Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

82
6. Határozzuk meg az a = (1, −2) és a b = (−4, 0) vektorok skaláris szorzatát!
megoldás:
A skaláris szorzat
a · b = 1 · (−4) + (−2) · 0 = −4.
7. Határozzuk meg az a = (2, 3) és a b = (3, −2) vektorok skaláris szorzatát!
megoldás:
A skaláris szorzat
a · b = 2 · 3 + 3 · (−2) = 6 + (−6) = 6 − 6 = 0,
azaz a két vektor merőleges egymásra.
8. Határozzuk meg az a = (−3, 1) és a b = (2, 3) vektorok által bezárt szöget!
megoldás:
A két vektor skaláris szorzata
A két vektor hossza
a · b = (−3) · 2 + 1 · 3 = −6 + 3 = −3.
a = √ (−3) 2 + 1 2 = √ 9 + 1 = √ 10, b = √ 2 2 + 3 2 = √ 4 + 9 = √ 13.
A két vektor által bezárt szög koszinusza
cos ϕ =
a · b
|a| · |b| = −3
√ √ ≈ −0, 2632,
10 · 13
amiből ϕ ≈ 105, 26 ◦ , így a keresett szög ϕ ≈ 74, 74 ◦ .
9. Határozzuk meg az a = (−1, 2) és a b = (3, −1) vektorok által bezárt szöget!
megoldás:
A két vektor skaláris szorzata
A két vektor hossza
a · b = (−1) · 3 + 2 · (−1) = −3 − 2 = −5.
a = √ (−1) 2 + 2 2 = √ 1 + 4 = √ 5, b = √ 3 2 + (−1) 2 = √ 9 + 1 = √ 10.
A két vektor által bezárt szög koszinusza
√
−5 5
cos ϕ = √ √ = −
5 · 10
a · b
|a| · |b| =
amiből ϕ = 135 ◦ , így a keresett szög ϕ = 45 ◦ .
√
10
= − 1 √
2
= −
√
2
2