ElÅfeszÃtett vasbeton tartó számÃtása az Eurocode szerint - Hidak és ...
ElÅfeszÃtett vasbeton tartó számÃtása az Eurocode szerint - Hidak és ...
ElÅfeszÃtett vasbeton tartó számÃtása az Eurocode szerint - Hidak és ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM<br />
Építőmérnöki Kar<br />
<strong>Hidak</strong> és Szerkezetek Tanszéke<br />
ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ SZÁMÍTÁSA<br />
AZ EUROCODE SZERINT<br />
Segédlet v2.4 *<br />
Összeállította: Koris Kálmán és Péczely Attila<br />
Budapest, 2000. szeptember 21.<br />
* Nem véglegesített szöveg. Az esetleges jövőbeli bővítések és javítások a http:/www.vbt.bme.hu/oktatas/vb2 oldalról tölthetők le.
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
Tartalomjegyzék<br />
1 Anyagok.................................................................................................................................3<br />
1.1 Beton...............................................................................................................................3<br />
1.2 Betonacél ........................................................................................................................4<br />
1.3 Feszítőbetét .....................................................................................................................4<br />
2 Terhek, teherkombinációk .....................................................................................................7<br />
2.1 Terhelési állapotok..........................................................................................................7<br />
2.2 Méretezés repedésmentességi követelményre ................................................................8<br />
2.3 Teherbírás ellenőrzése ....................................................................................................8<br />
3 Geometria...............................................................................................................................9<br />
3.1 Statikai váz......................................................................................................................9<br />
3.2 A keresztmetszet felvétele ..............................................................................................9<br />
4 A feszítés számítása .............................................................................................................11<br />
5 Magnel-egyenesek ...............................................................................................................12<br />
6 A hatásos feszítőerő meghatározása ....................................................................................14<br />
6.1 Kezdeti feszítési feszültség...........................................................................................14<br />
6.2 A hatásos feszítési feszültség........................................................................................14<br />
6.2.1 A beton hőérleléséből szárm<strong>az</strong>ó feszültségveszteség.......................................15<br />
6.2.2 A zsugorodásból, kúszásból és relaxációból adódó feszültségveszteség .........15<br />
6.2.2.1 A beton zsugorodási alakváltozása...............................................................16<br />
6.2.2.2 A beton kúszási tényezője ............................................................................17<br />
6.2.2.3 A feszítőbetétek relaxációjából adódó feszültségveszteség .........................17<br />
6.3 A hatásos feszítőerő hányad .........................................................................................18<br />
7 Főfeszültségek vizsgálata.....................................................................................................19<br />
7.1 A tartó tengelyére merőleges normálfeszültségek ........................................................19<br />
7.1.1 Nyírófeszültségek számítása.............................................................................19<br />
7.2 Főfeszültségek számítása..............................................................................................19<br />
7.3 A tartóvég vizsgálata ....................................................................................................20<br />
8 A törőnyomaték meghatározása (Mörsch szerkesztés)........................................................22<br />
9 Irodalomjegyzék ..................................................................................................................23<br />
1
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
Jelölések<br />
α<br />
α ep<br />
α p<br />
α T<br />
ε cu<br />
ε su<br />
ε pu<br />
ε cs (t)<br />
φ<br />
φ(t)<br />
ν<br />
ψ 0,i<br />
σ p<br />
σ p,m,0<br />
σ p,m,t<br />
∆σ pr<br />
r 1000<br />
∆σ pT<br />
∆σ p,c+s+r<br />
b<br />
b w<br />
e<br />
f ck<br />
f cd<br />
f ctm<br />
f ctd<br />
f yk<br />
f yd<br />
f pk<br />
f pd<br />
h<br />
h 1<br />
k<br />
l 0<br />
l bp<br />
l bpd<br />
m sup<br />
m inf<br />
x bp<br />
z pc<br />
A c<br />
A i<br />
A p<br />
E cd<br />
E p<br />
I c<br />
I xi<br />
L<br />
P<br />
P 0<br />
RH<br />
∆T<br />
a "terhek tartósságát és a terhek működési módjából adódó más kedvezőtlen hatásokat" figyelembe<br />
vevő tényező<br />
a feszítőbetétek és a beton rugalmassági modulusának hányadosa<br />
a feszítőbetétek és a beton rugalmassági modulus várható értékének hányadosa<br />
a feszítőbetétek hőtágulási együtthatója<br />
a beton határösszenyomódása<br />
a betonacél határnyúlásának tervezési értéke<br />
a feszítőbetét határnyúlásának tervezési értéke<br />
a beton fajlagos zsugorodási alakváltozása a t időpontban<br />
a feszítőbetét helyettesítő átmérője<br />
a beton kúszási tényezője a t időpontban<br />
a hatásos feszítőerő hányad<br />
kombinációs tényező<br />
a feszítőbetétek kezdeti feszültsége<br />
a feszítőbetétek kezdeti feszítési feszültsége<br />
a feszítőbetétek hatásos feszítési feszültsége a t időpontban<br />
a feszítőbetétek relaxációjából szárm<strong>az</strong>ó feszültségváltozás<br />
a feszítőbetétek 1000 órás relaxációs feszültségvesztesége<br />
a beton hőérleléséből szárm<strong>az</strong>ó feszültségveszteség<br />
a zsugorodásból, kúszásból és relaxációból szárm<strong>az</strong>ó feszültségveszteség<br />
a gerenda fejlemezének vastagsága<br />
a gerenda gerincének vastagsága<br />
a feszítőerő külpontossága <strong>az</strong> ideális keresztmetszet súlypontjától<br />
a beton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke<br />
a beton nyomószilárdságának tervezési értéke<br />
a beton húzószilárdságának várható értéke<br />
a beton húzószilárdságának tervezési értéke<br />
a betonacél folyáshatárának karakterisztikus értéke<br />
a betonacél folyáshatárának tervezési értéke<br />
a feszítőbetét szakítószilárdságának karakterisztikus értéke<br />
a feszítőbetét szakítószilárdságának tervezési értéke<br />
a keresztmetszet magassága<br />
a gerenda fejlemezének szélessége<br />
