Hidromorfológia jegyzet (PDF)
Hidromorfológia jegyzet (PDF)
Hidromorfológia jegyzet (PDF)
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Hidromorfológia MSc
Hidromechanika<br />
Folyadékok kinematikája<br />
A vízmozgás leírása kinematikai jellemzıkkel<br />
- sebesség,<br />
- gyorsulás,<br />
- örvényesség stb.,<br />
függetlenül a hatóerıktıl.<br />
Lagrange-féle szubsztanciális módszer:<br />
Egy kiszemelt vízrészecske helyzetének leírása a kezdıhelyzet és az idı függvényében:<br />
ebbıl<br />
( r 0<br />
,t)<br />
r = r ,<br />
2<br />
v = dr<br />
dt<br />
, d r<br />
a = .<br />
dt<br />
2<br />
Fıleg elkeveredési és hullámjelenségek leírásánál használjuk.<br />
Euler-féle lokális módszer:<br />
A hely és az idı függvényében adja meg a sebesség eloszlását.<br />
Derékszögő, Descartes-féle koordinátarendszerben:<br />
( r,t)<br />
v = v .<br />
Összenyomható folyadéknál a sőrőséget is hasonlóan meg kéne adni, de leírásunkat<br />
összenyomhatatlan esetekre korlátozzuk (az is épp elég széles terület).<br />
Skaláris alakban, összetevıkként:<br />
( x,<br />
y,<br />
z t)<br />
( x,<br />
y,<br />
z t)<br />
( x,<br />
y,<br />
z t)<br />
v x<br />
≡ u = u , ,<br />
v y<br />
≡ v = v , ,<br />
v z<br />
≡ w = w , .<br />
A továbbiakban az Euler-féle rendszerben vizsgálódunk.<br />
A mozgás permanens (stacionárius, idıben állandó), ha<br />
1
( r) = ⋅i<br />
+ v ⋅ j + ⋅k<br />
v = v u w ,<br />
a Descartes-féle térbeli koordinátarendszer egységvektoraival fölírva.<br />
Az áramlás jellemzı vonalai:<br />
- áramlási vonal (pálya, épp ez a tárgya a Lagrange-féle leírásnak),<br />
- nyomvonal,<br />
- áramvonal,<br />
- folyékony vonal.<br />
Az áramvonal differenciálegyenlete: az a vonal, amelynek elemi dr ívvektora tetszıleges<br />
helyen párhuzamos az ottani sebességvektorral:<br />
dx dy dz<br />
d r v → = = ,<br />
u v w<br />
vagy vektoriálisan<br />
v × d r = 0 ,<br />
kifejtve<br />
i<br />
j<br />
k<br />
( v ⋅ dz − w⋅dy) ⋅i<br />
− ( u ⋅ dz − w⋅dx) ⋅ j + ( u ⋅dy<br />
− v ⋅ ) ⋅ k<br />
u v w = dx ,<br />
dx<br />
dy<br />
dz<br />
Ahol mindenegyes zárójeles kifejezés zérus kell, hogy legyen. Ebbıl ellenırzésként látszik,<br />
hogy például<br />
dx dy<br />
u ⋅ dy − v ⋅dx<br />
= 0 → u ⋅dy<br />
= v ⋅dx<br />
→ = , stb.<br />
u v<br />
További kapcsolódó fogalmak:<br />
- áramvonalak,<br />
- zárt vezérgörbén áthaladó áramvonalak összessége: áramcsı,<br />
- nem zárt vezérgörbén áthaladó áramvonalak összessége: áramfelület,<br />
- vékony áramcsı: áramszál.<br />
- áramlási vonal (pálya),<br />
- zárt vezérgörbén belüli pályák kötege: folyadéksugár,<br />
- vékony folyadéksugár: folyadékszál.<br />
A folytonosság (térfogatmegmaradás) törvénye<br />
2
Áramsőrőség: egységnyi nagyságú felületre esı térfogathozam (a sebesség felületre<br />
merıleges összetevıje):<br />
v ⋅ dA (skaláris szorzat!)<br />
Egy zárt átáramlási felületre vonatkoztatva:<br />
∫<br />
A<br />
v ⋅dA<br />
= 0 .<br />
Gauss-Osztrogradszkij tétele:<br />
Az áramsőrőség felületi integrálja az áramsőrőség (vektortér) divergenciájának térfogati<br />
integráljával egyenlı:<br />
∫<br />
A<br />
∫<br />
v ⋅dA<br />
= div v dV = 0 .<br />
V<br />
Ez utóbbi a kifejezés ugyanis csak akkor zérus, ha az integrandusa zérus, vagyis<br />
∂u<br />
∂v<br />
∂w<br />
div v = ∇⋅ v = + + = 0 .<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
A folytonosság egy áramcsıben vagy vízfolyásban, permanens állapotban a<br />
Q v ⋅ A = v ⋅ A = ... = v ⋅ A = ... = v ⋅ A állandó ,<br />
=<br />
1 1 2 2<br />
i i<br />
n n<br />
=<br />
legegyszerőbb folytonossági egyenlethez jutunk.<br />
Az elemi folyadékrészecske<br />
- haladási,<br />
- forgási, és<br />
- alakváltozási sebessége.<br />
Mindezeket kombinálva:<br />
- haladó és forgó,<br />
- haladó és alakváltoztató,<br />
- forgó és alakváltoztató, és<br />
- haladó, forgó és alakváltoztató mozgás.<br />
Az egyszerőség kedvéért mindezt az x-y síkban nézzük, abból általánosítjuk térre.<br />
Alakváltozás szétbontása nyúlásra (ill. zsugorodásra) és szögtorzulásra (ahogy azt sziltanban<br />
láthattuk).<br />
3
Egy általános t idıpontban a kiszemelt P ponton keresztül felveszünk két, egymásra<br />
merıleges folyékony vonalat mozgásindikátornak. Figyeljük, hogy elemi dt idı alatt mi<br />
történik azok ξ és η hosszúságú darabjaival.<br />
( x , y ):<br />
[ u( x , y ),<br />
v( x y )]<br />
P : v<br />
,<br />
P<br />
P<br />
P<br />
P<br />
P<br />
P<br />
Ezen pont körül fejtsük Taylor-sorba sebesség-összetevıket, és tartsuk meg pusztán a sor elsı<br />
két tagját:<br />
u<br />
u<br />
∂u<br />
∂x<br />
1<br />
2!<br />
2<br />
( x + ξ y ) = u( x , y ) + ξ ⋅ ⋅ + ξ ⋅ ⋅ + ...<br />
P<br />
1<br />
1!<br />
2<br />
∂ u<br />
∂x<br />
,<br />
P P P<br />
2<br />
∂u<br />
∂y<br />
1<br />
2!<br />
2<br />
( x y + η ) = u( x , y ) + η ⋅ ⋅ + η ⋅ ⋅ + ...<br />
1<br />
1!<br />
2<br />
∂ u<br />
∂y<br />
P, P<br />
P P<br />
2<br />
a. Csak haladás<br />
v = v → u = u,<br />
v = v,<br />
w w .<br />
h h<br />
h<br />
h<br />
=<br />
Elemi elmozdulások:<br />
dx = u ⋅dt, dy = v ⋅dt,<br />
dz = w⋅dt<br />
.<br />
b. Haladás és nyúlás<br />
∂u<br />
∂u<br />
∂v<br />
dξ<br />
= δ<br />
x<br />
⋅ξ<br />
⋅dt<br />
= ξ ⋅ ⋅dt<br />
→ δ<br />
x<br />
= , δ<br />
y<br />
= .<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂y<br />
c. Haladás, elfordulás és szögtorzulás<br />
Infinitezimális elmozdulást feltételezve:<br />
dα<br />
≅ tgdα<br />
Átlagos szögsebesség (az x-y síkban, tehát z-irányú forgástengellyel) az elfordulási szögek<br />
idıegységre vett számtani közepe:<br />
ahol<br />
dα<br />
+ dβ<br />
= ωz<br />
,<br />
2⋅dt<br />
∂v<br />
1<br />
d α = ξ ⋅ ⋅ dt ⋅ ,<br />
∂x<br />
ξ<br />
∂u<br />
1<br />
d β = −η<br />
⋅ ⋅ dt ⋅ .<br />
∂y<br />
η<br />
4
Utóbbi negatív elıjelének magyarázata: a balforgást (órával ellentétest) vesszük pozitívnak,<br />
de pozitív sebességváltozás (növekmény) jobbforgást eredményez, így a két elemi<br />
szögelfordulás elıjele szükségképpen ellentétes. Behelyettesítéssel:<br />
dα<br />
+ dβ<br />
=<br />
2⋅<br />
dt<br />
1 ⎛ ∂v<br />
∂u<br />
⎞<br />
⋅⎜<br />
− ⎟ = ωz<br />
,<br />
2 ⎝ ∂x<br />
∂y<br />
⎠<br />
1 ⎛ ∂w<br />
∂v<br />
⎞<br />
⋅⎜<br />
− ⎟ = ωy<br />
,<br />
2 ⎝ ∂y<br />
∂x<br />
⎠<br />
1 ⎛ ∂u<br />
∂w<br />
⎞<br />
⋅⎜<br />
− ⎟ = ωx<br />
.<br />
2 ⎝ ∂z<br />
∂x<br />
⎠<br />
Ezekben az összefüggésekben felismerhetı a v sebességvektor rotációja:<br />
ω =<br />
1<br />
2<br />
⋅ rot v =<br />
1<br />
∇ × v =<br />
2<br />
1<br />
2<br />
i<br />
∂<br />
⋅<br />
∂x<br />
u<br />
j<br />
∂<br />
∂y<br />
v<br />
k<br />
∂<br />
∂z<br />
w<br />
,<br />
Vagyis a szögsebesség-vektor a rotáció-vektor fele.<br />
A szögtorzulási sebesség két, kezdetben derékszöget bezáró folyékony vonal közti,<br />
idıegységre jutó szögváltozás fele:<br />
dα<br />
− dβ<br />
1 ⎛ ∂v<br />
∂u<br />
⎞<br />
γ<br />
z<br />
= = ⋅⎜<br />
+ ⎟ ,<br />
2⋅dt<br />
2 ⎝ ∂x<br />
∂y<br />
⎠<br />
hasonlóan<br />
1 ⎛ ∂u<br />
∂w<br />
⎞<br />
γ<br />
y<br />
= ⋅⎜<br />
+ ⎟ ,<br />
2 ⎝ ∂z<br />
∂x<br />
⎠<br />
1 ⎛ ∂w<br />
∂v<br />
⎞<br />
γ<br />
x<br />
= ⋅⎜<br />
+ ⎟ .<br />
2 ⎝ ∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
Ezek nem vektor-összetevık, hanem az alakváltozási sebességvektor elemei! Mind a<br />
