Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

a) ( √ 7 + √ 13+ √ 7 − √ 13) 2 = ( √ 7 + √ 13) +2·√7 2 + √ 13·√7
− √ 13+( √ 7 − √ 13) 2 =
= 7 + √ √
13 + 2 · (7 + √ 13)(7 − √ 13) + 7 − √ 13 = 14 + 2 · √49 − 13 =
= 14 + 2 · 6 = 14 + 12 = 26
b) ( √ 6 + √ 11− √ 6 − √ 11) 2 = ( √ 6 + √ 11) −2·√6 2 + √ 11·√6
− √ 11+( √ 6 − √ 11) 2 =
= 6 + √ √
11 − 2 · (6 + √ 11)(6 − √ 11) + 6 − √ 11 = 12 − 2 · √36 − 11 =
= 12 − 2 · 5 = 12 − 10 = 2
c) ( √ 5 + √ 21+ √ 5 − √ 21) 2 = ( √ 5 + √ 21) +2·√5 2 + √ 21·√5
− √ 21+( √ 5 − √ 21) 2 =
= 5 + √ √
21 + 2 · (5 + √ 21)(5 − √ 21) + 5 − √ 21 = 10 + 2 · √25 − 21 =
= 10 + 2 · 2 = 10 + 4 = 14
d) ( √ 8 + √ 15− √ 8 − √ 15) 2 = ( √ 8 + √ 15) −2·√8 2 + √ 15·√8
− √ 15+( √ 8 − √ 15) 2 =
= 8 + √ √
15 − 2 · (8 + √ 15)(8 − √ 15) + 8 − √ 15 = 16 − 2 · √64 − 15 =
= 16 − 2 · 7 = 16 − 14 = 2
3. Milyen hosszú az oldala annak a négyzetnek, melynek a területe 9 cm 2 .
megoldás:
A négyzet területe a 2 , így az a 2 = 9 egyenlet megoldását keressük, ami ±3. Oldalhosszúság
nyilván nem lehet negatív, így a megoldás a = 3 cm.
4. Számoljuk ki a következő kifejezések pontos értékét
9
a) 3√ 5 − √ 17 · 3√ 5 + √ 17
b) 3√ 12 + √ 19 · 3√ 12 − √ 19
c) 5√ 7 − √ 17 · 5√ 7 + √ 17
d) 4√ 10 + √ 19 · 4√ 10 − √ 19
megoldás:
a) 3√ 5 − √ 17 · 3√ 5 + √ 17 =
√(5 3 − √ 17)(5 + √ 17) = 3√ 25 − 17 = 3√ 8 = 2
b) 3√ 12 + √ 19 · 3√ 12 − √ 19 =
√(12 3 + √ 19)(12 − √ 19) = 3√ 144 − 19 = 3√ 125 = 5
c) 5√ 7 − √ 19 · 5√ 7 + √ 17 =
√(7 5 − √ 17)(7 + √ 17) = 5√ 49 − 17 = 5√ 32 = 2
d) 4√ 10 + √ 19 · 4√ 10 − √ 19 =
√(10 4 + √ 19)(10 − √ 19) = 4√ 100 − 19 = 4√ 81 = 3
5. Vonjuk össze az alábbi kifejezéseket:
a) √ 2 + √ 8 + √ 32
b) √ 3 + √ 27 + √ 243
c) 3√ 16 + 3√ 54
d) 4√ 32 + 4√ 486
e) 3√ 24 + 3√ 81
f) √ 125 + √ 5
megoldás:
a) √ 2 + √ 8 + √ 32 = √ 2 + √ 4 · 2 + √ 16 · 2 = √ 2 + 2 · √2
+ 4 · √2
= 7 √ 2