a tartó feltámaszkodása (alátámasztó elem szélessége)<br />
a tartó támaszok közötti tiszta nyílásköze (szabad nyílás)<br />
<strong>az</strong> erőátadódási hossz, amely mentén a feszítőbetétben működő teljes feszítőerő a betonra átadódik<br />
<strong>az</strong> erőátadódási hossz tervezési értéke<br />
<strong>az</strong> alsó szélsőszálhoz tartozó magponti távolság a súlyponttól mérve<br />
a felső szélsőszálhoz tartozó magponti távolság a súlyponttól mérve<br />
<strong>az</strong> erőátadódási szakasz vége <strong>az</strong> elméleti támasztól számítva<br />
a betonkeresztmetszet súlypontja és a feszítőbetétek közötti távolság<br />
a betonkeresztmetszet területe<br />
<strong>az</strong> ideális keresztmetszeti terület<br />
a feszítőbetét keresztmetszeti területe<br />
a beton rugalmassági modulusának tervezési értéke<br />
a feszítőbetét rugalmassági modulusa<br />
a betonkeresztmetszet inercianyomatéka<br />
<strong>az</strong> ideális keresztmetszet inercianyomatéka<br />
a tartó elméleti fesztávolsága<br />
a feszítőerő<br />
a kezdeti feszítőerő<br />
a relatív páratartalom értéke<br />
a beton és a feszítőpad bakja közötti hőmérsékletkülönbség hőérleléskor<br />
2
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
1 Anyagok<br />
1.1 Beton<br />
Feszített <strong>vasbeton</strong> szerkezeteknél a beton nyomott zónája - a szerkezetbe vitt nyomóerőnek<br />
köszönhetően - jobban kihasznált mint a nem feszített <strong>vasbeton</strong> szerkezeteknél, ez általában<br />
nagyobb szilárdsági osztályú betonok alkalm<strong>az</strong>ását teszi szükségessé. A feszítés t 1<br />
időpontjában a beton rend<strong>szerint</strong> még nem éri el a végleges (28 napos) szilárdságát, a<br />
számításban ezt úgy vehetjük figyelembe, hogy ebben <strong>az</strong> állapotban egy alacsonyabb<br />
szilárdsági osztályú beton anyagjellemzőit alkalm<strong>az</strong>zuk (pl. C30/37 helyett C25/30). A beton<br />
legfontosabb, <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong>i anyagjellemzőit <strong>az</strong> alábbi táblázat tartalm<strong>az</strong>za:<br />
Jel C20/25 C25/30 C30/37 1) C35/45 C40/50 C45/55 C50/60<br />
f ck 20 25 30 35 40 45 50<br />
0.6·f ck 12 15 18 21 24 27 30<br />
[N/mm 2 ]<br />
f ctm 2,21 2,56 2,90 3,21 3,51 3,80 4,07<br />
f ctd 1,03 1,20 1,35 1,50 1,64 1,77 1,90<br />
E cm<br />
[kN/mm 2 ]<br />
28,8 30,5 31,9 33,3 34,5 35,7 36,8<br />
1) előfeszített tartóknál alkalm<strong>az</strong>ható legalacsonyabb szilárdsági osztály<br />
A feszített <strong>vasbeton</strong>szerkezetek számítása során használható idealizált beton anyagmodellek:<br />
σ σ<br />
0.2⋅ε cu<br />
σ<br />
ε cl ε cu ε cl ε cu<br />
ε<br />
0.6⋅f ck<br />
0.6⋅f ck<br />
α⋅f cd<br />
f ctd<br />
ε<br />
ε<br />
ε cu<br />
ε<br />
E cd<br />
E cd<br />
Lineáris diagram (rugalmas-repedésmentes<br />
km. számításához)<br />
Lineáris diagram (rugalmas-berepedt<br />
km. számításához)<br />
Téglalap alakú diagram<br />
σ<br />
σ<br />
α⋅f cd<br />
α⋅f cd<br />
Bi-lineáris diagram<br />
Parabola-téglalap alakú diagram<br />
( ⋅ ε − ) ⋅ α ⋅ fcd<br />
σ = ε ⋅ 250 1<br />
ha 0 < ε < ε cl (ε [‰])<br />
σ = α ⋅<br />
f cd<br />
ha ε cl < ε < ε cu<br />
A beton zsugorodását és lassú alakváltozását figyelembe vevő pontos <strong>Eurocode</strong> számítási<br />
modell <strong>az</strong> 6.2.2.1 és 6.2.2.2 pontokban található. Egyszerűsített számítás esetén illetve<br />
pontosabb adatok hiányában a következő értékek vehetők figyelembe: a zsugorodás végértéke<br />
ε cs (∞) = -5⋅10 -4 , a kúszási tényező végértéke φ(∞) = 2,0.<br />
A repedésmentességi követelményre tervezett feszített <strong>vasbeton</strong> elemek esetén a betonra<br />
megengedhető legnagyobb nyomófeszültség értéke 0 ,6 ⋅ f .<br />
3<br />
ck
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
1.2 Betonacél<br />
A <strong>vasbeton</strong> szerkezeteknél megszokott B 50.36 vagy B 60.40 (ill. B500) szilárdsági osztályú<br />
betonacélok alkalm<strong>az</strong>hatók <strong>az</strong> EC2 <strong>szerint</strong>i mechanikai jellemzőkkel. A betonacélok<br />
fontosabb adatait <strong>az</strong> alábbi táblázat foglalja össze:<br />
Jel B 38.24 B 50.36 B 55.40 B 60.40 B 60.50 B 75.50 B500B B500A<br />
f tk [N/mm 2 ] 380 500 550 600 600 750 550 550<br />
f yk [N/mm 2 ] 240 360 400 400 500 500 500 500<br />
f yd [N/mm 2 ] 209 313 348 348 435 435 435 435<br />
ε su<br />
% 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 5 2,5<br />
ξ c0<br />
- 0,62 0,55 0,53 0,53 0,49 0,49 0,49 0,49<br />
ξ' c0<br />
- 1,14 1,45 1,59 1,59 2,11 2,11 2,11 2,11<br />
1.3 Feszítőbetét<br />
A feszítőbetétek olyan különleges betonacélok, melyekkel a feszített <strong>vasbeton</strong> tartókban a<br />
feszítőbetét előrenyújtása révén nyomási sajátfeszültségi állapotot hozunk létre. A hagyományos<br />
acélbetétekhez képest a feszítőbetétek szilárdsága jóval nagyobb, továbbá nem<br />
rendelkeznek határozott folyáshatárral. A feszítőbetétek σ-ε diagramját <strong>az</strong> alábbi ábrák<br />
szemléltetik:<br />
σ<br />
f p<br />
feszítőbetét<br />
f p<br />
σ<br />
f p0,1<br />
hagyományos<br />
acélbetét<br />
ε u<br />
ε<br />
1‰<br />
ε u<br />
ε<br />
Feszítőbetétek és betonacélok σ-ε diagramja<br />
Feszítőbetétek tipikus σ-ε diagramja <strong>az</strong> EC2 <strong>szerint</strong><br />
A feszítőbetétek legfontosabb szilárdsági és alakváltozási jellemzői:<br />
f pk - a szakítószilárdság karakterisztikus értéke<br />
f p0,1k - <strong>az</strong> 1‰-es egyezményes folyáshatár karakterisztikus értéke<br />
ε pu - a szakadó nyúlás tervezési értéke<br />
E p - a rugalmassági modulus (pontosabb adatok hiányában feszítőpászmákra<br />
E p = 190 kN/mm 2 , feszítőhuzalokra és feszítőrudakra E p = 200 kN/mm 2 tételezhető<br />
fel).<br />
4
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
A feszített <strong>vasbeton</strong> szerkezetek keresztmetszeteinek ellenőrzése során használható<br />
egyszerűsített feszítőbetét σ-ε diagramok:<br />
σ<br />
σ<br />
0,9⋅f pd<br />
f pd<br />
0,9⋅f pd<br />
E p E p<br />
ε pu ε<br />
ε pu<br />
ε<br />
Rugalmas-képlékeny modell<br />
Rugalmas-felkeményedő modell<br />
A feszítőbetétek fizika tulajdonságaira, pontosabb adat hiányában a következő átlagértékek<br />
tételezhetők fel: sűrűség ρ p = 7850 kg/m 3 , hőtágulási együttható α T = 1⋅10 -5 1/°C.<br />
A feszítőbetétek lehetséges kialakítási módjai:<br />
- feszítőhuzal: - melegen hengerelt kör keresztmetszetű huzalból hideg húzással<br />
előállított, sima-, hullámosított-, csavart-, rovátkolt- vagy érdesített<br />
kiképzéssel<br />
- meleg hengerléssel, s ezt követő edzéssel és nemesítéssel előállított,<br />
kör vagy ellipszis keresztmetszetű, sima vagy bordás kiképzéssel<br />
- feszítőrúd: - melegen hengerléssel előállított, sima vagy bordás kiképzéssel<br />
- hideg nyújtással és megeresztéssel előállított, sima vagy bordás<br />
kiképzéssel<br />
- hideg csavarással előállított, sima vagy bordás kiképzéssel<br />
- feszítő pászma: - 2,3,7 vagy több huzal összefonásával előállított feszítőbetét<br />
