Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of
Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of
Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Állapotvisszacsatolás Hetthéssy Jenő, Bars Ruth, Barta András, 2005<br />
Induljunk ki a folytonos állapotegyenlet általános megoldásából:<br />
t<br />
A( t−t0<br />
) A( t−τ<br />
)<br />
() = (0) +∫ ( τ )<br />
t0<br />
x t e x e B u dτ<br />
A mintavételezés során alkalmazzunk zérusrendű tartószervet.<br />
Legyen t 0 egy mintavételi intervallum kezdete, t 0<br />
= iT , ahol T a mintavételezési idő, az intervallum<br />
vége ekkor t = ( i+ 1) T . Ebben a tartományban u( τ ) = állandó = u( iT ), és így kiemelhető az<br />
integrálás elé. Az integrálást elvégezve<br />
AT<br />
−1<br />
AT<br />
x[( i+ 1) T] = e x( iT) + A ( e − I) Bu( iT)<br />
A mintavételezett rendszer állapotegyenlete:<br />
xi+ 1<br />
= Ax<br />
d i<br />
+ Bu<br />
d i<br />
yi = Cdxi + Ddui<br />
ahol<br />
AT<br />
−1<br />
AT<br />
Ad = e ; Bd = A ( e − I) B; Cd = C; Dd= D.<br />
Ismeretes, hogy a gyakorlati rendszerekre tipikusan D d =0 áll fenn, továbbá a nyitott rendszer<br />
det( zI− A<br />
d<br />
) = 0<br />
karakterisztikus egyenlete a z tartományban adja meg a rendszer pólusait.<br />
Az Ackermann formula a megoldás egyik kulcseleme volt a folytonos rendszereknél, vizsgáljuk meg ezt<br />
az összefüggést mintavételes rendszerekre. A nyitott rendszer diszkrét állapotegyenlete:<br />
xi+1<br />
= Ad<br />
xi<br />
+ Bdui<br />
yi<br />
= Cd<br />
xi<br />
Állapotvisszacsatolás: ui<br />
= −Kxi<br />
A zárt rendszer állapotegyenlete: x<br />
i+<br />
1<br />
= ( Ad<br />
− Bd<br />
K)<br />
xi<br />
A zárt rendszer előírt karakterisztikus polinomja:<br />
α<br />
c( z) = det( zI−( Ad − BdK<br />
)) = ( z− pc 1)( z− pc2)...( z−<br />
pcn)<br />
ahol pc 1, pc2,...,<br />
p<br />
cn<br />
a zárt rendszernek a z tartományban előírt pólusai.<br />
Legyen a szakasz irányíthatósági mátrixa: M<br />
c<br />
n−1<br />
M<br />
c<br />
= ⎡Bd AdBd ... Ad B ⎤<br />
⎣<br />
d⎦<br />
, n=<br />
dim x<br />
Az Ackermann képlet szerint a szakasz A d , B d mátrixaiból és a zárt rendszer előírt pólusaihoz tartozó<br />
karakterisztikus polinomból a K visszacsatoló vektor az alábbi összefüggéssel számítható:<br />
−1<br />
K = [ 0 ... 0 1 ] Mc αc( Ad)<br />
ahol α<br />
c<br />
( Ad<br />
) a zárt rendszer karakterisztikus polinomja z = A<br />
d<br />
helyettesítéssel.<br />
Az állapotokat visszacsatoló K vektor kiszámítását a <strong>Matlab</strong> az acker utasítással támogatja:<br />
K=acker(Ad,Bd,Sd)<br />
Sd a visszacsatolt rendszer előírt pólusait (az α<br />
c<br />
( z)<br />
= 0 ) egyenlet előírt gyökeit) tartalmazó vektor.<br />
Ha az előírt pólusokat folytonos időben adjuk meg, ezek diszkrét megfelelőit a z=e sT<br />
transzformációval határozhatjuk meg, ahol T a mintavételezési idő.<br />
Példa<br />
Legyen a folytonos szabályozott szakasz az alábbi háromtárolós arányos tag:<br />
u A x 3 1 x 2 1 x 1 =y<br />
1+ sT 3<br />
1+ sT2<br />
1+ sT1<br />
73