Hidromorfológia jegyzet (PDF)

Hidromorfológia MSc

Hidromechanika
Folyadékok kinematikája
A vízmozgás leírása kinematikai jellemzıkkel
- sebesség,
- gyorsulás,
- örvényesség stb.,
függetlenül a hatóerıktıl.
Lagrange-féle szubsztanciális módszer:
Egy kiszemelt vízrészecske helyzetének leírása a kezdıhelyzet és az idı függvényében:
ebbıl
( r 0
,t)
r = r ,
2
v = dr
dt
, d r
a = .
dt
2
Fıleg elkeveredési és hullámjelenségek leírásánál használjuk.
Euler-féle lokális módszer:
A hely és az idı függvényében adja meg a sebesség eloszlását.
Derékszögő, Descartes-féle koordinátarendszerben:
( r,t)
v = v .
Összenyomható folyadéknál a sőrőséget is hasonlóan meg kéne adni, de leírásunkat
összenyomhatatlan esetekre korlátozzuk (az is épp elég széles terület).
Skaláris alakban, összetevıkként:
( x,
y,
z t)
( x,
y,
z t)
( x,
y,
z t)
v x
≡ u = u , ,
v y
≡ v = v , ,
v z
≡ w = w , .
A továbbiakban az Euler-féle rendszerben vizsgálódunk.
A mozgás permanens (stacionárius, idıben állandó), ha
1

( r) = ⋅i
+ v ⋅ j + ⋅k
v = v u w ,
a Descartes-féle térbeli koordinátarendszer egységvektoraival fölírva.
Az áramlás jellemzı vonalai:
- áramlási vonal (pálya, épp ez a tárgya a Lagrange-féle leírásnak),
- nyomvonal,
- áramvonal,
- folyékony vonal.
Az áramvonal differenciálegyenlete: az a vonal, amelynek elemi dr ívvektora tetszıleges
helyen párhuzamos az ottani sebességvektorral:
dx dy dz
d r v → = = ,
u v w
vagy vektoriálisan
v × d r = 0 ,
kifejtve
i
j
k
( v ⋅ dz − w⋅dy) ⋅i
− ( u ⋅ dz − w⋅dx) ⋅ j + ( u ⋅dy
− v ⋅ ) ⋅ k
u v w = dx ,
dx
dy
dz
Ahol mindenegyes zárójeles kifejezés zérus kell, hogy legyen. Ebbıl ellenırzésként látszik,
hogy például
dx dy
u ⋅ dy − v ⋅dx
= 0 → u ⋅dy
= v ⋅dx
→ = , stb.
u v
További kapcsolódó fogalmak:
- áramvonalak,
- zárt vezérgörbén áthaladó áramvonalak összessége: áramcsı,
- nem zárt vezérgörbén áthaladó áramvonalak összessége: áramfelület,
- vékony áramcsı: áramszál.
- áramlási vonal (pálya),
- zárt vezérgörbén belüli pályák kötege: folyadéksugár,
- vékony folyadéksugár: folyadékszál.
A folytonosság (térfogatmegmaradás) törvénye
2

Áramsőrőség: egységnyi nagyságú felületre esı térfogathozam (a sebesség felületre
merıleges összetevıje):
v ⋅ dA (skaláris szorzat!)
Egy zárt átáramlási felületre vonatkoztatva:
∫
A
v ⋅dA
= 0 .
Gauss-Osztrogradszkij tétele:
Az áramsőrőség felületi integrálja az áramsőrőség (vektortér) divergenciájának térfogati
integráljával egyenlı:
∫
A
∫
v ⋅dA
= div v dV = 0 .
V
Ez utóbbi a kifejezés ugyanis csak akkor zérus, ha az integrandusa zérus, vagyis
∂u
∂v
∂w
div v = ∇⋅ v = + + = 0 .
∂x
∂y
∂z
A folytonosság egy áramcsıben vagy vízfolyásban, permanens állapotban a
Q v ⋅ A = v ⋅ A = ... = v ⋅ A = ... = v ⋅ A állandó ,
=
1 1 2 2
i i
n n
=
legegyszerőbb folytonossági egyenlethez jutunk.
Az elemi folyadékrészecske
- haladási,
- forgási, és
- alakváltozási sebessége.
Mindezeket kombinálva:
- haladó és forgó,
- haladó és alakváltoztató,
- forgó és alakváltoztató, és
- haladó, forgó és alakváltoztató mozgás.
Az egyszerőség kedvéért mindezt az x-y síkban nézzük, abból általánosítjuk térre.
Alakváltozás szétbontása nyúlásra (ill. zsugorodásra) és szögtorzulásra (ahogy azt sziltanban
láthattuk).
3

Egy általános t idıpontban a kiszemelt P ponton keresztül felveszünk két, egymásra
merıleges folyékony vonalat mozgásindikátornak. Figyeljük, hogy elemi dt idı alatt mi
történik azok ξ és η hosszúságú darabjaival.
( x , y ):
[ u( x , y ),
v( x y )]
P : v
,
P
P
P
P
P
P
Ezen pont körül fejtsük Taylor-sorba sebesség-összetevıket, és tartsuk meg pusztán a sor elsı
két tagját:
u
u
∂u
∂x
1
2!
2
( x + ξ y ) = u( x , y ) + ξ ⋅ ⋅ + ξ ⋅ ⋅ + ...
P
1
1!
2
∂ u
∂x
,
P P P
2
∂u
∂y
1
2!
2
( x y + η ) = u( x , y ) + η ⋅ ⋅ + η ⋅ ⋅ + ...
1
1!
2
∂ u
∂y
P, P
P P
2
a. Csak haladás
v = v → u = u,
v = v,
w w .
h h
h
h
=
Elemi elmozdulások:
dx = u ⋅dt, dy = v ⋅dt,
dz = w⋅dt
.
b. Haladás és nyúlás
∂u
∂u
∂v
dξ
= δ
x
⋅ξ
⋅dt
= ξ ⋅ ⋅dt
→ δ
x
= , δ
y
= .
∂x
∂x
∂y
c. Haladás, elfordulás és szögtorzulás
Infinitezimális elmozdulást feltételezve:
dα
≅ tgdα
Átlagos szögsebesség (az x-y síkban, tehát z-irányú forgástengellyel) az elfordulási szögek
idıegységre vett számtani közepe:
ahol
dα
+ dβ
= ωz
,
2⋅dt
∂v
1
d α = ξ ⋅ ⋅ dt ⋅ ,
∂x
ξ
∂u
1
d β = −η
⋅ ⋅ dt ⋅ .
∂y
η
4

Utóbbi negatív elıjelének magyarázata: a balforgást (órával ellentétest) vesszük pozitívnak,
de pozitív sebességváltozás (növekmény) jobbforgást eredményez, így a két elemi
szögelfordulás elıjele szükségképpen ellentétes. Behelyettesítéssel:
dα
+ dβ
=
2⋅
dt
1 ⎛ ∂v
∂u
⎞
⋅⎜
− ⎟ = ωz
,
2 ⎝ ∂x
∂y
⎠
1 ⎛ ∂w
∂v
⎞
⋅⎜
− ⎟ = ωy
,
2 ⎝ ∂y
∂x
⎠
1 ⎛ ∂u
∂w
⎞
⋅⎜
− ⎟ = ωx
.
2 ⎝ ∂z
∂x
⎠
Ezekben az összefüggésekben felismerhetı a v sebességvektor rotációja:
ω =
1
2
⋅ rot v =
1
∇ × v =
2
1
2
i
∂
⋅
∂x
u
j
∂
∂y
v
k
∂
∂z
w
,
Vagyis a szögsebesség-vektor a rotáció-vektor fele.
A szögtorzulási sebesség két, kezdetben derékszöget bezáró folyékony vonal közti,
idıegységre jutó szögváltozás fele:
dα
− dβ
1 ⎛ ∂v
∂u
⎞
γ
z
= = ⋅⎜
+ ⎟ ,
2⋅dt
2 ⎝ ∂x
∂y
⎠
hasonlóan
1 ⎛ ∂u
∂w
⎞
γ
y
= ⋅⎜
+ ⎟ ,
2 ⎝ ∂z
∂x
⎠
1 ⎛ ∂w
∂v
⎞
γ
x
= ⋅⎜
+ ⎟ .
2 ⎝ ∂y
∂z
⎠
Ezek nem vektor-összetevık, hanem az alakváltozási sebességvektor elemei! Mind a
szögsebesség, mind a szögtorzulás 1/idı mértékegységőek.
Értelemszerően, ha pl. dα = dβ, akkor a szögelfordulás zérus.
A sebesség differenciája és az alakváltozási sebesség egy t idıpontban:
( x y,
z) → P′
( x + ξ , y + η z + ς )
P , , ,
5

