Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

88
3. Hol metszi a koordinátatengelyeket az
x 2 − 2x + y 2 − 4y − 20 = 0
egyenletű kör P (4, 6) pontjában vont érintője?
megoldás:
A kör egyenletét
(x − 1) 2 + (y − 2) 2 = 25,
kanonikus alakra hozva leolvashatók a kör középpontjának u = 1 és v = 2 koordinátái. Az
n(3, 4) vektor a P (4, 6) -beli érintő normálvektora. Az érintő egyenlete
3x + 4y = 36.
Végül az x = 0, illetve az y = 0 helyettesítésekkel az X(12, 0), illetve az Y (0, 9) metszéspontokat
nyerjük.
4. Milyen görbén helyezkednek el azoknak a köröknek a középpontjai, melyek átmennek a
P (3, 2) ponton és érintik az x tengelyt?
megoldás:
Bármely kívánt tulajdonságú kör középpontja sugárnyi távolságra van a P ponttól és –
az érintési tulajdonságra tekintettel – sugárnyi az x tengelytől mért távolsága is. Ez azt
jelenti, hogy a szóban forgó görbe egy P (3, 2) fókuszú parabola, melynek vezéregyenese az
x tengely. Egy alternatív koordinátageometriai megoldás a körök középpontjainak u és v
koordinátáira felírt
(3 − u) 2 + (2 − v) 2 = v 2
egyenlet, amit rendezve
Ez pedig egy parabola egyenlete.
v = 1 4 (3 − u)2 + 1.