Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - Hidak és ...

BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM
Építőmérnöki Kar
Hidak és Szerkezetek Tanszéke
ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ SZÁMÍTÁSA
AZ EUROCODE SZERINT
Segédlet v2.4 *
Összeállította: Koris Kálmán és Péczely Attila
Budapest, 2000. szeptember 21.
* Nem véglegesített szöveg. Az esetleges jövőbeli bővítések és javítások a http:/www.vbt.bme.hu/oktatas/vb2 oldalról tölthetők le.

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
Tartalomjegyzék
1 Anyagok.................................................................................................................................3
1.1 Beton...............................................................................................................................3
1.2 Betonacél ........................................................................................................................4
1.3 Feszítőbetét .....................................................................................................................4
2 Terhek, teherkombinációk .....................................................................................................7
2.1 Terhelési állapotok..........................................................................................................7
2.2 Méretezés repedésmentességi követelményre ................................................................8
2.3 Teherbírás ellenőrzése ....................................................................................................8
3 Geometria...............................................................................................................................9
3.1 Statikai váz......................................................................................................................9
3.2 A keresztmetszet felvétele ..............................................................................................9
4 A feszítés számítása .............................................................................................................11
5 Magnel-egyenesek ...............................................................................................................12
6 A hatásos feszítőerő meghatározása ....................................................................................14
6.1 Kezdeti feszítési feszültség...........................................................................................14
6.2 A hatásos feszítési feszültség........................................................................................14
6.2.1 A beton hőérleléséből származó feszültségveszteség.......................................15
6.2.2 A zsugorodásból, kúszásból és relaxációból adódó feszültségveszteség .........15
6.2.2.1 A beton zsugorodási alakváltozása...............................................................16
6.2.2.2 A beton kúszási tényezője ............................................................................17
6.2.2.3 A feszítőbetétek relaxációjából adódó feszültségveszteség .........................17
6.3 A hatásos feszítőerő hányad .........................................................................................18
7 Főfeszültségek vizsgálata.....................................................................................................19
7.1 A tartó tengelyére merőleges normálfeszültségek ........................................................19
7.1.1 Nyírófeszültségek számítása.............................................................................19
7.2 Főfeszültségek számítása..............................................................................................19
7.3 A tartóvég vizsgálata ....................................................................................................20
8 A törőnyomaték meghatározása (Mörsch szerkesztés)........................................................22
9 Irodalomjegyzék ..................................................................................................................23
1

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
Jelölések
α
α ep
α p
α T
ε cu
ε su
ε pu
ε cs (t)
φ
φ(t)
ν
ψ 0,i
σ p
σ p,m,0
σ p,m,t
∆σ pr
r 1000
∆σ pT
∆σ p,c+s+r
b
b w
e
f ck
f cd
f ctm
f ctd
f yk
f yd
f pk
f pd
h
h 1
k
l 0
l bp
l bpd
m sup
m inf
x bp
z pc
A c
A i
A p
E cd
E p
I c
I xi
L
P
P 0
RH
∆T
a "terhek tartósságát és a terhek működési módjából adódó más kedvezőtlen hatásokat" figyelembe
vevő tényező
a feszítőbetétek és a beton rugalmassági modulusának hányadosa
a feszítőbetétek és a beton rugalmassági modulus várható értékének hányadosa
a feszítőbetétek hőtágulási együtthatója
a beton határösszenyomódása
a betonacél határnyúlásának tervezési értéke
a feszítőbetét határnyúlásának tervezési értéke
a beton fajlagos zsugorodási alakváltozása a t időpontban
a feszítőbetét helyettesítő átmérője
a beton kúszási tényezője a t időpontban
a hatásos feszítőerő hányad
kombinációs tényező
a feszítőbetétek kezdeti feszültsége
a feszítőbetétek kezdeti feszítési feszültsége
a feszítőbetétek hatásos feszítési feszültsége a t időpontban
a feszítőbetétek relaxációjából származó feszültségváltozás
a feszítőbetétek 1000 órás relaxációs feszültségvesztesége
a beton hőérleléséből származó feszültségveszteség
a zsugorodásból, kúszásból és relaxációból származó feszültségveszteség
a gerenda fejlemezének vastagsága
a gerenda gerincének vastagsága
a feszítőerő külpontossága az ideális keresztmetszet súlypontjától
a beton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke
a beton nyomószilárdságának tervezési értéke
a beton húzószilárdságának várható értéke
a beton húzószilárdságának tervezési értéke
a betonacél folyáshatárának karakterisztikus értéke
a betonacél folyáshatárának tervezési értéke
a feszítőbetét szakítószilárdságának karakterisztikus értéke
a feszítőbetét szakítószilárdságának tervezési értéke
a keresztmetszet magassága
a gerenda fejlemezének szélessége
a tartó feltámaszkodása (alátámasztó elem szélessége)
a tartó támaszok közötti tiszta nyílásköze (szabad nyílás)
az erőátadódási hossz, amely mentén a feszítőbetétben működő teljes feszítőerő a betonra átadódik
az erőátadódási hossz tervezési értéke
az alsó szélsőszálhoz tartozó magponti távolság a súlyponttól mérve
a felső szélsőszálhoz tartozó magponti távolság a súlyponttól mérve
az erőátadódási szakasz vége az elméleti támasztól számítva
a betonkeresztmetszet súlypontja és a feszítőbetétek közötti távolság
a betonkeresztmetszet területe
az ideális keresztmetszeti terület
a feszítőbetét keresztmetszeti területe
a beton rugalmassági modulusának tervezési értéke
a feszítőbetét rugalmassági modulusa
a betonkeresztmetszet inercianyomatéka
az ideális keresztmetszet inercianyomatéka
a tartó elméleti fesztávolsága
a feszítőerő
a kezdeti feszítőerő
a relatív páratartalom értéke
a beton és a feszítőpad bakja közötti hőmérsékletkülönbség hőérleléskor
2