v ′ = v′
+ v′
+ v′
.
h
f
a
A haladási sebességek megegyeznek:
v ′
h
= v h
.
Az elfordulási sebesség a P pontbeli szögsebesség-vektornak és az elemi helyvektorkülönbségnek
(mint egyfajta sugárnak) a vektoriális szorzata:
i
j
k
( ω ⋅ς
− ω ⋅η) ⋅ i + ( ω ⋅ξ
−ω
⋅ς
) ⋅ j + ( ω ⋅η
− ω ⋅ ) k
ω × d r = ω ω ω =
x
ξ ⋅ .
ξ
x
η
y
ς
z
y
z
Az alakváltozási sebesség pedig a P pontbeli fajlagos megnyúlási sebességek és az elemi
helyvektor-különbség összetevıi alapján, erıs térszemlélettel fölírható.
Összességében a P’ pontbeli sebességvektor összetevıi (vetületei) így az alábbiak:
( ω ⋅ς
−ω
⋅η) + δ ⋅ξ
+ ( γ ⋅ς
+ γ ⋅η)
u ′ = u +
y z x y z
,
( ω ⋅ξ
− ω ⋅ς
) + δ ⋅η
+ ( γ ⋅ξ
+ γ ⋅ς
)
v ′ = v +
z x
y z x
,
( ω ⋅η
− ω ⋅ξ
) + δ ⋅ς
+ ( γ ⋅η
+ γ ⋅ξ
)
w ′ = w +
x y z x y
.
De a P’ pontbeli sebesség a P pontbeli differenciáljával is felírható, mint skalár-vektor
függvény differenciáljai:
d v = du ⋅i
+ dv ⋅ j + dw⋅k
.
Tovább alakítva (behelyettesítve a szögsebesség, a dilatációs sebesség és a szögtorzulási
sebesség összetevık már ismert képleteit):
⎡1
⎛ ∂u
∂w
⎞ 1 ⎛ ∂v
∂u
⎞ ⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎤
⎥ + u 1 v u 1 u w
u′ = u + ⎢ ⋅⎜
− ⎟ ⋅ς
− ⋅⎜
− ⎟ ⋅η
⋅ξ
+ ⎢ ⋅⎜
+ ⎟⋅η
+ ⋅⎜
+ ⎟ ⋅ς
⎥
⎣2
⎝ ∂z
∂x
⎠ 2 ⎝ ∂x
∂y
⎠ ⎦ ∂x
⎣2
⎝ ∂x
∂y
⎠ 2 ⎝ ∂z
∂x
⎠ ⎦
∂u
∂u
∂u
= u + ⋅ξ + ⋅η
+ ⋅ς
= u + du ,
∂x
∂y
∂z
és hasonlóan a másik két összetevıre, vagyis
du = grad u ⋅dr
,
dv = grad v ⋅dr
,
dw = grad w⋅dr
.
z
x
y
6

Vektorosan:
( + du) ⋅ i + ( v + dv) ⋅ j + ( w + ) ⋅k
v′ = u dw .
Tehát a P’ pontbeli eredı sebesség a haladási, forgási és alakváltozási sebességek összege. Ha
ebbıl levonjuk a szilárd testekre is jellemzı haladási és forgási sebességek összegét, vagyis a
1
v + ⋅ rot v × dr
-t,
2
a maradék a tiszta alakváltozási sebesség lesz, vagyis általánosságban
⎛ 1 ⎞ 1
v′
a
= v′
− ⎜ v + ⋅ rot v × dr⎟
= dv
− ⋅ rot v × dr
.
⎝ 2 ⎠ 2
Örvényes és örvénymentes áramlások
Ha két, kezdetben egymásra merıleges folyékony vonal szögelfordulásának (dα + dβ)/2
számtani közepe nem zérus, akkor lokálisan a folyadékrészecskék saját tengelyük körül
forognak, és így örvényes áramlásról beszélünk.
Vagyis az
1
ω = ⋅ rot v ≠ 0 → rot v = ∇ × v ≠ 0
2
rotáció-vektor nem zérus.
Egy adott t idıpillanatban a rot v vektortérre érintılegesen illeszkedı vonalak serege az
örvényvonalak. Vagyis az örvényvonalak elemi dr ívvektora párhuzamos a rotáció-vektorral,
amibıl az örvényvonalak differenciálegyenlet-rendszere:
dx dy dz
dr
rot v → = = .
( rot v) x
( rot v) y
( rot v) z
Ebbıl adódik vektoriálisan, az áramvonalaknál látott módon:
rot v × d r = 0 .
Zárt vezérgörbén áthaladó örvényvonalak összessége az örvénycsı, elemien kicsi méretben
örvényszál. Ha nem zárt a vezérgörbe, akkor örvényfelületrıl beszélünk (ilyen például az
örvénysík).
További megállapítás: a rotáció-vektor és annak fele, az örvényvektor a sebességvektorra (a
forgásnak a síkjára, amiben a sebességvektor fekszik) mindig merıleges, következésképpen
lokálisan az örvényvonal is merıleges lesz a sebességvektorra (és így az áramvonalra is).
7

Az örvényvektor-tér mindig folytonos eloszlású, vagyis divergencia-mentes, mivel (bıvebb
kifejtést szorgalomból el lehet végezni):
⎛ 1 ⎞ ∂ω
∂ω
x y ∂ωz
div ω = div ⎜ ⋅ rot v⎟
= + + = 0 .
⎝ 2 ⎠ ∂x
∂y
∂z
Ha a rotáció-vektor zérus, akkor összetevınként is zérus, és a mozgást örvénymentes, vagis az
elemi vízrészecskék nem végeznek saját tengelyük körül forgómozgást.
Megjegyzendı, hogy ha nagyobb víztömegek forognak a belsejükbe esı közös tengely körül,
az egyúttal még nem jelenti azt, hogy az elemi vízrészecskék is forognak saját tengelyük
körül. Például az ún. kerengı vízmozgás (más szóval forgó) lehet örvénymentes is, de
hétköznapian gyakran mégis örvénynek nevezik. Másrészt, egyenes vonalú mozgás is lehet
örvényes (lásd pl. nyíróréteg). Tehát kerengés és forgás, illetve egyenes vonalú mozgás és
forgásmentesség nem járnak szükségszerően együtt! De a gyakorlatban a viszkózus folyadék
áramlása a falhoz tapadás és a belsı súrlódás miatt általában mindig eleve örvényes, így az
örvénymentesség csupán közelítés, szerencsére számos esetben eléggé jó.
Az örvénymentes áramlás, mint potenciálos áramlás
Örvénymentes esetben található olyan ϕ( r,t)
gradiense:
ϕ = skalártér, amelynek a v sebességvektor-tér a
v =
dϕ
= gradϕ
= ∇ϕ
,
dr
skalárisan összetevınként
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
u = , v = , u = .
∂x
∂y
∂x
Ezt a ϕ( x , y,
z,
t)
helytıl függ: ϕ ( ) = ϕ( x , y,
z)
ϕ = skalárteret sebességpotenciálnak hívjuk. Permanens esetben csak a
r .
A φ = állandó felületek (síkban vonalak) az ún. ekvipotenciális felületek (vonalak), amelyek
mentén tehát a potenciálérték nem változik:
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dϕ = ⋅ dx + ⋅dy
+ ⋅dz
= 0 ,
∂x
∂y
∂z
behelyettesítve
dϕ = u ⋅dx
+ v ⋅dy
+ w⋅dz
= 0 ,
illetve vektorosan
v ⋅d r = 0.
8

Vagyis a sebességvektor merıleges az ekvipotenciális felületre (vonalra), tehát egyúttal az
áramvonal is merıleges rá:
dx dv
u ⋅ dx + v ⋅dy
+ w⋅dz
= 0 → = =
u y
dw
z
Ahogy már korábban megmutattuk, összenyomhatatlan folyadék folytonossági (kontinuitási)
egyenlete (vagyis a térfogat-megmaradás törvénye):
div v = ∇⋅ v = 0,
amelybe a sebességre az örvénymentes mozgásnál érvényes összefüggéseket behelyettesítve a
2
div v = div gradϕ
= ∇⋅∇ϕ
= ∇ ϕ = 0 ,
ún. Laplace egyenletet kapjuk. Skalárisan:
2 2 2
2 ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ
∇ ϕ = + + = 0 ,
2 2 2
∂x
∂y
∂z
ahol a φ potenciálfüggvény mértékegysége hossz a négyzeten per idı (pl. m 2 /s). A rá
merıleges ψ áramfüggvény mértékegysége is ugyanez lesz, amiben a fajlagos vízhozamot
ismerhetjük fel. Ebbıl fentiekhez hasonlóan következik, hogy
2 2 2
2 ∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ
∇ ψ = + + = 0 .
2 2 2
∂x
∂y
∂z
Cirkuláció, örvénytételek
Elemi perdület (dinamikából már ismert): a sebességvektor és az elemi elmozdulás vektor
skaláris szorzata (olyan munka-szerő):
( v) = v ⋅dr
dΓ .
Zárt g görbe mentén vett integrálja a körperdület, vagy cirkuláció:
( ) = ∫ v ⋅
Γ v dr .
g
Ha a sebességeloszlás potenciálos, akkor a
∫
g
v ⋅ dr
=
∫
cirkuláció zérus.
g
dϕ
⋅ dr
= 0
dr
9

