Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of
Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of
Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Állapotteres Leírás, Irányíthatóság, Megfigyelhetőség Hetthéssy Jenő, Bars Ruth, Barta András, 2005<br />
12. Állapotteres Leírás, Irányíthatóság, Megfigyelhetőség<br />
Egy lineáris rendszer jellemezhető bemenőjeleivel, kimenőjeleivel és állapotváltozóival. Az<br />
állapotváltozók olyan mennyiségek, amelyek a bemenőjel hirtelen megváltozására nem változnak meg<br />
hirtelen, pillanatnyi értéküket a rendszert a múltban ért hatások alakítják ki. Másképpen a rendszer azon<br />
változói, amelyek tároló funkciót látnak el.<br />
Tekintsünk egy egy bemenetű, egy kimenetű (SISO - single input - single output) rendszert. A rendszer u<br />
bemenőjele, x állapotváltozói és y kimenőjele között az alábbi állapotegyenlet adja meg az összefüggést:<br />
&x = Ax + bu<br />
y = cx + du<br />
ahol az { Abcd , , , } mátrixok a rendszert jellemző paramétermátrixok.<br />
Az állapotegyenlettel egy n-edrendű differenciálegyenlettel megadható rendszert n számú elsőrendű<br />
differenciálegyenlettel írunk le.<br />
Az állapotegyenletnek végtelen sok reprezentációja létezik, mivel az állapotváltozók bármilyen lineáris<br />
kombinációja új állapotváltozókat eredményez. A különböző reprezentációk a bemenet és a kimenet<br />
között ugyanazt az átviteli kapcsolatot adják.<br />
A MATLAB az átviteli függvényből kiindulva az állapotegyenlet egy lehetséges reprezentációját adja<br />
meg a tf2ss (transfer function to state space) utasítással.<br />
Példaként tekintsük az alábbi átviteli függvénnyel adott másodrendű rendszert:<br />
1<br />
H()<br />
s =<br />
2<br />
s + s+<br />
1<br />
Adjuk meg a rendszer egy állapotteres reprezentációját.<br />
» num=1;<br />
» den=[1 1 1];<br />
» [A,b,c,d]=tf2ss(num,den) % transzformálás állapotteres alakra<br />
» [num1,den1]=ss2tf(A,b,c,d) % ellenőrzésképpen visszatranszformálás átviteli<br />
% függvény alakra<br />
A kétféle megadási forma egyenértékűségét nézzük meg az átmeneti függvények felrajzolásával.<br />
» step(num,den);<br />
» step(A,b,c,d);<br />
A rendszer egy másik állapotreprezentációját koordináta-transzformációval (hasonlósági transzformáció)<br />
kaphatjuk meg. Az új x állapotváltozók és az eredeti x állapotváltozók között a P transzformációs<br />
mátrix adja meg a kapcsolatot.<br />
x&<br />
= Ax+<br />
bu<br />
y = c x + du<br />
ahol<br />
-1<br />
x = Px => x=<br />
P x<br />
-1 1<br />
A= PAP , b = Pb, c = cP − , d = d<br />
1<br />
Ha a P − mátrix oszlopvektorai az A mátrix sajátvektorai, az A mátrix diagonális lesz (kanonikus<br />
transzformáció).<br />
61