2 eres pászma 3 eres pászma 7 eres pászma 19 eres pászma<br />
- drótkötél: - több pászmából, sodrás útján előállított feszítőbetét<br />
A tervezési feladatban 7 eres feszítőpászmákat alkalm<strong>az</strong>unk, ezeknek <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong>i<br />
fontosabb adatait <strong>az</strong> alábbi táblázat tartalm<strong>az</strong>za:<br />
Jel<br />
f pk f p0,1k f pd σ 0,max φ A p<br />
[N/mm 2 ] [N/mm 2 ] [N/mm 2 ] [N/mm 2 ] [mm] [mm 2 ]<br />
Fp 38/1770 1770 1500 1539 1275 8,0 38<br />
Fp 55/1770 1770 1490 1539 1267 9,6 55<br />
Fp 100/1770 1770 1500 1539 1275 12,9 100<br />
Fp 150/1770 1770 1500 1539 1275 15,7 150<br />
Fp 55/1860 1860 1580 1617 1343 9,6 55<br />
Fp 100/1860 1860 1580 1617 1343 12,9 100<br />
Fp 139/1860 1860 1580 1617 1343 15,2 139<br />
Fp 150/1860 1860 1580 1617 1343 15,7 150<br />
Fp 139/1670 1670 1415 1452 1203 15,2 139<br />
5
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
A feszítőerő létrehozásának lehetőségei:<br />
- tapadóbetétes feszített szerkezetek:<br />
a feszítőbetét teljes hosszában felületi kötésben van a betonnal, a feszítőerő a tapadási<br />
súrlódás révén adódik át a betonra<br />
- véglehorgonyzásos feszített szerkezetek:<br />
- szabadkábeles szerkezetek: a feszítőbetétek a szerkezeten kívül szabadon haladnak<br />
- csúszókábeles szerkezetek: a feszítőbetétek a szerkezeten belül, erre a célra szolgáló<br />
üregekben haladnak (ezek a szerkezetek <strong>az</strong> üregek<br />
kiinjektálásával utólag tapadóbetétessé tehetők)<br />
A feszítőbetétek osztályozása <strong>az</strong> alábbi szempontok <strong>szerint</strong> történhet:<br />
a.) szilárdsági kategória <strong>szerint</strong> (<strong>az</strong> f p0,1k 1‰-es egyezményes folyáshatár és <strong>az</strong> f pk<br />
szakítószilárdság értékek alapján)<br />
b.) relaxációs viselkedés <strong>szerint</strong>: 1. osztály - feszítőhuzalok és pászmák, nagy relaxáció<br />
2. osztály - feszítőhuzalok és pászmák, kis relaxáció<br />
3. osztály - feszítőrudak<br />
c.) méret <strong>szerint</strong><br />
d.) felületi jellemzők <strong>szerint</strong> (sima, hullámosított, csavart, rovátkolt, érdesített, bordás, stb.)<br />
A feszítőbetétek erőátadódási (lehorgonyzási) hossza:<br />
átmérője, β b értékeit <strong>az</strong> alábbi táblázat tartalm<strong>az</strong>za:<br />
l β ⋅ φ ahol φ a pászma helyettesítő<br />
bp<br />
= b<br />
Beton C25 C30 C35 C40 C45 C50<br />
β b 75 70 65 60 55 50<br />
⎪⎧<br />
0,8 ⋅lbp<br />
Az erőátadódási hossz tervezési értéke: lbpd<br />
= ⎨ attól függően, hogy a vizsgálat<br />
⎪⎩ 1,2 ⋅lbp<br />
szempontjából mely érték a kedvezőtlenebb. A tervezési feladatban lbpd = 0,<br />
8⋅βb<br />
⋅ φ<br />
erőátadódási hossz alkalm<strong>az</strong>andó. Ügyelni kell arra, hogy feszítéskor (t 1 ) valamint végleges<br />
állapotban (t 3 ) a beton szilárdságának változása miatt <strong>az</strong> erőátadódási hossz is változik!<br />
6
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
2 Terhek, teherkombinációk<br />
2.1 Terhelési állapotok<br />
Az előfeszített tartó terhei <strong>az</strong> időben változnak. A gerenda gyártástechnológiája jelentősen<br />
befolyásolja <strong>az</strong> igénybevételeket.<br />
Az előfeszített tartókat rend<strong>szerint</strong> gyártópadon készítik. Először befűzik a feszítőpászmákat a<br />
gyártópad végein lévő bakok rendezőibe, majd sajtó segítségével <strong>az</strong> előírt ∆l p nyúlással<br />
megfeszítik őket. A pászmákat ideiglenesen a gyártópad végein horgonyozzák le. Ezután<br />
elkészítik a gerenda betonját a gyártópad zsaluzatában.<br />
∆l p / 2 ∆l p / 2<br />
P<br />
P<br />
A beton kötni kezd és a szilárdsága már elegendő ahhoz, hogy elviselje a feszítőerő és a<br />
kizsaluzás okozta igénybevételeket, akkor a lehorgonyzást megszüntetik. A szilárdulás<br />
gyorsítható pl. hőérleléssel. A feszítőerő és <strong>az</strong> önsúly hatására a tartó felfelé görbül. Ebben <strong>az</strong><br />
állapotban a felső szélsőszálban húzás, <strong>az</strong> alsó szélsőszálban pedig nyomás lép fel. A<br />
feszítőerő ráengedésének pillanatát t 1 -gyel jelöljük.<br />
P<br />
P<br />
A gyártópadról való leemelés után <strong>az</strong> elemeket tárolják, a beépítés helyszínére szállítják, majd<br />
daruval beemelik a végleges helyére. Ezekhez a jelen feladatban nem vizsgált átmeneti<br />
állapotokat egységesen t 2 időponttal jelöljük. Ezután készítik el a szerkezet burkolatát<br />
(födémburkolat, tető rétegrend vagy hídpálya burkolat), majd használatba vétel után a további<br />
állandó és esetleges terhek is hatnak. A szerkezet ezek együttes hatására lehajlik. A lehajlás<br />
mértéke a lassú alakváltozások hatására időben változik. A legnagyobb igénybevételeket<br />
közelítőleg a t 3 = ∞ időpontban kapjuk.<br />
M<br />
M<br />
A tartó betonozása és a végleges helyére történő beemelése között több-kevesebb idő telik el, miközben a<br />
zsugorodás és a lassú alakváltozások folyamatosan módosítják a gerenda igénybevételeit. Ha pl. a tartót a<br />
beépítés <strong>szerint</strong>i módon tárolják (a végleges feltámaszkodási pontjainál aláékelve), akkor a kúszás hatására a<br />
kizsaluzáskor felfelé görbülő gerenda tovább emelkedik. Használati állapotban, amikor a megnövekedett állandó<br />
és esetleges terhek ill. <strong>az</strong> időben lejátszódó veszteségek miatt csökkenő feszítőerő hatására a tartó lehajlik, a<br />
kúszás tovább növeli a tartó lehajlását.<br />
A részletes statikai számításban a fenti hatást figyelembe kell venni és a tartót <strong>az</strong> ideiglenes állapotokra (emelés,<br />
szállítás, szerelés) is ellenőrizni kell. A tervfeladatban a feszített tartót csak a t 1 , t 3 időpontokban fellépő<br />
igénybevételekre méretezzük.<br />
7
2.2 Méretezés repedésmentességi követelményre<br />
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
Az EC2 előírásai <strong>szerint</strong> a feszített tartók repedésmentességét a ritka teherkombináció alapján<br />
kell leellenőrizni. A ritka teherkombináció:<br />
F ser = Σ G ki "+" P k "+" Q k1 "+" Σ ψ 0,i ·Q ki<br />
ahol F ser - a használati állapot szempontjából mértékadó teher,<br />
G ki - <strong>az</strong> állandó terhek karakterisztikus értéke,<br />
P k - a feszítőerő karakterisztikus értéke,<br />
Q k1 - a kiemelt esetleges teher karakterisztikus értéke,<br />
Q ki - a kiemelt teherrel egyidejű esetleges terhek karakterisztikus értékei,<br />
ψ 0,i - a kombinációs tényező.<br />
A képletben a "+" jelölés nem algebrai összegzést jelent, hanem a kombinálás lehetőségére<br />
utaló jelzés. A magasépítési <strong>vasbeton</strong> szerkezetekre vonatkozó ψ 0,i kombinációs tényezőket <strong>az</strong><br />
alábbi táblázat foglalja össze:<br />
Hatás ψ 0,i<br />
Épületek hasznos terhei<br />
A kategória: lakások, lakóépületek 0,7<br />
B kategória: irodák 0,7<br />
C kategória: gyülekezésre szolgáló területek 0,7<br />
D kategória: üzletek 0,7<br />