A perdületet nem zárt görbe mentén számítva pedig
A
B
A
dϕ
A
v ⋅ dr
= ⋅d
= [ ϕ] B
= ϕ
B
−ϕ
A
,
dr
∫ ∫ r
B
Vagyis az A és B két végpontbeli potenciál különbsége, tehát, nem függ az integrálás
útvonalától.
A sebesség cirkulációjának idıszerinti elsı deriváltja
dΓ
dt
( v)
⎛ dv
⎞
= Γ⎜
⎟ = Γ
⎝ dt ⎠
( a)
a gyorsulás cirkulációját adja.
Ha Γ( a ) = 0
, vagyis a gyorsuláseloszlás potenciálos (látható, hogy a cirkuláció is egy
használható eszköz a potenciálosság megállapítására!), akkor Γ(v) idıben állandó, vagyis
azok a folyadékrészecskék, amelyek örvényes mozgásban voltak, abban is maradnak, amelyek
nem, azok késıbb sem válnak örvényessé! Más szóval, örvénycsövek (szálak) és környezete
között folyadékcsere nincs (legegyszerőbb példaként az a ≡ 0 esetben). Ez Helmholtz I.
örvénytétele (pl. a levegıben megmaradó füstkarikák, vagy az egyenes csıben lévı tóruszörvénycsövek).
Persze a valóságban mindez végül szétdiffundál, molekulárisan lassan,
turbulensen gyorsan.
Felhasználva Stokes tételét, amely kimondja, hogy vektortér zárt görbe menti integrálja
egyenlı a vektortér rotációjának ezen görbe által körülzárt A felület feletti integráljával:
Γ
( v) = ∫ v ⋅dr
= ∫ v ⋅dA
= 2⋅∫
g
A
rot ω⋅dA
,
ahol dA a felületre lokális normálvektora.
A
Megjegyzendı, hogy ez analóg a víz(térfogat)hozammal, mint a sebességvektor-mezı felületi
integráljával (ahogy azt már Hidraulika I-ben tanultuk):
Q
= A
∫ v ⋅ dA
,
ezért örvényhozamnak is szokták nevezni, vagyis
1
1
∫ ω⋅
d A = ∫ rot v ⋅ dA
= Γ( v)
,
2
2
A
A
az örvényhozam tehát a cirkuláció felével egyenlı.
Helmholtz II. örvénytétele
10

Egy örvénycsı bármely keresztmetszetében egy idıpillanatban az örvényhozam azonos,
vagyis a cirkuláció az örvénycsövet övezı bármely g zárt görbe mentén ugyanakkora. Ezt
felhasználva bevezethetı a
1
2
Γ
A
( v)
⊥
= ω
közepes szögsebesség, ahol
és
ω A = állandó .
k
⋅
⊥
k
A
⊥
a g zárt görbe határolta felület ω k normálsíkjára vett vetülete,
Minél szőkebb tehát az örvénycsı (pl. hosszirányú nyúlással keresztirányban minél inkább
kontrahálódik), annál nagyobb a rajta áthaladó folyadék közepes szögsebessége! De végtelen
szögsebesség nem létezhet, ezért örvénycsı (zérus keresztmetszeti felület jelentıen) folyadék
belsejében nem végzıdhet!
11

Ideális folyadékok mechanikája
Ideális folyadék:
- folytonos (kontinuum),
- tökéletesen gördülékeny (súrlódásmentes, nem-viszkózus),
- összenyomhatatlan.
Korábbi tanulmányainkból idézzük fel földi erıtérre alkalmazva az Euler-féle hidrodinamikai
egyenletet:
amibıl
dp = ρ ⋅
dp
dr
⎛ dv
grad ⎜ ,
⎝ dt
⎞
( g − a) ⋅dr
→ = p = ρ ⋅( g − a) = ρ ⋅ g − ⎟ ⎠
dv
dt
1 = g − ⋅grad p .
ρ
A sebességvektor ún. teljes deriváltját kifejtve:
dv
dt
=
∂v
∂v
dr
+ ⋅
∂t
∂r
dt
∂v
∂v
= + ⋅ v ,
∂t
∂r
ahol az elsı tag az a l ún. lokális gyorsulás-, a második (valójában több tagból álló) tag az a c út
menti, ún. konvektív gyorsulásvektor.
Az Euler-féle hidrodinamikai egyenlet Lamb-Gromeko-féle alakja
Célszerő, trükkös átalakításokat végzünk, az alábbiakban a
du
dt
∂u
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
= + ⋅u
+ ⋅v
+ ⋅ w = ⋅
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
x-irányú egyenletre bemutatva.
Vegyük a
∂ ⎛
⎜
∂x
⎝
2
v
2
⎞
⎟
⎠
2 2
∂ ⎛ u + v + w
= ⎜
∂x
⎝ 2
2
⎞ ∂u
∂v
∂w
⎟ = ⋅u
+ ⋅ v + ⋅ w
⎠ ∂x
∂x
∂x
egyenletet, és baloldalát adjuk hozzá, jobboldalát meg vonjuk ki az elızı egyenlet középsı
részébıl:
du
dt
∂u
∂
= +
∂t
∂x
⎛
⎜
⎝
2
v
2
⎞
⎟ +
⎠
⎛ ∂u
∂v
⎞ ⎛ ∂u
∂w
⎞ ∂u
∂
v ⋅⎜
− ⎟ + w⎜
− ⎟ = +
⎝ ∂y
∂x
⎠ ⎝ ∂z
∂x
⎠ ∂t
∂x
⎛
⎜
⎝
2
v
2
⎞
⎟ −
⎠
( rot v) z
− ( rot v) y
12

2
∂u
∂ ⎛ v ⎞
= + ⎜ ⎟ − ( v × rot v) x
.
∂t
∂x
⎝ 2 ⎠
Ez analóg módon felírható a másik két koordinátairányra is. Összevonva, vektoriálisan
dv
dt
2
= ∂v
⎛ v
+ grad ⎜
∂ t ⎝ 2
⎞
⎟ −
⎠
v × rot v .
Ezt beírva az Euler-féle hidrodinamikai egyenlet baloldalába a
2
∂v
⎛ v
+ grad ⎜
∂t
⎝ 2
⎞
⎟ −
⎠
1
v × rot v = g − ⋅ grad p
ρ
Összefüggést, az egyenletet Lamb-Gromeko-féle alakját kapjuk.
Ismerve, hogy a földi erıtérre
( g ⋅ z)
g = grad - ,
átrendezve
2
∂v
⎛ p v
+ grad ⎜ g ⋅ z + +
∂t
⎝ ρ 2
⎞
⎟
⎠
= v × rot v .
Az utóbbi egyenlet mindkét oldalát egy az 1 és 2 pontok közötti tetszıleges görbe mentén
integrálva, a térerısséggel osztva és átrendezve az alábbi egyenletalakot kapjuk:
2
2
p1
v1
p2
v2
1 ∂v
1
z1
+ + = z2
+ + + ⋅ ⋅ dr
− ⋅ v × v ⋅ dr
g
g g
∫
∂t
g
∫ rot .
γ 2 γ 2
2
1
Vagyis a jobboldal utolsó két tagját leszámítva a jól ismert Bernoulli-egyenletet kaptuk!
A jobboldal utolsó tagjának kiértékelése nehéz, ráadásul ismernünk kellene hozzá a
sebességeloszlást. Az egyenlet viszont alkalmazható e nélkül is, ha ennek a tagnak az értéke
zérus.
2
1
A
v
× rot v ⋅ dr
ún. vegyesszorzat zérus, ha
- v d r , vagyis áramvonal mentén,
- rot v dr
, vagyis örvényvonal mentén,
- rot v = 0 , vagyis potenciálos áramlásban, valamint
- dr a v és rot v vektorok kifeszítette síkba esik.
13

