Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of

Állapotvisszacsatolás Hetthéssy Jenő, Bars Ruth, Barta András, 2005
Induljunk ki a folytonos állapotegyenlet általános megoldásából:
t
A( t−t0
) A( t−τ
)
() = (0) +∫ ( τ )
t0
x t e x e B u dτ
A mintavételezés során alkalmazzunk zérusrendű tartószervet.
Legyen t 0 egy mintavételi intervallum kezdete, t 0
= iT , ahol T a mintavételezési idő, az intervallum
vége ekkor t = ( i+ 1) T . Ebben a tartományban u( τ ) = állandó = u( iT ), és így kiemelhető az
integrálás elé. Az integrálást elvégezve
AT
−1
AT
x[( i+ 1) T] = e x( iT) + A ( e − I) Bu( iT)
A mintavételezett rendszer állapotegyenlete:
xi+ 1
= Ax
d i
+ Bu
d i
yi = Cdxi + Ddui
ahol
AT
−1
AT
Ad = e ; Bd = A ( e − I) B; Cd = C; Dd= D.
Ismeretes, hogy a gyakorlati rendszerekre tipikusan D d =0 áll fenn, továbbá a nyitott rendszer
det( zI− A
d
) = 0
karakterisztikus egyenlete a z tartományban adja meg a rendszer pólusait.
Az Ackermann formula a megoldás egyik kulcseleme volt a folytonos rendszereknél, vizsgáljuk meg ezt
az összefüggést mintavételes rendszerekre. A nyitott rendszer diszkrét állapotegyenlete:
xi+1
= Ad
xi
+ Bdui
yi
= Cd
xi
Állapotvisszacsatolás: ui
= −Kxi
A zárt rendszer állapotegyenlete: x
i+
1
= ( Ad
− Bd
K)
xi
A zárt rendszer előírt karakterisztikus polinomja:
α
c( z) = det( zI−( Ad − BdK
)) = ( z− pc 1)( z− pc2)...( z−
pcn)
ahol pc 1, pc2,...,
p
cn
a zárt rendszernek a z tartományban előírt pólusai.
Legyen a szakasz irányíthatósági mátrixa: M
c
n−1
M
c
= ⎡Bd AdBd ... Ad B ⎤
⎣
d⎦
, n=
dim x
Az Ackermann képlet szerint a szakasz A d , B d mátrixaiból és a zárt rendszer előírt pólusaihoz tartozó
karakterisztikus polinomból a K visszacsatoló vektor az alábbi összefüggéssel számítható:
−1
K = [ 0 ... 0 1 ] Mc αc( Ad)
ahol α
c
( Ad
) a zárt rendszer karakterisztikus polinomja z = A
d
helyettesítéssel.
Az állapotokat visszacsatoló K vektor kiszámítását a Matlab az acker utasítással támogatja:
K=acker(Ad,Bd,Sd)
Sd a visszacsatolt rendszer előírt pólusait (az α
c
( z)
= 0 ) egyenlet előírt gyökeit) tartalmazó vektor.
Ha az előírt pólusokat folytonos időben adjuk meg, ezek diszkrét megfelelőit a z=e sT
transzformációval határozhatjuk meg, ahol T a mintavételezési idő.
Példa
Legyen a folytonos szabályozott szakasz az alábbi háromtárolós arányos tag:
u A x 3 1 x 2 1 x 1 =y
1+ sT 3
1+ sT2
1+ sT1
73