szögsebesség, mind a szögtorzulás 1/idı mértékegységőek.<br />
Értelemszerően, ha pl. dα = dβ, akkor a szögelfordulás zérus.<br />
A sebesség differenciája és az alakváltozási sebesség egy t idıpontban:<br />
( x y,<br />
z) → P′<br />
( x + ξ , y + η z + ς )<br />
P , , ,<br />
5
v ′ = v′<br />
+ v′<br />
+ v′<br />
.<br />
h<br />
f<br />
a<br />
A haladási sebességek megegyeznek:<br />
v ′<br />
h<br />
= v h<br />
.<br />
Az elfordulási sebesség a P pontbeli szögsebesség-vektornak és az elemi helyvektorkülönbségnek<br />
(mint egyfajta sugárnak) a vektoriális szorzata:<br />
i<br />
j<br />
k<br />
( ω ⋅ς<br />
− ω ⋅η) ⋅ i + ( ω ⋅ξ<br />
−ω<br />
⋅ς<br />
) ⋅ j + ( ω ⋅η<br />
− ω ⋅ ) k<br />
ω × d r = ω ω ω =<br />
x<br />
ξ ⋅ .<br />
ξ<br />
x<br />
η<br />
y<br />
ς<br />
z<br />
y<br />
z<br />
Az alakváltozási sebesség pedig a P pontbeli fajlagos megnyúlási sebességek és az elemi<br />
helyvektor-különbség összetevıi alapján, erıs térszemlélettel fölírható.<br />
Összességében a P’ pontbeli sebességvektor összetevıi (vetületei) így az alábbiak:<br />
( ω ⋅ς<br />
−ω<br />
⋅η) + δ ⋅ξ<br />
+ ( γ ⋅ς<br />
+ γ ⋅η)<br />
u ′ = u +<br />
y z x y z<br />
,<br />
( ω ⋅ξ<br />
− ω ⋅ς<br />
) + δ ⋅η<br />
+ ( γ ⋅ξ<br />
+ γ ⋅ς<br />
)<br />
v ′ = v +<br />
z x<br />
y z x<br />
,<br />
( ω ⋅η<br />
− ω ⋅ξ<br />
) + δ ⋅ς<br />
+ ( γ ⋅η<br />
+ γ ⋅ξ<br />
)<br />
w ′ = w +<br />
x y z x y<br />
.<br />
De a P’ pontbeli sebesség a P pontbeli differenciáljával is felírható, mint skalár-vektor<br />
függvény differenciáljai:<br />
d v = du ⋅i<br />
+ dv ⋅ j + dw⋅k<br />
.<br />
Tovább alakítva (behelyettesítve a szögsebesség, a dilatációs sebesség és a szögtorzulási<br />
sebesség összetevık már ismert képleteit):<br />
⎡1<br />
⎛ ∂u<br />
∂w<br />
⎞ 1 ⎛ ∂v<br />
∂u<br />
⎞ ⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎤<br />
⎥ + u 1 v u 1 u w<br />
u′ = u + ⎢ ⋅⎜<br />
− ⎟ ⋅ς<br />
− ⋅⎜<br />
− ⎟ ⋅η<br />
⋅ξ<br />
+ ⎢ ⋅⎜<br />
+ ⎟⋅η<br />
+ ⋅⎜<br />
+ ⎟ ⋅ς<br />
⎥<br />
⎣2<br />
⎝ ∂z<br />
∂x<br />
⎠ 2 ⎝ ∂x<br />
∂y<br />
⎠ ⎦ ∂x<br />
⎣2<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
⎠ 2 ⎝ ∂z<br />
∂x<br />
⎠ ⎦<br />
∂u<br />
∂u<br />
∂u<br />
= u + ⋅ξ + ⋅η<br />
+ ⋅ς<br />
= u + du ,<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
és hasonlóan a másik két összetevıre, vagyis<br />
du = grad u ⋅dr<br />
,<br />
dv = grad v ⋅dr<br />
,<br />
dw = grad w⋅dr<br />
.<br />
z<br />
x<br />
y<br />
6
Vektorosan:<br />
( + du) ⋅ i + ( v + dv) ⋅ j + ( w + ) ⋅k<br />
v′ = u dw .<br />
Tehát a P’ pontbeli eredı sebesség a haladási, forgási és alakváltozási sebességek összege. Ha<br />
ebbıl levonjuk a szilárd testekre is jellemzı haladási és forgási sebességek összegét, vagyis a<br />
1<br />
v + ⋅ rot v × dr<br />
-t,<br />
2<br />
a maradék a tiszta alakváltozási sebesség lesz, vagyis általánosságban<br />
⎛ 1 ⎞ 1<br />
v′<br />
a<br />
= v′<br />
− ⎜ v + ⋅ rot v × dr⎟<br />
= dv<br />
− ⋅ rot v × dr<br />
.<br />
⎝ 2 ⎠ 2<br />
Örvényes és örvénymentes áramlások<br />
Ha két, kezdetben egymásra merıleges folyékony vonal szögelfordulásának (dα + dβ)/2<br />
számtani közepe nem zérus, akkor lokálisan a folyadékrészecskék saját tengelyük körül<br />
forognak, és így örvényes áramlásról beszélünk.<br />
Vagyis az<br />
1<br />
ω = ⋅ rot v ≠ 0 → rot v = ∇ × v ≠ 0<br />
2<br />
rotáció-vektor nem zérus.<br />
Egy adott t idıpillanatban a rot v vektortérre érintılegesen illeszkedı vonalak serege az<br />
örvényvonalak. Vagyis az örvényvonalak elemi dr ívvektora párhuzamos a rotáció-vektorral,<br />
amibıl az örvényvonalak differenciálegyenlet-rendszere:<br />
dx dy dz<br />
dr<br />
rot v → = = .<br />
( rot v) x<br />
( rot v) y<br />
( rot v) z<br />
Ebbıl adódik vektoriálisan, az áramvonalaknál látott módon:<br />
rot v × d r = 0 .<br />
Zárt vezérgörbén áthaladó örvényvonalak összessége az örvénycsı, elemien kicsi méretben<br />
örvényszál. Ha nem zárt a vezérgörbe, akkor örvényfelületrıl beszélünk (ilyen például az<br />
örvénysík).<br />
További megállapítás: a rotáció-vektor és annak fele, az örvényvektor a sebességvektorra (a<br />
forgásnak a síkjára, amiben a sebességvektor fekszik) mindig merıleges, következésképpen<br />
lokálisan az örvényvonal is merıleges lesz a sebességvektorra (és így az áramvonalra is).<br />
7
Az örvényvektor-tér mindig folytonos eloszlású, vagyis divergencia-mentes, mivel (bıvebb<br />
kifejtést szorgalomból el lehet végezni):<br />
⎛ 1 ⎞ ∂ω<br />
∂ω<br />
x y ∂ωz<br />
div ω = div ⎜ ⋅ rot v⎟<br />
= + + = 0 .<br />
⎝ 2 ⎠ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
Ha a rotáció-vektor zérus, akkor összetevınként is zérus, és a mozgást örvénymentes, vagis az<br />
elemi vízrészecskék nem végeznek saját tengelyük körül forgómozgást.<br />
Megjegyzendı, hogy ha nagyobb víztömegek forognak a belsejükbe esı közös tengely körül,<br />
az egyúttal még nem jelenti azt, hogy az elemi vízrészecskék is forognak saját tengelyük<br />
körül. Például az ún. kerengı vízmozgás (más szóval forgó) lehet örvénymentes is, de<br />
hétköznapian gyakran mégis örvénynek nevezik. Másrészt, egyenes vonalú mozgás is lehet<br />
örvényes (lásd pl. nyíróréteg). Tehát kerengés és forgás, illetve egyenes vonalú mozgás és<br />
forgásmentesség nem járnak szükségszerően együtt! De a gyakorlatban a viszkózus folyadék<br />
áramlása a falhoz tapadás és a belsı súrlódás miatt általában mindig eleve örvényes, így az<br />
örvénymentesség csupán közelítés, szerencsére számos esetben eléggé jó.<br />
Az örvénymentes áramlás, mint potenciálos áramlás<br />
Örvénymentes esetben található olyan ϕ( r,t)<br />
gradiense:<br />
ϕ = skalártér, amelynek a v sebességvektor-tér a<br />
v =<br />
dϕ<br />
= gradϕ<br />
= ∇ϕ<br />
,<br />
dr<br />
skalárisan összetevınként<br />
∂ϕ<br />
∂ϕ<br />
∂ϕ<br />
u = , v = , u = .<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂x<br />
Ezt a ϕ( x , y,<br />
z,<br />
t)<br />
helytıl függ: ϕ ( ) = ϕ( x , y,<br />
z)<br />
ϕ = skalárteret sebességpotenciálnak hívjuk. Permanens esetben csak a<br />
r .<br />
A φ = állandó felületek (síkban vonalak) az ún. ekvipotenciális felületek (vonalak), amelyek<br />
mentén tehát a potenciálérték nem változik:<br />
∂ϕ<br />
∂ϕ<br />
∂ϕ<br />
dϕ = ⋅ dx + ⋅dy<br />
+ ⋅dz<br />
= 0 ,<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
behelyettesítve<br />
dϕ = u ⋅dx<br />
+ v ⋅dy<br />
+ w⋅dz<br />
= 0 ,<br />
illetve vektorosan<br />
v ⋅d r = 0.<br />
8
Vagyis a sebességvektor merıleges az ekvipotenciális felületre (vonalra), tehát egyúttal az<br />
áramvonal is merıleges rá:<br />
dx dv<br />
u ⋅ dx + v ⋅dy<br />
+ w⋅dz<br />
= 0 → = =<br />
u y<br />
dw<br />
z<br />
Ahogy már korábban megmutattuk, összenyomhatatlan folyadék folytonossági (kontinuitási)<br />
egyenlete (vagyis a térfogat-megmaradás törvénye):<br />
div v = ∇⋅ v = 0,<br />
amelybe a sebességre az örvénymentes mozgásnál érvényes összefüggéseket behelyettesítve a<br />
2<br />
div v = div gradϕ<br />
= ∇⋅∇ϕ<br />
= ∇ ϕ = 0 ,<br />
ún. Laplace egyenletet kapjuk. Skalárisan:<br />
2 2 2<br />
2 ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ<br />
∇ ϕ = + + = 0 ,<br />
2 2 2<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
ahol a φ potenciálfüggvény mértékegysége hossz a négyzeten per idı (pl. m 2 /s). A rá<br />
