Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of

Állapotvisszacsatolás Hetthéssy Jenő, Bars Ruth, Barta András, 2005
- válasszuk meg a zárt rendszer pólusait
- egy bemenetű/egy kimenetű rendszerek esetén a K visszacsatolási mátrixot az Ackermann
formula segítségével határozhatjuk meg (a Matlab acker parancsának közvetlen
alkalmazásával)
- az állandósult állapotbeli átvitelre megfogalmazott követelmények alapján határozzuk meg a
G erősítési mátrixot.
Példa.
Tekintsük az alábbi átviteli függvénnyel adott rendszert:
6
H( s)
=
( s+ 1)( s+ 2)( s+
3)
A választott rendszer egy bemenetű/egy kimenetű, így a K visszacsatolási mátrix ebben az esetben
visszacsatolási vektort, a G erősítési mátrix pedig erősítési vektort fog jelenteni. Vegyük észre, hogy a
rendszer statikus erősítése egységnyi. A rendszert Matlab szinten adjuk meg p o
pólusaival, majd
transzformáljuk át a rendszert állapotteres formába:
» po=[-1;-2;-3];
» [A,b,c,d]=tf2ss(6,poly(po))
⎡−6 −11 −6⎤ ⎡1⎤
A =
⎢
1 0 0
⎥
, B
⎢
0
⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
, C = [ 0
⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
0 6 ], D = 0
Jelöljük ki a zárt rendszer pc
pólusait:
» pc=[-6;-3+i*4;-3-i*4];
majd határozzuk meg azt a visszacsatolási vektort, amely a nyitott rendszer p
o
= [ −1 −2 − 3]
pólusait a zárt rendszer pc
= [ −6 − 3+ 4 j −3− 4 j]
pólusaiba helyezi át. Az Ackermann
formula analitikus alakja
−1
k = [0,...,0,1] Cxαc( A )
formában állítja elő a keresett visszacsatolási vektort, ahol C
x
a nyitott rendszer irányíthatósági
mátrixa, α () s a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete (amelyet az előírt pólusok határoznak meg!),
c
αc ( A ) pedig e polinom, mint mátrix polinom helyettesítési értéke az A helyen. Matlab szinten
mindez egyetlen utasítás:
» k=acker(A,b,pc)
k =
[ 6 50 144]
» t=0:0.1:6;
» subplot(211),step(A,b,c,d,1,t);
» subplot(212),step(A-b*k,b,c,d,1,t);
Látható, hogy a pólusok balra tolásával az átmeneti függvény tranziense gyorsabb lefutásúvá vált,
ugyanakkor – feltételezve, hogy a zárt körben is egységnyi statikus átvitelt szeretnénk biztosítani - a
zárt rendszer állandósult állapotbeli viselkedése nem elfogadható. A megfelelő állandósult állapot
bizosításának egy lehetséges módja a G erősítési vektor beállítása. Az eljárás részletei jól követhetők
az alábbi Matlab utasítás sorral, ahol GainOL a nyitott kör, GainCL pedig a zárt kör statikus
erősítését jelöli:
» GainOL=dcgain(A,b,c,d)
GainOL = 1
66