E kategória: raktárak 1,0<br />
Járműterhek épületekben<br />
F kategória: járművek, súly ≤ 30 kN 0,7<br />
G kategória: járművek, 30 kN ≤ súly ≤ 160 kN 0,7<br />
H kategória: tetők 0,0<br />
Épületek hóterhei 0,6<br />
Épületek szélterhei 0,6<br />
Hőmérsékleti hatás (nem tűz) épületekben 0,6<br />
2.3 Teherbírás ellenőrzése<br />
A kiszámított törőnyomatékot (lásd 8. pont) a középső keresztmetszetre adódó mértékadó<br />
nyomatékkal kell összevetni. A mértékadó nyomatékot <strong>az</strong> EC <strong>szerint</strong>i alapkombinációból kell<br />
meghatározni:<br />
F Sd = Σ γ Gi·G ki "+" γ P·P m,t "+" γ Q1·Q k1 "+" Σ γ Qi·ψ 0,i·Q ki<br />
ahol F Sd - a mértékadó teher,<br />
P m,t - a hatásos feszítőerő várható értéke (lásd 6.2 pont),<br />
γ p = 1.00 - a feszítőerő biztonsági tényezője.<br />
8
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
3 Geometria<br />
3.1 Statikai váz<br />
l bpd<br />
k<br />
k<br />
l 0<br />
L<br />
x<br />
x bp<br />
L/2<br />
Az elméleti fesztávolság: L = l 0 + 2⋅(k / 2)<br />
A vizsgálandó keresztmetszetek a következők:<br />
- mezőközépen (x = L/2),<br />
- a tartóvégtől l bpd erőátadódási hossznyi távolságra lévő keresztmetszet (x = x bp ).<br />
(Ügyelni kell arra, hogy a t 1 és t 3 állapotban <strong>az</strong> erőátadódási hossz különböző!)<br />
3.2 A keresztmetszet felvétele<br />
Az előfeszített <strong>vasbeton</strong> gerenda keresztmetszete a nyomott öv jobb kihasználhatósága<br />
érdekében gyakran T alakú. Szintén gyakori <strong>az</strong> I alakú keresztmetszet alkalm<strong>az</strong>ása, ahol <strong>az</strong><br />
alsó övet is kiszélesítik. A keresztmetszet méreteinek felvétele <strong>az</strong> alábbi közelítő képletek<br />
segítségével történhet:<br />
h1<br />
b<br />
h ≈ L/10 ÷ L/12<br />
b ≈ h/2 ÷ 2/3⋅h<br />
h<br />
b w ≈ h/7 ÷ h/6 ≥ 120 mm (kifordulás veszélye miatt)<br />
h 1 ≈ min. 150 mm<br />
b w<br />
A fenti arányok betartása mellett a keresztmetszet méreteit úgy kell felvenni, hogy a szélső<br />
szálakban korlátozzuk a betonban fellépő feszültségeket.<br />
9
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
Idő t = t 1 t = t 3 = ∞<br />
Hely x = x bp x = L/2<br />
≥ − f t1<br />
ctd<br />
t2<br />
≤ 0 6 f ck<br />
, ⋅<br />
xs<br />
(+)<br />
M g<br />
(−)<br />
M g+q<br />
A p<br />
e<br />
P<br />
(−) (+)<br />
ν⋅P<br />
t1<br />
≤ 0 6 f ck<br />
t2<br />
, ⋅ ≥ −<br />
f ctd<br />
Feszültségek korlátozása a keresztmetszet szélső szálaiban<br />
A feszítőerő ráengedésekor a feszítéssel egyensúlyozni kívánt nyomaték megegyezik <strong>az</strong><br />
önsúlyból szárm<strong>az</strong>ó nyomatékkal (M g ). Várhatóan <strong>az</strong> önsúly és a P külpontos feszítőerő<br />
hatására a felső szélsőszálban húzás, míg <strong>az</strong> alsó szélsőszálban nyomás lép fel. A számított<br />
szélsőszál feszültségek nem léphetik túl a t 1 időpontra vonatkozó beton határfeszültség<br />
értékeket. A legnagyobb nyomófeszültség várhatóan <strong>az</strong> x = x bp helyen <strong>az</strong> alsó szélsőszálban, a<br />
maximális húzófeszültség szintén <strong>az</strong> x = x bp helyen a felső szélsőszálban lép fel. A szélsőszál<br />
feszültségekre vonatkozó korlátozások (a nyomófeszültség előjelét tekintve negatívnak):<br />
( xbp<br />
) + P ⋅e<br />
P<br />
1<br />
− M<br />
σ (1)<br />
t1 g<br />
t<br />
sup<br />
=<br />
⋅ xs<br />
− ≤ fctd<br />
I<br />
xi<br />
Ai<br />
( x )<br />
M − P ⋅ e P<br />
σ (2)<br />
t1<br />
( h − x ) − ≥ −0.<br />
⋅ f<br />
t1 g bp<br />
inf<br />
=<br />
⋅<br />
s<br />
6<br />
I<br />
xi<br />
Ai<br />
Az A i keresztmetszeti terület és I xi inercianyomaték elvileg a rugalmas-repedésmentes<br />
feszültségállapothoz tartozó ideális keresztmetszeti jellemzők. A számítás ezen fázisában<br />
<strong>az</strong>onban a feszítőbetétek keresztmetszeti területe és elhelyezése nem ismert, ezért a<br />
feszítőbetéteteket elhanyagolva a beton keresztmetszet jellemzőivel számolhatunk.<br />
A feszítési veszteségek hatására a feszítőerő értéke a t 3 = ∞ időpontig ν⋅P értékre csökken<br />
(lásd 6. pont). Az egyensúlyozandó M g+q nyomaték a használati állapotban fellépő állandó és<br />
esetleges terhekből számítandó. Várhatóan most a vizsgálat szempontjából <strong>az</strong> x = L/2 hely a<br />
mértékadó, itt <strong>az</strong> alsó szélsőszál húzott, a felső pedig nyomott lesz. A szélsőszálak<br />
feszültségeire vonatkozó korlátozások:<br />
ck<br />
σ<br />
− M<br />
( L / 2) + ν ⋅ P ⋅e<br />
ν ⋅ P<br />
t3<br />
t3 g+<br />
q<br />
sup<br />
=<br />
⋅ xs<br />
− ≥ −0.<br />
6<br />
I<br />
xi<br />
Ai<br />
⋅ f<br />
ck<br />
(3)<br />
σ<br />
t3<br />
inf<br />
M<br />
=<br />
g+<br />
q<br />
( L / )<br />
2 − ν ⋅ P ⋅e<br />
ν ⋅ P t3<br />
⋅( h − xs<br />
) − ≤ fctd<br />
xi<br />
Ai<br />
I<br />
(4)<br />
10
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
Vonjuk ki a (3) egyenletből <strong>az</strong> (1) egyenletet ν-szörösét, a (4) egyenletből pedig a (2)<br />
egyenlet ν-szörösét. Az így nyert egyenletekbe helyettesítsük be a W sup = I xi /x s ill.<br />
W inf = I xi /(h - x s ) felső ill. alsó keresztmetszeti modulusokat, ezáltal a fenti egyenletrendszert<br />
<strong>az</strong> alábbi két egyszerű geometriai feltétellé egyszerűsíthetjük:<br />
W<br />
W<br />
sup<br />
inf<br />
M<br />
≥<br />
M<br />
≥<br />
g+<br />
q<br />
g+<br />
q<br />
( L / 2) − ν ⋅ M ( x )<br />
0,<br />
6⋅<br />
f<br />
t3<br />
ck<br />
+ ν ⋅ f<br />
g<br />
t1<br />
ctd<br />
bp<br />
( L / 2) − ν ⋅ M ( x )<br />
ν ⋅0,<br />
6⋅<br />
f<br />
ahol M g (x bp ) - hajlítónyomaték <strong>az</strong> állandó terhek alapértékéből (a feszítőerő<br />
ráengedésekor a t 1 időpontban, <strong>az</strong> x = x bp helyen),<br />
M g+q (L/2) - hajlítónyomaték <strong>az</strong> állandó és esetleges terhek alapértékéből (t 3 = ∞<br />
időpontban, <strong>az</strong> x = L/2 helyen),<br />
ν ≈ 0,7 - a becsült feszítési feszültség veszteség értéke (a kezdeti feszítőerő<br />
%-ában).<br />
Abban <strong>az</strong> esetben tehát, ha repedésmentes feszített tartót tervezünk, a keresztmetszet méreteit<br />
úgy kell felvenni, hogy a megadott arányok betartása mellett a fenti, keresztmetszeti<br />
modulusokra vonatkozó feltételeket teljesítsük.<br />
t1<br />
ck<br />
+<br />
f<br />
g<br />
t3<br />
ctd<br />
bp<br />
4 A feszítés számítása<br />
A feszítés tervezésének (feszítőbetétek darabszámának és külpontosságának meghatározása)<br />
főbb lépései:<br />
a.) Megbecsüljük a feszítési veszteségeket (ν est ≈ 0,7).<br />
b.) Meghatározzuk a közelítő Magnel-egyeneseket (lásd 5. pont). Összesen 4 darab<br />
egyenest kell meghatározni (ez a kijelentés <strong>az</strong> adott elrendezés mellett ig<strong>az</strong>, általános<br />
esetben szükség lehet mind a 8 darab egyenes meghatározására): a t 1 időpontban <strong>az</strong> x<br />
= x bp helyen <strong>az</strong> alsó és felső szélsőszálra vonatkozó két egyenletet, valamint a t 3<br />