Számszerősítendı lenne még a lokális gyorsulás görbe menti integrálját kifejezı
nempermanens tag, de ha mozgás permanens, akkor értéke zérus. Ne felejtsük el továbbá,
hogy a vizsgált folyadék még mindig súrlódásmentes!
Az Euler-féle hidrodinamikai egyenletben a
( x, y,
z t)
,
( x, y,
z t)
,
( x, y,
z t)
,
( x, y,
z t)
,
p ,
u ,
v ,
w ,
négy ismeretlenünk, és három, egymástól független egyenletünk van, amihez még hozzávéve
a mindezektıl független folytonossági egyenletet, az összesen négy egyenlet határozottá teszi
az áramlási állapot tér-idı leírását.
Az elvi megoldáshoz szükséges még a vizsgálat t 0 kezdı idıpontjában érvényes állapot, mint
kezdeti feltétel, valamint folyadékteret határoló felületek mentén peremfeltételek megadása.
Utóbbira nézve kinematikai feltételként például a v( r) ⋅ grad A ( r) = 0 , vagyis vízzáró
peremmel párhuzamos áramlás, valamint dinamikai peremfeltételként a p = p( r)
nyomásérték
p r = p feltétellel definiálható.
adható meg. Utóbbival a szabadfelszín a ( )
0
14

Viszkózus folyadékok mechanikája
Az ideális folyadék típusú közelítés pl. szőkülı, konfúzor-jellegő, gyorsuló áramlásoknál nem
túl rossz, de lassuló, legtöbb esetben leválásokkal kísért, diffúzor-jellegőeknél már nem
megfelelı.
A viszkozitásból eredı fontos jelenségek:
- a határoló fal nedvesítése, tapadás,
- határréteg-fejlıdés (Prandtl és pl. Kármán Tódor vizsgálta úttörı jelleggel).
A szilárd felületek mentén kialakuló ún. határrétegben fontos a viszkózus súrlódás szerepe,
azon kívül már nem, de ott meg a turbulencia van dominánsan jelen.
A súrlódás hı- és hangképzıdés formájában energia-disszipációt okoz, és ha nincs energiautánpótlás,
a mozgás elıbb-utóbb megáll, aztán a ha elindul az energia-utánpótlás, mozgásba
jön. Fontos, hogy a viszkozitás miatt a folyadék belsejében különbözı irányokban különbözı
lehet a viselkedés, vagyis anizotrópia léphet fel.
Navier-Stokes egyenletek
Elemi, a Descartes-féle koordinátarendszer egy-egy koordináta-irányában dx, dy és dz
élhosszúságú, ρ sőrőségő folyadékhasáb dinamikai (erı)egyensúlyának érvényesülését írjuk
fel az eddigi ismeretek felhasználásával (ahogy azt Szilárdságtanban is tettük).
Elızetesként írjuk fel a Taylor-sorba fejtés elsı három tagját az alábbi két esetre:
2
( x) dx 1 d f ( x)
⎛ dx ⎞ d f
⎛ dx ⎞ 1
f ⎜ x + ⎟ = f ( x)
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + MFT és MRD
2 ⎜ ⎟
,
⎝ 2 ⎠ dx 2 1! dx ⎝ 2 ⎠ 2!
2
2
( x) dx 1 d f ( x)
⎛ dx ⎞ d f
⎛ dx ⎞ 1
f ⎜ x − ⎟ = f ( x)
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + MRT és MRD
2 ⎜ ⎟
,
⎝ 2 ⎠ dx 2 1! dx ⎝ 2 ⎠ 2!
ahol MRT magasabb fokú tagokat, MRD magasabb rendő deriváltakat jelöl. dx → 0 esetén a
magasabb rendő tagok egymás után, fokozatosan elsorvadnak, és megmarad pusztán az elsı
kettı, így az egyensúlyi feltétel felírásához eleve ezeket tartjuk csak meg.
További elızetes megállapítások illetve megállapodások:
- a nyomás mindig pozitív,
- alakváltozásnál (viszkózus normálfeszültségnél) a húzás a pozitív,
- nyírófeszültségnél a pozitív oldalon pozitív irányú a pozitív.
2
15

Elemi hasáb egyensúlyának felírása x-irányba
- az elemi hasáb tömege:
m = ρ ⋅dx
⋅dy
⋅dz
,
- a rá ható tehetetlenségi erıvektor:
dv
du
F
t
= −a⋅m
= − ⋅ ρ ⋅dx
⋅dy
⋅dz
→ Ftx
− ⋅ ρ ⋅dx
⋅dy
⋅dz
,
dt
dt
- Külsı, f(f x , f y , f z ) erısségő tér hatásából származó tömegerı:
f x
⋅ ρ ⋅dx
⋅dy
⋅dz
,
- Hidrodinamikai nyomóerı
∂p
− ⋅dx
⋅dy
⋅dz
,
∂x
- Viszkozitásból származó nyúlás:
16

∂σ
x
∂x
⋅dx
⋅dy
⋅dz
,
- Viszkozitásból származó nyírás:
∂τ
yx
∂y
∂τ
dy ⋅dx
⋅dz
+
∂z
Az erıegyensúly feltétele:
zx
dz ⋅dx
⋅dy
.
du
∂p
0 = − ⋅ ρ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz + f
x
⋅ ρ ⋅ dx ⋅dy
⋅dz
− ⋅ dx ⋅dy
⋅dz
dt
∂x
.
∂σ
∂τ
x
yx
∂τ
zx
+ ⋅dx
⋅dy
⋅ dz + ⋅ dy ⋅ dx ⋅dz
+ ⋅ dz ⋅ dx ⋅ dy
∂x
∂y
∂z
Utóbbi egyenletet egységnyi tömegő hasábra vonatkoztatva, és mindhárom irányban analóg
módon fölírva:
du
dt
=
f
x
1 ∂p
1 ∂σ
x
− ⋅ + ⋅
ρ ∂x
ρ ∂x
1 ∂τ
yx
+ ⋅
ρ ∂y
1 ∂τ
+ ⋅
ρ ∂z
zx
,
dv
dt
=
f
y
1 ∂p
1 ∂σ
y
− ⋅ + ⋅
ρ ∂y
ρ ∂y
1 ∂τ
xy
+ ⋅
ρ ∂x
1 ∂τ
zy
+ ⋅
ρ ∂z
,
dw
dt
=
f
z
1 ∂p
1 ∂σ
∂
z
1 τ
yz
− ⋅ + ⋅ + ⋅
ρ ∂z
ρ ∂z
ρ ∂y
1 ∂τ
+ ⋅
ρ ∂x
xz
.
Most beemeljük a viszkózus nyírófeszültség Newton-féle összefüggését:
dv ∗
τ = ρ ⋅ν
⋅ ,
dn
ahol ν a folyadék kinematikai viszkozitási együtthatója, a derivált pedig a v * lokális
sebességre merıleges, normális irányú sebesség-gradiens, amely egyúttal a derékszög
torzulási sebessége is! Ez a törvény tetszıleges irányban alkalmazható, így a korábbi
kinematikai összefüggések alapján
⎛ ∂v
∂u
⎞
τ
xy
= τ
yx
= ρ ⋅ν
⋅2 ⋅γ
z
= ρ ⋅ν
⋅⎜
+ ⎟ ,
⎝ ∂x
∂y
⎠
⎛ ∂u
∂w
⎞
τ
xz
= τ
zx
= ρ ⋅ν
⋅2 ⋅γ
y
= ρ ⋅ν
⋅⎜
+ ⎟ ,
⎝ ∂z
∂x
⎠
⎛ ∂w
∂v
⎞
τ
yz
= τ
zy
= ρ ⋅ν
⋅ 2 ⋅γ
x
= ρ ⋅ν
⋅⎜
+ ⎟ .
⎝ ∂y
∂z
⎠
17