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
1 Anyagok
1.1 Beton
Feszített vasbeton szerkezeteknél a beton nyomott zónája - a szerkezetbe vitt nyomóerőnek
köszönhetően - jobban kihasznált mint a nem feszített vasbeton szerkezeteknél, ez általában
nagyobb szilárdsági osztályú betonok alkalmazását teszi szükségessé. A feszítés t 1
időpontjában a beton rendszerint még nem éri el a végleges (28 napos) szilárdságát, a
számításban ezt úgy vehetjük figyelembe, hogy ebben az állapotban egy alacsonyabb
szilárdsági osztályú beton anyagjellemzőit alkalmazzuk (pl. C30/37 helyett C25/30). A beton
legfontosabb, Eurocode szerinti anyagjellemzőit az alábbi táblázat tartalmazza:
Jel C20/25 C25/30 C30/37 1) C35/45 C40/50 C45/55 C50/60
f ck 20 25 30 35 40 45 50
0.6·f ck 12 15 18 21 24 27 30
[N/mm 2 ]
f ctm 2,21 2,56 2,90 3,21 3,51 3,80 4,07
f ctd 1,03 1,20 1,35 1,50 1,64 1,77 1,90
E cm
[kN/mm 2 ]
28,8 30,5 31,9 33,3 34,5 35,7 36,8
1) előfeszített tartóknál alkalmazható legalacsonyabb szilárdsági osztály
A feszített vasbetonszerkezetek számítása során használható idealizált beton anyagmodellek:
σ σ
0.2⋅ε cu
σ
ε cl ε cu ε cl ε cu
ε
0.6⋅f ck
0.6⋅f ck
α⋅f cd
f ctd
ε
ε
ε cu
ε
E cd
E cd
Lineáris diagram (rugalmas-repedésmentes
km. számításához)
Lineáris diagram (rugalmas-berepedt
km. számításához)
Téglalap alakú diagram
σ
σ
α⋅f cd
α⋅f cd
Bi-lineáris diagram
Parabola-téglalap alakú diagram
( ⋅ ε − ) ⋅ α ⋅ fcd
σ = ε ⋅ 250 1
ha 0 < ε < ε cl (ε [‰])
σ = α ⋅
f cd
ha ε cl < ε < ε cu
A beton zsugorodását és lassú alakváltozását figyelembe vevő pontos Eurocode számítási
modell az 6.2.2.1 és 6.2.2.2 pontokban található. Egyszerűsített számítás esetén illetve
pontosabb adatok hiányában a következő értékek vehetők figyelembe: a zsugorodás végértéke
ε cs (∞) = -5⋅10 -4 , a kúszási tényező végértéke φ(∞) = 2,0.
A repedésmentességi követelményre tervezett feszített vasbeton elemek esetén a betonra
megengedhető legnagyobb nyomófeszültség értéke 0 ,6 ⋅ f .
3
ck

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
1.2 Betonacél
A vasbeton szerkezeteknél megszokott B 50.36 vagy B 60.40 (ill. B500) szilárdsági osztályú
betonacélok alkalmazhatók az EC2 szerinti mechanikai jellemzőkkel. A betonacélok
fontosabb adatait az alábbi táblázat foglalja össze:
Jel B 38.24 B 50.36 B 55.40 B 60.40 B 60.50 B 75.50 B500B B500A
f tk [N/mm 2 ] 380 500 550 600 600 750 550 550
f yk [N/mm 2 ] 240 360 400 400 500 500 500 500
f yd [N/mm 2 ] 209 313 348 348 435 435 435 435
ε su
% 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 5 2,5
ξ c0
- 0,62 0,55 0,53 0,53 0,49 0,49 0,49 0,49
ξ' c0
- 1,14 1,45 1,59 1,59 2,11 2,11 2,11 2,11
1.3 Feszítőbetét
A feszítőbetétek olyan különleges betonacélok, melyekkel a feszített vasbeton tartókban a
feszítőbetét előrenyújtása révén nyomási sajátfeszültségi állapotot hozunk létre. A hagyományos
acélbetétekhez képest a feszítőbetétek szilárdsága jóval nagyobb, továbbá nem
rendelkeznek határozott folyáshatárral. A feszítőbetétek σ-ε diagramját az alábbi ábrák
szemléltetik:
σ
f p
feszítőbetét
f p
σ
f p0,1
hagyományos
acélbetét
ε u
ε
1‰
ε u
ε
Feszítőbetétek és betonacélok σ-ε diagramja
Feszítőbetétek tipikus σ-ε diagramja az EC2 szerint
A feszítőbetétek legfontosabb szilárdsági és alakváltozási jellemzői:
f pk - a szakítószilárdság karakterisztikus értéke
f p0,1k - az 1‰-es egyezményes folyáshatár karakterisztikus értéke
ε pu - a szakadó nyúlás tervezési értéke
E p - a rugalmassági modulus (pontosabb adatok hiányában feszítőpászmákra
E p = 190 kN/mm 2 , feszítőhuzalokra és feszítőrudakra E p = 200 kN/mm 2 tételezhető
fel).
4

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
A feszített vasbeton szerkezetek keresztmetszeteinek ellenőrzése során használható
egyszerűsített feszítőbetét σ-ε diagramok:
σ
σ
0,9⋅f pd
f pd
0,9⋅f pd
E p E p
ε pu ε
ε pu
ε
Rugalmas-képlékeny modell
Rugalmas-felkeményedő modell
A feszítőbetétek fizika tulajdonságaira, pontosabb adat hiányában a következő átlagértékek
tételezhetők fel: sűrűség ρ p = 7850 kg/m 3 , hőtágulási együttható α T = 1⋅10 -5 1/°C.
A feszítőbetétek lehetséges kialakítási módjai:
- feszítőhuzal: - melegen hengerelt kör keresztmetszetű huzalból hideg húzással
előállított, sima-, hullámosított-, csavart-, rovátkolt- vagy érdesített
kiképzéssel
- meleg hengerléssel, s ezt követő edzéssel és nemesítéssel előállított,
kör vagy ellipszis keresztmetszetű, sima vagy bordás kiképzéssel
- feszítőrúd: - melegen hengerléssel előállított, sima vagy bordás kiképzéssel
- hideg nyújtással és megeresztéssel előállított, sima vagy bordás
kiképzéssel
- hideg csavarással előállított, sima vagy bordás kiképzéssel
- feszítő pászma: - 2,3,7 vagy több huzal összefonásával előállított feszítőbetét
2 eres pászma 3 eres pászma 7 eres pászma 19 eres pászma
- drótkötél: - több pászmából, sodrás útján előállított feszítőbetét
A tervezési feladatban 7 eres feszítőpászmákat alkalmazunk, ezeknek az Eurocode szerinti
fontosabb adatait az alábbi táblázat tartalmazza:
Jel
f pk f p0,1k f pd σ 0,max φ A p
[N/mm 2 ] [N/mm 2 ] [N/mm 2 ] [N/mm 2 ] [mm] [mm 2 ]
Fp 38/1770 1770 1500 1539 1275 8,0 38
Fp 55/1770 1770 1490 1539 1267 9,6 55
Fp 100/1770 1770 1500 1539 1275 12,9 100
Fp 150/1770 1770 1500 1539 1275 15,7 150
Fp 55/1860 1860 1580 1617 1343 9,6 55
Fp 100/1860 1860 1580 1617 1343 12,9 100
Fp 139/1860 1860 1580 1617 1343 15,2 139
Fp 150/1860 1860 1580 1617 1343 15,7 150
Fp 139/1670 1670 1415 1452 1203 15,2 139
5

