Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

7. Oldja meg a
1
1 − sin 2x = 2
trigonometrikus egyenletet. A p valós paraméter mely további értékei mellett van megoldása
a
1
1 − sin 2x = p
trigonometrikus egyenletnek?
79
megoldás:
A bal oldalon álló kifejezés
H = R \ { x | x ≠ π 4
+ kπ, k ∈ Z}
értelmezési tartománya fölött ekvivalens átalakítással a
egyenletet nyerjük. Ezt megoldva
sin 2x = 1 2
2x = π 6 + 2kπ,
ahonnan
illetve
x = π 12 + kπ,
2x = 5π 6 + 2lπ,
ahonnan
x = 5π
12 + lπ,
tetszőleges k és l egész szám mellett. A paraméteres egyenlet esetében két esetet különböztetünk
meg. A p = 0 esetben nincs megoldása az egyenletnek, míg ha p ≠ 0, akkor
sin 2x = 1 − 1 p
következik, melynek megoldhatósága nyilvánvalóan ekvivalens a
−1 ≤ 1 − 1 p ≤ 1
feltétellel. Ábrázolva a
p ↦→ 1 − 1 p
függvényt, könnyen látható, hogy p ≥ 1.
2