időpontban <strong>az</strong> x = L/2 helyen <strong>az</strong> alsó és felső szélsőszálra vonatkozó két egyenletet<br />
(ebben a lépésben a keresztmetszeti jellemzők számításakor a feszítőbetétek<br />
elhanyagolhatók). Az egyeneseket <strong>az</strong> e - 1/P derékszögű koordináta rendszerben<br />
ábrázoljuk.<br />
c.) Kiválasztunk egy olyan [e;1/P] pontot, ami a fenti 4 darab Magnel-egyenes által<br />
határolt területen belülre esik. A kezdeti feszítési feszültség (σ p,m,0 ) és <strong>az</strong> alkalm<strong>az</strong>ni<br />
kívánt feszítőpászma keresztmetszeti területe (A P ) függvényében kiszámítjuk, hogy a<br />
P erő biztosításához hány darab feszítőpászmára van szükség: n szüks = P / (A p ⋅ σ p,m,0 ).<br />
d.) Az alkalm<strong>az</strong>ott feszítőerő (n alk ⋅A p ⋅ σ p,m,0 ) és külpontosság (e) ismeretében kiszámítjuk<br />
a feszítési veszteség (ν) pontosabb értékét (lásd 6. pont).<br />
e.) A pontosabb feszítési veszteség (ν), valamint a feszítőpászmák figyelembevételével<br />
meghatározott ideális keresztmetszeti jellemzők felhasználásával ellenőrizzük a tartó<br />
szélsőszál feszültségeit.<br />
f.) Ha a fenti feltétel nem teljesül, akkor a számítást a c.) ponttól meg kell ismételni, új<br />
feszítőerő és külpontosság értékek felvételével.<br />
11
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
5 Magnel-egyenesek<br />
Amint <strong>az</strong>t a 3.2 pontban láttuk, a tartó repedésmentességét négy, a keresztmetszet szélsőszál<br />
feszültségeire vonatkozó egyenlet kielégítésével biztosíthatjuk. Az (1)-(4) egyenletek algebrai<br />
átalakítások révén olyan formára hozhatók, hogy 4 egyenes egyenletét határozzák meg <strong>az</strong><br />
e - 1/P koordináta rendszerben:<br />
- Felső szélsőszál, t = t 1 , x = x bp :<br />
1/P<br />
1f<br />
e<br />
1<br />
≥<br />
P<br />
e<br />
−1<br />
msup<br />
⎛ M<br />
g<br />
⋅⎜<br />
t1<br />
Ai<br />
f +<br />
ctd<br />
⎝ W<br />
( x )<br />
sup<br />
bp<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(5)<br />
m sup<br />
- Alsó szélsőszál, t = t 1 , x = x bp :<br />
m inf<br />
1/P<br />
- Felső szélsőszál, t = t 3 , x = L/2:<br />
1/P 3f ∗<br />
3f<br />
m sup<br />
1a<br />
- Alsó szélsőszál, t = t 3 , x = L/2:<br />
e<br />
e<br />
e<br />
+ 1<br />
1 minf<br />
≥<br />
P ⎛ M<br />
g<br />
⋅⎜<br />
t1<br />
Ai<br />
0,<br />
6 ⋅ f +<br />
ck<br />
⎝ W<br />
1<br />
≥ ν ⋅<br />
P ⎛ M<br />
A ⋅ ⎜<br />
i<br />
⎝<br />
1<br />
≤ ν ⋅<br />
P ⎛ M<br />
A ⋅ ⎜<br />
i<br />
⎝<br />
e<br />
m<br />
sup<br />
( x )<br />
inf<br />
( L / 2)<br />
bp<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
− 0.6 ⋅ f<br />
g + q<br />
t3<br />
ck<br />
Wsup<br />
e<br />
m<br />
sup<br />
−1<br />
( L / 2)<br />
− 0.6 ⋅ f<br />
g + q<br />
t3<br />
ck<br />
Wsup<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3f)<br />
(3f * )<br />
(6)<br />
(7)<br />
1/P<br />
3a<br />
e<br />
1<br />
≤ ν ⋅<br />
P ⎛ M<br />
A ⋅<br />
⎜<br />
i<br />
⎝<br />
e<br />
m<br />
inf<br />
+ 1<br />
( L / 2)<br />
−<br />
g + q<br />
t3<br />
ctd<br />
Winf<br />
f<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(8)<br />
m inf<br />
A fentiekben<br />
m<br />
sup<br />
=<br />
W<br />
A i<br />
sup<br />
és<br />
inf<br />
W<br />
minf = sorrendben a felső ill. alsó szélsőszálhoz tartozó<br />
A i<br />
magpont távolsága a súlyponttól. Az m sup távolságot a súlyponttól <strong>az</strong> alsó szélsőszál felé kell<br />
felmérni, míg <strong>az</strong> m inf távolságot a felső szélsőszál felé. Az egyenlőtlenségeket <strong>az</strong> egyenesek<br />
sraffozott oldalára eső pontok elégítik ki. Az alkalm<strong>az</strong>ott feszítőerő és külpontossága által<br />
meghatározott pontnak e négy egyenes által határolt területen belülre kell esnie.<br />
12
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
A (7) egyenleteknél a nevezőben lévő zárójeles tag előjele dönti el, hogy a 3f vagy a 3f *<br />
egyenes adja-e a megoldást. A 4 db egyenes egy olyan alteret határoz meg, amelynek minden<br />
pontjában teljesülnek a feszültségekre megadott egyenlőtlenségek. Az egyeneseket egyetlen<br />
diagramban ábrázolva grafikusan is meghatározható a megoldásokat tartalm<strong>az</strong>ó altér:<br />
1/P<br />
1f<br />
3a<br />
1/[(n − 1)⋅P]<br />
3f<br />
1/(n⋅P)<br />
1/[(n + 1)⋅P]<br />
1a<br />
c -<br />
P -<br />
n -<br />
e -<br />
m -<br />
betonfedés<br />
egy pászma feszítőereje<br />
pászmák száma<br />
külpontosság<br />
magpont<br />
−emax<br />
m inf<br />
m sup<br />
e<br />
+emax<br />
e<br />
m inf<br />
m sup<br />
A p<br />
c<br />
c<br />
- Az ábrából csak a feszítőbetétek súlypontjának külpontossága olvasható le. Ezt a több<br />
sorban elhelyezett betéteknél figyelembe kell venni.<br />
- Ha <strong>az</strong> egyenlőtlenség rendszer több különböző A p feszítőbetét keresztmetszettel<br />
kielégíthető, akkor célszerű a legkevesebb betétet adó megoldás alkalm<strong>az</strong>ása.<br />
- A külpontosság "ingyen" van! A feszítőerő a húzófeszültségek szempontjából akkor a<br />
leghatékonyabb, ha a külpontosság maximális, a nyomófeszültségek szempontjából ez<br />
nyilván kedvezőtlen.<br />
- Ha a Magnel-egyenesek által határolt altereknek nincs közös metszete, akkor a feladatnak<br />
nincs megoldása és a tervezést a keresztmetszeti méretek felvételétől újra kell kezdeni.<br />
- Ha a választott feszítőpászmák által létrejövő feszítőerő egyenese nem metszi a<br />
megoldáshalm<strong>az</strong>t, akkor érdemes több, de kisebb keresztmetszeti területű pászmát<br />
alkalm<strong>az</strong>ni.<br />
13
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
6 A hatásos feszítőerő meghatározása<br />
6.1 Kezdeti feszítési feszültség<br />
A feszítőbetéteket - a képlékeny alakváltozások elkerülése miatt - legfeljebb akkora P 0 erővel<br />
szabad megfeszíteni, hogy a betétekben ébredő σ 0 feszültségre teljesüljön <strong>az</strong> alábbi feltétel:<br />
σ<br />
0<br />
=<br />
P0<br />
A<br />
p<br />
⎧0,<br />
8⋅<br />
f<br />
≤ min ⎨<br />
⎩0,<br />
9 ⋅ f<br />
pk<br />
p0,<br />
1k<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
ahol A p - a feszítőbetét keresztmetszeti területe,<br />
f pk - a feszítőbetét szakítószilárdságának karakterisztikus értéke,<br />
f p0,1k - a feszítőbetét 0,1%-os egyezményes folyáshatárához tartozó feszültség<br />
karakterisztikus értéke.<br />
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> gerenda esetén a kezdeti feszítési feszültség a betétekben σ p , m ,0<br />
= σ0<br />
értékre vehető fel (a tervezési feladatban σ<br />
0<br />
= 1275 N/mm 2 mindenkinek egységesen adott).<br />
Pontosabb számítás esetén a kezdeti feszítési feszültség értékének meghatározásakor figyelembe lehet venni a<br />
betétek rövididejű relaxációs veszteségét is. Ebben <strong>az</strong> esetben a kezdeti feszítési feszültség értéke:<br />
σ<br />
p, m,0<br />
= σ0<br />
− ∆σ<br />
pir<br />
ahol ∆σ pir a rövididejű relaxációs veszteség.<br />
Amikor a feszítőerőt ráengedjük a tartóra, a beton összenyomódása folytán a feszítési feszültség csökken. Ez a<br />