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
A feszítőerő létrehozásának lehetőségei:
- tapadóbetétes feszített szerkezetek:
a feszítőbetét teljes hosszában felületi kötésben van a betonnal, a feszítőerő a tapadási
súrlódás révén adódik át a betonra
- véglehorgonyzásos feszített szerkezetek:
- szabadkábeles szerkezetek: a feszítőbetétek a szerkezeten kívül szabadon haladnak
- csúszókábeles szerkezetek: a feszítőbetétek a szerkezeten belül, erre a célra szolgáló
üregekben haladnak (ezek a szerkezetek az üregek
kiinjektálásával utólag tapadóbetétessé tehetők)
A feszítőbetétek osztályozása az alábbi szempontok szerint történhet:
a.) szilárdsági kategória szerint (az f p0,1k 1‰-es egyezményes folyáshatár és az f pk
szakítószilárdság értékek alapján)
b.) relaxációs viselkedés szerint: 1. osztály - feszítőhuzalok és pászmák, nagy relaxáció
2. osztály - feszítőhuzalok és pászmák, kis relaxáció
3. osztály - feszítőrudak
c.) méret szerint
d.) felületi jellemzők szerint (sima, hullámosított, csavart, rovátkolt, érdesített, bordás, stb.)
A feszítőbetétek erőátadódási (lehorgonyzási) hossza:
átmérője, β b értékeit az alábbi táblázat tartalmazza:
l β ⋅ φ ahol φ a pászma helyettesítő
bp
= b
Beton C25 C30 C35 C40 C45 C50
β b 75 70 65 60 55 50
⎪⎧
0,8 ⋅lbp
Az erőátadódási hossz tervezési értéke: lbpd
= ⎨ attól függően, hogy a vizsgálat
⎪⎩ 1,2 ⋅lbp
szempontjából mely érték a kedvezőtlenebb. A tervezési feladatban lbpd = 0,
8⋅βb
⋅ φ
erőátadódási hossz alkalmazandó. Ügyelni kell arra, hogy feszítéskor (t 1 ) valamint végleges
állapotban (t 3 ) a beton szilárdságának változása miatt az erőátadódási hossz is változik!
6

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
2 Terhek, teherkombinációk
2.1 Terhelési állapotok
Az előfeszített tartó terhei az időben változnak. A gerenda gyártástechnológiája jelentősen
befolyásolja az igénybevételeket.
Az előfeszített tartókat rendszerint gyártópadon készítik. Először befűzik a feszítőpászmákat a
gyártópad végein lévő bakok rendezőibe, majd sajtó segítségével az előírt ∆l p nyúlással
megfeszítik őket. A pászmákat ideiglenesen a gyártópad végein horgonyozzák le. Ezután
elkészítik a gerenda betonját a gyártópad zsaluzatában.
∆l p / 2 ∆l p / 2
P
P
A beton kötni kezd és a szilárdsága már elegendő ahhoz, hogy elviselje a feszítőerő és a
kizsaluzás okozta igénybevételeket, akkor a lehorgonyzást megszüntetik. A szilárdulás
gyorsítható pl. hőérleléssel. A feszítőerő és az önsúly hatására a tartó felfelé görbül. Ebben az
állapotban a felső szélsőszálban húzás, az alsó szélsőszálban pedig nyomás lép fel. A
feszítőerő ráengedésének pillanatát t 1 -gyel jelöljük.
P
P
A gyártópadról való leemelés után az elemeket tárolják, a beépítés helyszínére szállítják, majd
daruval beemelik a végleges helyére. Ezekhez a jelen feladatban nem vizsgált átmeneti
állapotokat egységesen t 2 időponttal jelöljük. Ezután készítik el a szerkezet burkolatát
(födémburkolat, tető rétegrend vagy hídpálya burkolat), majd használatba vétel után a további
állandó és esetleges terhek is hatnak. A szerkezet ezek együttes hatására lehajlik. A lehajlás
mértéke a lassú alakváltozások hatására időben változik. A legnagyobb igénybevételeket
közelítőleg a t 3 = ∞ időpontban kapjuk.
M
M
A tartó betonozása és a végleges helyére történő beemelése között több-kevesebb idő telik el, miközben a
zsugorodás és a lassú alakváltozások folyamatosan módosítják a gerenda igénybevételeit. Ha pl. a tartót a
beépítés szerinti módon tárolják (a végleges feltámaszkodási pontjainál aláékelve), akkor a kúszás hatására a
kizsaluzáskor felfelé görbülő gerenda tovább emelkedik. Használati állapotban, amikor a megnövekedett állandó
és esetleges terhek ill. az időben lejátszódó veszteségek miatt csökkenő feszítőerő hatására a tartó lehajlik, a
kúszás tovább növeli a tartó lehajlását.
A részletes statikai számításban a fenti hatást figyelembe kell venni és a tartót az ideiglenes állapotokra (emelés,
szállítás, szerelés) is ellenőrizni kell. A tervfeladatban a feszített tartót csak a t 1 , t 3 időpontokban fellépő
igénybevételekre méretezzük.
7

2.2 Méretezés repedésmentességi követelményre
Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
Az EC2 előírásai szerint a feszített tartók repedésmentességét a ritka teherkombináció alapján
kell leellenőrizni. A ritka teherkombináció:
F ser = Σ G ki "+" P k "+" Q k1 "+" Σ ψ 0,i ·Q ki
ahol F ser - a használati állapot szempontjából mértékadó teher,
G ki - az állandó terhek karakterisztikus értéke,
P k - a feszítőerő karakterisztikus értéke,
Q k1 - a kiemelt esetleges teher karakterisztikus értéke,
Q ki - a kiemelt teherrel egyidejű esetleges terhek karakterisztikus értékei,
ψ 0,i - a kombinációs tényező.
A képletben a "+" jelölés nem algebrai összegzést jelent, hanem a kombinálás lehetőségére
utaló jelzés. A magasépítési vasbeton szerkezetekre vonatkozó ψ 0,i kombinációs tényezőket az
alábbi táblázat foglalja össze:
Hatás ψ 0,i
Épületek hasznos terhei
A kategória: lakások, lakóépületek 0,7
B kategória: irodák 0,7
C kategória: gyülekezésre szolgáló területek 0,7
D kategória: üzletek 0,7
E kategória: raktárak 1,0
Járműterhek épületekben
F kategória: járművek, súly ≤ 30 kN 0,7
G kategória: járművek, 30 kN ≤ súly ≤ 160 kN 0,7
H kategória: tetők 0,0
Épületek hóterhei 0,6
Épületek szélterhei 0,6
Hőmérsékleti hatás (nem tűz) épületekben 0,6
2.3 Teherbírás ellenőrzése
A kiszámított törőnyomatékot (lásd 8. pont) a középső keresztmetszetre adódó mértékadó
nyomatékkal kell összevetni. A mértékadó nyomatékot az EC szerinti alapkombinációból kell
meghatározni:
F Sd = Σ γ Gi·G ki "+" γ P·P m,t "+" γ Q1·Q k1 "+" Σ γ Qi·ψ 0,i·Q ki
ahol F Sd - a mértékadó teher,
P m,t - a hatásos feszítőerő várható értéke (lásd 6.2 pont),
γ p = 1.00 - a feszítőerő biztonsági tényezője.
8

