Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

74
melyből x = 5 4 = 625. Az egyenlet egész megoldása 625, mert
log 3 (log 4 (log 5 625)) = log 3 (log 4 (log 5 5 4 )) = log 3 (log 4 4) = log 3 1 = 0.
Ez a feladat jó példa arra, hogy gyorsabb az ellenőrzés, mint a feltételek vizsgálata.
3. Oldjuk meg az alábbi logaritmikus egyenlőtlenségeket:
a) log 2 x ≤ 3
b) log 3 x > 4
c) log 2 (2x + 1) < 1
d) log 4 (x − 1) > 1 2
e) log 5 (3x − 6) ≥ −1
f) log 2 (x − 1) < 3
g) log 1 x < 2
2
h) log 7 x > 1
megoldás:
a) A logaritmus alapszáma 1-nél nagyobb, így az egyenlőtlenség iránytartó, tehát x ≤ 8.
b) A logaritmus alapszáma 1-nél nagyobb, így az egyenlőtlenség iránytartó, tehát x > 81.
c) A logaritmus alapszáma 1-nél nagyobb, így az egyenlőtlenség iránytartó, tehát
amiből x < 1 2 .
2x + 1 < 2,
d) A logaritmus alapszáma 1-nél nagyobb, így az egyenlőtlenség iránytartó, tehát
Felhasználva, hogy 4 1 2
x − 1 > 4 1 2 .
= 2, majd rendezve az egyenlőtlenséget, x > 3 adódik.
e) A logaritmus alapszáma 1-nél nagyobb, így az egyenlőtlenség iránytartó, tehát
3x − 6 ≥ 5 −1 .
Felhasználva, hogy 5 −1 = 1 31
, majd rendezve az egyenlőtlenséget x ≥ adódik.
5 15
f) A logaritmus alapszáma 1-nél nagyobb, így az egyenlőtlenség iránytartó, tehát x−1 < 2 3 .
Felhasználva, hogy 2 3 = 8, majd rendezve az egyenlőtlenséget x < 9 adódik.
g) A logaritmus alapszáma 1-nél kisebb, így az egyenlőtlenség irányváltó, tehát x < ( 1 2,
2)
amiből x < 1.
4
h) x > 7