merıleges ψ áramfüggvény mértékegysége is ugyanez lesz, amiben a fajlagos vízhozamot<br />
ismerhetjük fel. Ebbıl fentiekhez hasonlóan következik, hogy<br />
2 2 2<br />
2 ∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ<br />
∇ ψ = + + = 0 .<br />
2 2 2<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
Cirkuláció, örvénytételek<br />
Elemi perdület (dinamikából már ismert): a sebességvektor és az elemi elmozdulás vektor<br />
skaláris szorzata (olyan munka-szerő):<br />
( v) = v ⋅dr<br />
dΓ .<br />
Zárt g görbe mentén vett integrálja a körperdület, vagy cirkuláció:<br />
( ) = ∫ v ⋅<br />
Γ v dr .<br />
g<br />
Ha a sebességeloszlás potenciálos, akkor a<br />
∫<br />
g<br />
v ⋅ dr<br />
=<br />
∫<br />
cirkuláció zérus.<br />
g<br />
dϕ<br />
⋅ dr<br />
= 0<br />
dr<br />
9
A perdületet nem zárt görbe mentén számítva pedig<br />
A<br />
B<br />
A<br />
dϕ<br />
A<br />
v ⋅ dr<br />
= ⋅d<br />
= [ ϕ] B<br />
= ϕ<br />
B<br />
−ϕ<br />
A<br />
,<br />
dr<br />
∫ ∫ r<br />
B<br />
Vagyis az A és B két végpontbeli potenciál különbsége, tehát, nem függ az integrálás<br />
útvonalától.<br />
A sebesség cirkulációjának idıszerinti elsı deriváltja<br />
dΓ<br />
dt<br />
( v)<br />
⎛ dv<br />
⎞<br />
= Γ⎜<br />
⎟ = Γ<br />
⎝ dt ⎠<br />
( a)<br />
a gyorsulás cirkulációját adja.<br />
Ha Γ( a ) = 0<br />
, vagyis a gyorsuláseloszlás potenciálos (látható, hogy a cirkuláció is egy<br />
használható eszköz a potenciálosság megállapítására!), akkor Γ(v) idıben állandó, vagyis<br />
azok a folyadékrészecskék, amelyek örvényes mozgásban voltak, abban is maradnak, amelyek<br />
nem, azok késıbb sem válnak örvényessé! Más szóval, örvénycsövek (szálak) és környezete<br />
között folyadékcsere nincs (legegyszerőbb példaként az a ≡ 0 esetben). Ez Helmholtz I.<br />
örvénytétele (pl. a levegıben megmaradó füstkarikák, vagy az egyenes csıben lévı tóruszörvénycsövek).<br />
Persze a valóságban mindez végül szétdiffundál, molekulárisan lassan,<br />
turbulensen gyorsan.<br />
Felhasználva Stokes tételét, amely kimondja, hogy vektortér zárt görbe menti integrálja<br />
egyenlı a vektortér rotációjának ezen görbe által körülzárt A felület feletti integráljával:<br />
Γ<br />
( v) = ∫ v ⋅dr<br />
= ∫ v ⋅dA<br />
= 2⋅∫<br />
g<br />
A<br />
rot ω⋅dA<br />
,<br />
ahol dA a felületre lokális normálvektora.<br />
A<br />
Megjegyzendı, hogy ez analóg a víz(térfogat)hozammal, mint a sebességvektor-mezı felületi<br />
integráljával (ahogy azt már Hidraulika I-ben tanultuk):<br />
Q<br />
= A<br />
∫ v ⋅ dA<br />
,<br />
ezért örvényhozamnak is szokták nevezni, vagyis<br />
1<br />
1<br />
∫ ω⋅<br />
d A = ∫ rot v ⋅ dA<br />
= Γ( v)<br />
,<br />
2<br />
2<br />
A<br />
A<br />
az örvényhozam tehát a cirkuláció felével egyenlı.<br />
Helmholtz II. örvénytétele<br />
10
Egy örvénycsı bármely keresztmetszetében egy idıpillanatban az örvényhozam azonos,<br />
vagyis a cirkuláció az örvénycsövet övezı bármely g zárt görbe mentén ugyanakkora. Ezt<br />
felhasználva bevezethetı a<br />
1<br />
2<br />
Γ<br />
A<br />
( v)<br />
⊥<br />
= ω<br />
közepes szögsebesség, ahol<br />
és<br />
ω A = állandó .<br />
k<br />
⋅<br />
⊥<br />
k<br />
A<br />
⊥<br />
a g zárt görbe határolta felület ω k normálsíkjára vett vetülete,<br />
Minél szőkebb tehát az örvénycsı (pl. hosszirányú nyúlással keresztirányban minél inkább<br />
kontrahálódik), annál nagyobb a rajta áthaladó folyadék közepes szögsebessége! De végtelen<br />
szögsebesség nem létezhet, ezért örvénycsı (zérus keresztmetszeti felület jelentıen) folyadék<br />
belsejében nem végzıdhet!<br />
11
Ideális folyadékok mechanikája<br />
Ideális folyadék:<br />
- folytonos (kontinuum),<br />
- tökéletesen gördülékeny (súrlódásmentes, nem-viszkózus),<br />
- összenyomhatatlan.<br />
Korábbi tanulmányainkból idézzük fel földi erıtérre alkalmazva az Euler-féle hidrodinamikai<br />
egyenletet:<br />
amibıl<br />
dp = ρ ⋅<br />
dp<br />
dr<br />
⎛ dv<br />
grad ⎜ ,<br />
⎝ dt<br />
⎞<br />
( g − a) ⋅dr<br />
→ = p = ρ ⋅( g − a) = ρ ⋅ g − ⎟ ⎠<br />
dv<br />
dt<br />
1 = g − ⋅grad p .<br />
ρ<br />
A sebességvektor ún. teljes deriváltját kifejtve:<br />
dv<br />
dt<br />
=<br />
∂v<br />
∂v<br />
dr<br />
+ ⋅<br />
∂t<br />
∂r<br />
dt<br />
∂v<br />
∂v<br />
= + ⋅ v ,<br />
∂t<br />
∂r<br />
ahol az elsı tag az a l ún. lokális gyorsulás-, a második (valójában több tagból álló) tag az a c út<br />
menti, ún. konvektív gyorsulásvektor.<br />
Az Euler-féle hidrodinamikai egyenlet Lamb-Gromeko-féle alakja<br />
Célszerő, trükkös átalakításokat végzünk, az alábbiakban a<br />
du<br />
dt<br />
∂u<br />
∂u<br />
∂u<br />
∂u<br />
1 ∂p<br />
= + ⋅u<br />
+ ⋅v<br />
+ ⋅ w = ⋅<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
ρ ∂x<br />
x-irányú egyenletre bemutatva.<br />
Vegyük a<br />
∂ ⎛<br />
⎜<br />
∂x<br />
⎝<br />
2<br />
v<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 2<br />
∂ ⎛ u + v + w<br />
= ⎜<br />
∂x<br />
⎝ 2<br />
2<br />
⎞ ∂u<br />
∂v<br />
∂w<br />
⎟ = ⋅u<br />
+ ⋅ v + ⋅ w<br />
⎠ ∂x<br />
∂x<br />
∂x<br />
egyenletet, és baloldalát adjuk hozzá, jobboldalát meg vonjuk ki az elızı egyenlet középsı<br />
részébıl:<br />
du<br />
dt<br />
∂u<br />
∂<br />
= +<br />
∂t<br />
∂x<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
v<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ +<br />
⎠<br />
⎛ ∂u<br />
∂v<br />
⎞ ⎛ ∂u<br />
∂w<br />
⎞ ∂u<br />
∂<br />
v ⋅⎜<br />
− ⎟ + w⎜<br />
− ⎟ = +<br />
⎝ ∂y<br />
∂x<br />
⎠ ⎝ ∂z<br />
∂x<br />
⎠ ∂t<br />
∂x<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
v<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ −<br />
⎠<br />
( rot v) z<br />
− ( rot v) y<br />
12
2<br />
∂u<br />
∂ ⎛ v ⎞<br />
= + ⎜ ⎟ − ( v × rot v) x<br />
.<br />
∂t<br />
∂x<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Ez analóg módon felírható a másik két koordinátairányra is. Összevonva, vektoriálisan<br />
dv<br />
dt<br />
2<br />
= ∂v<br />
⎛ v<br />
+ grad ⎜<br />
∂ t ⎝ 2<br />
⎞<br />
⎟ −<br />
⎠<br />
v × rot v .<br />
Ezt beírva az Euler-féle hidrodinamikai egyenlet baloldalába a<br />
2<br />
∂v<br />
⎛ v<br />
+ grad ⎜<br />
∂t<br />
⎝ 2<br />
⎞<br />
⎟ −<br />
⎠<br />
1<br />
v × rot v = g − ⋅ grad p<br />
ρ<br />
Összefüggést, az egyenletet Lamb-Gromeko-féle alakját kapjuk.<br />
Ismerve, hogy a földi erıtérre<br />
( g ⋅ z)<br />
g = grad - ,<br />
átrendezve<br />
2<br />
∂v<br />
⎛ p v<br />
+ grad ⎜ g ⋅ z + +<br />
∂t<br />
⎝ ρ 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= v × rot v .<br />
Az utóbbi egyenlet mindkét oldalát egy az 1 és 2 pontok közötti tetszıleges görbe mentén<br />
integrálva, a térerısséggel osztva és átrendezve az alábbi egyenletalakot kapjuk:<br />
2<br />
2<br />
p1<br />
v1<br />
p2<br />
v2<br />
1 ∂v<br />
1<br />
z1<br />
+ + = z2<br />
+ + + ⋅ ⋅ dr<br />
− ⋅ v × v ⋅ dr<br />
g<br />
g g<br />
∫<br />
∂t<br />
g<br />
∫ rot .<br />
γ 2 γ 2<br />
2<br />
1<br />
Vagyis a jobboldal utolsó két tagját leszámítva a jól ismert Bernoulli-egyenletet kaptuk!<br />
A jobboldal utolsó tagjának kiértékelése nehéz, ráadásul ismernünk kellene hozzá a<br />
sebességeloszlást. Az egyenlet viszont alkalmazható e nélkül is, ha ennek a tagnak az értéke<br />
zérus.<br />
2<br />
1<br />
A<br />
v<br />
× rot v ⋅ dr<br />
ún. vegyesszorzat zérus, ha<br />
- v d r , vagyis áramvonal mentén,<br />
- rot v dr<br />