feszültségcsökkenés nem veszteség, hiszen a feszítéskor éppen a beton összenyomása a célunk, s a huzalok<br />
megrövidülése ezzel jár. Ha a feszített betonrúdra olyan külső húzóerőt működtetünk, amelynek hatására a beton<br />
feszültsége zérus lesz, a feszítőbetétekben a feszítési feszültség lép fel. Veszteségről akkor beszélünk, ha <strong>az</strong><br />
alakváltozás-mentes betonhoz tartozó feszítőbetét-feszültség kisebb annál a feszültségnél amivel a betéteket<br />
megfeszítették. Ideális keresztmetszeti jellemzőkkel végzett számítás során a feszítőbetétek feszültségének<br />
csökkenését nem kell külön figyelembe venni, mert <strong>az</strong> eredmény ezt már tartalm<strong>az</strong>za.<br />
6.2 A hatásos feszítési feszültség<br />
Hatásos feszítési feszültségnek <strong>az</strong>t a feszültséget nevezzük, amely valamely időpontban a<br />
feszültségveszteségek lejátszódása után a kezdeti feszítőerőből megmarad. A σ p,m,t hatásos<br />
feszítési feszültség adott t időpontban:<br />
σ<br />
p , m,<br />
t<br />
= σ<br />
p,<br />
m,0<br />
− ∆σ<br />
p,<br />
T<br />
− ∆σ<br />
p,<br />
c+<br />
s+<br />
r<br />
ahol σ p,m,0 - kezdeti feszítési feszültség,<br />
∆σ p,c+s+r - a zsugorodásból, kúszásból és relaxációból adódó feszültségveszteség<br />
(időtől függő veszteségek),<br />
∆σ p,T - a beton hőérleléséből szárm<strong>az</strong>ó feszültségveszteség<br />
Sokszor ismétlődő nagy teherrel terhelt szerkezeteknél (pl. vasúti híd, darupályatartó) feszültségveszteség adódik<br />
a beton tehermentesítése után maradó alakváltozások halmozódásából is. A maradó alakváltozás egy-egy<br />
terhelés alkalmával függ a betonban fellépő feszültség nagyságától.<br />
14
6.2.1 A beton hőérleléséből szárm<strong>az</strong>ó feszültségveszteség<br />
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
Ha a betont gőzöléssel érleljük és a feszítőbetéteket ideiglenesen olyan szerkezethez (pl.<br />
feszítőpad bakja) horgonyozzuk ki, amely a hőközlés hatására nem végez ugyanolyan<br />
alakváltozást, mint a hőhatásnak a betonnal együtt kitett betétek, a hőmérséklet-különbség<br />
okozta veszteségeket figyelembe kell vennünk. A hőmérséklet különbség hatására létrejövő<br />
feszültségveszteség:<br />
∆σ<br />
p,T<br />
= α<br />
T<br />
⋅ ∆T ⋅ E<br />
p<br />
ahol α T = 10 -5 °C -1 - a feszítőbetétek hőtágulási együtthatója,<br />
∆T - a hőmérsékletkülönbség (pontosabb adatok hiányában ∆T = 40 °C<br />
feltételezhető),<br />
E p - a feszítőbetétek rugalmassági modulusa.<br />
A beton hőérleléséből szárm<strong>az</strong>ó feszültségveszteség már a feszítőerő ráengedése előtt lejátszódik, ezért a pontos<br />
számításnál figyelembe veendő feszültség a feszítőbetétekben: σ p,m,t1 = σ p,m,0 - ∆σ p,T<br />
6.2.2 A zsugorodásból, kúszásból és relaxációból adódó feszültségveszteség<br />
A beton zsugorodásából és lassú alakváltozásából (kúszás), valamint a feszítőbetétek lassú<br />
alakváltozásából (relaxáció) szárm<strong>az</strong>ó feszültségveszteség adott helyen és t időpontban:<br />
σ<br />
∆<br />
p,<br />
c+<br />
s+<br />
r<br />
ε<br />
= −<br />
cs<br />
( t,<br />
t ) ⋅ E + ∆σ<br />
+ α ⋅φ( t,<br />
t ) ⋅( σ + σ )<br />
s<br />
1+<br />
α<br />
p<br />
p<br />
A<br />
⋅<br />
A<br />
p<br />
c<br />
pr<br />
⎛ Ac<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⋅ z<br />
⎝ I<br />
c<br />
p<br />
2<br />
cp<br />
⎞<br />
⎟⋅<br />
⎠<br />
0<br />
cg<br />
( 1+<br />
0,8 ⋅φ( t,<br />
t<br />
)<br />
ahol ε cs (t,t s ) - a beton fajlagos zsugorodási alakváltozása (lásd 6.2.2.1. pont),<br />
∆σ pr - a feszítőbetétek relaxációjából szárm<strong>az</strong>ó feszültségváltozás (lásd<br />
6.2.2.1. pont),<br />
α p = E p / E cm - ahol E cm a beton (szelő) rugalmassági modulusának várható értéke,<br />
φ(t,t 0 ) - a beton kúszási tényezője,<br />
σ cg - <strong>az</strong> önsúly és állandó terhek alapértékéből szárm<strong>az</strong>ó betonfeszültség a<br />
feszítőbetétek vonalában,<br />
σ cp0 - a kezdeti feszítőerőből szárm<strong>az</strong>ó betonfeszültség a feszítőbetétek<br />
vonalában,<br />
A p - a vizsgált magasságban található összes feszítőbetét keresztmetszet<br />
területe,<br />
A c - a betonkeresztmetszet területe,<br />
I c - a betonkeresztmetszet inercianyomatéka,<br />
z pc - a betonkeresztmetszet súlypontja és a feszítőbetétek közötti távolság.<br />
Az önsúly és állandó terhek alapértékéből szárm<strong>az</strong>ó betonfeszültség a feszítőbetétek<br />
környezetében:<br />
0<br />
cp0<br />
σ<br />
cg<br />
M<br />
=<br />
I<br />
xi<br />
g<br />
⋅e<br />
15
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
ahol M g - <strong>az</strong> önsúly és állandó terhek alapértékéből szárm<strong>az</strong>ó nyomaték a<br />
tartó vizsgált keresztmetszetében,<br />
I xi - <strong>az</strong> ideális keresztmetszet inerciája a súlyponti tengelyre<br />
e - a feszítőbetét külpontossága <strong>az</strong> ideális keresztmetszet súlypontjától<br />
A kezdeti feszítőerőből szárm<strong>az</strong>ó betonfeszültség a feszítőbetétek környezetében:<br />
σ<br />
cp0<br />
P0<br />
= −<br />
A<br />
i<br />
P0<br />
⋅e<br />
−<br />
I<br />
xi<br />
2<br />
ahol e - a feszítőbetétek külpontossága,<br />
A i - <strong>az</strong> ideális keresztmetszeti terület,<br />
P 0 = A p ⋅σ p,m,0 - a kezdeti feszítőerő.<br />
6.2.2.1 A beton zsugorodási alakváltozása<br />
Amennyiben nincs szükségünk a zsugorodás mértékének pontosabb becslésére, használhatjuk<br />
<strong>az</strong> alábbi táblázatban megadott értékeket:<br />
Normál testsűrűségű beton zsugorodási végértéke ε cs [‰]<br />
h 0 ≤ 150 h 0 = 600<br />
RH = 50 % -0,60 -0,50<br />
RH = 80 % -0,33 -0,28<br />
RH a relatív páratartalom, h 0 = 2⋅A c / u ahol u a keresztmetszet kerülete.<br />
Az értékek 15 °C átlaghőmérsékletű betonra vonatkoznak. A táblázat értékei között a lineáris<br />
interpoláció megengedett. (A tervezési feladatban mindenkinek egységesen adott a zsugorodás<br />
közelítő végértéke: ε cs (t,t s ) = − 0,5 ‰)<br />
Amennyiben a zsugorodás mértékének pontosabb meghatározására van szükség, <strong>az</strong> alábbi módon történhet a<br />
számítás:<br />
A beton nyomószilárdságának átlagértéke: f cm = f ck + 8 [N/mm 2 ]<br />
A cement fajtájától függő tényező: β sc (normál szilárdulású cement esetén β sc = 5)<br />
A beton szilárdságát figyelembe vevő tényező: ε s (f cm ) = [250 + β sc ⋅(90 - f cm )] ⋅10 -6<br />
A relatív páratartalom: RH [%]<br />
A relatív páratartalom hatását figyelembe vevő tényező: β sRH = 1 - (RH / 100) 3<br />
Levegőn tárolt beton esetén:<br />
β RH = - 1,55⋅β sRH<br />
A névleges zsugorodási tényező:<br />
ε cs0 = ε s (f cm )⋅β RH<br />
A betonkeresztmetszet területe: A c [mm 2 ]<br />
A tartó környezettel érintkező kerülete:<br />
u [mm]<br />
A keresztmetszet névleges mérete:<br />
h 0 = 2⋅A c / u [mm]<br />
A beton kora a vizsgált időpontban:<br />
t [nap]<br />
A beton kora a zsugorodás kezdetekor: t s [nap]<br />
A zsugorodás időbeli lefutását leíró tényező:<br />