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
3 Geometria
3.1 Statikai váz
l bpd
k
k
l 0
L
x
x bp
L/2
Az elméleti fesztávolság: L = l 0 + 2⋅(k / 2)
A vizsgálandó keresztmetszetek a következők:
- mezőközépen (x = L/2),
- a tartóvégtől l bpd erőátadódási hossznyi távolságra lévő keresztmetszet (x = x bp ).
(Ügyelni kell arra, hogy a t 1 és t 3 állapotban az erőátadódási hossz különböző!)
3.2 A keresztmetszet felvétele
Az előfeszített vasbeton gerenda keresztmetszete a nyomott öv jobb kihasználhatósága
érdekében gyakran T alakú. Szintén gyakori az I alakú keresztmetszet alkalmazása, ahol az
alsó övet is kiszélesítik. A keresztmetszet méreteinek felvétele az alábbi közelítő képletek
segítségével történhet:
h1
b
h ≈ L/10 ÷ L/12
b ≈ h/2 ÷ 2/3⋅h
h
b w ≈ h/7 ÷ h/6 ≥ 120 mm (kifordulás veszélye miatt)
h 1 ≈ min. 150 mm
b w
A fenti arányok betartása mellett a keresztmetszet méreteit úgy kell felvenni, hogy a szélső
szálakban korlátozzuk a betonban fellépő feszültségeket.
9

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
Idő t = t 1 t = t 3 = ∞
Hely x = x bp x = L/2
≥ − f t1
ctd
t2
≤ 0 6 f ck
, ⋅
xs
(+)
M g
(−)
M g+q
A p
e
P
(−) (+)
ν⋅P
t1
≤ 0 6 f ck
t2
, ⋅ ≥ −
f ctd
Feszültségek korlátozása a keresztmetszet szélső szálaiban
A feszítőerő ráengedésekor a feszítéssel egyensúlyozni kívánt nyomaték megegyezik az
önsúlyból származó nyomatékkal (M g ). Várhatóan az önsúly és a P külpontos feszítőerő
hatására a felső szélsőszálban húzás, míg az alsó szélsőszálban nyomás lép fel. A számított
szélsőszál feszültségek nem léphetik túl a t 1 időpontra vonatkozó beton határfeszültség
értékeket. A legnagyobb nyomófeszültség várhatóan az x = x bp helyen az alsó szélsőszálban, a
maximális húzófeszültség szintén az x = x bp helyen a felső szélsőszálban lép fel. A szélsőszál
feszültségekre vonatkozó korlátozások (a nyomófeszültség előjelét tekintve negatívnak):
( xbp
) + P ⋅e
P
1
− M
σ (1)
t1 g
t
sup
=
⋅ xs
− ≤ fctd
I
xi
Ai
( x )
M − P ⋅ e P
σ (2)
t1
( h − x ) − ≥ −0.
⋅ f
t1 g bp
inf
=
⋅
s
6
I
xi
Ai
Az A i keresztmetszeti terület és I xi inercianyomaték elvileg a rugalmas-repedésmentes
feszültségállapothoz tartozó ideális keresztmetszeti jellemzők. A számítás ezen fázisában
azonban a feszítőbetétek keresztmetszeti területe és elhelyezése nem ismert, ezért a
feszítőbetéteteket elhanyagolva a beton keresztmetszet jellemzőivel számolhatunk.
A feszítési veszteségek hatására a feszítőerő értéke a t 3 = ∞ időpontig ν⋅P értékre csökken
(lásd 6. pont). Az egyensúlyozandó M g+q nyomaték a használati állapotban fellépő állandó és
esetleges terhekből számítandó. Várhatóan most a vizsgálat szempontjából az x = L/2 hely a
mértékadó, itt az alsó szélsőszál húzott, a felső pedig nyomott lesz. A szélsőszálak
feszültségeire vonatkozó korlátozások:
ck
σ
− M
( L / 2) + ν ⋅ P ⋅e
ν ⋅ P
t3
t3 g+
q
sup
=
⋅ xs
− ≥ −0.
6
I
xi
Ai
⋅ f
ck
(3)
σ
t3
inf
M
=
g+
q
( L / )
2 − ν ⋅ P ⋅e
ν ⋅ P t3
⋅( h − xs
) − ≤ fctd
xi
Ai
I
(4)
10

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
Vonjuk ki a (3) egyenletből az (1) egyenletet ν-szörösét, a (4) egyenletből pedig a (2)
egyenlet ν-szörösét. Az így nyert egyenletekbe helyettesítsük be a W sup = I xi /x s ill.
W inf = I xi /(h - x s ) felső ill. alsó keresztmetszeti modulusokat, ezáltal a fenti egyenletrendszert
az alábbi két egyszerű geometriai feltétellé egyszerűsíthetjük:
W
W
sup
inf
M
≥
M
≥
g+
q
g+
q
( L / 2) − ν ⋅ M ( x )
0,
6⋅
f
t3
ck
+ ν ⋅ f
g
t1
ctd
bp
( L / 2) − ν ⋅ M ( x )
ν ⋅0,
6⋅
f
ahol M g (x bp ) - hajlítónyomaték az állandó terhek alapértékéből (a feszítőerő
ráengedésekor a t 1 időpontban, az x = x bp helyen),
M g+q (L/2) - hajlítónyomaték az állandó és esetleges terhek alapértékéből (t 3 = ∞
időpontban, az x = L/2 helyen),
ν ≈ 0,7 - a becsült feszítési feszültség veszteség értéke (a kezdeti feszítőerő
%-ában).
Abban az esetben tehát, ha repedésmentes feszített tartót tervezünk, a keresztmetszet méreteit
úgy kell felvenni, hogy a megadott arányok betartása mellett a fenti, keresztmetszeti
modulusokra vonatkozó feltételeket teljesítsük.
t1
ck
+
f
g
t3
ctd
bp
4 A feszítés számítása
A feszítés tervezésének (feszítőbetétek darabszámának és külpontosságának meghatározása)
főbb lépései:
a.) Megbecsüljük a feszítési veszteségeket (ν est ≈ 0,7).
b.) Meghatározzuk a közelítő Magnel-egyeneseket (lásd 5. pont). Összesen 4 darab
egyenest kell meghatározni (ez a kijelentés az adott elrendezés mellett igaz, általános
esetben szükség lehet mind a 8 darab egyenes meghatározására): a t 1 időpontban az x
= x bp helyen az alsó és felső szélsőszálra vonatkozó két egyenletet, valamint a t 3
időpontban az x = L/2 helyen az alsó és felső szélsőszálra vonatkozó két egyenletet
(ebben a lépésben a keresztmetszeti jellemzők számításakor a feszítőbetétek
elhanyagolhatók). Az egyeneseket az e - 1/P derékszögű koordináta rendszerben
ábrázoljuk.
c.) Kiválasztunk egy olyan [e;1/P] pontot, ami a fenti 4 darab Magnel-egyenes által
határolt területen belülre esik. A kezdeti feszítési feszültség (σ p,m,0 ) és az alkalmazni
kívánt feszítőpászma keresztmetszeti területe (A P ) függvényében kiszámítjuk, hogy a
P erő biztosításához hány darab feszítőpászmára van szükség: n szüks = P / (A p ⋅ σ p,m,0 ).
d.) Az alkalmazott feszítőerő (n alk ⋅A p ⋅ σ p,m,0 ) és külpontosság (e) ismeretében kiszámítjuk
a feszítési veszteség (ν) pontosabb értékét (lásd 6. pont).
e.) A pontosabb feszítési veszteség (ν), valamint a feszítőpászmák figyelembevételével
meghatározott ideális keresztmetszeti jellemzők felhasználásával ellenőrizzük a tartó
szélsőszál feszültségeit.
f.) Ha a fenti feltétel nem teljesül, akkor a számítást a c.) ponttól meg kell ismételni, új
feszítőerő és külpontosság értékek felvételével.
11