, vagyis örvényvonal mentén,<br />
- rot v = 0 , vagyis potenciálos áramlásban, valamint<br />
- dr a v és rot v vektorok kifeszítette síkba esik.<br />
13
Számszerősítendı lenne még a lokális gyorsulás görbe menti integrálját kifejezı<br />
nempermanens tag, de ha mozgás permanens, akkor értéke zérus. Ne felejtsük el továbbá,<br />
hogy a vizsgált folyadék még mindig súrlódásmentes!<br />
Az Euler-féle hidrodinamikai egyenletben a<br />
( x, y,<br />
z t)<br />
,<br />
( x, y,<br />
z t)<br />
,<br />
( x, y,<br />
z t)<br />
,<br />
( x, y,<br />
z t)<br />
,<br />
p ,<br />
u ,<br />
v ,<br />
w ,<br />
négy ismeretlenünk, és három, egymástól független egyenletünk van, amihez még hozzávéve<br />
a mindezektıl független folytonossági egyenletet, az összesen négy egyenlet határozottá teszi<br />
az áramlási állapot tér-idı leírását.<br />
Az elvi megoldáshoz szükséges még a vizsgálat t 0 kezdı idıpontjában érvényes állapot, mint<br />
kezdeti feltétel, valamint folyadékteret határoló felületek mentén peremfeltételek megadása.<br />
Utóbbira nézve kinematikai feltételként például a v( r) ⋅ grad A ( r) = 0 , vagyis vízzáró<br />
peremmel párhuzamos áramlás, valamint dinamikai peremfeltételként a p = p( r)<br />
nyomásérték<br />
p r = p feltétellel definiálható.<br />
adható meg. Utóbbival a szabadfelszín a ( )<br />
0<br />
14
Viszkózus folyadékok mechanikája<br />
Az ideális folyadék típusú közelítés pl. szőkülı, konfúzor-jellegő, gyorsuló áramlásoknál nem<br />
túl rossz, de lassuló, legtöbb esetben leválásokkal kísért, diffúzor-jellegőeknél már nem<br />
megfelelı.<br />
A viszkozitásból eredı fontos jelenségek:<br />
- a határoló fal nedvesítése, tapadás,<br />
- határréteg-fejlıdés (Prandtl és pl. Kármán Tódor vizsgálta úttörı jelleggel).<br />
A szilárd felületek mentén kialakuló ún. határrétegben fontos a viszkózus súrlódás szerepe,<br />
azon kívül már nem, de ott meg a turbulencia van dominánsan jelen.<br />
A súrlódás hı- és hangképzıdés formájában energia-disszipációt okoz, és ha nincs energiautánpótlás,<br />
a mozgás elıbb-utóbb megáll, aztán a ha elindul az energia-utánpótlás, mozgásba<br />
jön. Fontos, hogy a viszkozitás miatt a folyadék belsejében különbözı irányokban különbözı<br />
lehet a viselkedés, vagyis anizotrópia léphet fel.<br />
Navier-Stokes egyenletek<br />
Elemi, a Descartes-féle koordinátarendszer egy-egy koordináta-irányában dx, dy és dz<br />
élhosszúságú, ρ sőrőségő folyadékhasáb dinamikai (erı)egyensúlyának érvényesülését írjuk<br />
fel az eddigi ismeretek felhasználásával (ahogy azt Szilárdságtanban is tettük).<br />
Elızetesként írjuk fel a Taylor-sorba fejtés elsı három tagját az alábbi két esetre:<br />
2<br />
( x) dx 1 d f ( x)<br />
⎛ dx ⎞ d f<br />
⎛ dx ⎞ 1<br />
f ⎜ x + ⎟ = f ( x)<br />
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + MFT és MRD<br />
2 ⎜ ⎟<br />
,<br />
⎝ 2 ⎠ dx 2 1! dx ⎝ 2 ⎠ 2!<br />
2<br />
2<br />
( x) dx 1 d f ( x)<br />
⎛ dx ⎞ d f<br />
⎛ dx ⎞ 1<br />
f ⎜ x − ⎟ = f ( x)<br />
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + MRT és MRD<br />
2 ⎜ ⎟<br />
,<br />
⎝ 2 ⎠ dx 2 1! dx ⎝ 2 ⎠ 2!<br />
ahol MRT magasabb fokú tagokat, MRD magasabb rendő deriváltakat jelöl. dx → 0 esetén a<br />
magasabb rendő tagok egymás után, fokozatosan elsorvadnak, és megmarad pusztán az elsı<br />
kettı, így az egyensúlyi feltétel felírásához eleve ezeket tartjuk csak meg.<br />
További elızetes megállapítások illetve megállapodások:<br />
- a nyomás mindig pozitív,<br />
- alakváltozásnál (viszkózus normálfeszültségnél) a húzás a pozitív,<br />
- nyírófeszültségnél a pozitív oldalon pozitív irányú a pozitív.<br />
2<br />
15
Elemi hasáb egyensúlyának felírása x-irányba<br />
- az elemi hasáb tömege:<br />
m = ρ ⋅dx<br />
⋅dy<br />
⋅dz<br />
,<br />
- a rá ható tehetetlenségi erıvektor:<br />
dv<br />
du<br />
F<br />
t<br />
= −a⋅m<br />
= − ⋅ ρ ⋅dx<br />
⋅dy<br />
⋅dz<br />
→ Ftx<br />
− ⋅ ρ ⋅dx<br />
⋅dy<br />
⋅dz<br />
,<br />
dt<br />
dt<br />
- Külsı, f(f x , f y , f z ) erısségő tér hatásából származó tömegerı:<br />
f x<br />
⋅ ρ ⋅dx<br />
⋅dy<br />
⋅dz<br />
,<br />
- Hidrodinamikai nyomóerı<br />
∂p<br />
− ⋅dx<br />
⋅dy<br />
⋅dz<br />
,<br />
∂x<br />
- Viszkozitásból származó nyúlás:<br />
16
∂σ<br />
x<br />
∂x<br />
⋅dx<br />
⋅dy<br />
⋅dz<br />
,<br />
- Viszkozitásból származó nyírás:<br />
∂τ<br />
yx<br />
∂y<br />
∂τ<br />
dy ⋅dx<br />
⋅dz<br />
+<br />
∂z<br />
Az erıegyensúly feltétele:<br />
zx<br />
dz ⋅dx<br />
⋅dy<br />
.<br />
du<br />
∂p<br />
0 = − ⋅ ρ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz + f<br />
x<br />
⋅ ρ ⋅ dx ⋅dy<br />
⋅dz<br />
− ⋅ dx ⋅dy<br />
⋅dz<br />
dt<br />
∂x<br />
.<br />
∂σ<br />
∂τ<br />
x<br />
yx<br />
∂τ<br />
zx<br />
+ ⋅dx<br />
⋅dy<br />
⋅ dz + ⋅ dy ⋅ dx ⋅dz<br />
+ ⋅ dz ⋅ dx ⋅ dy<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
Utóbbi egyenletet egységnyi tömegő hasábra vonatkoztatva, és mindhárom irányban analóg<br />
módon fölírva:<br />
du<br />
dt<br />
=<br />
f<br />
x<br />
1 ∂p<br />
1 ∂σ<br />
x<br />
− ⋅ + ⋅<br />
ρ ∂x<br />
ρ ∂x<br />
1 ∂τ<br />
yx<br />
+ ⋅<br />
ρ ∂y<br />
1 ∂τ<br />
+ ⋅<br />
ρ ∂z<br />
zx<br />
,<br />
dv<br />
dt<br />
=<br />
f<br />
y<br />
1 ∂p<br />
1 ∂σ<br />
y<br />
− ⋅ + ⋅<br />
ρ ∂y<br />
ρ ∂y<br />
1 ∂τ<br />
xy<br />
+ ⋅<br />
ρ ∂x<br />
1 ∂τ<br />
zy<br />
+ ⋅<br />
ρ ∂z<br />
,<br />
dw<br />
dt<br />
=<br />
f<br />
z<br />
1 ∂p<br />
1 ∂σ<br />
∂<br />
z<br />
1 τ<br />
yz<br />
− ⋅ + ⋅ + ⋅<br />
ρ ∂z<br />
ρ ∂z<br />
ρ ∂y<br />
1 ∂τ<br />
+ ⋅<br />
ρ ∂x<br />
xz<br />
.<br />
Most beemeljük a viszkózus nyírófeszültség Newton-féle összefüggését:<br />
dv ∗<br />
τ = ρ ⋅ν<br />
⋅ ,<br />
dn<br />
ahol ν a folyadék kinematikai viszkozitási együtthatója, a derivált pedig a v * lokális<br />
sebességre merıleges, normális irányú sebesség-gradiens, amely egyúttal a derékszög<br />
torzulási sebessége is! Ez a törvény tetszıleges irányban alkalmazható, így a korábbi<br />
kinematikai összefüggések alapján<br />
⎛ ∂v<br />
∂u<br />
⎞<br />
τ<br />
xy<br />
= τ<br />
yx<br />
= ρ ⋅ν<br />
⋅2 ⋅γ<br />
z<br />
= ρ ⋅ν<br />
⋅⎜<br />
+ ⎟ ,<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
⎠<br />
⎛ ∂u<br />
∂w<br />
⎞<br />
τ<br />
xz<br />
= τ<br />
zx<br />
= ρ ⋅ν<br />
⋅2 ⋅γ<br />
y<br />
= ρ ⋅ν<br />
⋅⎜<br />
+ ⎟ ,<br />
⎝ ∂z<br />
∂x<br />
⎠<br />
⎛ ∂w<br />
∂v<br />
⎞<br />
τ<br />
yz<br />
= τ<br />
zy<br />
= ρ ⋅ν<br />
⋅ 2 ⋅γ<br />
x<br />
= ρ ⋅ν<br />
⋅⎜<br />
+ ⎟ .<br />
⎝ ∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
17
A nyúlás és szögtorzulás kölcsönös megfeleltetésébıl a húzófeszültségekre levezethetı<br />
továbbá, hogy<br />
∂u<br />
σ<br />
x<br />
= ρ ⋅ν<br />
⋅2⋅<br />
,<br />
∂x<br />
∂v<br />
σ<br />
y<br />
= ρ ⋅ν<br />
⋅2⋅<br />
,<br />
∂y<br />
∂w<br />
σ<br />
z<br />
= ρ ⋅ν<br />
⋅2⋅<br />
.<br />
∂z<br />
Ez utóbbiakat behelyettesítve, x-irányban:<br />
du<br />
dt<br />
=<br />
f<br />
x<br />
2<br />
1 ∂p<br />
∂ u ∂ ⎛ ∂v<br />
∂u<br />
⎞ ∂ ⎛ ∂u<br />
∂w<br />
⎞<br />
− ⋅ + 2⋅ν<br />
⋅ + ν ⋅ ⎜ + ⎟ + ν ⋅ ⎜ + ⎟ ,<br />
2<br />
ρ ∂x<br />
∂x<br />
∂y<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
⎠ ∂z<br />
⎝ ∂z<br />
∂x<br />
⎠<br />
illetve némi célszerő átrendezéssel<br />
du<br />
dt<br />
=<br />
f<br />
x<br />
2 2 2<br />
1 ∂p<br />
⎛ ∂ u ∂ u ∂ u ⎞ ∂ ⎛ ∂u<br />