A nyúlás és szögtorzulás kölcsönös megfeleltetésébıl a húzófeszültségekre levezethetı
továbbá, hogy
∂u
σ
x
= ρ ⋅ν
⋅2⋅
,
∂x
∂v
σ
y
= ρ ⋅ν
⋅2⋅
,
∂y
∂w
σ
z
= ρ ⋅ν
⋅2⋅
.
∂z
Ez utóbbiakat behelyettesítve, x-irányban:
du
dt
=
f
x
2
1 ∂p
∂ u ∂ ⎛ ∂v
∂u
⎞ ∂ ⎛ ∂u
∂w
⎞
− ⋅ + 2⋅ν
⋅ + ν ⋅ ⎜ + ⎟ + ν ⋅ ⎜ + ⎟ ,
2
ρ ∂x
∂x
∂y
⎝ ∂x
∂y
⎠ ∂z
⎝ ∂z
∂x
⎠
illetve némi célszerő átrendezéssel
du
dt
=
f
x
2 2 2
1 ∂p
⎛ ∂ u ∂ u ∂ u ⎞ ∂ ⎛ ∂u
∂v
∂w
⎞
− ⋅ + ν ⋅⎜
+ + ⎟ + ν ⋅ ⎜ + + ⎟ ,
2 2 2
ρ ∂x
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠ ∂x
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
ahol a jobboldal utolsó tagjánál a zárójelben a sebességvektor divergenciája jelenik, meg,
amely folytonos áramlásban zérus, és amelynek ily módon való elhagyásával kapjuk végül a
Navier-Stokes egyenleteket:
du
dt
dv
dt
dw
dt
2 2 2
1 ∂p
⎛ ∂ u ∂ u ∂ u ⎞
− ⋅ + ν ⋅⎜
+ + ⎟ ,
2 2
ρ ∂x
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
= f
x
2
2 2 2
1 ∂p
⎛ ∂ v ∂ v ∂ v ⎞
− ⋅ + ν ⋅⎜
+ + ⎟ ,
2 2
ρ ∂y
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
= f
y
2
f
2 2 2
1 ∂p
⎛ ∂ w ∂ w ∂ w ⎞
− ⋅ + ν ⋅⎜
+ + ⎟ .
2 2
ρ ∂z
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
=
z
2
A Navier-Stokes egyenletek vektoros alakja:
v 2
d 1
= f − ⋅ grad p + ν ⋅∇
dt ρ
v .
Az egyenlet baloldalát, mint teljes deriváltat a már korábban látott módon kifejthetjük lokális
és konvektív gyorsulási tagra, például x-irányban:
18

du
dt
∂u
∂u
∂u
∂u
= + u ⋅ + v ⋅ + w⋅
,
∂t
∂x
∂y
∂z
amelynek szisztematikus alkalmazásával a Navier-Stokes egyenletek legteljesebben kifejtett
alakja
∂u
∂u
∂u
∂u
+ u ⋅ + v ⋅ + w⋅
∂t
∂x
∂y
∂z
∂v
∂v
∂v
∂v
+ u ⋅ + v ⋅ + w⋅
∂t
∂x
∂y
∂z
=
=
f
f
y
x
2 2 2
1 ∂p
⎛ ∂ u ∂ u ∂ u ⎞
− ⋅ + ν ⋅⎜
+ + ⎟ ,
2 2 2
ρ ∂x
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
2 2 2
1 ∂p
⎛ ∂ v ∂ v ∂ v ⎞
− ⋅ + ν ⋅⎜
+ + ⎟ ,
2 2 2
ρ ∂y
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
∂w
∂w
∂w
∂w
+ u ⋅ + v ⋅ + w⋅
∂t
∂x
∂y
∂z
=
f
z
2 2 2
1 ∂p
⎛ ∂ w ∂ w ∂ w ⎞
− ⋅ + ν ⋅⎜
+ + ⎟ .
2 2 2
ρ ∂z
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
A hidrodinamikai nyomás alakulása viszkózus folyadékban a három koordinátairányban:
p
p
p
x
y
z
∂u
= p −σ x
= p − 2 ⋅ ρ ⋅ν
⋅ ,
∂x
∂v
= p −σ y
= p − 2 ⋅ ρ ⋅ν
⋅ ,
∂y
∂w
= p −σ z
= p − 2 ⋅ ρ ⋅ν
⋅ ,
∂z
tehát a hidrosztatikus viszonyoktól eltérıen függ értéke az iránytól, azonban
p
x
+ p
3
y
+ p
z
=
2 ⎛ ∂u
∂v
∂w
⎞
p − ⋅ ρ ⋅ν
⋅⎜
+ + ⎟ =
3 ⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
p
számtani közepe, a sebességmezı divergencia-mentességébıl következıen, már nem függ. Ez
a P pontban uralkodó p hidrodinamikai nyomás, irány nélkül!
Reynolds egyenletek
A Navier-Stokes egyenletek ugyan elvi megoldást kínálnak az áramlások számszerő
matematikai leírására, de egzakt megoldásuk általános esetre nem ismert, közelítı
megoldásuk pedig még lamináris esetre is komoly numerikus matematikai feladat. A
gyakorlatban az áramlások ráadásul túlnyomórészt turbulensek (a mozgást jellemzı
Reynolds-szám a kritikust meghaladó), és ilyen helyzetekben a Navier-Stokes egyenletek
akárcsak közelítı megoldása is még kezelhetetlenebbekké válik. Ennek a problémának
legalább részbeni áthidalására az egyenleteket speciális, ún. Reynolds-féle idıbeli átlagolási
19

eljárásnak vetjük alá, amellyel persze egyúttal lemondunk az idıbeli változások finomskálájú,
közvetlen leírásáról.
A bevezetett idıbeli átlagolás az x-irányú u sebesség-összetevın mutatjuk be. Alkalmas T
integrálási idıintervallumot választva képezzük a
U
t+
T
1
= ⋅ u τ d
T ∫
t
( ) τ
átlagsebességet, amelynek felhasználásával a pillanatnyi sebesség felírható a
( t) = U + u ( t)
u ′
alakban, mint az idıbeli átlagsebesség és az attól való pillanatnyi (véletlenszerő) eltérés, az
ún. sebesség-pulzációs összetevı összege. Utóbbira értelemszerően igaz, hogy
t+
T
∫
t
u′
( τ ) dτ = 0
.
Bevezetjük továbbá az alábbi, könnyen belátható idıbeli átlagolási szabályokat:
U + u′
= U + u′
= U ,
U ⋅u′
= U ⋅u′
= U ⋅u′
= 0 ,
∂
( U + u′
)
∂t
∂U
=
∂t
∂u′
∂U
+ =
∂t
∂t
∂u′
∂U
+ =
∂t
∂t
,
∂
( U + u′
)
∂x
∂U
=
∂x
∂u′
∂U
+ =
∂x
∂x
∂u′
∂U
+ =
∂x
∂x
, ebbıl következik az is, hogy
∇
2
2
( U + u′
) = ∇ U
, továbbá hasonlóan a nyomásra, röviden
∂
( P + p′
)
∂x
=
∂P
.
∂x
Fenti szabályok alkalmazásával, az
u = U + u′
, v = V + v′
, w = W + w′
, p = P + p′
behelyettesítésekkel elvégezzük az idıbeli átlagolást. A behelyettesítéssel kapott egyenlet x-
irányban, az idıbeli átlagolás jelölésével:
20

∂
=
( U + u′
)
f
∂t
+
1 ∂
ρ
( U + u′
)
( P + p′
)
∂x
∂
⋅
( U + u′
)
∂x
( U + u )
2
′
x
− ⋅ + ν ⋅∇
Az átlagolás szabályai szerint
+
( V + v′
)
∂
⋅
( U + u′
)
∂y
+
( W + w′
)
∂
⋅
( U + u′
)
∂z
.
∂U
∂t
∂U
+ U ⋅
∂x
∂U
+ V ⋅
∂y
∂U
+ W
∂z
∂u′
∂u′
∂u′
+ u′⋅
+ v′⋅
+ w′⋅
=
∂x
∂y
∂z
f
x
1 ∂P
2
− ⋅ + ν ⋅∇ U .
ρ ∂x
A folytonossági egyenletre is elvégezve:
∂
div v = 0 =
( U + u′
) ∂( V + v′
) ∂( W + w′
)
∂x
+
∂y
+
∂z
∂U
=
∂x
∂u′
∂V
+ +
∂x
∂y
∂v′
∂W
+ +
∂y
∂z
∂w′
+ =
∂z
∂U
=
∂x
∂V
+
∂y
∂W
+
∂z
.
Ez a behelyettesítés utáni, de még átlagolás elıtti folytonossági egyenlet alapján egyúttal azt
is jelenti, hogy
∂u′
∂v′
∂w′
+ + = 0 ,
∂x
∂y
∂z
vagyis a divergencia-mentesség a pulzációs tagokra felírva is érvényes.
Utóbbi egyenletet célszerően továbbalakítva, nevezetesen, megszorozva u’-vel is átlagolva:
∂u′
∂v′
∂w′
u ′⋅ + u′⋅
+ u′⋅
= 0 ,
∂x
∂y
∂z
Tehát a pulzációs tagokra felírt folytonossági egyenlet idıbeli átlaga is zérus.
A levezetéshez további célszerő összefüggéseket állítunk elı:
∂u′
∂u′
∂u′
u′⋅
+ u′⋅
=
∂x
∂x
∂x
2
,
∂v′
∂u′
∂u′⋅
v′
u′ ⋅ + v′⋅
= ,
∂y
∂y
∂y
∂w′
∂u′
∂u′⋅
w′
u′ ⋅ + w′⋅
= .
∂z
∂z
∂z
21