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
5 Magnel-egyenesek
Amint azt a 3.2 pontban láttuk, a tartó repedésmentességét négy, a keresztmetszet szélsőszál
feszültségeire vonatkozó egyenlet kielégítésével biztosíthatjuk. Az (1)-(4) egyenletek algebrai
átalakítások révén olyan formára hozhatók, hogy 4 egyenes egyenletét határozzák meg az
e - 1/P koordináta rendszerben:
- Felső szélsőszál, t = t 1 , x = x bp :
1/P
1f
e
1
≥
P
e
−1
msup
⎛ M
g
⋅⎜
t1
Ai
f +
ctd
⎝ W
( x )
sup
bp
⎞
⎟
⎠
(5)
m sup
- Alsó szélsőszál, t = t 1 , x = x bp :
m inf
1/P
- Felső szélsőszál, t = t 3 , x = L/2:
1/P 3f ∗
3f
m sup
1a
- Alsó szélsőszál, t = t 3 , x = L/2:
e
e
e
+ 1
1 minf
≥
P ⎛ M
g
⋅⎜
t1
Ai
0,
6 ⋅ f +
ck
⎝ W
1
≥ ν ⋅
P ⎛ M
A ⋅ ⎜
i
⎝
1
≤ ν ⋅
P ⎛ M
A ⋅ ⎜
i
⎝
e
m
sup
( x )
inf
( L / 2)
bp
−1
⎞
⎟
⎠
− 0.6 ⋅ f
g + q
t3
ck
Wsup
e
m
sup
−1
( L / 2)
− 0.6 ⋅ f
g + q
t3
ck
Wsup
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(3f)
(3f * )
(6)
(7)
1/P
3a
e
1
≤ ν ⋅
P ⎛ M
A ⋅
⎜
i
⎝
e
m
inf
+ 1
( L / 2)
−
g + q
t3
ctd
Winf
f
⎞
⎟
⎠
(8)
m inf
A fentiekben
m
sup
=
W
A i
sup
és
inf
W
minf = sorrendben a felső ill. alsó szélsőszálhoz tartozó
A i
magpont távolsága a súlyponttól. Az m sup távolságot a súlyponttól az alsó szélsőszál felé kell
felmérni, míg az m inf távolságot a felső szélsőszál felé. Az egyenlőtlenségeket az egyenesek
sraffozott oldalára eső pontok elégítik ki. Az alkalmazott feszítőerő és külpontossága által
meghatározott pontnak e négy egyenes által határolt területen belülre kell esnie.
12

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
A (7) egyenleteknél a nevezőben lévő zárójeles tag előjele dönti el, hogy a 3f vagy a 3f *
egyenes adja-e a megoldást. A 4 db egyenes egy olyan alteret határoz meg, amelynek minden
pontjában teljesülnek a feszültségekre megadott egyenlőtlenségek. Az egyeneseket egyetlen
diagramban ábrázolva grafikusan is meghatározható a megoldásokat tartalmazó altér:
1/P
1f
3a
1/[(n − 1)⋅P]
3f
1/(n⋅P)
1/[(n + 1)⋅P]
1a
c -
P -
n -
e -
m -
betonfedés
egy pászma feszítőereje
pászmák száma
külpontosság
magpont
−emax
m inf
m sup
e
+emax
e
m inf
m sup
A p
c
c
- Az ábrából csak a feszítőbetétek súlypontjának külpontossága olvasható le. Ezt a több
sorban elhelyezett betéteknél figyelembe kell venni.
- Ha az egyenlőtlenség rendszer több különböző A p feszítőbetét keresztmetszettel
kielégíthető, akkor célszerű a legkevesebb betétet adó megoldás alkalmazása.
- A külpontosság "ingyen" van! A feszítőerő a húzófeszültségek szempontjából akkor a
leghatékonyabb, ha a külpontosság maximális, a nyomófeszültségek szempontjából ez
nyilván kedvezőtlen.
- Ha a Magnel-egyenesek által határolt altereknek nincs közös metszete, akkor a feladatnak
nincs megoldása és a tervezést a keresztmetszeti méretek felvételétől újra kell kezdeni.
- Ha a választott feszítőpászmák által létrejövő feszítőerő egyenese nem metszi a
megoldáshalmazt, akkor érdemes több, de kisebb keresztmetszeti területű pászmát
alkalmazni.
13

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
6 A hatásos feszítőerő meghatározása
6.1 Kezdeti feszítési feszültség
A feszítőbetéteket - a képlékeny alakváltozások elkerülése miatt - legfeljebb akkora P 0 erővel
szabad megfeszíteni, hogy a betétekben ébredő σ 0 feszültségre teljesüljön az alábbi feltétel:
σ
0
=
P0
A
p
⎧0,
8⋅
f
≤ min ⎨
⎩0,
9 ⋅ f
pk
p0,
1k
⎫
⎬
⎭
ahol A p - a feszítőbetét keresztmetszeti területe,
f pk - a feszítőbetét szakítószilárdságának karakterisztikus értéke,
f p0,1k - a feszítőbetét 0,1%-os egyezményes folyáshatárához tartozó feszültség
karakterisztikus értéke.
Előfeszített vasbeton gerenda esetén a kezdeti feszítési feszültség a betétekben σ p , m ,0
= σ0
értékre vehető fel (a tervezési feladatban σ
0
= 1275 N/mm 2 mindenkinek egységesen adott).
Pontosabb számítás esetén a kezdeti feszítési feszültség értékének meghatározásakor figyelembe lehet venni a
betétek rövididejű relaxációs veszteségét is. Ebben az esetben a kezdeti feszítési feszültség értéke:
σ
p, m,0
= σ0
− ∆σ
pir
ahol ∆σ pir a rövididejű relaxációs veszteség.
Amikor a feszítőerőt ráengedjük a tartóra, a beton összenyomódása folytán a feszítési feszültség csökken. Ez a
feszültségcsökkenés nem veszteség, hiszen a feszítéskor éppen a beton összenyomása a célunk, s a huzalok
megrövidülése ezzel jár. Ha a feszített betonrúdra olyan külső húzóerőt működtetünk, amelynek hatására a beton
feszültsége zérus lesz, a feszítőbetétekben a feszítési feszültség lép fel. Veszteségről akkor beszélünk, ha az
alakváltozás-mentes betonhoz tartozó feszítőbetét-feszültség kisebb annál a feszültségnél amivel a betéteket
megfeszítették. Ideális keresztmetszeti jellemzőkkel végzett számítás során a feszítőbetétek feszültségének
csökkenését nem kell külön figyelembe venni, mert az eredmény ezt már tartalmazza.
6.2 A hatásos feszítési feszültség
Hatásos feszítési feszültségnek azt a feszültséget nevezzük, amely valamely időpontban a
feszültségveszteségek lejátszódása után a kezdeti feszítőerőből megmarad. A σ p,m,t hatásos
feszítési feszültség adott t időpontban:
σ
p , m,
t
= σ
p,
m,0
− ∆σ
p,
T
− ∆σ
p,
c+
s+
r
ahol σ p,m,0 - kezdeti feszítési feszültség,
∆σ p,c+s+r - a zsugorodásból, kúszásból és relaxációból adódó feszültségveszteség
(időtől függő veszteségek),
∆σ p,T - a beton hőérleléséből származó feszültségveszteség
Sokszor ismétlődő nagy teherrel terhelt szerkezeteknél (pl. vasúti híd, darupályatartó) feszültségveszteség adódik
a beton tehermentesítése után maradó alakváltozások halmozódásából is. A maradó alakváltozás egy-egy
terhelés alkalmával függ a betonban fellépő feszültség nagyságától.
14