∂v<br />
∂w<br />
⎞<br />
− ⋅ + ν ⋅⎜<br />
+ + ⎟ + ν ⋅ ⎜ + + ⎟ ,<br />
2 2 2<br />
ρ ∂x<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠ ∂x<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
ahol a jobboldal utolsó tagjánál a zárójelben a sebességvektor divergenciája jelenik, meg,<br />
amely folytonos áramlásban zérus, és amelynek ily módon való elhagyásával kapjuk végül a<br />
Navier-Stokes egyenleteket:<br />
du<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
dw<br />
dt<br />
2 2 2<br />
1 ∂p<br />
⎛ ∂ u ∂ u ∂ u ⎞<br />
− ⋅ + ν ⋅⎜<br />
+ + ⎟ ,<br />
2 2<br />
ρ ∂x<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
= f<br />
x<br />
2<br />
2 2 2<br />
1 ∂p<br />
⎛ ∂ v ∂ v ∂ v ⎞<br />
− ⋅ + ν ⋅⎜<br />
+ + ⎟ ,<br />
2 2<br />
ρ ∂y<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
= f<br />
y<br />
2<br />
f<br />
2 2 2<br />
1 ∂p<br />
⎛ ∂ w ∂ w ∂ w ⎞<br />
− ⋅ + ν ⋅⎜<br />
+ + ⎟ .<br />
2 2<br />
ρ ∂z<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
=<br />
z<br />
2<br />
A Navier-Stokes egyenletek vektoros alakja:<br />
v 2<br />
d 1<br />
= f − ⋅ grad p + ν ⋅∇<br />
dt ρ<br />
v .<br />
Az egyenlet baloldalát, mint teljes deriváltat a már korábban látott módon kifejthetjük lokális<br />
és konvektív gyorsulási tagra, például x-irányban:<br />
18
du<br />
dt<br />
∂u<br />
∂u<br />
∂u<br />
∂u<br />
= + u ⋅ + v ⋅ + w⋅<br />
,<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
amelynek szisztematikus alkalmazásával a Navier-Stokes egyenletek legteljesebben kifejtett<br />
alakja<br />
∂u<br />
∂u<br />
∂u<br />
∂u<br />
+ u ⋅ + v ⋅ + w⋅<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
∂v<br />
∂v<br />
∂v<br />
∂v<br />
+ u ⋅ + v ⋅ + w⋅<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
=<br />
=<br />
f<br />
f<br />
y<br />
x<br />
2 2 2<br />
1 ∂p<br />
⎛ ∂ u ∂ u ∂ u ⎞<br />
− ⋅ + ν ⋅⎜<br />
+ + ⎟ ,<br />
2 2 2<br />
ρ ∂x<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
2 2 2<br />
1 ∂p<br />
⎛ ∂ v ∂ v ∂ v ⎞<br />
− ⋅ + ν ⋅⎜<br />
+ + ⎟ ,<br />
2 2 2<br />
ρ ∂y<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
∂w<br />
∂w<br />
∂w<br />
∂w<br />
+ u ⋅ + v ⋅ + w⋅<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
=<br />
f<br />
z<br />
2 2 2<br />
1 ∂p<br />
⎛ ∂ w ∂ w ∂ w ⎞<br />
− ⋅ + ν ⋅⎜<br />
+ + ⎟ .<br />
2 2 2<br />
ρ ∂z<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
A hidrodinamikai nyomás alakulása viszkózus folyadékban a három koordinátairányban:<br />
p<br />
p<br />
p<br />
x<br />
y<br />
z<br />
∂u<br />
= p −σ x<br />
= p − 2 ⋅ ρ ⋅ν<br />
⋅ ,<br />
∂x<br />
∂v<br />
= p −σ y<br />
= p − 2 ⋅ ρ ⋅ν<br />
⋅ ,<br />
∂y<br />
∂w<br />
= p −σ z<br />
= p − 2 ⋅ ρ ⋅ν<br />
⋅ ,<br />
∂z<br />
tehát a hidrosztatikus viszonyoktól eltérıen függ értéke az iránytól, azonban<br />
p<br />
x<br />
+ p<br />
3<br />
y<br />
+ p<br />
z<br />
=<br />
2 ⎛ ∂u<br />
∂v<br />
∂w<br />
⎞<br />
p − ⋅ ρ ⋅ν<br />
⋅⎜<br />
+ + ⎟ =<br />
3 ⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
p<br />
számtani közepe, a sebességmezı divergencia-mentességébıl következıen, már nem függ. Ez<br />
a P pontban uralkodó p hidrodinamikai nyomás, irány nélkül!<br />
Reynolds egyenletek<br />
A Navier-Stokes egyenletek ugyan elvi megoldást kínálnak az áramlások számszerő<br />
matematikai leírására, de egzakt megoldásuk általános esetre nem ismert, közelítı<br />
megoldásuk pedig még lamináris esetre is komoly numerikus matematikai feladat. A<br />
gyakorlatban az áramlások ráadásul túlnyomórészt turbulensek (a mozgást jellemzı<br />
Reynolds-szám a kritikust meghaladó), és ilyen helyzetekben a Navier-Stokes egyenletek<br />
akárcsak közelítı megoldása is még kezelhetetlenebbekké válik. Ennek a problémának<br />
legalább részbeni áthidalására az egyenleteket speciális, ún. Reynolds-féle idıbeli átlagolási<br />
19
eljárásnak vetjük alá, amellyel persze egyúttal lemondunk az idıbeli változások finomskálájú,<br />
közvetlen leírásáról.<br />
A bevezetett idıbeli átlagolás az x-irányú u sebesség-összetevın mutatjuk be. Alkalmas T<br />
integrálási idıintervallumot választva képezzük a<br />
U<br />
t+<br />
T<br />
1<br />
= ⋅ u τ d<br />
T ∫<br />
t<br />
( ) τ<br />
átlagsebességet, amelynek felhasználásával a pillanatnyi sebesség felírható a<br />
( t) = U + u ( t)<br />
u ′<br />
alakban, mint az idıbeli átlagsebesség és az attól való pillanatnyi (véletlenszerő) eltérés, az<br />
ún. sebesség-pulzációs összetevı összege. Utóbbira értelemszerően igaz, hogy<br />
t+<br />
T<br />
∫<br />
t<br />
u′<br />
( τ ) dτ = 0<br />
.<br />
Bevezetjük továbbá az alábbi, könnyen belátható idıbeli átlagolási szabályokat:<br />
U + u′<br />
= U + u′<br />
= U ,<br />
U ⋅u′<br />
= U ⋅u′<br />
= U ⋅u′<br />
= 0 ,<br />
∂<br />
( U + u′<br />
)<br />
∂t<br />
∂U<br />
=<br />
∂t<br />
∂u′<br />
∂U<br />
+ =<br />
∂t<br />
∂t<br />
∂u′<br />
∂U<br />
+ =<br />
∂t<br />
∂t<br />
,<br />
∂<br />
( U + u′<br />
)<br />
∂x<br />
∂U<br />
=<br />
∂x<br />
∂u′<br />
∂U<br />
+ =<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂u′<br />
∂U<br />
+ =<br />
∂x<br />
∂x<br />
, ebbıl következik az is, hogy<br />
∇<br />
2<br />
2<br />
( U + u′<br />
) = ∇ U<br />
, továbbá hasonlóan a nyomásra, röviden<br />
∂<br />
( P + p′<br />
)<br />
∂x<br />
=<br />
∂P<br />
.<br />
∂x<br />
Fenti szabályok alkalmazásával, az<br />
u = U + u′<br />
, v = V + v′<br />
, w = W + w′<br />
, p = P + p′<br />
behelyettesítésekkel elvégezzük az idıbeli átlagolást. A behelyettesítéssel kapott egyenlet x-<br />
irányban, az idıbeli átlagolás jelölésével:<br />
20
∂<br />
=<br />
( U + u′<br />
)<br />
f<br />
∂t<br />
+<br />
1 ∂<br />
ρ<br />
( U + u′<br />
)<br />
( P + p′<br />
)<br />
∂x<br />
∂<br />
⋅<br />
( U + u′<br />
)<br />
∂x<br />
( U + u )<br />
2<br />
′<br />
x<br />
− ⋅ + ν ⋅∇<br />
Az átlagolás szabályai szerint<br />
+<br />
( V + v′<br />
)<br />
∂<br />
⋅<br />
( U + u′<br />
)<br />
∂y<br />
+<br />
( W + w′<br />
)<br />
∂<br />
⋅<br />
( U + u′<br />
)<br />
∂z<br />
.<br />
∂U<br />
∂t<br />
∂U<br />
+ U ⋅<br />
∂x<br />
∂U<br />
+ V ⋅<br />
∂y<br />
∂U<br />
+ W<br />
∂z<br />
∂u′<br />
∂u′<br />
∂u′<br />
+ u′⋅<br />
+ v′⋅<br />
+ w′⋅<br />
=<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
f<br />
x<br />
1 ∂P<br />
2<br />
− ⋅ + ν ⋅∇ U .<br />
ρ ∂x<br />
A folytonossági egyenletre is elvégezve:<br />
∂<br />
div v = 0 =<br />
( U + u′<br />
) ∂( V + v′<br />
) ∂( W + w′<br />
)<br />
∂x<br />
+<br />
∂y<br />
+<br />
∂z<br />
∂U<br />
=<br />
∂x<br />
∂u′<br />
∂V<br />
+ +<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂v′<br />
∂W<br />
+ +<br />
∂y<br />
∂z<br />
∂w′<br />
+ =<br />
∂z<br />
∂U<br />
=<br />
∂x<br />
∂V<br />
+<br />
∂y<br />
∂W<br />
+<br />
∂z<br />
.<br />
Ez a behelyettesítés utáni, de még átlagolás elıtti folytonossági egyenlet alapján egyúttal azt<br />
is jelenti, hogy<br />
∂u′<br />
∂v′<br />
∂w′<br />
+ + = 0 ,<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
vagyis a divergencia-mentesség a pulzációs tagokra felírva is érvényes.<br />
Utóbbi egyenletet célszerően továbbalakítva, nevezetesen, megszorozva u’-vel is átlagolva:<br />
∂u′<br />
∂v′<br />
∂w′<br />
u ′⋅ + u′⋅<br />
+ u′⋅<br />
= 0 ,<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
Tehát a pulzációs tagokra felírt folytonossági egyenlet idıbeli átlaga is zérus.<br />