Behelyettesítve, és áttéve ıket a jobboldalra:
∂U
∂t
∂U
+ U ⋅
∂x
∂U
+ V ⋅
∂y
∂U
+ W
∂z
=
=
f
x
1 ∂P
∂ ⎛ ∂U
− ⋅ + ⎜ν
⋅
ρ ∂x
∂x
⎝ ∂x
− u′
⎞
⎟ +
⎠
2
∂ ⎛ ∂U
⎜ν
⋅
∂y
⎝ ∂y
⎞ ∂ ⎛ ∂U
− u′⋅v′
⎟ + ⎜ν
⋅
⎠ ∂z
⎝ ∂z
⎞
− u′⋅
w′
⎟
⎠
A sebesség-pulzációból származó új tagok statisztikai értelmezése:
2
u′ : a sebességpulzálás autókovarianciája (szórásnégyzete),
u ′ ⋅v′
és u ′ ⋅ w′
: keresztkovarianciák.
Fontos megjegyezni, hogy addig amíg a pulzációs összetevık idıbeli átlaga zérus, a fenti
statisztikai jellemzıkrıl ez a szórásnégyzetre közismerten egyáltalán nem, és többnyire a
keresztkovarianciákra sem mondható el.
A viszkózus tagokhoz hasonlóan, a folyadéktest feszültségállapotának leírására bevezethetık
az alábbi, ún. turbulens pótfeszültségek:
2
− ρ ⋅u′
= σ xt
,
− ρ ⋅u′⋅v′
= τ ,
xyt
− ρ ⋅u′⋅
w′
= τ .
xzt
Mindezek alapján, a Reynolds egyenletek alakja a három koordinátairányban:
∂U
∂t
∂U
+ U ⋅
∂x
∂U
+ V ⋅
∂y
∂U
+ W
∂z
=
f
x
2
1 ∂P
⎛ ∂ U
− ⋅ + ν ⋅⎜
2
ρ ∂x
⎝ ∂x
2
∂ U
+
2
∂y
2
∂ U ⎞ 1 ⎛ ∂σ
xt
+ ⎟ + ⋅⎜
2
∂z
⎠ ρ ⎝ ∂x
∂τ
+
∂y
xyt
∂τ
+
∂z
xzt
⎞
⎟
⎠
22

∂V
∂t
∂V
+ U ⋅
∂x
∂V
+ V ⋅
∂y
∂V
+ W
∂z
=
f
y
2
1 ∂P
⎛ ∂ V
− ⋅ + ν ⋅⎜
2
ρ ∂y
⎝ ∂x
2
∂ V
+
2
∂y
2
∂ V ⎞ 1 ⎛ ∂σ
+ ⎟ + ⋅⎜
2
∂z
⎠ ρ ⎝ ∂y
yt
∂τ
+
∂x
yxt
∂τ
+
∂z
yzt
⎞
⎟
⎠
∂W
∂t
∂W
+ U ⋅
∂x
∂W
+ V ⋅
∂y
∂W
+ W
∂z
=
=
f
z
2
1 ∂P
⎛ ∂ W
− ⋅ + ν ⋅⎜
2
ρ ∂z
⎝ ∂x
2
∂ W
+
2
∂y
2
∂ W ⎞ 1 ⎛ ∂σ
zt
+ ⎟ + ⋅⎜
2
∂z
⎠ ρ ⎝ ∂z
∂τ
+
∂x
zxt
∂τ
+
∂y
zyt
⎞
⎟
⎠
Turbulens áramlásokra tehát felírható az alábbi, Reynolds-féle turbulens pótfeszültség-tenzor:
σ
τ
τ
xt
yxt
zxt
τ
σ
τ
xyt
yt
zyt
τ
τ
σ
xzt
yzt
zt
u′
2
= −ρ
⋅ v′⋅u′
w′⋅u′
u′⋅
v′
v′
2
w′⋅v′
u′⋅
w′
v′⋅
w′
,
w′
2
Ami magát a turbulens áramlást teljes idıbeliségében közvetlenül nem is írja le, de azt nem is
várjuk tıle, hiszen az idıbeli átlagolási stratégia bevezetésével arról már az elején
lemondtunk. Ennek árán viszont a levezetett összefüggések a turbulencia hatását, annak
energiatartalmát (a sebesség-pulzálás szórásnégyzete), illetve energia-disszipálását (a
keresztkovariancia-tagok) írják le. Ezt hasznos látni a kapott formában, de számszerősítése
közvetlenül már csak azért sem lehetséges, mert az ismeretlenjeink száma – kihasználva, hogy
a fenti tenzor szimmetrikus – hattal bıvült. A turbulencia-kutatás ezekre az ismeretlenekre,
különféle egyszerősítésekkel, további, fizikai alapú egyenleteket alkotott annak érdekében,
hogy a folyamatleírást matematikailag határozottá tegye. Mi azonban a továbbiakban nem
ilyen átfogó megoldásra törekszünk, hanem egy speciális esetre, a sík perem mentén teljesen
kifejlıdött turbulens áramlásra, az ún. turbulens határréteg esetére tesszük határozottá, sıt
analitikusan megoldhatóvá a leírást.
A turbulens határréteg hidromechanikai leírása
Sík perem (pl. fal, mederfenék) mentén, azt tekintjük teljesen kifejlıdött áramlási állapotnak,
ha a sebesség már nem változik sem idıben, sem a perem mentén (legyen az áramlás ez az x-
iránya), pusztán a peremre merıleges irányban (ami meg legyen a z-irány). Erre az esetre az
egyszerősített Reynolds egyenlet (elhagyva a feltételekbıl következıen zérus deriváltakat):
1 ∂P
∂ ⎛ ∂U
⎞ 1 ∂P
1 ∂τ
v
1 ∂τ
t
0 = − ⋅ + ⎜ν
⋅ − u′⋅
w′
⎟ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ ,
ρ ∂x
∂z
⎝ ∂z
⎠ ρ ∂x
ρ ∂z
ρ ∂z
23

ahol szétválasztjuk a viszkozitásból illetve a turbulenciából eredı nyírófeszültségeket, és
amibıl, a kettı összegeként az eredı nyírófeszültséget bevezetve a
∂P
∂τ
e
0 = − +
∂x
∂z
egyszerő, kétváltozós differenciálegyenletet kapjuk.
Mivel az egyenletben a nyomás-gradiens csak x függvénye, az eredı nyírófeszültség pedig
csak z-jé, a megoldás létezéséhez mindkettıjük konstans kell, hogy legyen.
Következésképpen maguk a függvények lineárisak x ill. z szerint.
Fenti egyszerősítések mellett a következıkben a gyakran elıforduló, ún. hidraulikailag érdes
perem esetét vizsgáljuk. Rögtön megjegyezzük, hogy a viszkozitásból eredı nyírófeszültség a
turbulenshez képest általában elhanyagolható nagyságú, és különösen az érdes perem esetén.
Turbulens határréteg – keveredési hossz – érdes perem – logaritmikus sebességprofil
Tekintsük az egyszerősítés után megmaradt, egyetlen, így már indexelést sem igénylı
τ = −ρ
⋅u ′⋅ w′
turbulens nyírófeszültséget. Alkalmazzuk továbbá a Prandtl (1925) által bevezetett l, ún.
keveredési hossz fogalmát, ami az a távolság, amin a sebesség u’ mértékő változása
karakterisztikusan bekövetkezhet, vagyis
amibıl
( z) + u′
= U ( z l)
u = U
+ ,
( z + l) −U
( z)
u′ = U
.
Utóbbi egyenletet z mentén Taylor-sorba fejtve, és pusztán az elsı két tagot megtartva
U
vagyis
∂U
+ ,
∂z
( z l) = U( z) + ⋅l
+ MFT és MRD
∂U
∂U
u′ = U ( z) + ⋅l
−U
( z) = ⋅l
.
∂z
∂z
Ezt behelyettesítve a nyírófeszültség képletébe, és alkalmazva az idıbeli átlagolás már
korábban megismert szabályait:
∂U
∂U
τ = −ρ
⋅ ⋅l
⋅ w′
= −ρ
⋅l
⋅ w′⋅
.
∂z
∂z
24