6.2.1 A beton hőérleléséből származó feszültségveszteség
Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
Ha a betont gőzöléssel érleljük és a feszítőbetéteket ideiglenesen olyan szerkezethez (pl.
feszítőpad bakja) horgonyozzuk ki, amely a hőközlés hatására nem végez ugyanolyan
alakváltozást, mint a hőhatásnak a betonnal együtt kitett betétek, a hőmérséklet-különbség
okozta veszteségeket figyelembe kell vennünk. A hőmérséklet különbség hatására létrejövő
feszültségveszteség:
∆σ
p,T
= α
T
⋅ ∆T ⋅ E
p
ahol α T = 10 -5 °C -1 - a feszítőbetétek hőtágulási együtthatója,
∆T - a hőmérsékletkülönbség (pontosabb adatok hiányában ∆T = 40 °C
feltételezhető),
E p - a feszítőbetétek rugalmassági modulusa.
A beton hőérleléséből származó feszültségveszteség már a feszítőerő ráengedése előtt lejátszódik, ezért a pontos
számításnál figyelembe veendő feszültség a feszítőbetétekben: σ p,m,t1 = σ p,m,0 - ∆σ p,T
6.2.2 A zsugorodásból, kúszásból és relaxációból adódó feszültségveszteség
A beton zsugorodásából és lassú alakváltozásából (kúszás), valamint a feszítőbetétek lassú
alakváltozásából (relaxáció) származó feszültségveszteség adott helyen és t időpontban:
σ
∆
p,
c+
s+
r
ε
= −
cs
( t,
t ) ⋅ E + ∆σ
+ α ⋅φ( t,
t ) ⋅( σ + σ )
s
1+
α
p
p
A
⋅
A
p
c
pr
⎛ Ac
⋅
⎜1+
⋅ z
⎝ I
c
p
2
cp
⎞
⎟⋅
⎠
0
cg
( 1+
0,8 ⋅φ( t,
t
)
ahol ε cs (t,t s ) - a beton fajlagos zsugorodási alakváltozása (lásd 6.2.2.1. pont),
∆σ pr - a feszítőbetétek relaxációjából származó feszültségváltozás (lásd
6.2.2.1. pont),
α p = E p / E cm - ahol E cm a beton (szelő) rugalmassági modulusának várható értéke,
φ(t,t 0 ) - a beton kúszási tényezője,
σ cg - az önsúly és állandó terhek alapértékéből származó betonfeszültség a
feszítőbetétek vonalában,
σ cp0 - a kezdeti feszítőerőből származó betonfeszültség a feszítőbetétek
vonalában,
A p - a vizsgált magasságban található összes feszítőbetét keresztmetszet
területe,
A c - a betonkeresztmetszet területe,
I c - a betonkeresztmetszet inercianyomatéka,
z pc - a betonkeresztmetszet súlypontja és a feszítőbetétek közötti távolság.
Az önsúly és állandó terhek alapértékéből származó betonfeszültség a feszítőbetétek
környezetében:
0
cp0
σ
cg
M
=
I
xi
g
⋅e
15

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
ahol M g - az önsúly és állandó terhek alapértékéből származó nyomaték a
tartó vizsgált keresztmetszetében,
I xi - az ideális keresztmetszet inerciája a súlyponti tengelyre
e - a feszítőbetét külpontossága az ideális keresztmetszet súlypontjától
A kezdeti feszítőerőből származó betonfeszültség a feszítőbetétek környezetében:
σ
cp0
P0
= −
A
i
P0
⋅e
−
I
xi
2
ahol e - a feszítőbetétek külpontossága,
A i - az ideális keresztmetszeti terület,
P 0 = A p ⋅σ p,m,0 - a kezdeti feszítőerő.
6.2.2.1 A beton zsugorodási alakváltozása
Amennyiben nincs szükségünk a zsugorodás mértékének pontosabb becslésére, használhatjuk
az alábbi táblázatban megadott értékeket:
Normál testsűrűségű beton zsugorodási végértéke ε cs [‰]
h 0 ≤ 150 h 0 = 600
RH = 50 % -0,60 -0,50
RH = 80 % -0,33 -0,28
RH a relatív páratartalom, h 0 = 2⋅A c / u ahol u a keresztmetszet kerülete.
Az értékek 15 °C átlaghőmérsékletű betonra vonatkoznak. A táblázat értékei között a lineáris
interpoláció megengedett. (A tervezési feladatban mindenkinek egységesen adott a zsugorodás
közelítő végértéke: ε cs (t,t s ) = − 0,5 ‰)
Amennyiben a zsugorodás mértékének pontosabb meghatározására van szükség, az alábbi módon történhet a
számítás:
A beton nyomószilárdságának átlagértéke: f cm = f ck + 8 [N/mm 2 ]
A cement fajtájától függő tényező: β sc (normál szilárdulású cement esetén β sc = 5)
A beton szilárdságát figyelembe vevő tényező: ε s (f cm ) = [250 + β sc ⋅(90 - f cm )] ⋅10 -6
A relatív páratartalom: RH [%]
A relatív páratartalom hatását figyelembe vevő tényező: β sRH = 1 - (RH / 100) 3
Levegőn tárolt beton esetén:
β RH = - 1,55⋅β sRH
A névleges zsugorodási tényező:
ε cs0 = ε s (f cm )⋅β RH
A betonkeresztmetszet területe: A c [mm 2 ]
A tartó környezettel érintkező kerülete:
u [mm]
A keresztmetszet névleges mérete:
h 0 = 2⋅A c / u [mm]
A beton kora a vizsgált időpontban:
t [nap]
A beton kora a zsugorodás kezdetekor: t s [nap]
A zsugorodás időbeli lefutását leíró tényező:
β s (t - t s ) = (t - t s ) / (0,035⋅ h + t - t s )
A beton zsugorodási alakváltozása: ε cs (t,t s ) = ε cs0 ⋅β s (t - t s )
2
0
16