A levezetéshez további célszerő összefüggéseket állítunk elı:<br />
∂u′<br />
∂u′<br />
∂u′<br />
u′⋅<br />
+ u′⋅<br />
=<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂x<br />
2<br />
,<br />
∂v′<br />
∂u′<br />
∂u′⋅<br />
v′<br />
u′ ⋅ + v′⋅<br />
= ,<br />
∂y<br />
∂y<br />
∂y<br />
∂w′<br />
∂u′<br />
∂u′⋅<br />
w′<br />
u′ ⋅ + w′⋅<br />
= .<br />
∂z<br />
∂z<br />
∂z<br />
21
Behelyettesítve, és áttéve ıket a jobboldalra:<br />
∂U<br />
∂t<br />
∂U<br />
+ U ⋅<br />
∂x<br />
∂U<br />
+ V ⋅<br />
∂y<br />
∂U<br />
+ W<br />
∂z<br />
=<br />
=<br />
f<br />
x<br />
1 ∂P<br />
∂ ⎛ ∂U<br />
− ⋅ + ⎜ν<br />
⋅<br />
ρ ∂x<br />
∂x<br />
⎝ ∂x<br />
− u′<br />
⎞<br />
⎟ +<br />
⎠<br />
2<br />
∂ ⎛ ∂U<br />
⎜ν<br />
⋅<br />
∂y<br />
⎝ ∂y<br />
⎞ ∂ ⎛ ∂U<br />
− u′⋅v′<br />
⎟ + ⎜ν<br />
⋅<br />
⎠ ∂z<br />
⎝ ∂z<br />
⎞<br />
− u′⋅<br />
w′<br />
⎟<br />
⎠<br />
A sebesség-pulzációból származó új tagok statisztikai értelmezése:<br />
2<br />
u′ : a sebességpulzálás autókovarianciája (szórásnégyzete),<br />
u ′ ⋅v′<br />
és u ′ ⋅ w′<br />
: keresztkovarianciák.<br />
Fontos megjegyezni, hogy addig amíg a pulzációs összetevık idıbeli átlaga zérus, a fenti<br />
statisztikai jellemzıkrıl ez a szórásnégyzetre közismerten egyáltalán nem, és többnyire a<br />
keresztkovarianciákra sem mondható el.<br />
A viszkózus tagokhoz hasonlóan, a folyadéktest feszültségállapotának leírására bevezethetık<br />
az alábbi, ún. turbulens pótfeszültségek:<br />
2<br />
− ρ ⋅u′<br />
= σ xt<br />
,<br />
− ρ ⋅u′⋅v′<br />
= τ ,<br />
xyt<br />
− ρ ⋅u′⋅<br />
w′<br />
= τ .<br />
xzt<br />
Mindezek alapján, a Reynolds egyenletek alakja a három koordinátairányban:<br />
∂U<br />
∂t<br />
∂U<br />
+ U ⋅<br />
∂x<br />
∂U<br />
+ V ⋅<br />
∂y<br />
∂U<br />
+ W<br />
∂z<br />
=<br />
f<br />
x<br />
2<br />
1 ∂P<br />
⎛ ∂ U<br />
− ⋅ + ν ⋅⎜<br />
2<br />
ρ ∂x<br />
⎝ ∂x<br />
2<br />
∂ U<br />
+<br />
2<br />
∂y<br />
2<br />
∂ U ⎞ 1 ⎛ ∂σ<br />
xt<br />
+ ⎟ + ⋅⎜<br />
2<br />
∂z<br />
⎠ ρ ⎝ ∂x<br />
∂τ<br />
+<br />
∂y<br />
xyt<br />
∂τ<br />
+<br />
∂z<br />
xzt<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
22
∂V<br />
∂t<br />
∂V<br />
+ U ⋅<br />
∂x<br />
∂V<br />
+ V ⋅<br />
∂y<br />
∂V<br />
+ W<br />
∂z<br />
=<br />
f<br />
y<br />
2<br />
1 ∂P<br />
⎛ ∂ V<br />
− ⋅ + ν ⋅⎜<br />
2<br />
ρ ∂y<br />
⎝ ∂x<br />
2<br />
∂ V<br />
+<br />
2<br />
∂y<br />
2<br />
∂ V ⎞ 1 ⎛ ∂σ<br />
+ ⎟ + ⋅⎜<br />
2<br />
∂z<br />
⎠ ρ ⎝ ∂y<br />
yt<br />
∂τ<br />
+<br />
∂x<br />
yxt<br />
∂τ<br />
+<br />
∂z<br />
yzt<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
∂W<br />
∂t<br />
∂W<br />
+ U ⋅<br />
∂x<br />
∂W<br />
+ V ⋅<br />
∂y<br />
∂W<br />
+ W<br />
∂z<br />
=<br />
=<br />
f<br />
z<br />
2<br />
1 ∂P<br />
⎛ ∂ W<br />
− ⋅ + ν ⋅⎜<br />
2<br />
ρ ∂z<br />
⎝ ∂x<br />
2<br />
∂ W<br />
+<br />
2<br />
∂y<br />
2<br />
∂ W ⎞ 1 ⎛ ∂σ<br />
zt<br />
+ ⎟ + ⋅⎜<br />
2<br />
∂z<br />
⎠ ρ ⎝ ∂z<br />
∂τ<br />
+<br />
∂x<br />
zxt<br />
∂τ<br />
+<br />
∂y<br />
zyt<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Turbulens áramlásokra tehát felírható az alábbi, Reynolds-féle turbulens pótfeszültség-tenzor:<br />
σ<br />
τ<br />
τ<br />
xt<br />
yxt<br />
zxt<br />
τ<br />
σ<br />
τ<br />
xyt<br />
yt<br />
zyt<br />
τ<br />
τ<br />
σ<br />
xzt<br />
yzt<br />
zt<br />
u′<br />
2<br />
= −ρ<br />
⋅ v′⋅u′<br />
w′⋅u′<br />
u′⋅<br />
v′<br />
v′<br />
2<br />
w′⋅v′<br />
u′⋅<br />
w′<br />
v′⋅<br />
w′<br />
,<br />
w′<br />
2<br />
Ami magát a turbulens áramlást teljes idıbeliségében közvetlenül nem is írja le, de azt nem is<br />
várjuk tıle, hiszen az idıbeli átlagolási stratégia bevezetésével arról már az elején<br />
lemondtunk. Ennek árán viszont a levezetett összefüggések a turbulencia hatását, annak<br />
energiatartalmát (a sebesség-pulzálás szórásnégyzete), illetve energia-disszipálását (a<br />
keresztkovariancia-tagok) írják le. Ezt hasznos látni a kapott formában, de számszerősítése<br />
közvetlenül már csak azért sem lehetséges, mert az ismeretlenjeink száma – kihasználva, hogy<br />
a fenti tenzor szimmetrikus – hattal bıvült. A turbulencia-kutatás ezekre az ismeretlenekre,<br />
különféle egyszerősítésekkel, további, fizikai alapú egyenleteket alkotott annak érdekében,<br />
hogy a folyamatleírást matematikailag határozottá tegye. Mi azonban a továbbiakban nem<br />
ilyen átfogó megoldásra törekszünk, hanem egy speciális esetre, a sík perem mentén teljesen<br />
kifejlıdött turbulens áramlásra, az ún. turbulens határréteg esetére tesszük határozottá, sıt<br />
analitikusan megoldhatóvá a leírást.<br />
A turbulens határréteg hidromechanikai leírása<br />
Sík perem (pl. fal, mederfenék) mentén, azt tekintjük teljesen kifejlıdött áramlási állapotnak,<br />
ha a sebesség már nem változik sem idıben, sem a perem mentén (legyen az áramlás ez az x-<br />
iránya), pusztán a peremre merıleges irányban (ami meg legyen a z-irány). Erre az esetre az<br />
egyszerősített Reynolds egyenlet (elhagyva a feltételekbıl következıen zérus deriváltakat):<br />
1 ∂P<br />
∂ ⎛ ∂U<br />
⎞ 1 ∂P<br />
1 ∂τ<br />
v<br />
1 ∂τ<br />
t<br />
0 = − ⋅ + ⎜ν<br />
⋅ − u′⋅<br />
w′<br />
⎟ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ ,<br />
ρ ∂x<br />
∂z<br />
⎝ ∂z<br />
⎠ ρ ∂x<br />
ρ ∂z<br />
ρ ∂z<br />
23
ahol szétválasztjuk a viszkozitásból illetve a turbulenciából eredı nyírófeszültségeket, és<br />
amibıl, a kettı összegeként az eredı nyírófeszültséget bevezetve a<br />
∂P<br />
∂τ<br />
e<br />
0 = − +<br />
∂x<br />
∂z<br />
egyszerő, kétváltozós differenciálegyenletet kapjuk.<br />
Mivel az egyenletben a nyomás-gradiens csak x függvénye, az eredı nyírófeszültség pedig<br />
csak z-jé, a megoldás létezéséhez mindkettıjük konstans kell, hogy legyen.<br />
Következésképpen maguk a függvények lineárisak x ill. z szerint.<br />
Fenti egyszerősítések mellett a következıkben a gyakran elıforduló, ún. hidraulikailag érdes<br />
perem esetét vizsgáljuk. Rögtön megjegyezzük, hogy a viszkozitásból eredı nyírófeszültség a<br />
turbulenshez képest általában elhanyagolható nagyságú, és különösen az érdes perem esetén.<br />
Turbulens határréteg – keveredési hossz – érdes perem – logaritmikus sebességprofil<br />
Tekintsük az egyszerősítés után megmaradt, egyetlen, így már indexelést sem igénylı<br />
τ = −ρ<br />
⋅u ′⋅ w′<br />
turbulens nyírófeszültséget. Alkalmazzuk továbbá a Prandtl (1925) által bevezetett l, ún.<br />
keveredési hossz fogalmát, ami az a távolság, amin a sebesség u’ mértékő változása<br />
karakterisztikusan bekövetkezhet, vagyis<br />
amibıl<br />
( z) + u′<br />
= U ( z l)<br />
u = U<br />
+ ,<br />
( z + l) −U<br />
( z)<br />
u′ = U<br />
.<br />
Utóbbi egyenletet z mentén Taylor-sorba fejtve, és pusztán az elsı két tagot megtartva<br />
U<br />
vagyis<br />
∂U<br />
+ ,<br />
∂z<br />
( z l) = U( z) + ⋅l<br />
+ MFT és MRD<br />
∂U<br />
∂U<br />
u′ = U ( z) + ⋅l<br />
−U<br />
( z) = ⋅l<br />
.<br />
∂z<br />
∂z<br />
Ezt behelyettesítve a nyírófeszültség képletébe, és alkalmazva az idıbeli átlagolás már<br />
korábban megismert szabályait:<br />
∂U<br />
∂U<br />
τ = −ρ<br />
⋅ ⋅l<br />
⋅ w′<br />
= −ρ<br />
⋅l<br />
⋅ w′⋅<br />
.<br />
∂z<br />
∂z<br />
24
Az elıjeleket és a nagyságrendeket illetıen<br />
vagyis<br />
⎛ ∂U<br />
⎜<br />
⎝ ∂z<br />
⎞<br />
