Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of

Állapotvisszacsatolás Hetthéssy Jenő, Bars Ruth, Barta András, 2005
13. Állapotvisszacsatolás
Tekintsük először a folytonos rendszereket. Egy folytonos, lineáris, időinvariáns, több bemenetű/több
kimenetű rendszer állapotteres reprezentációja az A,B,C,D paraméter mátrixokkal írható le:
x=Ax+Bu
&
y =Cx+Du
Ismeretes, hogy a fenti egyenletek (nevezetesen az állapotegyenlet illetve a kimeneti egyenlet) az u
bemenet és az y kimenet között a
−1
C( sI− A)
B+
D
átviteli függvényt valósítja meg. Az { A,B,C,D } négyessel adott rendszerleírást állapotmodell
névvel is illetik, amely modell pólusait a
det( sI− A ) = 0
karakterisztikus egyenlet gyökei határozzák meg.
A rendszer állapotváltozóiról megvalósított, az alábbi ábrán bemutatott visszacsatolás az r referencia
jel (alapjel) és az y kimenőjel közötti átvitelt, mind statikus, mind pedig dinamikus értelemben
módosítja:
D
r
G
-
u
B
x&
∫
x
C
y
A
A visszacsatolásban K visszacsatolási mátrixot, az előrevezető ágban G erősítési mátrixot
feltételezve a visszacsatolt (zárt) rendszer egyenletei u=Gr-Kx következtében az alábbiak szerint
írhatók fel:
x=(A & − BK)
x+GBr
.
y = ( C−
DK)
x+DGr
Bevezetve az AF = A− BK, BF = GB, CF = C− DK,
DF
= DG jelöléseket
x=A &
Fx+BFr
y =CFx+DFr
adódik a zárt rendszerre, amelynek karakterisztikus egyenlete:
det( sI− AF
) = det( sI-A+BK ) = 0 .
A nyitott és zárt rendszer karakterisztikus egyenletét összevetve látható, a nyitott rendszer pólusai csak
A értékétől, míg a zárt rendszer pólusai az { A,B,K } hármastól függenek. A zárt rendszer
tulajdonságait úgy tervezzük meg, hogy előírjuk, hová kerüljenek a zárt rendszer pólusai a komplex
síkban. Matematikailag olyan K visszacsatolási mátrixot keresünk, amely a karakterisztikus egyenlet
gyökeit éppen e kívánt értékekre helyezi el.
Az állapotvisszacsatolásos rendszer tervezése az alábbi lépésekben történik:
K
65