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
6.2.2.2 A beton kúszási tényezője
A beton kúszási végértékének közelítő értékeit az alábbi táblázat tartalmazza:
A beton kora a
megterheléskor
t 0 [nap]
Normál testsűrűségű beton kúszási végértéke φ(∞,t 0 )
RH = 50 % RH = 80 %
h 0 = 50 h 0 = 150 h 0 = 600 h 0 = 50 h 0 = 150 h 0 = 600
1 5,5 4,6 3,7 3,6 3,2 2,9
7 3,9 3,1 2,6 2,6 2,3 2,0
28 3,0 2,5 2,0 1,6 1,7 1,5
90 2,4 2,0 1,6 1,5 1,4 1,2
365 1,8 1,5 1,2 1,1 1,0 1,0
RH a relatív páratartalom, h 0 keresztmetszet névleges mérete.
Az értékek 15 °C átlaghőmérsékletű betonra vonatkoznak. A táblázat értékei között a lineáris
interpoláció megengedett. (A tervezési feladatban mindenkinek egységesen adott a kúszási
tényező közelítő végértéke: φ(t,t 0 ) = 2,0)
Amennyiben a kúszás mértékének pontosabb meghatározására van szükség, az alábbi módon történhet a
számítás:
RH-tól és az elem névleges méretétől függő tényező: β H = 1,5⋅[1 + (0,012⋅RH) 18 ]⋅h 0 + 250 β H ≤ 1500
A kúszás időbeli lefutását leíró tényező: β c (t - t 0 ) = [(t - t 0 ) / (β H + t - t 0 )] 0,3
A relatív páratartalom hatását figyelembe vevő tényező: φ RH = 1+
( 1−
RH / 100) ⋅( 01 , ⋅
3
h )
A betonszilárdság hatását figyelembe vevő tényező: β(f cm ) = 16,8 fcm
0,
2
A beton korának hatásait figyelembe vevő tényező: β 1 (t 0 ) = 1 / (0,1 + t )
A névleges kúszási tényező: φ 0 = φ RH ⋅β(f cm )⋅β 1 (t 0 )
A kúszási tényező: φ(t,t 0 ) = φ 0 ⋅β c (t - t 0 )
0
0
6.2.2.3 A feszítőbetétek relaxációjából adódó feszültségveszteség
A feszítőpászmák relaxációját a tartó középső keresztmetszetében, a maximális nyomaték
helyén határozzuk meg, és ezt az értéket közelítésképpen a tartó teljes hossza mentén
állandónak tekintjük (a valóságban a relaxáció – mivel függ a feszítőbetétben ébredő
feszültségtől – a tartó hossza mentén folyamatosan változik). A kezdeti feszítőerőből,
valamint az önsúly és állandó terhek alapértékéből származó feszültség a feszítőbetétekben:
σ
⎛ P M − P ⋅ e ⎞
0 g 0
= σ +
⎜−
+ e
⎟
p,
m,0
p
⎝ Ai
I
xi ⎠
pg 0
α
17

A feszítőbetétek kezdeti feszültsége a biztonság javára való közelítéssel:
Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
σ p = σ pg0
A kezdeti feszítőbetét-feszültség értékét pontosabban is meghatározhatjuk a rövididejű feszültségveszteségek
figyelembevételével. Általános esetben a kezdeti feszültség értéke: σ p = σ pg0 − 0,3⋅∆σ p,c+s+r ahol ∆σ p,c+s+r a
zsugorodásból, kúszásból és relaxációból adódó feszültségveszteség. Mivel ezen veszteség értéke függ σ p -től, a
számítás csak a teljes feszültségveszteség előzetes becslésével, majd ezt követően fokozatos közelítéssel oldható
meg. Szokásos épületeknél alkalmazható a σ p = 0,85⋅σ pg0 közelítés is.
A kezdeti feszítőbetét-feszültség és a feszítőpászma szakítószilárdság karakterisztikus
értékének hányadosa:
χ = 100⋅σ p / f pk [%]
20 ºC hőmérsékletű tartó esetén a feszítőbetétek 1000 órás relaxációs vesztesége (r 1000 [%]) a
fenti χ hányados függvényében az alábbi diagramból határozható meg:
r 1000 , 1000 órás relaxációs veszteség [%]
14
12
10
r 1000 , 1000 órás relaxációs veszteség 20 °C-on
8
8,0
7,0
3. osztály (feszítőrudak)
6
4
4,5
4,0
4,5
2. osztály (feszítőpászmák)
2,5
2
1,5
1,0
0
55 60 65 70 75 80 85
χ [%]
12,0
1. osztály (feszítőhuzalok)
Ha a szerkezet hőmérséklete 20 ºC fölött van, a relaxáció a fenti ábrán megadottnál nagyobb mértékű lesz. A
60 ºC-ot meghaladó hőmérsékletű szerkezet rövididejű relaxációs veszteségei a 20 ºC-on mért veszteség 2-3-
szorosát is elérhetik. A rövid idejű hőérlelés hatását általában úgy lehet tekinteni, hogy az a hosszú időtartamú
relaxáció értékét nem befolyásolja.
A relaxációból származó feszültségveszteség végértéke az 1000 órás relaxációs veszteség
háromszorosára vehető fel:
∆σ pr = − 3⋅ r 1000 ⋅σ p,m,0
6.3 A hatásos feszítőerő hányad
A hatásos feszítőerő hányad a hatásos és kezdeti feszítési feszültség hányadosaként adódik:
σ
ν =
σ
p,m,t
p,m,0
18

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
7 Főfeszültségek vizsgálata
7.1 A tartó tengelyére merőleges normálfeszültségek
Az előfeszített gerendákban függőleges irányú normálfeszültségek alakulnak ki a tartóvégen a
lehorgonyzás helyén (lásd részletesebben a 2. pontban). Ilyen tartótengelyre merőleges
feszültségek léphetnek fel változó magasságú feszített gerendákban is, továbbá akkor, ha a
terhet a tartóra alulról függesztik fel. A függőleges σ y húzófeszültségeket egyensúlyozhatjuk
feszített kengyelek alkalmazásával, vagy felvehetjük nem feszített kengyelekkel.
7.1.1 Nyírófeszültségek számítása
Állandó magasságú, repedésmentes feszített gerendában, ha a
keresztmetszet állandó és a normálerő sem változik a tartó
hossza mentén, a keresztmetszet valamely magasságában a
rugalmas-repedésmentes nem feszített tartókhoz hasonlóan
számíthatjuk a nyírófeszültséget:
A
A
x
τ xy
τ
xy
Q ⋅ S
=
I ⋅b
xi
xi
( y)
ahol Q - a vizsgált keresztmetszetre ható nyíróerő,
y
S xi - az elcsúszni akaró keresztmetszet rész statikai nyomatéka az ideális
keresztmetszet súlyponti tengelyére,
I xi - az ideális keresztmetszet inercianyomatéka,
b(y) - a tartó szélessége a vizsgált y magasságban.
7.2 Főfeszültségek számítása
Feszített tartónál különös figyelmet igényelnek a húzó főfeszültségek. A főfeszültségek
meghatározását kezdeti (t = t 1 ) és végleges (t = t 3 ) állapotban, a tartó hossza mentén két
helyen, a tartóvégen a lehorgonyzás helyén (l bpd ) valamint a tartó közepén (L/2) célszerű
elvégezni. A keresztmetszeten belül azt a helyet kell vizsgálni, ahol az axiális és a
tangenciális feszültségek együttes hatása várhatóan a legnagyobb (a tervezési feladatban
szereplő T keresztmetszet esetén ez hely a fenti ábrán látható A-A metszet). Amennyiben a
tartóban függőleges irányú normálfeszültségek (σ y ) nem lépnek föl, a húzó és nyomó
főfeszültséget az alábbi módon számíthatjuk:
σ
2
A
A
σ ⎛
c
σ ⎞
c 2
⎜ ⎟
1, 2
= ± + τ
xy
2
⎜
⎝
2
⎟
⎠
ahol σ 1 és σ 2 - a húzó és a nyomó főfeszültségek,
A
σc
- az igénybevételek ritka kombinációjából származó normálfeszültség a
betonban az A-A metszet magasságában.
19