sign( τ ) = sign ⎟ , sign( w′ ) = −sign( l)<br />
, illetve izotrópiát feltételezve ( u ′) = o( w′<br />
)<br />
⎠<br />
o ,<br />
az<br />
∂U<br />
∂U<br />
u′ = ⋅l<br />
és az u ′ = −w′<br />
összefüggésekbıl következıen w′ = − ⋅l<br />
.<br />
∂z<br />
∂z<br />
Ezt a nyírófeszültség legutóbbi képletébe behelyettesítve, és a sőrőséggel osztva a<br />
τ<br />
= −u′⋅<br />
w′<br />
= l<br />
ρ<br />
2⋅<br />
∂U<br />
⋅<br />
∂z<br />
∂U<br />
⋅<br />
∂z<br />
összefüggéshez jutunk, a nyírófeszültséget lényegében a keveredési hossz és az idıátlagolt<br />
sebesség gradiensének négyzetei szorzataként definiálva.<br />
Bevezetjük az ún. csúsztatósebesség fogalmát az alábbiak szerint:<br />
u<br />
∗<br />
=<br />
τ<br />
=<br />
ρ<br />
u′⋅<br />
w′<br />
∂U<br />
= l ⋅<br />
∂z<br />
,<br />
amibıl<br />
τ = ρ ⋅u<br />
és<br />
2<br />
∗<br />
∂U<br />
∂z<br />
=<br />
u∗<br />
.<br />
l<br />
Bevezetjük továbbá azt a közelítést, hogy a keveredési hossz, mint egyfajta szabad úthossz,<br />
lineárisan nı a peremtıl való távolsággal, vagyis<br />
l = κ ⋅ z ,<br />
ahol κ az ún. Kármán-féle állandó, értéke jó pontossággal 0,4.<br />
Ezt felhasználva, a sebesség-gradiensre a<br />
∂U<br />
∂z<br />
u∗<br />
=<br />
κ ⋅ z<br />
elsırendő differenciálegyenlethez jutunk, amit átrendezve (szeparálva a változókat) a<br />
u∗<br />
∂z<br />
∂U<br />
= ⋅<br />
κ z<br />
egyenletet kapjuk, amelynek megoldása<br />
25
u<br />
U +<br />
κ<br />
( z) = ∗ ⋅( ln z C)<br />
.<br />
A peremre vonatkozóan a z 0 ún. érdesség-magasságot, vagyis az érdes peremtıl számított<br />
azon távolságot, ahol az U sebesség még épp zérusnak tekinthetı, bevezetve, és ezt, mint<br />
peremfeltételt alkalmazva<br />
0<br />
u<br />
⋅<br />
κ<br />
( ln z + C)<br />
= ∗ 0<br />
,<br />
a turbulens határréteg sebességprofiljának analitikus megoldása az<br />
U<br />
( z)<br />
u z<br />
⋅ln κ z<br />
= ∗<br />
alakban adódik.<br />
0<br />
26
Turbulens elkeveredés – a lebegtetett hordalék egyensúlyi koncentráció-eloszlása<br />
Mi is keveredik vizeinkben:<br />
- vízrészecske,<br />
- oldott anyag,<br />
- lebegtetett hordalék,<br />
- buborék, olajcsepp stb.<br />
Elkeveredés<br />
- mikro léptékben: molekuláris diffúzió (Brown-mozgás)<br />
- nagyobb léptékben: turbulens diffúzió (a gomolygó, pulzáló vizmozgástól)<br />
Diffúzió: nem-egyensúlyi irreverzibilis folyamat.<br />
Statisztikus mechanikai értelmezés: individuális részecskék szimmetrikus viselkedési<br />
törvényeibıl asszimetrikus globális viselkedési törvények származnak. Részleteket lásd a<br />
Hidraulika II. HEFOP-<strong>jegyzet</strong>ben (tanszéki honlapról letölthetı).<br />
Fick I. törvénye: a diffundáló anyag F tömegfluxusa (egységnyi felületen idıegység alatt<br />
áthaladó tömeg) egyenesen arányos a c koncentráció gradiensével, az arányossági együttható<br />
a D molekuláris diffúziós együttható, mint (hımérséklettıl függı) anyagállandó. Pl.<br />
egydimenziós esetben, a Descartes-féle tér-koordináta rendszer x-tengelyének irányába:<br />
dc<br />
F x<br />
= −D .<br />
dx<br />
Háromdimenziós esetben:<br />
⎛ ∂c<br />
∂c<br />
∂c<br />
⎞<br />
( F , F , F ) = −D<br />
⋅∇c<br />
= −D<br />
⋅⎜<br />
, ⎟<br />
⎠<br />
F<br />
x y z<br />
, .<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
Fick II. törvénye a diffundáló anyag tömegmegmaradását fejezi ki, amely egydimenziós<br />
esetben:<br />
⎛<br />
⎜ F<br />
⎝<br />
x<br />
∂Fx<br />
=<br />
∂x<br />
∂Fx<br />
+<br />
∂x<br />
∆x<br />
⎞<br />
⎛<br />
⋅ ⎟ ⋅ ∆y<br />
⋅ ∆z<br />
⋅ ∆t<br />
− ⎜ F<br />
2 ⎠<br />
⎝<br />
⋅ ∆x<br />
⋅ ∆y<br />
⋅ ∆z<br />
⋅ ∆t<br />
+<br />
x<br />
∂Fx<br />
−<br />
∂x<br />
∆x<br />
⎞ ⋅ ⎟ ⋅ ∆y<br />
⋅ ∆z<br />
⋅ ∆t<br />
+<br />
2 ⎠<br />
[ c( x,<br />
t + ∆t) − c( x,<br />
t)<br />
] ⋅ ∆x<br />
⋅ ∆y<br />
⋅ ∆z<br />
= 0<br />
[ c( x,<br />
t + ∆t) − c( x,<br />
t)<br />
]<br />
⋅ ∆x<br />
⋅ ∆y<br />
⋅ ∆z<br />
∂Fx<br />
∂x<br />
c<br />
+<br />
( x,<br />
t + ∆t) − c( x,<br />
t)<br />
∆t<br />
∂Fx<br />
=<br />
∂x<br />
∆c<br />
+<br />
∆t<br />
= 0<br />
∆t-vel nullához tartva<br />
27
∂F x<br />
∂c<br />
+ = 0 ,<br />
∂x<br />
∂t<br />
amelybe behelyettesítve Fick I. törvényét, a<br />
∂c<br />
∂t<br />
∂Fx<br />
= −<br />
∂x<br />
2<br />
∂ ⎛ ∂c<br />
⎞ ∂ c<br />
= − ⎜−<br />
D ⋅ ⎟ = D ⋅<br />
2<br />
∂x<br />
⎝ ∂x<br />
⎠ ∂x<br />
diffúziós egyenletet kapjuk.<br />
A diffúziós egyenlet térbeli alakja:<br />
∂c<br />
∂t<br />
2 2 2<br />
⎛ ∂ c ∂ c ∂ c ⎞<br />
= D ⋅⎜<br />
+ + ⎟ .<br />
2 2 2<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
Visszatérve az egydimenziós esetre, amennyiben a diffúzió áramló vízben zajlik, vagyis az<br />
anyagot pl. x-irányban az u advekciós sebesség is szállítja, lokálisan<br />
F xa<br />
= u ⋅ c<br />
tömeg-fluxussal. Ezzel<br />
⎛ ∂Fx<br />
∆x<br />
∂<br />
⎜ Fx<br />
+ ⋅ + u ⋅c<br />
+<br />
⎝ ∂x<br />
2 ∂x<br />
( u ⋅c) ∆x<br />
∂F<br />
∆x<br />
∂( u ⋅c)<br />
⋅<br />
2<br />
⎞<br />
⎟⋅<br />
⎠<br />
⎛<br />
∆y<br />
⋅ ∆z<br />
⋅ ∆t<br />
− ⎜ F<br />
⎝<br />
x<br />
x<br />
− ⋅<br />
∂x<br />
2<br />
+ u ⋅c<br />
−<br />
∂x<br />
∆x<br />
⎞ ⋅ ⎟⋅<br />
2 ⎠<br />
∆y<br />
⋅ ∆z<br />
⋅ ∆t<br />
módon bıvül a tömegátadás folyamata. Ebbıl a tömegmegmaradást kifejezı törvény új alakja<br />
( u ⋅c)<br />
⎛ ∂F ⎞<br />
⎜<br />
x<br />
∂<br />
+ ⎟⋅ ∆x<br />
⋅ ∆y<br />
⋅ ∆z<br />
⋅ ∆t<br />
+ [ c( x, t + ∆t) − c( x,<br />
t)<br />
] ⋅ ∆x<br />
⋅ ∆y<br />
⋅ ∆z<br />
= 0 ,<br />
⎝ ∂x<br />
∂x<br />
⎠<br />
és a tovább lépéseket, valamint a határátmenetet is végrehajtva<br />
∂F<br />
∂x<br />
( c ⋅u) c( x,<br />
t + ∆t) − c( x,<br />
t) ∂F<br />
∂( c ⋅u)<br />
∂<br />
+<br />
∂x<br />
+<br />
∆t<br />
=<br />
∂x<br />
+<br />
∂x<br />
∆c<br />
+ = 0<br />
∆t<br />
x x<br />
,<br />
( u ⋅c)<br />
∂F x<br />
∂ ∂c<br />
+ + = 0 ,<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂t<br />
( u ⋅c)<br />
∂c<br />
∂<br />
+<br />
∂t<br />
∂x<br />
2<br />
∂ c<br />
= D ⋅ .<br />
2<br />
∂x<br />
Térbeli advektív diffúziós folyamatra:<br />
∂c<br />
∂<br />
+<br />
∂t<br />
∂x<br />
( u ⋅c) ∂( v ⋅c) ∂( w⋅<br />
c)<br />
+<br />
∂y<br />
+<br />
∂z<br />
2 2 2<br />
⎛ ∂ c ∂ c ∂ c ⎞<br />
= D ⋅⎜<br />
+ + ⎟ .<br />
2 2 2<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
28
Az advektív tagokat a baloldalon kifejtve<br />
∂c<br />
∂c<br />
∂u<br />
∂c<br />
∂v<br />
∂c<br />
∂w<br />
+ u ⋅ + c ⋅ + v ⋅ + c ⋅ + w⋅<br />
+ c ⋅<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂y<br />
∂z<br />
∂z<br />
∂c<br />
∂c<br />
∂c<br />
⎛ ∂u<br />
∂v<br />
= u ⋅ + + v ⋅ + w⋅<br />
+ c ⋅⎜<br />
+ +<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂w<br />
⎞<br />
⎟<br />
∂z<br />
⎠<br />
amelyben a jobboldal zárójeles tagja divergencia-mentes (folytonos) áramlásban zérus. Ebbıl<br />
a nempermanens, térbeli advektív molekuláris diffúzió parciális differenciálegyenlete:<br />
∂c<br />
∂c<br />
∂c<br />
∂c<br />
+ u ⋅ + + v ⋅ + w⋅<br />
∂t<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
2 2 2<br />
⎛ ∂ c ∂ c ∂ c ⎞<br />
= D ⋅⎜<br />
+ + ⎟ .<br />
2 2 2<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
De kritikus Re-szám fölött az áramlás turbulenssé válik, és mind a sebesség-, mind a<br />
koncentrációmezı finom idıfelbontású leírása nehézségekbe ütközik. Hogy ezen segítsünk, a<br />