β s (t - t s ) = (t - t s ) / (0,035⋅ h + t - t s )<br />
A beton zsugorodási alakváltozása: ε cs (t,t s ) = ε cs0 ⋅β s (t - t s )<br />
2<br />
0<br />
16
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
6.2.2.2 A beton kúszási tényezője<br />
A beton kúszási végértékének közelítő értékeit <strong>az</strong> alábbi táblázat tartalm<strong>az</strong>za:<br />
A beton kora a<br />
megterheléskor<br />
t 0 [nap]<br />
Normál testsűrűségű beton kúszási végértéke φ(∞,t 0 )<br />
RH = 50 % RH = 80 %<br />
h 0 = 50 h 0 = 150 h 0 = 600 h 0 = 50 h 0 = 150 h 0 = 600<br />
1 5,5 4,6 3,7 3,6 3,2 2,9<br />
7 3,9 3,1 2,6 2,6 2,3 2,0<br />
28 3,0 2,5 2,0 1,6 1,7 1,5<br />
90 2,4 2,0 1,6 1,5 1,4 1,2<br />
365 1,8 1,5 1,2 1,1 1,0 1,0<br />
RH a relatív páratartalom, h 0 keresztmetszet névleges mérete.<br />
Az értékek 15 °C átlaghőmérsékletű betonra vonatkoznak. A táblázat értékei között a lineáris<br />
interpoláció megengedett. (A tervezési feladatban mindenkinek egységesen adott a kúszási<br />
tényező közelítő végértéke: φ(t,t 0 ) = 2,0)<br />
Amennyiben a kúszás mértékének pontosabb meghatározására van szükség, <strong>az</strong> alábbi módon történhet a<br />
számítás:<br />
RH-tól és <strong>az</strong> elem névleges méretétől függő tényező: β H = 1,5⋅[1 + (0,012⋅RH) 18 ]⋅h 0 + 250 β H ≤ 1500<br />
A kúszás időbeli lefutását leíró tényező: β c (t - t 0 ) = [(t - t 0 ) / (β H + t - t 0 )] 0,3<br />
A relatív páratartalom hatását figyelembe vevő tényező: φ RH = 1+<br />
( 1−<br />
RH / 100) ⋅( 01 , ⋅<br />
3<br />
h )<br />
A betonszilárdság hatását figyelembe vevő tényező: β(f cm ) = 16,8 fcm<br />
0,<br />
2<br />
A beton korának hatásait figyelembe vevő tényező: β 1 (t 0 ) = 1 / (0,1 + t )<br />
A névleges kúszási tényező: φ 0 = φ RH ⋅β(f cm )⋅β 1 (t 0 )<br />
A kúszási tényező: φ(t,t 0 ) = φ 0 ⋅β c (t - t 0 )<br />
0<br />
0<br />
6.2.2.3 A feszítőbetétek relaxációjából adódó feszültségveszteség<br />
A feszítőpászmák relaxációját a tartó középső keresztmetszetében, a maximális nyomaték<br />
helyén határozzuk meg, és ezt <strong>az</strong> értéket közelítésképpen a tartó teljes hossza mentén<br />
állandónak tekintjük (a valóságban a relaxáció – mivel függ a feszítőbetétben ébredő<br />
feszültségtől – a tartó hossza mentén folyamatosan változik). A kezdeti feszítőerőből,<br />
valamint <strong>az</strong> önsúly és állandó terhek alapértékéből szárm<strong>az</strong>ó feszültség a feszítőbetétekben:<br />
σ<br />
⎛ P M − P ⋅ e ⎞<br />
0 g 0<br />
= σ +<br />
⎜−<br />
+ e<br />
⎟<br />
p,<br />
m,0<br />
p<br />
⎝ Ai<br />
I<br />
xi ⎠<br />
pg 0<br />
α<br />
17
A feszítőbetétek kezdeti feszültsége a biztonság javára való közelítéssel:<br />
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
σ p = σ pg0<br />
A kezdeti feszítőbetét-feszültség értékét pontosabban is meghatározhatjuk a rövididejű feszültségveszteségek<br />
figyelembevételével. Általános esetben a kezdeti feszültség értéke: σ p = σ pg0 − 0,3⋅∆σ p,c+s+r ahol ∆σ p,c+s+r a<br />
zsugorodásból, kúszásból és relaxációból adódó feszültségveszteség. Mivel ezen veszteség értéke függ σ p -től, a<br />
számítás csak a teljes feszültségveszteség előzetes becslésével, majd ezt követően fokozatos közelítéssel oldható<br />
meg. Szokásos épületeknél alkalm<strong>az</strong>ható a σ p = 0,85⋅σ pg0 közelítés is.<br />
A kezdeti feszítőbetét-feszültség és a feszítőpászma szakítószilárdság karakterisztikus<br />
értékének hányadosa:<br />
χ = 100⋅σ p / f pk [%]<br />
20 ºC hőmérsékletű tartó esetén a feszítőbetétek 1000 órás relaxációs vesztesége (r 1000 [%]) a<br />
fenti χ hányados függvényében <strong>az</strong> alábbi diagramból határozható meg:<br />
r 1000 , 1000 órás relaxációs veszteség [%]<br />
14<br />
12<br />
10<br />
r 1000 , 1000 órás relaxációs veszteség 20 °C-on<br />
8<br />
8,0<br />
7,0<br />
3. osztály (feszítőrudak)<br />
6<br />
4<br />
4,5<br />
4,0<br />
4,5<br />
2. osztály (feszítőpászmák)<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
1,0<br />
0<br />
55 60 65 70 75 80 85<br />
χ [%]<br />
12,0<br />
1. osztály (feszítőhuzalok)<br />
Ha a szerkezet hőmérséklete 20 ºC fölött van, a relaxáció a fenti ábrán megadottnál nagyobb mértékű lesz. A<br />
60 ºC-ot meghaladó hőmérsékletű szerkezet rövididejű relaxációs veszteségei a 20 ºC-on mért veszteség 2-3-<br />
szorosát is elérhetik. A rövid idejű hőérlelés hatását általában úgy lehet tekinteni, hogy <strong>az</strong> a hosszú időtartamú<br />
relaxáció értékét nem befolyásolja.<br />
A relaxációból szárm<strong>az</strong>ó feszültségveszteség végértéke <strong>az</strong> 1000 órás relaxációs veszteség<br />
háromszorosára vehető fel:<br />
∆σ pr = − 3⋅ r 1000 ⋅σ p,m,0<br />
6.3 A hatásos feszítőerő hányad<br />
A hatásos feszítőerő hányad a hatásos és kezdeti feszítési feszültség hányadosaként adódik:<br />
σ<br />
ν =<br />
σ<br />
p,m,t<br />
p,m,0<br />
18
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
7 Főfeszültségek vizsgálata<br />
7.1 A tartó tengelyére merőleges normálfeszültségek<br />
Az előfeszített gerendákban függőleges irányú normálfeszültségek alakulnak ki a tartóvégen a<br />
lehorgonyzás helyén (lásd részletesebben a 2. pontban). Ilyen tartótengelyre merőleges<br />
feszültségek léphetnek fel változó magasságú feszített gerendákban is, továbbá akkor, ha a<br />
terhet a tartóra alulról függesztik fel. A függőleges σ y húzófeszültségeket egyensúlyozhatjuk<br />
feszített kengyelek alkalm<strong>az</strong>ásával, vagy felvehetjük nem feszített kengyelekkel.<br />
7.1.1 Nyírófeszültségek számítása<br />
Állandó magasságú, repedésmentes feszített gerendában, ha a<br />
keresztmetszet állandó és a normálerő sem változik a tartó<br />
hossza mentén, a keresztmetszet valamely magasságában a<br />
rugalmas-repedésmentes nem feszített tartókhoz hasonlóan<br />
számíthatjuk a nyírófeszültséget:<br />
A<br />
A<br />
x<br />
τ xy<br />
τ<br />
xy<br />
Q ⋅ S<br />
=<br />
I ⋅b<br />
xi<br />
xi<br />
( y)<br />
ahol Q - a vizsgált keresztmetszetre ható nyíróerő,<br />
y<br />
S xi - <strong>az</strong> elcsúszni akaró keresztmetszet rész statikai nyomatéka <strong>az</strong> ideális<br />
keresztmetszet súlyponti tengelyére,<br />
I xi - <strong>az</strong> ideális keresztmetszet inercianyomatéka,<br />
b(y) - a tartó szélessége a vizsgált y magasságban.<br />
7.2 Főfeszültségek számítása<br />
Feszített tartónál különös figyelmet igényelnek a húzó főfeszültségek. A főfeszültségek<br />
meghatározását kezdeti (t = t 1 ) és végleges (t = t 3 ) állapotban, a tartó hossza mentén két<br />
helyen, a tartóvégen a lehorgonyzás helyén (l bpd ) valamint a tartó közepén (L/2) célszerű<br />
elvégezni. A keresztmetszeten belül <strong>az</strong>t a helyet kell vizsgálni, ahol <strong>az</strong> axiális és a<br />
tangenciális feszültségek együttes hatása várhatóan a legnagyobb (a tervezési feladatban<br />
szereplő T keresztmetszet esetén ez hely a fenti ábrán látható A-A metszet). Amennyiben a<br />
