Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ... Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
86 30. Kör egyenlete 1. Írjuk fel a (−1, 2) középpontú, r = 4 sugarú kör egyenletét! megoldás: Az (u, v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x − u) 2 + (y − v) 2 = r 2 . Behelyettesítve (x + 1) 2 + (y − 2) 2 = 4 2 , azaz (x + 1) 2 + (y − 2) 2 = 16. (Felbontva a zárójeleket, majd elvégezve az összevonásokat x 2 + y 2 + 2x − 4y − 11 = 0.) 2. Írjuk fel a (0, −1) középpontú, r = 3 sugarú kör egyenletét! megoldás: Az (u, v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x − u) 2 + (y − v) 2 = r 2 . Behelyettesítve (x − 0) 2 + (y + 1) 2 = 3 2 , azaz x 2 + (y + 1) 2 = 9. (Felbontva a zárójeleket, majd elvégezve az összevonásokat x 2 + y 2 + 2y − 8 = 0.) 3. Határozzuk meg az x 2 + y 2 + 6x + 8y − 11 = 0 egyenletű kör középpontját és sugarát! megoldás: Első lépésben teljes négyzetté alakítjuk az x 2 + y 2 + 6x + 8y − 11 kifejezést: (x + 3) 2 − 9 + (y + 4) 2 − 16 − 11 = 0. Elvégezve az összevonást, majd a konstanstagot átvive a jobboldalra (x + 3) 2 + (y + 4) 2 = 36.
87 Így a kör középpontja K(−3, −4), sugara r = 6. 31. Vegyes koordinátageometria feladatok 1. Határozza meg a c paraméter értékét úgy, hogy az egyenletű egyenes érintse az egyenletű kört! megoldás: x + 3y = c x 2 + y 2 = 25 Helyettesítsük az x = c − 3y kifejezést a kör egyenletébe: 10y 2 − 6cy + c 2 − 25 = 0. Az érintés szükséges és elegendő feltétele az, hogy az y változóban másodfokú egyenlet diszkriminánsa zérus legyen, azaz ahonnan c = ±5 √ 10 9c 2 − 10(c 2 − 25) = 0, 2. Ismeretes, hogy ha egy ponton át szelőt húzunk egy körhöz, akkor a ponttól a metszéspontokig terjedő szakaszok hosszának szorzata nem függ a szelő megválasztásától. Számítsa ki ezt az állandót az x 2 + y 2 − 16x − 4y + 43 = 0 egyenletű kör és a P (1; 3) pont esetében! megoldás: Hozzuk a kör egyenletét kanonikus alakra: (x − 8) 2 + (y − 2) 2 = 25. A koordináták behelyettesítésével meggyőződhetünk róla, hogy P külső pontja a körnek . A P pont és a kör középpontja által meghatározott egyenes olyan pontokban metszi a körvonalat, melyek P -től vett távolsága rendre d(P, O) − r, illetve d(P, O) + r, ahol O a kör középpontját, r pedig a sugarát jelöli. Mivel r = 5 és d(P, O) = √ 50, ezért a szóbanforgó állandó értéke ( √ 50 + 5)( √ 50 − 5) = 50 − 25 = 25.
- Page 35 and 36: 35 5. Ábrázoljuk az f(x) = |x| +
- Page 37 and 38: 37 13. Másodfokú függvények 1.
- Page 39 and 40: 39 Az 1 perc alatt megtett út b) A
- Page 41 and 42: 41 7. Ábrázoljuk és jellemezzük
- Page 43 and 44: 43 Ezt ábrázolva: A pálya legmag
- Page 45 and 46: 45 14. Négyzetgyök függvény 1.
- Page 47 and 48: 47 15. Racionális törtfüggvénye
- Page 49 and 50: 49 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 51 and 52: 51 IV. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EG
- Page 53 and 54: 53 17. Elsőfokú egyenlőtlensége
- Page 55 and 56: 55 ami azonosság, így az egyenlő
- Page 57 and 58: 4. Oldjuk meg a pozitív számok ha
- Page 59 and 60: 59 egyenlőtlenséget a valós szá
- Page 61 and 62: 61 V. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGY
- Page 63 and 64: 63 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 65 and 66: 65 • értelmezési tartomány: x
- Page 67 and 68: 67 f) A jobb oldalon a 1 -et 3 hatv
- Page 69 and 70: megoldás: Az exponenciális egyenl
- Page 71 and 72: 71 24. Exponenciális egyenlőtlens
- Page 73 and 74: 73 25. Logaritmikus egyenletek és
- Page 75 and 76: 75 VII. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, E
- Page 77 and 78: 77 27. Trigonometrikus egyenletek 1
- Page 79 and 80: 7. Oldja meg a 1 1 − sin 2x = 2 t
- Page 81 and 82: 81 VIII. KOORDINÁTAGEOMETRIA 28. K
- Page 83 and 84: 83 29. Egyenes egyenlete 1. Írjuk
- Page 85: 85 behelyettesítve elvégezve az
- Page 89 and 90: 89 IX. ELEMI GEOMETRIA 32. Elemi ge
- Page 91 and 92: 91 A drótsövény a téglalap ker
- Page 93 and 94: 93 9. Egy kör sugara 11 cm. Mekkor
- Page 95 and 96: A második egyenletből ab = 300, a
- Page 97 and 98: 97 Felírva a koszinusz tételt l 2
- Page 99 and 100: 17. Az alábbi ábra egy vaslemezb
87<br />
Így a kör középpontja K(−3, −4), sugara r = 6.<br />
31. Vegyes koordinátageometria feladatok<br />
1. Határozza meg a c paraméter értékét úgy, hogy az<br />
egyenletű egyenes érintse az<br />
egyenletű kört!<br />
megoldás:<br />
x + 3y = c<br />
x 2 + y 2 = 25<br />
Helyettesítsük az x = c − 3y kifejezést a kör egyenletébe:<br />
10y 2 − 6cy + c 2 − 25 = 0.<br />
Az érintés szükséges és elegendő feltétele az, hogy az y változóban másodfokú egyenlet<br />
diszkriminánsa zérus legyen, azaz<br />
ahonnan c = ±5 √ 10<br />
9c 2 − 10(c 2 − 25) = 0,<br />
2. Ismeretes, hogy ha egy ponton át szelőt húzunk egy körhöz, akkor a ponttól a metszéspontokig<br />
terjedő szakaszok hosszának szorzata nem függ a szelő megválasztásától. Számítsa ki<br />
ezt az állandót az<br />
x 2 + y 2 − 16x − 4y + 43 = 0<br />
egyenletű kör és a P (1; 3) pont esetében!<br />
megoldás:<br />
Hozzuk a kör egyenletét kanonikus alakra:<br />
(x − 8) 2 + (y − 2) 2 = 25.<br />
A koordináták behelyettesítésével meggyőződhetünk róla, hogy P külső pontja a körnek<br />
. A P pont és a kör középpontja által meghatározott egyenes olyan pontokban metszi a<br />
körvonalat, melyek P -től vett távolsága rendre<br />
d(P, O) − r, illetve d(P, O) + r,<br />
ahol O a kör középpontját, r pedig a sugarát jelöli. Mivel r = 5 és d(P, O) = √ 50, ezért a<br />
szóbanforgó állandó értéke<br />
( √ 50 + 5)( √ 50 − 5) = 50 − 25 = 25.
Change language