turbulens áramlások Reynolds-féle egyenletének levezetésénél látottak szerint itt is<br />
végrehajtunk egy célszerő idıbeli átlagolást. Az alkalmazott helyettesítések x-irányú tagokra<br />
bemutatva:<br />
U<br />
t+<br />
1<br />
T ∫<br />
T<br />
= ⋅ u( τ ) dτ<br />
, u ( t) = U + u′<br />
( t)<br />
, u′<br />
( τ ) dτ = 0<br />
t<br />
t+<br />
T<br />
∫<br />
t<br />
,<br />
C<br />
t+<br />
1<br />
T ∫<br />
T<br />
= ⋅ c( τ ) dτ<br />
, c ( t) = C + c′<br />
( t)<br />
, c′<br />
( τ ) dτ = 0<br />
t<br />
Az idıbeli átlagolás szabályát például az advektív tömeg-fluxusra alkalmazva:<br />
t+<br />
T<br />
( U + u′<br />
) ⋅( C + c′<br />
) = U ⋅C<br />
+ u′⋅<br />
c<br />
F xa<br />
= u ⋅c<br />
=<br />
′ ,<br />
és a többi advektív tagra is végrehajtva a<br />
∂C<br />
∂<br />
+<br />
∂t<br />
( U ⋅C) ∂( V ⋅C) ∂( W ⋅C)<br />
∂x<br />
+<br />
egyenlethez jutunk.<br />
∂y<br />
+<br />
∂z<br />
∫<br />
t<br />
.<br />
∂ ⎛ ∂C<br />
⎞ ∂ ⎛ ∂C<br />
⎞ ∂ ⎛ ∂C<br />
⎞<br />
= ⎜ D ⋅ − u′⋅c′<br />
⎟ + ⎜ D ⋅ − v′⋅c′<br />
⎟ + ⎜ D ⋅ − w′⋅<br />
c′<br />
⎟<br />
∂x<br />
⎝ ∂x<br />
⎠ ∂y<br />
⎝ ∂y<br />
⎠ ∂z<br />
⎝ ∂z<br />
⎠<br />
Most hozzuk be az ülepedı lebegtetett hordalékot a rendszerbe (d < 0,1 mm finomságú<br />
szemcse, mert ez tud lebegésbe jönni és maradni), és turbulens advektív diffúziójának<br />
leírásához a w ü ülepedési sebességével kiegészítjük a függıleges advektív tömeg-fluxust.<br />
Fölfelé mutató z-tengely mellett<br />
W<br />
∂C<br />
→ W − wü → Fz<br />
= ( W − wü<br />
) ⋅C<br />
− D ⋅ + w′⋅c′<br />
.<br />
∂x<br />
A pulzálásból eredı turbulens diffúzióhoz képest a molekuláris diffúzió hatását<br />
elhanyagolhatjuk: a részecskék ugyan kicsik, de ahhoz elég nagyok és tehetetlenek, hogy<br />
Brown-mozgást már ne végezzenek.<br />
29
Ahogy az elızıekben a turbulens áramlásra, itt most a lebegtetett hordalék-koncentrációra<br />
tekintsünk egy dinamikus egyensúlyi állapotot, a legegyszerőbb, sík mederfenék-viszonyok<br />
közepette. Ez adott mederanyag-összetétel mellett jó becslést fog adni az egyes vízjárásállapotok<br />
lebegtetett hordalékviszonyaira.<br />
Vízszintes, sík mederben kialakuló permanens, dinamikus egyensúlyi helyzetben a vízszintes<br />
irányú deriváltak eltőnnek, a Reynolds-átlagolt W függıleges sebesség zérus, tehát a turbulens<br />
advektív diffúziós egyenlet a<br />
∂<br />
( − w ü<br />
⋅C) ∂<br />
= ( − w′⋅<br />
c′<br />
)<br />
∂z<br />
∂z<br />
egyváltozós alakra egyszerősödik. Áttérve közönséges deriváltra<br />
( w′⋅<br />
c′<br />
− w ⋅C) = 0<br />
d<br />
ü<br />
,<br />
dz<br />
integrálva z szerint<br />
′ ⋅c′<br />
− w ⋅C<br />
= állandó<br />
w<br />
ü<br />
összefüggést kapjuk a teljes függélyre, pontosabban a z = a és z = h határok között, ahol a a<br />
mederfenéktıl számított azon kis magasság, ahol a hordalék-koncentrációt alkalmas képlettel<br />
jól tudjuk becsülni, h pedig a vízfelszín magassága.<br />
Mivel z = h -nál, vagyis a vízfelszínnél a tömeg-fluxus törvényszerszerően zérus, ebbıl<br />
eredıen az integrálási konstans is zérus, vagyis<br />
w′ ⋅ c′<br />
− wü ⋅C<br />
= 0 ,<br />
ami azt fejezi ki, hogy a turbulens tömegátadás egyensúlyban van az ülepedés<br />
tömegátadásával a teljes függélyben!<br />
A megoldáshoz valamiképpen becsülnünk kell a w ′ ⋅c′<br />
tagot. Ehhez menjünk vissza a<br />
turbulens határréteg-áramláshoz, és fogadjuk el az áramlási állapot jó közelítı leírásának. A<br />
víztestben az eredı nyírófeszültség<br />
τ = τ + τ<br />
e<br />
t<br />
v<br />
≅ τ<br />
t<br />
a turbulens és a viszkózus feszültségek összege, amit a lamináris hártyán és az átmeneti zónán<br />
kívül lényegileg a turbulens feszültség ural. A függélyben a nyírófeszültség a mederfenéktıl<br />
való távolsággal lineárisan csökken:<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ z<br />
τ = τ − 0<br />
1 ⎟ .<br />
⎝ h ⎠<br />
A turbulens határréteg elemzésénél, a keveredési hossz bevezetésével a nyírófeszültség<br />
levezetett összefüggés:<br />
30
τ<br />
= −u′⋅<br />
w′<br />
= l<br />
ρ<br />
2⋅<br />
⋅<br />
dU<br />
dz<br />
dU<br />
⋅<br />
dz<br />
,<br />
a mederfenék közelében a z 0 érdesség-magasságnál pedig, aholis τ = τ<br />
0<br />
, a<br />
τ 0<br />
ρ<br />
dU<br />
== l ⋅ = u<br />
dz<br />
∗<br />
összefüggéssel a fenék-csúsztatósebességet kapjuk. Ebbıl<br />
τ = ρ ⋅u<br />
2<br />
0 ∗<br />
, illetve<br />
amibıl<br />
⎛ ⎞<br />
= ⋅<br />
2 z<br />
τ ρ u∗<br />
⋅ ⎜1<br />
− ⎟ .<br />
⎝ h ⎠<br />
dU<br />
dz<br />
u∗<br />
dU<br />
= , továbbá l = κ ⋅ z , így u∗ = ⋅κ ⋅ z , illetve<br />
l<br />
dz<br />
dU<br />
dz<br />
u<br />
,<br />
κ ⋅ z<br />
=<br />
∗<br />
A turbulens nyírófeszültséget (mint impulzus-fluxust) a molekuláris viszkozitás példájára a<br />
τ = ρ ⋅ν<br />
t<br />
⋅<br />
dU<br />
dz<br />
alakban keresem, a turbulens tömeg-fluxust pedig Fick I. törvényével analóg alakban<br />
keresem:<br />
F z<br />
dU<br />
= −D<br />
⋅<br />
dz<br />
→<br />
F<br />
tz<br />
dC<br />
= w′⋅<br />
c′<br />
= −Dt<br />
⋅ .<br />
dz<br />
Ezeknek megfelelıen átírva az alapegyenletet:<br />
dC<br />
D + wü<br />
⋅C<br />
= 0<br />
dz<br />
t<br />
.<br />
Továbbá, az analógiát az áramlásra is alkalmazva:<br />
dU u∗<br />
⎛ ⎞<br />
= ⋅<br />
2 z<br />
τ = ρ ⋅ν<br />
t<br />
⋅ = ρ ⋅ν<br />
t<br />
⋅ ρ u∗<br />
⋅ ⎜1<br />
− ⎟ ,<br />
dz κ ⋅ z ⎝ h ⎠<br />
amelybıl<br />
ν<br />
κ ⋅ z<br />
= u<br />
⎛ ⋅ ⎜ −<br />
⎝<br />
t<br />
∗<br />
1<br />
z<br />
h<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎠<br />
így végül a turbulens örvényviszkozitási együttható függélymenti leírására a<br />
31
⎛<br />
ν<br />
t = κ ⋅ u∗<br />
⋅ z ⋅ ⎜1<br />
−<br />
⎝<br />
összefüggést kapjuk.<br />
z<br />
h<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Végül a Prandtl-Schmidt analógia alapján, amely szerint az örvényviszkozitási együttható<br />
ismeretében a turbulens örvénydiffúziós együttható a<br />
Dt<br />
= β ⋅ν<br />
t<br />
módon becsülhetı, β ≈ 1 közelítéssel a két együtthatót azonos nagyságúnak feltételezzük.<br />
β ⋅<br />
ν t<br />
dC<br />
dz<br />
+ w<br />
ü<br />
⋅C<br />
= 0<br />
⎛ z ⎞ dC<br />
β ⋅ κ ⋅ u∗ ⋅ z ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ + wü<br />
⋅C<br />
= 0<br />
⎝ h ⎠ dz<br />
wü<br />
β ⋅κ<br />
⋅u<br />
∗<br />
= Z<br />
R<br />
(Rouse-szám)<br />
dC<br />
C ⋅ Z R<br />
+<br />
dz<br />
dC<br />
C<br />
h<br />
∫<br />
a<br />
dC<br />
C<br />
= −Z<br />
R<br />
= −Z<br />
⋅<br />
⋅<br />
z<br />
R<br />
⋅<br />
z<br />
h<br />
⋅<br />
( h − z) = 0<br />
h<br />
⋅<br />
( h − z) dz<br />
h<br />
∫<br />
a<br />
z<br />
h<br />
( h − z) dz<br />
⎛ h − z ⎞<br />
ln C + K = ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ z ⎠<br />
Z R<br />
ln C<br />
a<br />
⎛ h − a ⎞<br />
+ K = ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
Z R<br />
ln C − lnC<br />
a<br />
= ln<br />
C<br />
C<br />
a<br />
Z<br />
⎛ h − z ⎞<br />
= ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ z ⎠<br />
R<br />
Z<br />
⎛ h − a ⎞<br />
− ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
R<br />
⎛ h − z a ⎞<br />
= ln⎜<br />
⋅ ⎟<br />
⎝ z h − a ⎠<br />
Z<br />
R<br />
C<br />
C<br />
a<br />
⎛ h − z a ⎞<br />
= ⎜ ⋅ ⎟<br />
⎝ z h − a ⎠<br />
Z R<br />
32
Jelölések (pl. skalár és vektor) elmagyarázása.<br />
Dr. Józsa János egy. tanár<br />
tárgyfelelıs<br />
Felhasznált irodalom<br />
33