I. DERIVÁLÁS 1. Definíció: x→f(x) függvény deriváltja az x helyen: h ...

I. DERIVÁLÁS
1. Definíció: x→f(x) függvény deriváltja az x helyen:
f ′(
x)
= lim
h→0
f ( x + h)
−
h
f ( x)
y
szelı meredeksége
h→0
y
érintı meredeksége
f(x+h)-f(x)
x x+h x
x h→0 x
A függvény ÉT-ának pontjaihoz az adott pontbeli érintık meredekségét rendelve kapjuk a
deriváltfüggvényt.
Jelölés:
df ( x)
f ′( x)
=
dx
2. Néhány elemi fv. deriváltja:
f f’ pl.
c (konstans) 0 8’=0
x n (n tetszıleges) nx n-1 (x 5 )’=5x 4 , (x -3 )’=-3x -4
e x
3. Deriválási szabályok példákkal:
e x
lnx 1/x
sinx
cosx
cosx
-sinx
(cf)’=c(f)’ konstans kihozható a deriválás elé pl. (5x 2 )’=5(x 2 )’=5·2x
(f ± g)’=f’ ± g’ összeg, különbség deriválása tagonként pl. (x 3 +x 4 )’=(x 3 )’+(x 4 )’=3x 2 +4x 3
(f·g)’=f’g+fg’ szorzat deriválása pl. ((2x+1)x 2 )’=(2x+1)’x 2 +(2x+1)(x 2 )’=2x 2 +(2x+1)2x
f ' g −
(f/g)’=
2
g
fg'
hányados deriválása pl.
′
⎛ 2x
+ 1⎞
(2x
+ 1)'(3x
−1)
− (2x
+ 1)(3x
−1)'
2(3x
−1)
− (2x
+ 1)3
⎜ ⎟ =
=
2
2
⎝ 3x
−1⎠
(3x
−1)
(3x
−1)
(f◦g)’=(f’◦g)g’ összetett függvény deriválásakor az alapderiválást elvégezve a belsı fv.
deriváltjával szorzunk pl.
((2x-5) 3 )’=3(2x-5)
2·(2x-5)’=3(2x-5)
2·2
0,5 0,5
( e − x )' = e
− x ⋅ ( −0,5)
, (sin 3x)'
= 3cos3x
4. Kiegészítések:
df ( t)
• Az idı szerinti deriválás a fizikában kitüntetett, ponttal jelöljük: f’(t)= = f&
.
dt
2
d f
• Második derivált: f’’(t)= = & f
.
2
dt
• Parciális derivált: a függvény többváltozós, és az egyik változója szerint deriválunk
(ilyenkor a többi változót paraméterként kezelve végezzük a deriválást).
1

Jelölés:
∂ f ( x,
y,
z)
∂x
2 2
3
∂(5x + 3y
zx − 6y
+ 8x
− 2)
pl: = 10x+3y 2 z+8
∂x
5. Alkalmazás:
• Szélsıértékfeladatok megoldásánál: ahol a derivált 0-val egyenlı, ott a fv-nek
lokális szélsıértéke van.
• Út-idı, sebesség-idı, gyorsulás-idı függvények közötti kapcsolat:
v(t)= s& (t) a(t)= v &( t)
= & s
( t)
Pl. egyenletesen változó mozgás
Harmonikus rezgımozgás
s(t)=v o t+ 2
a t
2
s(t)=Asin(ωt)
v(t)=v o +at
a=áll.
v(t)=Aωcos(ωt)
a(t)=- Aω 2 sin(ωt)
II. INTEGRÁLÁS A deriválás inverz mővelete, jelentése a görbe alatti terület.
1. Definíció:
dF ( x)
Az F(x) fv. a f(x) fv. integrálja, ha f(x)= =F’(x)
d(
x)
Jelölése: ∫ f ( x)
dx = F(
x)
ahol F(x) a határozatlan integrál vagy primitívfüggvény
Ha F(x) primitívfv., akkor F(x)+c is az, mivel konstans deriváltja 0.
2. Néhány elemi fv. primitívfv-e:
f ∫ f pl.
c (konstans) cx
∫ 8 dx =8x
x n + 1
(n ≠ -1) x n 6
5 x
n + 1
∫ x dx =
6
1/x lnx
e x
sinx
cosx
e x
-cosx
sinx
3. Integrálási szabályok:
= c f
∫cf ∫
∫(
f g)
= ∫ f ± ∫
4. Határozott integrál:
b
a
∫ f = −∫
a
b
∫
a
b
f
± g
f = F( b)
− F(
a)
(Newton-Leibniz formula)
5. Példa:
3 2
2
x x
∫ ( x − 3x
+ 2) dx = − 3 + 2x
+c
3 2
5
∫
2
( x
2
3 2
⎡ x x ⎤
− 3x
+ 2) dx = ⎢ − 3 + 2x
3 2
⎥
⎣
⎦
5
2
f(x)
3 2
3
⎛ 5 5 ⎞ ⎛ 2
=
⎜ − 3 + 2 ⋅5
−
3 2
⎟
⎜
⎝
⎠ ⎝ 3
a b x
2
2 ⎞
− 3 + 2 ⋅ 2 = 13,5
2
⎟
⎠
2