Szabályozástechnika Matlab Gyakorlatok, Villamosmérnöki - Index of

A frekvenciafüggvény Hetthéssy Jenő, Bars Ruth, Barta András, 2005
3. A frekvenciafüggvény
Stabilis lineáris rendszerek egy alapvető tulajdonsága, hogy szinuszos bemenőjelekre állandósult
állapotban, a tranziensek lecsengése után a bemenőjel frekvenciájával megegyező frekvenciájú szinuszos
jelekkel válaszolnak. Legyen
ut () = Ausin( ωt
+ ϕ
u)
t ≥ 0 esetén a rendszerünk bemenete. A kimenőjel
yt () = yállandósult
() t + ytranziens
() t
A kimenőjel állandósult (kvázistacionárius) állapotban
y t)
= A sin( ω t + ϕ )
állandósult
(
y
y
ut () = Ausin( ωt+ ϕu)
() sin( ω ϕ )
H()
s
yt = A t+ + y
y y tranziens
A frekvenciafüggvény az A y /A u amplitúdó arány és a (ϕ y -ϕ u ) fáziskülönbség frekvenciafüggését leíró
függvény. Mivel a frekvenciafüggvény szimultán módon két rendszerjellemző tulajdonság
frekvenciafüggését kívánja reprezentálni, nem meglepõ, hogy a frekvenciafüggvény komplex függvény.
Bebizonyítható, hogy formailag a frekvenciafüggvényt az átviteli függvényből az s=jω helyettesítéssel
lehet származtatni.
jϕω
( )
H( jω) = H( s) = M( ω)
e
s=
jω
A frekvenciafüggvény kifejezésében M(ω) az amplitúdófüggvény (a frekvenciafüggvény abszolút értéke),
ϕ(ω) pedig a fázisfüggvény:
M ( ω)
H ( jω)
=
Ay
( ω)
A ( ω)
= ϕ( ω)
= arg{ H ( jω)
} = ϕ ( ω)
−ϕ
( ω)
u
A frekvenciafüggvény többféleképpen is megjeleníthető. Az M(ω) és ϕ(ω) függvényeket külön-külön
ábrázolhatjuk egy kijelölt frekvenciatartományban. Ez a technika a Bode diagramot eredményezi. A
frekvenciaskála léptéke rendszerint logaritmikus. A Nyquist diagram a frekvenciafüggvényt a komplex
számsíkon ábrázolja. A kiválasztott frekvenciatartomány minden egyes ω értékére a komplex síkban az
M(ω) és ϕ(ω) értékpárnak megfelelő pontot adhatunk meg. E pontok kontúrral való összekötése
eredményezi a Nyquist diagramot. A Nyquist diagram ábrázolásakor a frekvenciát rendszerint nulla és
végtelen között változtatjuk.
Példa: Legyen egy rendszer átviteli függvénye
10
H()
s =
2
s + 2s+
10
Határozzuk meg a rendszer kimenőjelét, ha bemenőjele u(t)= 2*sin(3*t).
» num=10;
» den=[1, 2, 10];
» H=tf(num,den);
» t=0:0.05:10;
» u=2*sin(3*t);
» yl=lsim(H,u,t);
Ábrázoljuk a rendszer bemenőjelét és kimenőjelét egy diagramban (bemenőjel: piros (red), kimenőjel: kék
(blue)):
y
u
17