Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of

Állapotteres Leírás, Irányíthatóság, Megfigyelhetőség Hetthéssy Jenő, Bars Ruth, Barta András, 2005
12. Állapotteres Leírás, Irányíthatóság, Megfigyelhetőség
Egy lineáris rendszer jellemezhető bemenőjeleivel, kimenőjeleivel és állapotváltozóival. Az
állapotváltozók olyan mennyiségek, amelyek a bemenőjel hirtelen megváltozására nem változnak meg
hirtelen, pillanatnyi értéküket a rendszert a múltban ért hatások alakítják ki. Másképpen a rendszer azon
változói, amelyek tároló funkciót látnak el.
Tekintsünk egy egy bemenetű, egy kimenetű (SISO - single input - single output) rendszert. A rendszer u
bemenőjele, x állapotváltozói és y kimenőjele között az alábbi állapotegyenlet adja meg az összefüggést:
&x = Ax + bu
y = cx + du
ahol az { Abcd , , , } mátrixok a rendszert jellemző paramétermátrixok.
Az állapotegyenlettel egy n-edrendű differenciálegyenlettel megadható rendszert n számú elsőrendű
differenciálegyenlettel írunk le.
Az állapotegyenletnek végtelen sok reprezentációja létezik, mivel az állapotváltozók bármilyen lineáris
kombinációja új állapotváltozókat eredményez. A különböző reprezentációk a bemenet és a kimenet
között ugyanazt az átviteli kapcsolatot adják.
A MATLAB az átviteli függvényből kiindulva az állapotegyenlet egy lehetséges reprezentációját adja
meg a tf2ss (transfer function to state space) utasítással.
Példaként tekintsük az alábbi átviteli függvénnyel adott másodrendű rendszert:
1
H()
s =
2
s + s+
1
Adjuk meg a rendszer egy állapotteres reprezentációját.
» num=1;
» den=[1 1 1];
» [A,b,c,d]=tf2ss(num,den) % transzformálás állapotteres alakra
» [num1,den1]=ss2tf(A,b,c,d) % ellenőrzésképpen visszatranszformálás átviteli
% függvény alakra
A kétféle megadási forma egyenértékűségét nézzük meg az átmeneti függvények felrajzolásával.
» step(num,den);
» step(A,b,c,d);
A rendszer egy másik állapotreprezentációját koordináta-transzformációval (hasonlósági transzformáció)
kaphatjuk meg. Az új x állapotváltozók és az eredeti x állapotváltozók között a P transzformációs
mátrix adja meg a kapcsolatot.
x&
= Ax+
bu
y = c x + du
ahol
-1
x = Px => x=
P x
-1 1
A= PAP , b = Pb, c = cP − , d = d
1
Ha a P − mátrix oszlopvektorai az A mátrix sajátvektorai, az A mátrix diagonális lesz (kanonikus
transzformáció).
61