Az elıjeleket és a nagyságrendeket illetıen
vagyis
⎛ ∂U
⎜
⎝ ∂z
⎞
sign( τ ) = sign ⎟ , sign( w′ ) = −sign( l)
, illetve izotrópiát feltételezve ( u ′) = o( w′
)
⎠
o ,
az
∂U
∂U
u′ = ⋅l
és az u ′ = −w′
összefüggésekbıl következıen w′ = − ⋅l
.
∂z
∂z
Ezt a nyírófeszültség legutóbbi képletébe behelyettesítve, és a sőrőséggel osztva a
τ
= −u′⋅
w′
= l
ρ
2⋅
∂U
⋅
∂z
∂U
⋅
∂z
összefüggéshez jutunk, a nyírófeszültséget lényegében a keveredési hossz és az idıátlagolt
sebesség gradiensének négyzetei szorzataként definiálva.
Bevezetjük az ún. csúsztatósebesség fogalmát az alábbiak szerint:
u
∗
=
τ
=
ρ
u′⋅
w′
∂U
= l ⋅
∂z
,
amibıl
τ = ρ ⋅u
és
2
∗
∂U
∂z
=
u∗
.
l
Bevezetjük továbbá azt a közelítést, hogy a keveredési hossz, mint egyfajta szabad úthossz,
lineárisan nı a peremtıl való távolsággal, vagyis
l = κ ⋅ z ,
ahol κ az ún. Kármán-féle állandó, értéke jó pontossággal 0,4.
Ezt felhasználva, a sebesség-gradiensre a
∂U
∂z
u∗
=
κ ⋅ z
elsırendő differenciálegyenlethez jutunk, amit átrendezve (szeparálva a változókat) a
u∗
∂z
∂U
= ⋅
κ z
egyenletet kapjuk, amelynek megoldása
25

u
U +
κ
( z) = ∗ ⋅( ln z C)
.
A peremre vonatkozóan a z 0 ún. érdesség-magasságot, vagyis az érdes peremtıl számított
azon távolságot, ahol az U sebesség még épp zérusnak tekinthetı, bevezetve, és ezt, mint
peremfeltételt alkalmazva
0
u
⋅
κ
( ln z + C)
= ∗ 0
,
a turbulens határréteg sebességprofiljának analitikus megoldása az
U
( z)
u z
⋅ln κ z
= ∗
alakban adódik.
0
26

Turbulens elkeveredés – a lebegtetett hordalék egyensúlyi koncentráció-eloszlása
Mi is keveredik vizeinkben:
- vízrészecske,
- oldott anyag,
- lebegtetett hordalék,
- buborék, olajcsepp stb.
Elkeveredés
- mikro léptékben: molekuláris diffúzió (Brown-mozgás)
- nagyobb léptékben: turbulens diffúzió (a gomolygó, pulzáló vizmozgástól)
Diffúzió: nem-egyensúlyi irreverzibilis folyamat.
Statisztikus mechanikai értelmezés: individuális részecskék szimmetrikus viselkedési
törvényeibıl asszimetrikus globális viselkedési törvények származnak. Részleteket lásd a
Hidraulika II. HEFOP-jegyzetben (tanszéki honlapról letölthetı).
Fick I. törvénye: a diffundáló anyag F tömegfluxusa (egységnyi felületen idıegység alatt
áthaladó tömeg) egyenesen arányos a c koncentráció gradiensével, az arányossági együttható
a D molekuláris diffúziós együttható, mint (hımérséklettıl függı) anyagállandó. Pl.
egydimenziós esetben, a Descartes-féle tér-koordináta rendszer x-tengelyének irányába:
dc
F x
= −D .
dx
Háromdimenziós esetben:
⎛ ∂c
∂c
∂c
⎞
( F , F , F ) = −D
⋅∇c
= −D
⋅⎜
, ⎟
⎠
F
x y z
, .
⎝ ∂x
∂y
∂z
Fick II. törvénye a diffundáló anyag tömegmegmaradását fejezi ki, amely egydimenziós
esetben:
⎛
⎜ F
⎝
x
∂Fx
=
∂x
∂Fx
+
∂x
∆x
⎞
⎛
⋅ ⎟ ⋅ ∆y
⋅ ∆z
⋅ ∆t
− ⎜ F
2 ⎠
⎝
⋅ ∆x
⋅ ∆y
⋅ ∆z
⋅ ∆t
+
x
∂Fx
−
∂x
∆x
⎞ ⋅ ⎟ ⋅ ∆y
⋅ ∆z
⋅ ∆t
+
2 ⎠
[ c( x,
t + ∆t) − c( x,
t)
] ⋅ ∆x
⋅ ∆y
⋅ ∆z
= 0
[ c( x,
t + ∆t) − c( x,
t)
]
⋅ ∆x
⋅ ∆y
⋅ ∆z
∂Fx
∂x
c
+
( x,
t + ∆t) − c( x,
t)
∆t
∂Fx
=
∂x
∆c
+
∆t
= 0
∆t-vel nullához tartva
27

∂F x
∂c
+ = 0 ,
∂x
∂t
amelybe behelyettesítve Fick I. törvényét, a
∂c
∂t
∂Fx
= −
∂x
2
∂ ⎛ ∂c
⎞ ∂ c
= − ⎜−
D ⋅ ⎟ = D ⋅
2
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂x
diffúziós egyenletet kapjuk.
A diffúziós egyenlet térbeli alakja:
∂c
∂t
2 2 2
⎛ ∂ c ∂ c ∂ c ⎞
= D ⋅⎜
+ + ⎟ .
2 2 2
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
Visszatérve az egydimenziós esetre, amennyiben a diffúzió áramló vízben zajlik, vagyis az
anyagot pl. x-irányban az u advekciós sebesség is szállítja, lokálisan
F xa
= u ⋅ c
tömeg-fluxussal. Ezzel
⎛ ∂Fx
∆x
∂
⎜ Fx
+ ⋅ + u ⋅c
+
⎝ ∂x
2 ∂x
( u ⋅c) ∆x
∂F
∆x
∂( u ⋅c)
⋅
2
⎞
⎟⋅
⎠
⎛
∆y
⋅ ∆z
⋅ ∆t
− ⎜ F
⎝
x
x
− ⋅
∂x
2
+ u ⋅c
−
∂x
∆x
⎞ ⋅ ⎟⋅
2 ⎠
∆y
⋅ ∆z
⋅ ∆t
módon bıvül a tömegátadás folyamata. Ebbıl a tömegmegmaradást kifejezı törvény új alakja
( u ⋅c)
⎛ ∂F ⎞
⎜
x
∂
+ ⎟⋅ ∆x
⋅ ∆y
⋅ ∆z
⋅ ∆t
+ [ c( x, t + ∆t) − c( x,
t)
] ⋅ ∆x
⋅ ∆y
⋅ ∆z
= 0 ,
⎝ ∂x
∂x
⎠
és a tovább lépéseket, valamint a határátmenetet is végrehajtva
∂F
∂x
( c ⋅u) c( x,
t + ∆t) − c( x,
t) ∂F
∂( c ⋅u)
∂
+
∂x
+
∆t
=
∂x
+
∂x
∆c
+ = 0
∆t
x x
,
( u ⋅c)
∂F x
∂ ∂c
+ + = 0 ,
∂x
∂x
∂t
( u ⋅c)
∂c
∂
+
∂t
∂x
2
∂ c
= D ⋅ .
2
∂x
Térbeli advektív diffúziós folyamatra:
∂c
∂
+
∂t
∂x
( u ⋅c) ∂( v ⋅c) ∂( w⋅
c)
+
∂y
+
∂z
2 2 2
⎛ ∂ c ∂ c ∂ c ⎞
= D ⋅⎜
+ + ⎟ .
2 2 2
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
28