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
A feszített gerenda repedésmentes állapotban van, ha a főfeszültségekre teljesülnek az alábbi
feltételek:
≤
7.3 A tartóvég vizsgálata
σ 1
f ctd
σ ≤ 0, 6 ⋅
2
Előfeszített tartóknál a tartóvégen, a feszítőbetétek lehorgonyzásának környezetében a tartó
tengelyére merőleges σ y húzófeszültségek alakulnak ki, melyek a tartóvéget megrepeszthetik.
A tartóvég közelében a tartó síkbeli feszültségállapotban van, míg a távolabb lévő
keresztmetszetekben a feszültségállapot egytengelyűnek tekinthető. A kétfajta
feszültségállapot között nincs határozott átmenet, a "megzavart" szakasz hosszát az l bp
lehorgonyzási hosszal vehetjük egyenlőnek. A továbbiakban az l bp hosszúságú tartórész
egyensúlyát vizsgáljuk.
fck
K-K metszet
K
K-K
σ x1
σ x2
y
dI
I
I
x
I
K
I
σ x
σ x3
l bp / 2
σ y
l bp / 2
σ y
τ xy
τ xy
A keresztirányú σ y feszültség a vízszintes I-I metszet mentén parabolikus eloszlású, amit
közelíthetünk egy h helyettesítő hosszon megoszló lineárisan változó (I. szakasz) és konstans
(II. szakasz) feszültséggel (lásd az alábbi ábrán). Az I. és II. szakaszokon vett feszültségek F c
és F t eredői egy erőpárt alkotnak (F t =F c ). A nyírófeszültségek elhanyagolása esetén az erőpár
nyomatékának a K-K metszetben fellépő tartótengely irányú feszültségek I-I metszet feletti
részének nyomatékát kell egyensúlyoznia. Ebből a feltételből meghatározható a tartóvégen
fellépő F t keresztirányú húzóerő nagysága.
σ y
I
0, 3⋅
h 0, 6 ⋅ h
z = 0,
5⋅
h
I.
F c
II.
F t
σ y
II
2
A helyettesítő szakasz hossza: h = h + ( 0.
6 ⋅l bp
) ≥ lbp
A keresztirányú feszültség maximumai:
σ
σ
I
y
II
y
Fc
=
0.
15⋅bw
⋅ h
Ft
=
0.
6 ⋅ b ⋅ h
w
2
20

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
Első lépésben a K-K metszetben a külső terhekből származó σ x feszültségek nyomatékát
számítjuk ki a vizsgált I-I metszetre. Az összegzéskor tekintettel kell lenni a keresztmetszet b
szélességi méretének változására!
M
k
=
σx1
∫
σx
3
b
( y) ⋅σ ( y)
x
⋅ y ⋅ dy
A keresztirányú feszültségek nyomatéka az I-I metszetre:
M
b
= F ⋅ z = F ⋅ z
c
t
Az M k és M b nyomatékok egyenlőségéből számítható az F t keresztirányú húzóerő. Ezen
húzóerő felvételére zárt kengyeleket alkalmazunk, melyek szükséges keresztmetszeti területe:
A
sw
=
F
f
yd
=
M
z ⋅ f
k
yd
A kengyeleket azon a szakaszon kell elhelyezni, amelyen a σ y keresztirányú feszültség húzást
okoz! Az I-I metszet helyének megválasztása az σ x feszültség eloszlásától függ. Ha a K-K
metszetben a betonfeszültség nem vált előjelet, akkor a legnagyobb külső nyomatékot
várhatóan akkor kapjuk, ha a metszetet a legfelső feszítőbetét síkjában vesszük fel. Ilyenkor
ugyanis az integrál értéke y függvényében monoton növekszik, amíg el nem érjük a legfelső
pászma síkját. Ha azonban a feszültség a K-K metszetben előjelet vált, akkor a külső
nyomatékok maximumát abban a metszetben kapjuk, amelyben a feszültségek (vízszintesen
vett) eredője zérus, vagyis ahol a húzó- és nyomófeszültségek kiegyenlítik egymást.
A
II
sy
=
+
M
z ⋅ f
max
yd
σ x1
σ x3
M k
0.3⋅ h 0.6⋅ h
+
M max
σ x1
σ x3
M k
−
M max
+
M max
h 0,3⋅ h 0,6⋅ h
A
A
II
sy
I
sy
+
M
=
z ⋅ f
max
−
M
=
z ⋅ f
yd
max
yd
A feszítőerő ráengedésekor várhatóan a keresztmetszetben csak nyomófeszültségek lépnek
fel, ezért az első ábra szerinti elrendezés az érvényes. A használati állapotban a beton alsó
szélsőszálában húzófeszültség is felléphet, ekkor a második ábra szerinti elrendezés lesz a
mértékadó.
Az így kapott kengyelezéshez természetesen még hozzá kell adni a külső terhek nyíróerejéből
számított szükséges nyírási vasalást.
21

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
8 A törőnyomaték meghatározása (Mörsch szerkesztés)
ε
σ
xi
ε cu
σ c (ε)
κ i
κ i (d-x i ) ε P0
d
A s
σ P
A számítás fő lépései:
a.) Feltételezzük, hogy töréskor a felső szélső szálban a beton törési összenyomódása (ε cu )
áll elő,
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
fölveszünk egy κ i görbületet, ebből a semleges tengely magassága (x i ) számítható,
x i ismeretében számítható a feszítőbetétek megnyúlása: ε p = κ i (d - x i ) + ε P0 ahol ε P0 a
feszítőbetétek feszítési nyúlása,
a nyúlások eloszlása alapján a beton- és a feszítőbetétek anyagmodelljei ismeretében
(lásd 1.1. és 1.3. pontok) kiszámíthatók a belső erők (F c és F P ),
amennyiben F c - F P ≠ 0, újabb km.-i görbületeket veszünk fel és megismételjük a fenti
számítást mindaddig míg a vetületi egyensúly nem teljesül.
F c - F P ≈ 0 teljesülése esetén a határnyomaték a belső erők nyomatékeredőjeként
számítható.
22

Előfeszített vasbeton tartó számítása az Eurocode szerint - v2.4
9 Irodalomjegyzék
[1] Bölcskei-Tassi: Vasbetonszerkezetek - Feszített tartók. Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.
[2] Kollár L.: Vasbetonszerkezetek I. - Vasbeton szilárdságtan az EUROCODE 2 szerint.
Műegyetemi Kiadó, 1997.
[3] Szalai K.: Vasbeton szerkezetek - Vasbeton szilárdságtan. Tankönyvkiadó, Budapest
1990.
23