Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

94
Behelyettesítve, majd megoldva az egyenletet
amiből b ≈ 8, 38 m.
2, 5 2 + 8 2 = b 2
6, 25 + 64 = b 2
70, 25 = b 2 ,
11. Egy téglalap alakú kultúrterem hosszúsága 10 m-e nagyobb a szélességénél. Ha a terem
minden oldalát megnöveljük 1 m-rel, akkor területe 24 m 2 -rel lesz nagyobb. Mekkorák
voltak eredetileg az oldalak?
megoldás:
Jelöljük az eredeti hosszúságot a-val, az eredeti szélességet b-vel. Ekkor a = b + 10. Ezt az
összefüggést behelyettesítve a megnövelt oldalakkal alkotott terület kifejezésébe:
amiből
(a + 1)(b + 1) = ab + 24,
(b + 11)(b + 1) = (b + 10)b + 24.
Felbontva a zárójeleket, majd rendezve az egyenletet
b 2 + 11b + b + 11 = b 2 + 10b + 24
12b + 11 = 10b + 24
2b = 13
b = 6, 5 m.
Ezt behelyettesítve a = b + 10 = 6, 5 + 10 = 16, 5 m.
12. Egy derékszögű háromszög kerülete 60 cm, területe 150 cm 2 . Mekkorák az oldalai?
megoldás:
A derékszögű háromszög befogóit a-val és b-vel jelöljük, az átfogót c-vel. Ekkor a feltételek,
valamint a Pitagorasz-tétel szerint
a + b + c = 60
ab
2 = 150
a 2 + b 2 = c 2 .
Az első egyenletből fejezzük ki a c-t, amit helyettesítsünk be a harmadik egyenletbe. Ekkor
az új harmadik egyenlet:
a 2 + b 2 = (60 − a − b) 2 .
Elvégezzük a négyzetre emelést, majd összevonunk, végül egyszerűsítve
a 2 + b 2 = 3600 + a 2 + b 2 − 120a − 120b + 2ab
120a + 120b − 2ab = 3600
60a + 60b − ab = 1800.