Az advektív tagokat a baloldalon kifejtve
∂c
∂c
∂u
∂c
∂v
∂c
∂w
+ u ⋅ + c ⋅ + v ⋅ + c ⋅ + w⋅
+ c ⋅
∂t
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂c
∂c
∂c
⎛ ∂u
∂v
= u ⋅ + + v ⋅ + w⋅
+ c ⋅⎜
+ +
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂x
∂y
∂w
⎞
⎟
∂z
⎠
amelyben a jobboldal zárójeles tagja divergencia-mentes (folytonos) áramlásban zérus. Ebbıl
a nempermanens, térbeli advektív molekuláris diffúzió parciális differenciálegyenlete:
∂c
∂c
∂c
∂c
+ u ⋅ + + v ⋅ + w⋅
∂t
∂x
∂y
∂z
2 2 2
⎛ ∂ c ∂ c ∂ c ⎞
= D ⋅⎜
+ + ⎟ .
2 2 2
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
De kritikus Re-szám fölött az áramlás turbulenssé válik, és mind a sebesség-, mind a
koncentrációmezı finom idıfelbontású leírása nehézségekbe ütközik. Hogy ezen segítsünk, a
turbulens áramlások Reynolds-féle egyenletének levezetésénél látottak szerint itt is
végrehajtunk egy célszerő idıbeli átlagolást. Az alkalmazott helyettesítések x-irányú tagokra
bemutatva:
U
t+
1
T ∫
T
= ⋅ u( τ ) dτ
, u ( t) = U + u′
( t)
, u′
( τ ) dτ = 0
t
t+
T
∫
t
,
C
t+
1
T ∫
T
= ⋅ c( τ ) dτ
, c ( t) = C + c′
( t)
, c′
( τ ) dτ = 0
t
Az idıbeli átlagolás szabályát például az advektív tömeg-fluxusra alkalmazva:
t+
T
( U + u′
) ⋅( C + c′
) = U ⋅C
+ u′⋅
c
F xa
= u ⋅c
=
′ ,
és a többi advektív tagra is végrehajtva a
∂C
∂
+
∂t
( U ⋅C) ∂( V ⋅C) ∂( W ⋅C)
∂x
+
egyenlethez jutunk.
∂y
+
∂z
∫
t
.
∂ ⎛ ∂C
⎞ ∂ ⎛ ∂C
⎞ ∂ ⎛ ∂C
⎞
= ⎜ D ⋅ − u′⋅c′
⎟ + ⎜ D ⋅ − v′⋅c′
⎟ + ⎜ D ⋅ − w′⋅
c′
⎟
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂y
⎝ ∂y
⎠ ∂z
⎝ ∂z
⎠
Most hozzuk be az ülepedı lebegtetett hordalékot a rendszerbe (d < 0,1 mm finomságú
szemcse, mert ez tud lebegésbe jönni és maradni), és turbulens advektív diffúziójának
leírásához a w ü ülepedési sebességével kiegészítjük a függıleges advektív tömeg-fluxust.
Fölfelé mutató z-tengely mellett
W
∂C
→ W − wü → Fz
= ( W − wü
) ⋅C
− D ⋅ + w′⋅c′
.
∂x
A pulzálásból eredı turbulens diffúzióhoz képest a molekuláris diffúzió hatását
elhanyagolhatjuk: a részecskék ugyan kicsik, de ahhoz elég nagyok és tehetetlenek, hogy
Brown-mozgást már ne végezzenek.
29

Ahogy az elızıekben a turbulens áramlásra, itt most a lebegtetett hordalék-koncentrációra
tekintsünk egy dinamikus egyensúlyi állapotot, a legegyszerőbb, sík mederfenék-viszonyok
közepette. Ez adott mederanyag-összetétel mellett jó becslést fog adni az egyes vízjárásállapotok
lebegtetett hordalékviszonyaira.
Vízszintes, sík mederben kialakuló permanens, dinamikus egyensúlyi helyzetben a vízszintes
irányú deriváltak eltőnnek, a Reynolds-átlagolt W függıleges sebesség zérus, tehát a turbulens
advektív diffúziós egyenlet a
∂
( − w ü
⋅C) ∂
= ( − w′⋅
c′
)
∂z
∂z
egyváltozós alakra egyszerősödik. Áttérve közönséges deriváltra
( w′⋅
c′
− w ⋅C) = 0
d
ü
,
dz
integrálva z szerint
′ ⋅c′
− w ⋅C
= állandó
w
ü
összefüggést kapjuk a teljes függélyre, pontosabban a z = a és z = h határok között, ahol a a
mederfenéktıl számított azon kis magasság, ahol a hordalék-koncentrációt alkalmas képlettel
jól tudjuk becsülni, h pedig a vízfelszín magassága.
Mivel z = h -nál, vagyis a vízfelszínnél a tömeg-fluxus törvényszerszerően zérus, ebbıl
eredıen az integrálási konstans is zérus, vagyis
w′ ⋅ c′
− wü ⋅C
= 0 ,
ami azt fejezi ki, hogy a turbulens tömegátadás egyensúlyban van az ülepedés
tömegátadásával a teljes függélyben!
A megoldáshoz valamiképpen becsülnünk kell a w ′ ⋅c′
tagot. Ehhez menjünk vissza a
turbulens határréteg-áramláshoz, és fogadjuk el az áramlási állapot jó közelítı leírásának. A
víztestben az eredı nyírófeszültség
τ = τ + τ
e
t
v
≅ τ
t
a turbulens és a viszkózus feszültségek összege, amit a lamináris hártyán és az átmeneti zónán
kívül lényegileg a turbulens feszültség ural. A függélyben a nyírófeszültség a mederfenéktıl
való távolsággal lineárisan csökken:
⎞
⎜
⎛ z
τ = τ − 0
1 ⎟ .
⎝ h ⎠
A turbulens határréteg elemzésénél, a keveredési hossz bevezetésével a nyírófeszültség
levezetett összefüggés:
30

τ
= −u′⋅
w′
= l
ρ
2⋅
⋅
dU
dz
dU
⋅
dz
,
a mederfenék közelében a z 0 érdesség-magasságnál pedig, aholis τ = τ
0
, a
τ 0
ρ
dU
== l ⋅ = u
dz
∗
összefüggéssel a fenék-csúsztatósebességet kapjuk. Ebbıl
τ = ρ ⋅u
2
0 ∗
, illetve
amibıl
⎛ ⎞
= ⋅
2 z
τ ρ u∗
⋅ ⎜1
− ⎟ .
⎝ h ⎠
dU
dz
u∗
dU
= , továbbá l = κ ⋅ z , így u∗ = ⋅κ ⋅ z , illetve
l
dz
dU
dz
u
,
κ ⋅ z
=
∗
A turbulens nyírófeszültséget (mint impulzus-fluxust) a molekuláris viszkozitás példájára a
τ = ρ ⋅ν
t
⋅
dU
dz
alakban keresem, a turbulens tömeg-fluxust pedig Fick I. törvényével analóg alakban
keresem:
F z
dU
= −D
⋅
dz
→
F
tz
dC
= w′⋅
c′
= −Dt
⋅ .
dz
Ezeknek megfelelıen átírva az alapegyenletet:
dC
D + wü
⋅C
= 0
dz
t
.
Továbbá, az analógiát az áramlásra is alkalmazva:
dU u∗
⎛ ⎞
= ⋅
2 z
τ = ρ ⋅ν
t
⋅ = ρ ⋅ν
t
⋅ ρ u∗
⋅ ⎜1
− ⎟ ,
dz κ ⋅ z ⎝ h ⎠
amelybıl
ν
κ ⋅ z
= u
⎛ ⋅ ⎜ −
⎝
t
∗
1
z
h
⎞
⎟ ,
⎠
így végül a turbulens örvényviszkozitási együttható függélymenti leírására a
31

⎛
ν
t = κ ⋅ u∗
⋅ z ⋅ ⎜1
−
⎝
összefüggést kapjuk.
z
h
⎞
⎟
⎠
Végül a Prandtl-Schmidt analógia alapján, amely szerint az örvényviszkozitási együttható
ismeretében a turbulens örvénydiffúziós együttható a
Dt
= β ⋅ν
t
módon becsülhetı, β ≈ 1 közelítéssel a két együtthatót azonos nagyságúnak feltételezzük.
β ⋅
ν t
dC
dz
+ w
ü
⋅C
= 0
⎛ z ⎞ dC
β ⋅ κ ⋅ u∗ ⋅ z ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ + wü
⋅C
= 0
⎝ h ⎠ dz
wü
β ⋅κ
⋅u
∗
= Z
R
(Rouse-szám)
dC
C ⋅ Z R
+
dz
dC
C
h
∫
a
dC
C
= −Z
R
= −Z
⋅
⋅
z
R
⋅
z
h
⋅
( h − z) = 0
h
⋅
( h − z) dz
h
∫
a
z
h
( h − z) dz
⎛ h − z ⎞
ln C + K = ln⎜
⎟
⎝ z ⎠
Z R
ln C
a
⎛ h − a ⎞
+ K = ln⎜
⎟
⎝ a ⎠
Z R
ln C − lnC
a
= ln
C
C
a
Z
⎛ h − z ⎞
= ln⎜
⎟
⎝ z ⎠
R
Z
⎛ h − a ⎞
− ln⎜
⎟
⎝ a ⎠
R
⎛ h − z a ⎞
= ln⎜
⋅ ⎟
⎝ z h − a ⎠
Z
R
C
C
a
⎛ h − z a ⎞
= ⎜ ⋅ ⎟
⎝ z h − a ⎠
Z R
32

Jelölések (pl. skalár és vektor) elmagyarázása.
Dr. Józsa János egy. tanár
tárgyfelelıs
Felhasznált irodalom
33