A(x,y)=x 1·y 1 +2x 2·y 2 +3x 3·y 3 Bil(R 3 ×R 3 ,R )
bilineáris funkcionál fenti bázisra vonatkozó mátrixát!
2. Határozzuk meg a következő szimmetrikus bilineáris funkcionálok átlós
előállítását, illetve normálalakját:
a) A(x,y)=x 1 y 1 +2x 1 y 2 +3x 1 y 3 +2x 2 y 1 +x 2 y 3 +3x 3 y 1 +
+x 3 y 2 +2x 3 y 3 Bil(R 3 ×R 3 , R ),
b) B(x,y)=x 1 y 1 +2x 1 y 2 +3x 1 y 3 +2x 2 y 1 +5x 2 y 2 +x 2 y 3 +
+3x 3 y 1 +x 3 y 2 +10x 3 y 3 Bil(R 3 ×R 3 ,R ),
c) C(x,y)=x 1 y 1 +3x 1 y 2 +3x 2 y 1 +4x 2 y 2 Bil(R 2 ×R 2 ,R ),
70