tartóban függőleges irányú normálfeszültségek (σ y ) nem lépnek föl, a húzó és nyomó<br />
főfeszültséget <strong>az</strong> alábbi módon számíthatjuk:<br />
σ<br />
2<br />
A<br />
A<br />
σ ⎛<br />
c<br />
σ ⎞<br />
c 2<br />
⎜ ⎟<br />
1, 2<br />
= ± + τ<br />
xy<br />
2<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
ahol σ 1 és σ 2 - a húzó és a nyomó főfeszültségek,<br />
A<br />
σc<br />
- <strong>az</strong> igénybevételek ritka kombinációjából szárm<strong>az</strong>ó normálfeszültség a<br />
betonban <strong>az</strong> A-A metszet magasságában.<br />
19
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
A feszített gerenda repedésmentes állapotban van, ha a főfeszültségekre teljesülnek <strong>az</strong> alábbi<br />
feltételek:<br />
≤<br />
7.3 A tartóvég vizsgálata<br />
σ 1<br />
f ctd<br />
σ ≤ 0, 6 ⋅<br />
2<br />
Előfeszített tartóknál a tartóvégen, a feszítőbetétek lehorgonyzásának környezetében a tartó<br />
tengelyére merőleges σ y húzófeszültségek alakulnak ki, melyek a tartóvéget megrepeszthetik.<br />
A tartóvég közelében a tartó síkbeli feszültségállapotban van, míg a távolabb lévő<br />
keresztmetszetekben a feszültségállapot egytengelyűnek tekinthető. A kétfajta<br />
feszültségállapot között nincs határozott átmenet, a "megzavart" szakasz hosszát <strong>az</strong> l bp<br />
lehorgonyzási hosszal vehetjük egyenlőnek. A továbbiakban <strong>az</strong> l bp hosszúságú tartórész<br />
egyensúlyát vizsgáljuk.<br />
fck<br />
K-K metszet<br />
K<br />
K-K<br />
σ x1<br />
σ x2<br />
y<br />
dI<br />
I<br />
I<br />
x<br />
I<br />
K<br />
I<br />
σ x<br />
σ x3<br />
l bp / 2<br />
σ y<br />
l bp / 2<br />
σ y<br />
τ xy<br />
τ xy<br />
A keresztirányú σ y feszültség a vízszintes I-I metszet mentén parabolikus eloszlású, amit<br />
közelíthetünk egy h helyettesítő hosszon megoszló lineárisan változó (I. szakasz) és konstans<br />
(II. szakasz) feszültséggel (lásd <strong>az</strong> alábbi ábrán). Az I. és II. szakaszokon vett feszültségek F c<br />
és F t eredői egy erőpárt alkotnak (F t =F c ). A nyírófeszültségek elhanyagolása esetén <strong>az</strong> erőpár<br />
nyomatékának a K-K metszetben fellépő tartótengely irányú feszültségek I-I metszet feletti<br />
részének nyomatékát kell egyensúlyoznia. Ebből a feltételből meghatározható a tartóvégen<br />
fellépő F t keresztirányú húzóerő nagysága.<br />
σ y<br />
I<br />
0, 3⋅<br />
h 0, 6 ⋅ h<br />
z = 0,<br />
5⋅<br />
h<br />
I.<br />
F c<br />
II.<br />
F t<br />
σ y<br />
II<br />
2<br />
A helyettesítő szakasz hossza: h = h + ( 0.<br />
6 ⋅l bp<br />
) ≥ lbp<br />
A keresztirányú feszültség maximumai:<br />
σ<br />
σ<br />
I<br />
y<br />
II<br />
y<br />
Fc<br />
=<br />
0.<br />
15⋅bw<br />
⋅ h<br />
Ft<br />
=<br />
0.<br />
6 ⋅ b ⋅ h<br />
w<br />
2<br />
20
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
Első lépésben a K-K metszetben a külső terhekből szárm<strong>az</strong>ó σ x feszültségek nyomatékát<br />
számítjuk ki a vizsgált I-I metszetre. Az összegzéskor tekintettel kell lenni a keresztmetszet b<br />
szélességi méretének változására!<br />
M<br />
k<br />
=<br />
σx1<br />
∫<br />
σx<br />
3<br />
b<br />
( y) ⋅σ ( y)<br />
x<br />
⋅ y ⋅ dy<br />
A keresztirányú feszültségek nyomatéka <strong>az</strong> I-I metszetre:<br />
M<br />
b<br />
= F ⋅ z = F ⋅ z<br />
c<br />
t<br />
Az M k és M b nyomatékok egyenlőségéből számítható <strong>az</strong> F t keresztirányú húzóerő. Ezen<br />
húzóerő felvételére zárt kengyeleket alkalm<strong>az</strong>unk, melyek szükséges keresztmetszeti területe:<br />
A<br />
sw<br />
=<br />
F<br />
f<br />
yd<br />
=<br />
M<br />
z ⋅ f<br />
k<br />
yd<br />
A kengyeleket <strong>az</strong>on a szakaszon kell elhelyezni, amelyen a σ y keresztirányú feszültség húzást<br />
okoz! Az I-I metszet helyének megválasztása <strong>az</strong> σ x feszültség eloszlásától függ. Ha a K-K<br />
metszetben a betonfeszültség nem vált előjelet, akkor a legnagyobb külső nyomatékot<br />
várhatóan akkor kapjuk, ha a metszetet a legfelső feszítőbetét síkjában vesszük fel. Ilyenkor<br />
ugyanis <strong>az</strong> integrál értéke y függvényében monoton növekszik, amíg el nem érjük a legfelső<br />
pászma síkját. Ha <strong>az</strong>onban a feszültség a K-K metszetben előjelet vált, akkor a külső<br />
nyomatékok maximumát abban a metszetben kapjuk, amelyben a feszültségek (vízszintesen<br />
vett) eredője zérus, vagyis ahol a húzó- és nyomófeszültségek kiegyenlítik egymást.<br />
A<br />
II<br />
sy<br />
=<br />
+<br />
M<br />
z ⋅ f<br />
max<br />
yd<br />
σ x1<br />
σ x3<br />
M k<br />
0.3⋅ h 0.6⋅ h<br />
+<br />
M max<br />
σ x1<br />
σ x3<br />
M k<br />
−<br />
M max<br />
+<br />
M max<br />
h 0,3⋅ h 0,6⋅ h<br />
A<br />
A<br />
II<br />
sy<br />
I<br />
sy<br />
+<br />
M<br />
=<br />
z ⋅ f<br />
max<br />
−<br />
M<br />
=<br />
z ⋅ f<br />
yd<br />
max<br />
yd<br />
A feszítőerő ráengedésekor várhatóan a keresztmetszetben csak nyomófeszültségek lépnek<br />
fel, ezért <strong>az</strong> első ábra <strong>szerint</strong>i elrendezés <strong>az</strong> érvényes. A használati állapotban a beton alsó<br />
szélsőszálában húzófeszültség is felléphet, ekkor a második ábra <strong>szerint</strong>i elrendezés lesz a<br />
mértékadó.<br />
Az így kapott kengyelezéshez természetesen még hozzá kell adni a külső terhek nyíróerejéből<br />
számított szükséges nyírási vasalást.<br />
21
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
8 A törőnyomaték meghatározása (Mörsch szerkesztés)<br />
ε<br />
σ<br />
xi<br />
ε cu<br />
σ c (ε)<br />
κ i<br />
κ i (d-x i ) ε P0<br />
d<br />
A s<br />
σ P<br />
A számítás fő lépései:<br />
a.) Feltételezzük, hogy töréskor a felső szélső szálban a beton törési összenyomódása (ε cu )<br />
áll elő,<br />
b.)<br />
c.)<br />
d.)<br />
e.)<br />
f.)<br />
fölveszünk egy κ i görbületet, ebből a semleges tengely magassága (x i ) számítható,<br />
x i ismeretében számítható a feszítőbetétek megnyúlása: ε p = κ i (d - x i ) + ε P0 ahol ε P0 a<br />
feszítőbetétek feszítési nyúlása,<br />
a nyúlások eloszlása alapján a beton- és a feszítőbetétek anyagmodelljei ismeretében<br />
(lásd 1.1. és 1.3. pontok) kiszámíthatók a belső erők (F c és F P ),<br />
amennyiben F c - F P ≠ 0, újabb km.-i görbületeket veszünk fel és megismételjük a fenti<br />
számítást mindaddig míg a vetületi egyensúly nem teljesül.<br />
F c - F P ≈ 0 teljesülése esetén a határnyomaték a belső erők nyomatékeredőjeként<br />
számítható.<br />
22
Előfeszített <strong>vasbeton</strong> tartó számítása <strong>az</strong> <strong>Eurocode</strong> <strong>szerint</strong> - v2.4<br />
9 Irodalomjegyzék<br />
[1] Bölcskei-Tassi: Vasbetonszerkezetek - Feszített tartók. Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.<br />
[2] Kollár L.: Vasbetonszerkezetek I. - Vasbeton szilárdságtan <strong>az</strong> EUROCODE 2 <strong>szerint</strong>.<br />
Műegyetemi Kiadó, 1997.<br />
[3] Szalai K.: Vasbeton szerkezetek - Vasbeton szilárdságtan. Tankönyvkiadó, Budapest<br />
1990.<br />
23